第五章 分式与分式方程
1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程,了解分式、最简分式、分式方程的概念,体会分式、分式方程的模型思想,进一步发展符号意识.
2.熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,会求分式的值,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验分式方程的解,发展运算能力.
1.经历通过观察、归纳、类比、猜想,从而获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程,发展合情推理能力与代数式的恒等变形能力,积累类比的活动经验.
2.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题,发展分析问题、解决问题的能力和应用意识.
培养学生的观察能力和类比意识,培养学生勇于质疑、严谨求实的科学态度.
本章主要学习分式的概念、基本性质与运算,分式方程及其应用.分式是代数式的重要组成部分.分式的基本性质与运算法则是代数式恒等变形的重要依据,是有关比例的学习基础.分式与分数、因式分解、一元一次方程、反比例函数等联系密切,在中学数学、物理、化学等学科和生产实践中有着广泛的应用.
根据《标准》的要求,本章教科书特别关注了下列几个方面:
(1)分式、分式方程是描述现实世界数量关系的模型.在学习分式、分式方程的概念时,教科书通过用字母表示现实情境中的数量关系,丰富了分式、分式方程的实际背景,以帮助学生领会分式、分式方程的模型作用,体会分式、分式方程与现实生活的密切联系.
(2)在学习分式的基本性质及其运算法则时,十分注重观察、归纳、类比、猜想等思维方法的应用.
(3)分式运算的教学重点是运算法则建立的过程和对算理的理解.在分式运算的设计中,教科书适当降低了分式纯运算的难度,只对较简单的分式进行化简、求值与运算.
具体地,教科书设计了4节内容:
第1节“认识分式”.通过土地沙化、上海世博会等实例中存在的数量关系引入分式的概念,体会分式的模型作用;通过类比分数的基本性质,理解分式的基本性质.
第2节“分式的乘除法”.通过类比分数乘除法的法则,获得分式乘除法的法则,并会用法则进行分式运算.
第3节“分式的加减法”.通过类比分数加减法的法则,获得分式加减法的法则,并会用法则进行分式运算.
第4节“分式方程”.通过列出刻画行程、捐款等实例的方程,分析所列出方程的共同特征,理解分式方程的概念,进而学习怎样解分式方程,并会用分式方程解决简单的实际问题.
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【重点】
1.分式的概念,正确理解分式的基本性质.
2.运用分式乘除法的法则进行简单的分式乘除运算.
3.会进行简单的分式加减运算.
4.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来;会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性.
【难点】
1.理解和掌握分式有意义的条件;推导分式的基本性质;运用分式的基本性质将分式进行变形.
2.分式乘除法法则的推导.
3.确定公分母,分式方程的正确变形,检验根的合理性.
4.列分式方程解应用题.
1.让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,进一步发展符号感.让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程是发展学生符号感的重要环节,与以前用字母表示数量关系相比,本章表示量与量之间关系的代数式可以是分式.教学时应鼓励学生独立思考、自主探索问题情境中的数量关系,并运用符号进行表示.在此基础上可根据教学的实际情况组织学生对一些难点问题展开讨论、交流.
2.让学生通过观察、类比、猜想、尝试等活动学习分式的运算法则,发展学生的合情推理能力.教科书为学生探索分式运算的法则提供了丰富的素材,教学时应将重点放在对法则的探索过程上,使学生充分活动起来,在观察、类比、猜想、尝试等一系列思维活动中,发现法则、理解法则、应用法则.同时,还要关注学生对算理的理解,以培养学生的代数表达能力、运算能力和有条理思考问题的能力.
3.解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程.在引导学生探索分式方程的解法时,要注意体现这种“转化”的思想.另外,对分式方程的解法,只要求掌握可化为一元一次方程的分式方程,教学过程中要注意把握这一要求.
4.列分式方程解决应用问题比列一元一次方程(组)要稍复杂一些.教学时要引导学生抓住寻找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示等量关系等关键环节.对于常用的数量关系,虽然学生以前大都接触过,但在本章的教学中仍要注意复习、总结,引导学生举一反三,进一步提高分析问题与解决问题的能力.此外,教学时要有意识地进一步提高学生的阅读理解能力,鼓励学生从多角度思考问题,注意检验、理解所获得结果的合理性.
1 认识分式
2课时
2 分式的乘除法
1课时
3 分式的加减法
3课时
4 分式方程
3课时
回顾与思考
1课时
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1 认识分式
1.了解分式的概念,明确分式和整式的区别,会用分式表示生活情境中的数量关系.
2.掌握分式是否有意义、分式的值是否为零的判断方法.
3.在分数性质的基础上掌握分式的基本性质,并能利用分式的基本性质对分式进行变形.
让学生观察、分析分式的特点,提高学生分析问题、解决问题的能力.
培养学生类比的思维习惯,培养学生严谨认真的科学态度.
【重点】 分式的概念与基本性质.
【难点】 分式有意义和分式值为零的条件及其应用.
第课时
1.能用分式表示现实情境中的数量关系,体会分式的模型思想,进一步发展符号感.
2.了解分式的概念,明确分式与整式的区别.
1.经历用字母表示现实情境中数量关系的过程,了解分式的概念,体会分式的模型思想,进一步发展符号感.
2.使学生经历分析、类比、归纳等活动,培养学生的自学能力,获得学习代数知识的常用方法.
1.通过教材土地沙化问题的情境,体会保护人类生存环境的重要性.
2.培养学生类比联想的思维习惯.
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【重点】 分式的概念.
【难点】 理解和掌握分式有意义的条件.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 回忆小学学过的分数的有关知识及七年级学过的整式的有关知识.
导入一:
【问题】 下列式子中哪些是整式?哪些是单项式?哪些是多项式?
a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,.
解:a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,是整式;a,-3x2y3,是单项式;5x-1,x2+xy+y2是多项式.
[设计意图] 因为分式概念的学习是学生通过观察、比较分式与整式的区别而获得的,所以必须熟练掌握整式的概念.
导入二:
【问题】 学生思考讨论,用式子表达题目中的数量关系:
(1)面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前完成原计划的任务.
如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成造林任务需要 个月,实际完成造林任务用了 个月.
(2)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?
【师生活动】 让学生充分思考,最好让学生积极投身于问题情境中,根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导.
解:(1) (2)册.
[设计意图] 让学生经历探索实际问题中数量关系的过程.通过问题情境,让学生初步感受分式是解决问题的一种模型,体会分式的意义,发展符号感.
一、认识分式
思路一(针对导入一)
1.分式初探
[过渡语] 同学们刚才看到的式子都是整式,我们可以发现它们有这样的特点:没有分母或者分母是数字,那么如同,等这样的式子和整式一样吗?这就是我们本节课要研究的问题.
解决下列问题:
(1)一箱苹果售价a元,箱子与苹果的总质量为m kg,箱子的质量为n kg,则每千克苹果的售价是多少元?
(2)一块土地分为两块棉田,第一块x公顷,收棉花m千克,第二块y公顷,收棉花n千克,这块土地平均每公顷的棉产量是多少?
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(3)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?
根据学生交流、讨论,可得出结果.
解:(1). (2) kg. (3)册.
2.认识分式
问题1
刚才这些代数式有什么共同特征?它们与整式有什么不同?
学生分组交流讨论,展示讨论结果,教师及时补充.
它们的共同特征:(1)它们是由分子、分母与分数线构成的;(2)分母中都含有字母.
它们与整式的不同点:它们的分母中都含有字母,而整式的分母中不含有字母,例如,,它们都含有分母,但分母中都不含有字母,所以它们是整式.
一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式.如果B中含有字母,那么称为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.
问题2
分式中,字母可以取任意实数吗?
学生领会分式的概念并思考得出:不可以.因为分式中分母含有字母,而分母是除式,不能为零,因此字母的取值就受到制约,即字母的取值不能使分母为零,否则分式就会失去意义.
问题3
在什么情况下分式的值为0?
学生通过类比分数的性质得出:分式的分子为0的时候,分式的值为0.
思路二(针对导入二)
1.分式初探
[过渡语] 刚才同学们得到的三个代数式与我们之前学过的代数式有什么不同呢?
讨论目的:以小组的形式对前面出现的式子进行讨论,进而得出分式的概念,体会分式的意义.
讨论内容:(针对前面列出的三个代数式)这些代数式有什么共同特征?它们与整式有什么不同?
老师提出思考问题:
(1)整式中的分母有没有字母?
(2)前面的三个代数式中,分母中有没有字母?
(3)前面的三个代数式是不是分数呢?
(4)前面的三个代数式中,字母能取任意值吗?
(5)前面的三个代数式的值在什么情况下为零?
问题预设:学生会比较容易发现这几个式子的分母中都含有字母,但容易与整式中有数字分母的情况混淆,把字母等同于数字看待,这就无法顺利总结出分式的概念.
2.认识分式
根据学生的观察、讨论,老师进行总结:这三个代数式的共同特征是分母中都含有字母,而整式中虽然也有分母,但分母中不含字母.这样的代数式我们称为分式.
一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示为的形式,如果B中含有字母,那么称为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.对于任意一个分式,分母都不能为零.
[设计意图] 让学生通过观察、归纳总结出整式与分式的异同,从而得出分式的概念.学生通过观察、类比及小组讨论,基本能得出分式的定义,对于分式的分母不能为0,有的小组考虑到了,有的没有考虑到,就这一点可以让学生类比分数的分母不能为0加以理解.这样获得的知识,理解更加透彻,掌握更加牢固,运用起来会更灵活.
[知识拓展] 1.当整式相除不能整除时,就出现了分式,所以分式实际上是一个商式,其分子是被除式,分母是除式.
2.整式和分式统称为有理式,即有理式包括整式和分式.
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3.分式的概念包括3个方面:
(1)分式是两个整式相除的商式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用;
(2)分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这是区别整式的重要依据;
(3)在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义.这里,分母是指除式而言,而不是只就分母中某一个字母来说的.也就是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无需注明的条件.
二、例题讲解
(教材例1)(1)当a=1,2,-1时,分别求分式的值;
(2)当a取何值时,分式有意义?
〔解析〕 (1)分式的值是由字母的取值决定的,但要注意的是字母的取值一定不能让分母为0,即一定要让分式有意义.(2)只有当分式的分母不为0时,分式才有意义.
解:(1)当a=1时,==2.
当a=2时,==1.
当a=-1时,==0.
(2)当分母的值为零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.
由分母2a-1=0,得a=.
所以当a≠时,分式有意义.
[设计意图] 让学生体会分式的意义,理解如果字母的取值使得分母的值为零,那么分式没有意义,反之则有意义.通过例题讲解,让学生从两方面来理解分式:一是分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数;二是分式可与分数类比,分式的分母也不能为零.学生基本能够计算出分式的值,但对于分式在什么条件下有意义,一下子掌握还有一定的难度, 需要通过与分数进行类比,多举例才能理解得更深刻.
1.分式的概念.
一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式,如果B中含有字母,那么称为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.
2.分式有意义的条件.
分式有意义的条件是分母不为0.
3.分式的值为0的条件是分子等于0,且分母不等于0.
1.(2015·随州中考)若代数式+有意义,则实数x的取值范围是 ( )
A.x≠1 B.x≥0
C.x≠0 D.x≥0且x≠1
解析:若代数式+有意义,则有解得x≥0且x≠1.故选D.
2.若分式有意义,则x的取值范围是 .
解析:依题意得3x+5≠0,解得x≠-,因此x的取值范围是x≠-.故填x≠-.
3.若分式的值为0,则x的值是 .
解析:在这个分式中,x2-1是分子,x+1是分母,因此,分式的值为0的条件是x2-1=0且x+1≠0,所以x=1.故填1.
4.对于分式,已知当x=-3时,分式的值为0;当x=2时,分式无意义.试求m,n的值.
解:∵当x=-3时,分式的值为0,
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∴即
又∵当x=2时,分式无意义,
∴m-2n+3×2=0,即m-2n=-6.
解方程组得
第1课时
一、认识分式
1.分式初探
2.认识分式
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第109页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第109页习题5.1的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各式是分式的是 ( )
A. B. C.+y D.
2.(2015·金华中考)要使分式有意义,则x的取值应满足 ( )
A.x=-2 B.x≠2
C.x>-2 D.x≠-2
3.若分式的值为0,则 ( )
A.x=-2 B.x=0
C.x=1或-2 D.x=1
4.若分式有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≠3 B.x=3 C.x>3 D.x0且x-1≠0,即x>-2且x≠1.故选C.)
10.>3(解析:要使分式的值为负,需使分母3-x3.故填>3.)
11.≠±1(解析:若分式有意义,则x2-1≠0,解之即可.故填≠±1.)
12.
13.解:因为当x=1时,分式无意义,所以1-a=0,解得a=1;因为当x=4时,此分式的值为零,所以4+2b=0,解得b=-2,所以a+b=1+(-2)=-1.
在学习分式的概念时,避免了传统教学中对于概念的直接给出,叫学生死记硬背,忽略学生学习的过程,也不考虑学生是否真正理解,本课时是让学生通过观察、归纳出整式与分式的异同,从而总结出分式的概念,学生对这样获得的知识,理解得更透彻.
对学生学习效果的反馈不够及时,还不能够较全面地了解学生的学习情况,对不足之处未能及时补充.
在学习中,要注意观察学生的情感变化,是否遇到困难,学生的积极性、热情是否发挥出来,投入的程度有多少,是否每个学生都参与其中等,作为教师应时刻关注这些,以便适时地引导他们,调动他们,鼓励他们.
随堂练习(教材第109页)
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1.解:(1)当x取1以外的任何实数时,分式都有意义. (2)当x取±3以外的任何实数时,分式都有意义.
2.解:当x=0时,=-.当x=-2时,=.当x=时,=0.
3.提示: kg.
习题5.1(教材第109页)
1.解:(2)(4)是整式,(1)(3)是分式.
2.提示:(1)x=. (2)x=-2.
3.解:当a=-1,b=时,==.
4.提示:这箱橘子的零售价至少应定为元/kg.
5.提示:(1)平均每公顷的棉产量是 kg. (2)这种商品每件的成本是元.
易错点 考虑问题不全面导致错误
已知分式的值为整数,求整数x的所有可能值.
错解:若分式的值为整数,则x-1的值可为1,2,3,6.∴x=2,3,4,7.
错因分析:忽略了分式的值为负整数时x的值,造成漏解.
正解:若分式的值为整数,
则x-1的值可为±6,±3,±2,±1,
∴x=7,4,3,2,-5,-2,-1,0.
第课时
1.能正确理解和运用分式的基本性质.
2.能解决一些与分式有关的简单的实际问题.
3.会进行简单分式的乘除运算,具有一定的代数化归能力.
4.增强学生的代数推理能力与应用意识.
通过与分数的基本性质相比较,归纳得出分式的基本性质,体验类比的思想方法.
通过运用分式的基本性质对分式进行变形,获得分式变形的基本方法,体验学习的乐趣.
【重点】 理解分式的基本性质,会进行分式的化简.
【难点】 灵活应用分式的基本性质将分式变形.
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【教师准备】 预设学生学习过程中容易出错的地方.
【学生准备】 复习分数的基本性质.
导入一:
【问题】 有位老爷爷把一块地分给三个儿子.老大分到了这块地的,老二分到了这块地的,老三分到了这块地的.老大、老二觉得自己很吃亏,于是他们就争吵起来.刚好阿凡提路过,问清争吵的原因后,哈哈大笑了起来,给他们讲了几句话后,三兄弟就停止了争吵.你知道阿凡提给他们讲的是什么吗?
这里涉及了分数的基本性质,那么分式也有这样的性质吗?
[设计意图] 创设故事情境导入新课,激发了学生学习的好奇心,同时复习了分数的基本性质,为学习分式的基本性质做好铺垫.
导入二:
上节课我们类比整式和分数的概念学习了分式的概念,今天我们来继续学习分式的相关知识,请看下面的问题:
问题1 如图(1)所示,面积为1的长方形平均分成了4份,则阴影部分的面积是多少?
问题2 如图(2)所示,面积为1的长方形平均分成了2份,则阴影部分的面积是多少?
问题3 这两块阴影部分的面积相等吗?
这个问题同学们会很快说出答案,依据就是分数的基本性质,那么分式是否具有和分数一样的性质呢?
[设计意图] 提示学生运用类比的思想进行本课时的学习,为学生提供本课时学习方法方面的指导.
一、分式的基本性质
[过渡语] 下面我们来看看分式是否具有与分数类似的性质.
思路一
请看下面的问题.
(1)填空:
==;==.
(2)你认为分式与相等吗?为什么?与呢?与同伴交流.
学生独立思考第(1)题,根据分数的基本性质,的分子分母同乘4,可得,的分子分母同时除以2,可得,小组讨论类比第(1)题解决第(2)题.
类比分数的基本性质,你能猜想出分式的基本性质吗?
学生尝试归纳,相互补充,总结得出分式的基本性质.
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
这一性质可以用式子表示为:
=,=(m≠0).
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思路二
[过渡语] 类比分数的基本性质,你能猜想出分式有什么性质吗?
请看下面的问题:
问题1 如图(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形的宽怎么表示呢?
问题2 如图(2)所示,两个图(1)中的长方形拼接在一起,它的宽怎么表示呢?
问题3 两图中长方形的宽相等吗?
问题4 通过怎样的变形可以由得到?通过怎样的变形可以由得到?变形的依据是什么?
问题5 若n个这样的长方形拼接在一起,它的宽又该如何表示呢?
学生分析得出答案为.
教师进一步追问:和,相等吗?通过怎样的变形可以使它们相等呢?
问题6 若(m+1)个这样的长方形拼接在一起,宽又如何表示呢?
追问:和,相等吗?通过怎样的变形可以使它们相等呢?
问题7 能类比分数的基本性质,归纳出分式的基本性质吗?
学生根据上面的问题尝试归纳分式的基本性质,教师在学生回答的基础上补充完善.
总结:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
这一性质可以用式子表示为:=,=(m≠0).
教师强调:a,b,m均为整式,m≠0.
引导学生分析分数的基本性质与分式的基本性质的区别:在分数的基本性质中,“数”是一个具体的、唯一的确定值,在分式的基本性质中,“整式”的值随整式中的字母的取值不同而变化.
[设计意图] 一方面提高学生对分式的基本性质的认识,另一方面通过师生归纳,进一步加深对分式基本性质的理解.
二、例题讲解
[过渡语] 利用分式的基本性质只是改变分式的形式,不改变分式的值.请看下面的例题.
(教材例2)下列等式的右边是怎样从左边得到的?
(1)=(y≠0); (2)=.
处理方式:引导学生观察等式的左边和右边各发生了什么变化,讨论解题思路.
〔解析〕 (1)的分母2x乘y才能化为2xy,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子b 也要乘y,才能得到.(2)的分子ax除以x得到a,所以分母bx也需要除以x得到b.在这里,由于已知,所以x≠0.
解:(1)因为y≠0,所以==.
(2)因为x≠0,所以==.
(教材例3)化简下列分式:
(1); (2).
处理方式:引导学生观察分式的分子和分母是否有公因式,利用分式的基本性质,对分式进行化简.
〔解析〕 (1)的分子和分母均有因式ab,所以根据分式的基本性质,可以同时除以ab,则分式可化为ac.(2)对于分式,先对分子和分母进行因式分解,x2-1=(x+1)(x-1),x2-2x+1=(x-1)2,发现分子分母有公因式x-1,由分式的基本性质可化简.
解:(1)==ac.
(2)==.
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总结:像上面的例3,把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.
[知识拓展] 1.从已知的两个分子或分母的比较中,找到分式变形的依据,再运用分式的基本性质求未知,是解决这类题的方法.
2.应用分式的基本性质对分式进行变形需要注意的问题:
(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算;
(2)所乘或除以的必须是同一个整式;
(3)所乘或除以的整式的值应该不等于零.
三、做一做
化简下列分式:
(1); (2).
〔解析〕 根据分式的基本性质进行化简.
解:(1) ==.
(2)==.
四、议一议
在化简时,小颖和小明出现了分歧,小颖认为=,而小明认为==,你对他们两人的做法有何看法?与同伴交流.
解:在小明的化简结果中,分子和分母已没有公因式,这样的分式称为最简分式.小明的做法正确.
[知识拓展] 化简分式时,通常要使结果成为最简分式或整式.约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同时除以同一个整式,使分式的值不变,所以要找准分子和分母的公因式,约分的结果要是最简分式或整式.
[设计意图] 通过做一做和议一议,检查学生对分式的约分的掌握情况,对于错误及时指出并纠正.
五、想一想
(1)与有什么关系?
(2),与-有什么关系?
解:(1)的分子分母都乘-1与相等.
(2)同样的道理,与-相等.与-相等.
分式的符号法则:分式的分子、分母及分式本身的三个符号中,任意改变其中两个的符号,分式的值不变;若只改变其中一个或三个全变号,则分式的值变成原分式值的相反数.
[设计意图] 通过想一想的设计,让学生掌握分式的符号法则.
1.分式的基本性质:=,=(m≠0).
(1)分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.
(2)在运用分式的基本性质时,必须注意分式的分子分母同时乘或除以的是同一个整式,且不为0.
(3)分式的基本性质的研究方法:从分数类比到分式,从特殊到一般.
2.分子和分母已没有公因式的分式称为最简分式,化简分式时,通常要使结果成为最简分式或整式.
3.分式的符号法则:分式的分子、分母及分式本身的三个符号中,任意改变其中两个的符号,分式的值不变;若只改变其中一个或三个全变号,则分式的值变成原分式值的相反数.
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1.若将分式(a,b均为正数)中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍,则分式的值 ( )
A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的
C.不改变 D.缩小为原来的
解析:此分式中的字母分别扩大为原来的2倍,则分式的分子扩大为原来的2倍,分式的分母扩大为原来的4倍,所以分式的值缩小为原来的.故选B.
2.填写下列等式中未知的分子或分母.
(1)=;
(2)=;
(3)=(b≠0).
解析:(1)先观察分子,等式左边分式的分子是x+y,而等式右边分式的分子为x2-y2,由于(x+y)·(x-y)=x2-y2,即将等式左边分式的分子乘x-y可得到等式右边分式的分子,因而等式左边分式的分母也要乘x-y,所以应填(x-y)2.(2)先观察分母,等式左边分式的分母为(a-c)(a-b)(b-c),等式右边分式的分母为a-c,根据分式的基本性质,应将等式左边分式的分子、分母同时除以(a-b)·(b-c),因为 (b-a)(c-b)÷[(a-b)(b-c)]=1,所以应填1.(3)先观察分母,等式左边分式的分母为a,等式右边分式的分母为ab,根据分式的基本性质,应将等式左边分式的分子、分母同时乘b,因此应填b2-ab.
答案:(1)(x-y)2 (2)1 (3)b2-ab
3.下列从左到右的变形是否正确?
(1)=; (2)=;
(3)=; (4)=.
解析:此类题主要考查分式的基本性质.对于,条件中隐含a≠0,分子、分母同时乘a,可得=成立,因此(1)正确;分子、分母同时加上c,只有当c=0时成立,其余条件下不一定成立,因此(2)错误;当c=0时,=不成立,因此(3)错误;在=中,隐含c≠0,分子、分母同时除以c,式子成立,因此(4)正确.
解:(1)(4)正确,(2)(3)不正确.
4.不改变分式的值,将式子的分子与分母的系数化为整数.
解析:利用分式的基本性质,分子与分母同时乘6即可.
解:==.
5.不改变分式的值,使下列分式的分子、分母都不含负号.
(1); (2)-.
解析:根据分式的符号法则,(1)可同时改变分子和分式本身的符号;(2)可同时改变分式本身和分母的符号.
解:(1)=-.
(2)-=.
第2课时
一、分式的基本性质
二、例题讲解
三、做一做
四、议一议
五、想一想
65
一、教材作业
【必做题】
教材第112页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第113页习题5.2的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各个算式中正确的是 ( )
A.= B.=a+b
C.= D.=
2.下列各式中,与分式相等的是 ( )
A. B.
C.(x≠y) D.
3.已知=,下列等式中一定成立的是 ( )
A.x=y B.9x=7y
C.7x=9y D.xy=63
4.把分式中的x和y都扩大为原来的5倍,那么分式的值 ( )
A.扩大为原来的5倍 B.不变
C.缩小为原来的 D.扩大为原来的倍
5.如果把分式中x和y的值都缩小为原来的,那么分式的值 ( )
A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的
C.缩小为原来的 D.不变
6.(2015·丽水中考)分式-可变形为 ( )
A.- B.
C.- D.
【能力提升】
7.若= ,则M= .
8.将分式的分子与分母中各项系数化为整数,结果是 .
9.下列等式的右边是怎样从左边得到的?
(1)=(x-1≠0);
(2)=(x2-y2≠0).
【拓展探究】
10.若a=,b=,试不用将分数化为小数比较a,b的大小.观察a,b的特征以及你比较大小的过程,直接写出你发现的一个一般结论.
11.若==≠0,求的值.
【答案与解析】
1.D
2.C
3.B(解析:根据分式的基本性质,原式可表示为x=y,9x=7y.故选B.)
4.B(解析:将原式中的x,y分别都乘5,再根据分式的基本性质化简,最后与原来的式子比较.故选B.)
65
5.D(解析:先把分式中的x,y用x,y替换,再提取公因式变形,化简后和原分式对比即可.由于将中的x,y缩小为原来的得=,与原分式相等.故选D.)
6.D(解析:同时改变分式的分母和分式本身的符号得-=.故选D.)
7.a2-2ab+b2(解析:===,即M=a2-2ab+b2.)
8.(解析:将分式的分子与分母中各项系数化为整数,需将分子分母同乘30,结果是.故填.)
9.解:(1)等式左边分式的分子分母都乘x-1,得到等式右边的分式. (2)左边分式的分子分母都除以x+y,得到等式右边的分式.
10.解:a,b的特征是分母比分子大1.∵a==1-,b==1-,>,∴a2)单位量的水,可以一次清洗,
65
也可以把水平均分成两份后清洗两次,用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.
解:根据题意在两种方法下,设清洗前残留的农药量为1,
则用a单位量的水清洗一次,蔬菜上残留的农药量为p=;
把a单位量的水平均分成两份后清洗两次,蔬
菜上残留的农药量为Q===.
因为a>2,所以(1+a)-=-=Q,所以清洗两次后蔬菜上残留的农药量比较少.
3 分式的加减法
1.会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力.
2.会进行同分母分式、异分母分式加减的简单运算.
1.经历类比、猜想、归纳、探索分式加减运算法则的过程.
2.经历探索分式加减运算法则的过程,理解其算理.
1.能解决一些简单的实际问题,进一步体会分式的模型思想.
2.使学生体会分式的加减法在实际生活中的应用价值.
【重点】 探索分式加减法法则,会进行分式的加减运算.
【难点】 异分母分式的加减运算.
第课时
1.类比同分母分数的加减法法则归纳出同分母的分式加减法法则.
2.理解同分母的分式加减法法则,能进行同分母的分式加减法运算及分母互为相反式的分式加减法运算.
65
1.经历类比、猜想、归纳、探索同分母的分式加减运算法则的过程.
2.经历探索分式加减运算法则的过程,理解其算理.
通过学习认识到分数与分式的联系,理解事物拓延的内在本质,丰富数学情感与思想.
【重点】 理解同分母的分式加减法的运算法则,能进行同分母的分式加减运算.
【难点】 分母互为相反数的分式加减法运算.
【教师准备】 推导法则所用的题板.
【学生准备】 复习同分母分数的加减法.
导入一:
计算下列各题:
+= -=
+= -=
猜想下列各式的结果:
+= -=
+= -=
[设计意图] 通过做一做,可以使学生很快进入状态又不觉得困难.后两个的运算结果要约分化为最简分数,学生极有可能说出没有约分的答案.因此,类比时注意引导学生正确猜想,注意约分,使法则的提出顺理成章,也为后面的学习做好铺垫.
导入二:
计算下列各题:
+= -=
+= -=
【学生活动】 同桌互相配合,一个出题,一个答题.
【问题】 你能否把这一数学事实用字母表示出来?会用语言叙述吗?
用式子表示为:±=.
同分母的分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
[设计意图] 通过复习同分母的分数加减法的题,引导学生用类比的思想,猜一猜同分母的分式的加减法如何运算,并试图让学生认识其合理性.从而给出同分母的分式加减法的运算法则,点明本节课的主要内容.
[过渡语] 学习了同分母的分式加减法法则,大家会运用法则计算吗?
一、法则应用
思路一
65
(教材例1)计算:
(1)-;
(2)-;
(3)-;
(4)+-.
〔解析〕 这四个题均可以直接利用法则进行计算,四个小题由简单到复杂,分母由单项式到多项式,分式的个数由2个到3个,结果由简单约分到需要因式分解后再约分,但都属于简单的分式运算.
解:(1)-===.
(2)-===x+2.
(3)-====-3.
(4)+-==.
[设计意图] 通过这4道小题的讲解,让学生掌握如何运用法则进行运算,并注意运算时可能出现的问题.
[教学提醒] 本例教学,每小题都应帮助学生理解算理,清楚每一步运算的依据,在进行运算时若分子是多项式的,分子要先添括号,再去括号,最后合并同类项;运算结果也要类比分数加减法的结果,化成最简形式,即约去分子与分母的所有公因式——化简.
思路二
请计算+, - ,并分别取a=3,x=9,检验你的结果是否正确.
〔解析〕 利用同分母的分式加减法法则,可以计算出结果,分别代入具体值加以验证.
解:+=;
- ===x+3.
当a=3时,+=+=;=.
当x=9时,-=-=12;x+3=9+3=12.
所以+=;-=x+3均正确.
[设计意图] 利用求代数式的值加深对同分母的分式加减法的理解.
二、例题讲解
[过渡语] 对同分母的分式加减法法则,我们做到深刻领会了吗?请看下面例题.
(教材例2)计算:
(1)+; (2)-.
〔解析〕 本例教学中,可以先让学生观察两个分式的分母,再提问,以启发学生思考:
问题1:这两个分式的分母相同吗?有什么关系?
问题2:用什么方法可以将它们化成同分母分式?
问题3:分子的符号、分母的符号、分式的符号之间有何关系?
解:(1)+=-==1.
(2)-=+===a-1.
(补充例题)计算:
(1)-;
(2)-+.
〔解析〕 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
解:(1)原式===.
(2)原式===.
[方法技巧] 同分母的分式加减法的运算,当分子为多项式时,应把多项式看成一个整体添上括号再运算,结果要化成最简分式.
[知识拓展] 分母互为相反数的分式加减法.
65
计算:(1)+;
(2)+;
(3)+-.
〔解析〕 这是一组分母互为相反数的分式加减运算的题目,旨在初现异分母分式的加减运算,实质是化成同分母的分式再运算,这要求学生能够熟练掌握,并为下节课要学习的异分母的分式加减法做好准备.
解:(1)+=-==1.
(2)+=-==.
(3)+-=--===-1.
1.同分母的分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
2.学会用转化的思想将分母互为相反数的分式加减运算转化成同分母分式的加减运算.
3.分子是多项式时,一定记得添括号后再进行加减运算.
4.学会用类比的方法去分析和解决问题.
1.(2015·绍兴中考)化简+的结果是 ( )
A.x+1 B.
C.x-1 D.
解析:+===x+1.故选A.
2.计算:-+= .
解析:-+===1.故填1.
3.计算:-= .
解析:-===-2.故填-2.
4.计算:
(1)+; (2)+; (3)-.
解:(1)+==.
(2)+===a+b.
(3)-===-3.
第1课时
同分母的分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
用式子表示为:±=.
一、法则应用
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第118页随堂练习的1,2题.
【选做题】
65
教材第118页习题5.4的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简-的结果是 ( )
A.-x-y B.y-x C.x-y D.x+y
2.计算+-得 ( )
A.- B.
C.-2 D.2
3.计算:(1)-+;
(2)-+.
【能力提升】
4.计算:(1)+-;
(2)-+.
5.(2015·湖州中考)计算:-.
【拓展探究】
6.计算:-+.
7.化简求值:-,其中a=-2,b=.
【答案与解析】
1.C(解析:原式===x-y.故选C.)
2.D(解析:原式===2.故选D.)
3.解:(1)-+==. (2)-+===-.
4.解:(1)+-==. (2)-+==.
5.解:原式===a+b.
6.解:原式====.
7.解:原式===-.当a=-2,b=时,原式=-=.
教材为我们提供了最基本有效的教学素材,我们应该充分挖掘这些素材,把它们转化成本节课的实质内容,并明确教学目标,让学生通过对这些素材的把握,做到举一反三、灵活运用.
作为运算,课后还是应该多加练习,扎实基本功,毕竟课堂时间有限.
1.因势利导,由浅入深,鼓励学生通过与同分母的分数的加减法类比,给出同分母的分式加减运算法则后,应该先讲如何应用,再让学生练习,自然引出例题.
2.应该讲练结合,注意对关键点的引导.
65
随堂练习(教材第118页)
1.解:(1)不正确,+=. (2)不正确,-=. (3)不正确,1+=. (4)正确.
2.解:(1)-. (2). (3)1.
习题5.4(教材第118页)
1.解:(1). (2)-.
2.解:(1)a+b. (2)-. (3)或-. (4)x+2.
3.解:原式=x-1,当x=时,原式=-.
4.解:-=-=(h).
历史上的分数运算法则
1.最早的分数运算法则
我们伟大的祖国,作为世界四大文明古国之一,在世界数学发展的历史长河中,曾作出过许多杰出的贡献,远远走在世界的前列.许多光辉的成就,在世界数学史上享有崇高的荣誉.分数运算法则的出现就是我们引以为荣的成就.
早在西汉时期,张苍、耿寿昌等学者在整理、删补自秦代以来的数学知识的基础上,编成了数学的经典——《九章算术》.后来,魏晋时代伟大的数学家刘徽对此书作了注解,于魏景元四年写成了《九章算术注》.在《九章算术》的《方田》章中,提出了完整的分数运算法则,讲到了约分、合分(分数的加法)、减分(分数的减法)、乘分(分数的乘法)、经分(分数的除法)的法则,这些与我们现在的分数运算法则完全相同.另外,还记载了课分(比较分数的大小)、平分(求分数的平均值)等关于分数的知识,是世界上最早的系统表述分数的著作.
分数运算,大约15世纪才在欧洲流行.欧洲人普遍认为,这种算法起源于印度.实际上,印度到7世纪婆罗门笈多的著作中才开始出现分数的运算法则,即使与刘徽的时代相比,印度也要比我国迟400年左右.
2.中国最早的约分
《九章算术》中的算法是在假设读者已具备了正整数四则运算方法的基础上展开的.《方田》一章中讲述了分数运算,“约分术”是第一个算法,其述文是:
“可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”
意思是:分母、分子若都是偶数,先同被2除;若不都是偶数,则用“更相减损术”求其“等数”(即最大公约数).再用最大公约数去同除分母与分子.
所谓“更相减损”,就是辗转相减.例如,求91与49的“等数”方法是:
于是有=.
上述求等数的更相减损法,即从多的一边筹码数中将另一边较少的筹码数减去,如此反复进行,直到两边所剩数相等.这也是“等数”名称的由来.
65
如果我们定义f(x)=,如f(2)==,f==.根据定义请你计算下面式子的值:
f(2014)+f(2013)+…+f(1)+f(0)+f(1)+…+f+f.
解:依题意设n是整数,
则f(n)=,f==,
所以f(n)+f=+==1,
则f(2014)+f(2013)+…+f(1)+f(0)+f(1)+…+f+f=++…+[f(1)+f(1)]+f(0)
=+0=2014.
问题:若我们定义g(x)=,如g(2)==,g(-2)==-,根据定义请你计算下面式子的值:
g(2014)+g(2013)+…+g(2)+g(1)+g(-1)+g(-2)+…+g(-2013)+g(-2014).
〔答案〕 0
(2014·河北中考)化简:-等于 ( )
A.0 B.1
C.x D.
〔解析〕 -===x.故选C.
(2014·遵义中考)计算:+的结果是 .
〔解析〕 原式变形后利用同分母的分式减法法则即可得到结果.+=-==-1.故填-1.
第课时
1.会找最简公分母,能进行分式的通分.
2.理解并掌握异分母的分式加减法法则.
经历对异分母分式的加减运算的探讨过程,提高学生的分式运算能力.
培养学生在学习中将未知问题转化为已知问题的能力和意识,进一步通过实例,培养学生的符号感和应用数学的意识.
【重点】 理解并掌握异分母的分式加减法法则.
【难点】 找到最简公分母,能进行分式的通分.
【教师准备】 巩固上节的知识点.
65
【学生准备】 复习同分母的分式加减法法则.
导入一:
[过渡语] 同学们,上节课我们学习了同分母的分式加减法法则,利用法则我们能进行同分母分式的加减运算,下面我们一起复习一下.
复习提问:
问题1:同分母的分式是怎样进行加减运算的?
问题2:异分母的分数又是如何进行加减运算的?
问题3:计算+.
[设计意图] 由复习旧知识引入新知识,过渡自然,易于接受.
导入二:
计算:-.
【问题】 该计算属于同分母的分式相减吗?如果不是,那么如何化为同分母的分式?
【师生活动】 由分式的基本性质,把化为,这样就变成了同分母的分式相减,我们就会做了.
【学生活动】 类比学过的异分母分数的加减法法则,猜测异分母分式的加减法法则.
[设计意图] 由复习同分母的分式加减法法则和分式的基本性质引入新知识,使学生便于理解和掌握.
一、通分
思路一
【议一议】 小明认为,只要把异分母的分式化成同分母的分式,异分母分式的加减运算就变成了同分母分式的加减运算.小亮同意小明的这种看法,但他俩的具体做法不同:
小明:+=+=+==.
小亮:+=+=+=.
你对这两种做法有何评论?与同伴交流.
〔解析〕 他们的共同之处是都根据分式的基本性质将异分母分式的加法变成同分母分式的加法;不同之处是选取的公分母有所不同,一个是4a2,另一个是4a,后者比前者简单.
[设计意图] 这里的小明,小亮两人的做法很有代表性,也是学生在化异分母的分式为同分母的分式的过程中经常出现的情况,这就很自然提到通分的概念,引导学生类比最小公倍数确定最简公分母.当然,从最后结果来说,都是对的,这就要求教师耐心引导.
(补充例题)通分.
(1),; (2),;
(3),.
〔解析〕 分式的通分,即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母(叫做最简公分母).例如第(1)小题中的两个分式和,它们的最简公分母是a2b2.
解:(1)与的最简公分母为a2b2,所以==,==.
(2)与的最简公分母为(x-y)(x+y),即x2-y2,所以==,==.
(3)因为x2-y2=(x+y)(x-y),x2+xy=x(x+y),所以与的最简公分母为x(x+y)·(x-y),因此=;=.
65
[老师点评] 异分母的分式加减法法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
用式子表示为:±=±=.
[知识拓展] 确定最简公分母的一般步骤:
(1)找系数:如果各分母的系数都是整数,那么取它们的最小公倍数.
(2)找字母:各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取.
(3)找指数:取各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的.
这样取出的因式的积,就是最简公分母.
思路二
回顾一下,我们学习异分母的分数加减法时,是如何进行的呢? 首先要通分变成同分母的分数,然后进行计算.类似于异分母的分数加减法法则,我们可以根据分式的基本性质,对异分母的分式进行通分,变为同分母的分式相加减.
[设计意图] 利用类比的方式,学习新的知识点.过渡自然,易于学生接受.
二、例题讲解
(教材例3)计算:
(1)+; (2)-; (3)-.
解:(1)+ =+ == =.
(2)- =- ==.
(3)- =-= = =.
[设计意图] 不同梯度的三道题,呈现异分母的分式加减法的三种形式,让学生体会法则的运用.要因形式而变,且万变不离其宗——异分母的分式加减法法则.
[方法技巧] 在化成同分母的分式加减法的过程中,学生可能会出现一些麻烦,这要求我们根据具体情况加以引导,同时还要在(3)题中渗透分母是多项式且可以进行因式分解的,应先分解因式,再通分.对于通分后的分子是多项式的也要先添括号,再进行运算.
[过渡语] 刚才我们只是单纯的计算演练,下面看看我们能不能通过计算解决实际问题?
(教材例4)小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km,其中小丽走的是平路,骑车速度是2v km/h.小刚需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路,在上坡路上的骑车速度为v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h.那么
(1)小刚从家到学校需要多长时间?
(2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少?少用多长时间?
〔解析〕 这是一道实际问题,不仅要求学生用分式来表示,还要运用分式的加减运算来解决问题,让学生经历了从实际问题建立分式模型的过程,关注学生对数学建模能力的培养,问题(2)涉及比较分式大小的问题,可以引导学生类比分数的大小比较进行解决.
解:(1)小刚从家到学校需要+==(h).
(2)小丽从家到学校需要 h.
因为>,所以小丽在路上花费时间少.
小丽比小刚在路上花费时间少-==(h).
[设计意图] 通过这个实例,提高学生运用分式表达数量之间的关系,运用分式的加减运算解决实际问题的能力,增强学生应用数学解决实际问题的意识.讲解这个题目时,可以采取学生板演,大家讨论、交流的形式,这样老师能更好地发现学生在用知识时真正的“症结”所在,有助于教学的针对性.同时应该关注学生的书写是否规范.
[知识拓展] 异分母的分式加减法的步骤:
(1)通分,将异分母的分式化成同分母的分式;
(2)写成“分母不变,分子相加减”的形式;
(3)分子去括号,合并同类项;
(4)分子、分母同时约分,将结果化成最简分式或整式.
65
1.异分母的分式加减法法则.
2.通分的关键就是找最简公分母,对于分母是多项式且能够进行因式分解的,要先分解,再找最简公分母.
3.通分前分子是单项式的,通分后就可能变成多项式,运算时记得添括号.
4.运算结果要约分,有一些运算律仍然适用.
1.计算+的结果是 ( )
A. B.
C. D.
解析:+=+==.故选C.
2.计算-的结果是 ( )
A.- B.
C.- D.
解析:-=--===.故选D.
3.计算:
(1)+; (2)+; (3)--.
解:(1)+=+=.
(2)+=-===.
(3)--=--===-.
4.(2015·泸州中考)化简:÷.
解:原式=÷=·=.
5.计算:+-.
解:原式=++===1.
第2课时
异分母的分式加减法法则:
用式子表示为:±=±=.
一、通分
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第121页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第121页习题5.5的1,2,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列计算正确的是 ( )
65
A.+= B.+=
C.-= D.+=0
2.计算+-得 ( )
A.- B.
C.-2 D.
3.计算:
(1)+= ;
(2)+= .
4.计算:
(1)+; (2)+.
【能力提升】
5.已知x≠0,则++等于 ( )
A. B. C. D.
6.(2015·宜昌中考)化简:+.
7.计算:-.
8.计算:+-.
9.计算:÷.
【拓展探究】
10.(2015·台州中考)先化简,再求值:-,其中a=-1.
11.已知实数a,b满足ab=1,求下列分式的值.
(1)+;
(2)+.
【答案与解析】
1.D(解析:A.+=+==.B.+=+=.C.-==-.D.+=-=0.故选D.)
2.D(解析:+-=++==.故选D.)
3.(1)1 (2)(解析:(1)+==1.(2)+=+==.)
4.解:(1)+=+===. (2)+=+===.
5.D(解析:++=++=.故选D.)
6.解:+=+=+==1.
7.解:原式=-===.
8.解:原式=+-====-.
9.解:原式=÷=×=×=.
10.解:原式==.当a=-1时,===.
11.解:(1)原式=+=+=1. (2)原式=+=+=1.
例题和习题采取梯度设置,有助于学生循序渐进地获得知识,对知识掌握得更容易且更牢靠,教学效果很好.
65
增加讨论,能让学生更明确其算理所在,容易接受.通过演练,老师能发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误,有助于及时纠正,应该多采取这种方式.
实际问题的解决在于对数学模型的理解,对字母表示数的理解,可以在平时教学中不时渗透,增强学生应用数学的意识,使数学思想得到提升.
随堂练习(教材第121页)
1.解:(1)=,=. (2)=,-=. (3)=,=. (4)=,=-=-.
2.解:(1). (2)或.
习题5.5(教材第121页)
1.解:(1). (2). (3). (4)或.
2.解:(1)-. (2)原式=+=.
3.解:原式=·=2x+8或者原式=·-·=2x+8.
4.解:(1)输出的答案都为1. (2)-=1.
5.解:-=(元).
怎样确定最简公分母
我们在进行异分母的分式加减运算时,先找到几个异分母的最简公分母,然后进行通分,再进行计算.如何确定最简公分母呢?
1.算式中只有一项是分式,最简公分母就是这个分式的分母.如算式a-1+的最简公分母就是a+1.
2.算式中有几个分式相加减,若分母互为相反数,则最简公分母可取其中任何一个分母.如算式--的最简公分母可以是a-2b,也可以是2b-a.
3.当算式中分式的几个分母都是单项式时,最简公分母则取系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的乘积.如算式+-的最简公分母就是12abx2y2.
4.当算式中分式的几个分母都是多项式时,要先把所有分母进行因式分解,最简公分母则是每个因式的最高次幂的乘积.如算式+的最简公分母是4(x+y)(x-y)2.
5.当算式中分式的分子与分母都有公因式时,可以先把这个分式约分,再根据情况确定最简公分母.如计算-时,如果直接通分,则显得繁琐;若把的分子、分母分别分解因式得,可化简为.可见,最简公分母是x-2.
甲、乙两人一个月里两次同时到一家粮油商店去买大米,两次大米的价格有变化,其中第一次的单价为x元,第二次的单价为y元(x≠y).他们两人的购买方式不同:
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甲每次总是买相同质量的大米,乙每次只拿出相同数量的钱来买大米.两种购买方式,哪一种更合算?
解:设甲每次买a千克大米,乙每次拿出b元,由题意,得甲两次购买大米的平均单价为=(元),乙两次购买大米的平均单价为=(元).
甲、乙两次购买大米平均单价的差是-=-=.
因为x,y是正数,所以当x≠y时,是正数.所以乙的购买方式更合算.
解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如,原问题是“已知长方形的两边长分别为3和4,求长方形的周长”,求出周长等于14后,它的一个“逆向”问题可以是“已知长方形的周长为14,且一边长为3,求另一边的长”;也可以是“已知长方形的周长为14,求长方形面积的最大值”等.
(1)设A=-,B=,求A与B的积;
(2)提出(1)的一个“逆向”问题,并解答这个问题.
解:(1)A×B=·=2x+8.
(2)已知A×B=2x+8,A=-,求B的值.
(2x+8)÷=(2x+8)×=.(答案不唯一)
第课时
1.会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算.
2.提高学生对代数式化简变形的能力.
3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.
会运用分式建立数学模型,从而解决实际问题,增强学生应用数学的意识.
培养学生在学习中将未知问题转化为已知问题的能力和意识,进一步通过实例,增强学生的符号感和应用数学的意识.
【重点】 分式的混合运算及较复杂的分式化简、求值.
【难点】 运用分式建立数学模型,从而解决实际问题.
【教师准备】 巩固复习分式加减法的习题.
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【学生准备】 复习分式的加减法法则.
导入一:
【问题】 同分母的分式是怎样进行加减运算的?异分母的分式呢?通过下面的“练一练”思考.
【练一练】
(1)+; (2)-; (3)-.
【参考答案】 (1)+=+=.
(2)-=-==.
(3)-=-====.
[设计意图] 通过回忆同分母的分式、异分母的分式加减法法则,来加深学生对所学知识的认识,也为这节课打好理论基础.同时又通过练一练的三道题,检查学生对法则的运用情况,加强对法则的理解与应用,为本节课的学习扫平障碍.
导入二:
预习完成:
1.分数混合运算的运算顺序是 .
2.大胆猜一猜:分数的混合运算与分式的混合运算的运算顺序 (填“是或不是”)相同的.
3.提醒:分式混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从 到 的方向,先 ,再 .有括号要按先 ,再 ,最后 的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行 ,注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时,要把“-”提到分式本身的前面.
检查后,教师强调说明:分式的加、减、乘、除混合运算注意以下几点:
(1)一般按分式的运算法则进行计算,但恰当地使用运算律会使运算简便;
(2)注意分子、分母可以进行因式分解的,要先分解因式,避免约分或通分时运算繁琐;
(3)注意“添括号”或“去括号”有时要变号;
(4)结果要化为最简分式.
[设计意图] 通过类比分数的混合运算,引出分式的混合运算,使学生自然过渡到新知识的学习中.
[过渡语] 要真正理解分式混合运算的法则,不能只是纸上谈兵,我们实际演练一下吧.
一、例题讲解
(教材例5)计算:
(1)+; (2)-x+1; (3)+-.
〔解析〕 这三道题涵盖了分母是多项式的要先分解因式,再通分.这是本节课所要达到的能力目标之一,同时又能巩固学生对异分母的分式加减运算的能力,应该认真讲解.
解:(1)+=+=+==.
(2)-x+1=-(x-1)=-==.
(3)+-=+-==.
[设计意图] 讲解时应该侧重于培养学生有先分解因式再找公分母的意识,注意通分后分子的变化,再次提醒学生要添加括号.第(2)
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小题讲解时应该注重对整体思想方法的引导,而不是强硬地灌输,因为逐个通分一样可以解决,可以选择在讲解后再让学生自己试一试,更能体会整体思想带来的效果,或许会有更好的教学效果.
(教材例6)已知=2,求--的值.
〔解析〕 这道例题从一个新的角度来提升分式加减法的运用——求值,也是我们分式运算变形最终的一个落脚点——分式求值,而此类题型在七年级时学生就训练了很多,一般都是直接给出x,y的值,这个例题又从新的角度考查,使学生对代数式的变形能力明显提高.
解:--==.
因为=2,即x=2y,
所以,原式===.
与同伴交流你有几种解法?.
[设计意图] 本题关键是给学生指明两种变形途径解决问题:(1)变已知,即教材中提到的由=2,得x=2y,利用消元法的思想去解决;(2)变所求,即将要求的式子向已知的形式变形.讲解时老师应该点明这两种主导思想且让学生动手练习第二种途径.
二、做一做
根据规划设计,某工程队准备修建一条长1120 m的盲道.由于采用新的施工方式,实际每天修建盲道的长度比原计划增加10 m,从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道x m,那么
(1)原计划修建这条盲道需要多少天?实际修建这条盲道用了多少天?
(2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天?
〔解析〕 本题从生活实际出发,要求学生会用所学习的知识建立数学模型,并解决实际问题.大多数学生对第一问感觉简单,但在第二问时,有些学生弄不清哪个数减哪个数.关键是没把握谁大谁小,总结时可点明:在分子相同的情况下,且都是正数,就看分母,分母越大,分式的值越小;反之,分母越小,分式的值越大.如>(x>0).因为缩短的天数一定是正数,所以一定用大数减小数.明白这一点对后面的分式方程的学习有极大的帮助.
解:(1)原计划修建这条盲道需要天,实际修建这条盲道用了天.
(2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了天.
[知识拓展] 1.分式混合运算的技巧
例1 化简·.
〔解析〕 如果直接把括号里面的两个分式进行通分,则显得有点繁琐,如果先把的分子进行因式分解,再与括号里的每一项相乘,则会简便很多.
解:·
=·
=·-·
=2(x+3)-(x-3)
=2x+6-x+3=x+9.
2.运用整体思想进行计算
例2 计算-.
〔解析〕 若把括号内的a2 与b2作为两项处理,则显得比较繁琐,而把-a2+b2作为一个整体进行处理,则要容易得多.
解:-
=-
=-
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=-·+·(a-b)(a+b)
=-+(a+b)=a+b.
1.异分母的分式加减法法则及通分的注意事项.
2.分式的化简、求值及变形.
3.在应用题中能正确把握分式所表示的实际意义,将更有助于解题.
1.化简:÷的结果是 ( )
A. B.x-1 C. D.
解析:÷=÷=×=x-1.故选B.
2.化简:÷= .
解析:÷=÷=1.故填1.
3.化简:·= .
解析:·=·=-2.故填-2.
4.(2015·株洲中考)先化简,再求值:·,其中x=4.
解:原式=·=x+2.
当x=4时,
原式=x+2=6.
5.计算:(1)÷;
(2)1-÷.
解:(1)÷=÷=÷=×=.
(2)1-÷=1-×=-==.
第3课时
一、例题讲解
二、做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第123页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第124页习题5.6的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简-的结果是 ( )
A.a2-b2 B.a+b C.a-b D.1
2.若a-b=2ab,则-的值为 ( )
A. B.- C.-2 D.2
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3.已知x≠0,则++等于 ( )
A. B. C. D.
4.(2014·天津中考)若a=,则+的值为 .
5.(2014·梧州中考)计算:-= .
6.(2014·随州中考)若ab=-1,a+b=2,则+= .
7.计算:++.
【能力提升】
8.(2015·莱芜中考)先化简,再求值:÷,其中x=-4+.
9.化简:(1)-·;
(2)÷-.
10.已知实数a满足a2+4a-8=0,求-·的值.
【拓展探究】
11.(2015·苏州中考)先化简,再求值:÷,其中x=-1.
12.甲、乙两工程队分别承担一条2 km公路的维修工作,甲队有一半时间每天维修公路x km,另一半时间每天维修公路y km.乙队维修前1 km公路时每天维修x km,维修后1 km公路时,每天维修y km.(x≠y)
(1)求甲、乙两队完成任务需要的时间;(用含x,y的代数式表示)
(2)甲、乙两队哪队先完成任务?
13.(2015·资阳中考)先化简,再求值:÷,其中x满足2x-6=0.
【答案与解析】
1.B(解析:-===a+b.故选B.)
2.C(解析:-=-=-,把a-b=2ab代入,原式=-=-2.故选C.)
3.D(解析:++=++=.故选D.)
4.(解析:+==,把a=代入,原式=.故填.)
5.0(解析:-=-=0.故填0.)
6.-6(解析:+=+==,把ab=-1,a+b=2代入,原式==-6.故填-6.)
7.解:原式=+-====.
8.解:原式=÷=·=·=-x-4.当x=-4+时,原式=-(-4+)-4=4--4=-.
9.解:(1)-·=-·=-+=1. (2)÷-=·-=-==1.
10.解:原式==,由a2+4a-8=0,得a2+4a=8,故原式=.
11.解:原式=÷=×=,当x=-1时,原式===.
12.解:(1)甲队完成任务需要的时间为2÷=(天).乙队完成任务需要的时间为+=(天).所以甲、乙两队完成任务需要的时间分别为天,天. (2)-==.∵x≠y,x>0,y>0,∴(x-y)2>0,xy(x+y)>0,∴-(x-y)2-1且m≠1 D.m≥-1且m≠1
5.若关于x的方程+=无解,求k的值.
【拓展探究】
6.已知方程x+=2+的解是x1=2,x2=;x+=3+的解是x1=3,x2=;x+=4+的解是x1=4,x2=……
(1)写出下面两个方程的解:
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①x+=10+, ;
②x+=a+, .
(2)试写出方程x+=a+的解.
7.(2015·嘉兴中考)小明解方程-=1的过程如图.请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.
【答案与解析】
1.C(解析:增根是使原分式方程的分母为零的x的值.)
2.D(解析:方程两边都乘最简公分母x(x+4).)
3.x=解析:方程两边同乘x(x+3),得x+3=5x,解得x=.经检验,x=是原方程的解.故填x=.
4.D(解析:去分母,得m-1=2x-2,解得x=,由题意,得≥0且≠1,解得m≥-1且m≠1,故选D.)
5.解:去分母,得x+2+k(x-2)=3,x=,所以当k=-1时原分式方程无解;当=2时情况不存在,当=-2,即k=-时原分式方程无解.(分式的分母不能为零)
6.解:(1)①x1=10,x2=,②x1=a,x2=. (2)x1=a,x2=-.
7.解:小明的解法有三处错误:步骤①去分母错误;步骤②去括号错误;步骤⑥之前缺少“检验”步骤.正确的解答过程如下:去分母,得1-(x-2)=x,去括号,得1-x+2=x,移项,得-x-x=-1-2,合并同类项,得-2x=-3,两边同除以-2,得x=.经检验,x=是原方程的解,所以原方程的解是x=.
学生已经明确解分式方程时,在方程的两边要同乘最简公分母,将分式方程化为整式方程.
个别学生在解方程时会忽略验根,这时候应该教给学生必要的方法策略.
在教学中,注意引导学生理解化归的思想,即将分式方程转化为整式方程.
随堂练习(教材第128页)
1.提示:(1)x=4. (2)x=1.
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2.提示:x=480.
习题5.8(教材第128页)
1.提示:(1)x=1. (2)x=3. (3)y=3是增根,原方程无解.
2.提示:不对,x=是原方程的增根.
3.解:设原计划每天铺设x m管道,根据题意,得-=30,解得x=20,经检验,x=20是原方程的解,(1+25%)x=25,所以实际每天铺设25 m管道.
4.解:设甲厂产品的合格率为x%,则乙厂产品的合格率为(x-5)%,根据题意得=,解得x=80.经检验,x=80是原方程的解,所以甲厂产品的合格率为80%.
读下列材料:
方程-=-的解为x=1;
方程-=-的解为x=2;
方程-=-的解为x=3;
(1)请你观察上述方程与解的特征,写出能反映上述方程一般规律的方程,并猜想这个方程的解;
(2)利用(1)所得的结论,写出一个解为x=2014的分式方程.
解:(1)-=-.
其解为x=n+2.
(2)n+2=2014,n=2012,其对应方程为-=-.
1.分式方程的增根或无解问题
关于x的方程+=-1无解,求m的值.
〔解析〕 分式方程无解时有两种情况:①所得整式方程的解恰好是原分式方程的增根;②最后化成整式方程是“0·x=非0常数”的形式.
解:原方程去分母,得
3-2x-(2+mx)=-(x-3).
整理,得(m+1)x=-2.
①当x=3时,原方程无解,此时m=-;
②当m=-1时,方程(m+1)x=-2无解,即原方程也无解.
故当m=-或m=-1时,原方程无解.
[解题技巧] 当题目只是说分式方程有增根时,只需对第①种情况进行讨论;当题目说分式方程无解时,则需同时对①②两种情况进行讨论.
2.确定字母系数的取值范围
已知关于x的方程-2=有一个正数解,求m的取值范围.
〔解析〕 先根据解分式方程的步骤求出分式方程的解,并根据x>0且x≠3列出不等式,即可求出m的取值范围.
解:方程两边同乘x-3,得:
x-2(x-3)=m,解得x=6-m.
∵x>0且x≠3,
∴6-m>0且6-m≠3,
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解得m0,x+y-2>0,即x+y>2.
所以商店吃亏.
[方法归纳] 列分式方程解应用题比列一次方程(组)要稍复杂一些.注意恰当选、设未知数,确定主要等量关系,用未知量表示题中相等的数量关系,解方程、检验、解释所获得结果的合理性.
【针对训练4】 八年(1)班的大课间活动丰富多彩,小峰与小月进行跳绳比赛.在相同的时间内,小峰跳了100个,小月跳了110个,如果小月比小峰每分钟多跳20个,那么小月与小峰每分钟各跳多少个?
〔解析〕 先利用等量关系“小月比小峰每分钟多跳20个”,分别用含x的式子表示出小峰与小月每分钟跳的个数,再利用等量关系“小峰跳100个与小月跳110个所用的时间相同”列出方程,并求解.
解:设小峰每分钟跳x个,则小月每分钟跳(x+20)个.
根据题意,得=.
解这个方程,得x=200.
经检验,x=200是原方程的根且符合题意,
所以x+20=220(个).
答:小峰每分钟跳200个,小月每分钟跳220个.
[解题策略] 当题目中的未知数有两个,且等量关系也有两个时,可从中选取一个比较简单的等量关系把这两个未知数联系起来,然后利用另一个等量关系列出方程.
专题五 整体思想
【专题分析】
分式的化简求值中经常运用整体代换法.整体代换是指在解决某些问题时,把一些组合式子看成一个“整体”,并把这个“整体”直接代入另一个式子,从而避免局部运算的麻烦和困难.
先化简,再求值:×÷.其中a满足a2-a=0.
〔解析〕 将所给式子进行化简后,发现有“a2-a”这样一个整体,此时不用求a的值,进行整体代入即可.
解:×÷=××=(a-2)(a+1)=a2-a-2,
所以当a2-a=0时,原式=0-2=-2.
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【针对训练5】 若的值为,则的值为 .
〔解析〕 将2y2+3y和4y2+6y分别看成一个整体来解答.因为=,所以2y2+3y+7=8,故2y2+3y=1,则4y2+6y=2,所以==1.故填1.
[解题策略] 解答此题的关键是将2y2+3y和4y2+6y分别看成一个整体,以简化计算.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列式子是分式的是 ( )
A. B. C.+y D.
2.下列约分正确的是 ( )
A.= B.=-1
C.=0 D.=
3.下列四个分式中,为最简分式的是 ( )
A. B.
C. D.
4.下列各式从左到右的变形正确的是 ( )
A.= B.=
C.-= D.=
5.式子(a-1)0+有意义,则a的取值范围是 ( )
A.a≠1且a≠-1 B.a≠1或a≠-1
C.a=1或-1 D.a≠0且a≠-1
6.分式方程-1=的解是 ( )
A.x=1 B.x=-1+
C.x=2 D.无解
7.若分式方程-=有增根x=-1,则k的值是 ( )
A.-1 B.3 C.6 D.9
8.(2014·毕节中考)若分式的值为零,则x的值为 ( )
A.0 B.1 C.-1 D.±1
9.已知关于x的方程+1=无解,则m的值为 ( )
A.-1或- B.-1 C. 2 D.3
10.“五一”期间,部分同学包租一辆面包车出去旅游,面包车的租价为180元,出发时又增加了两名同学,结果每个同学比原来少分摊了3元车费. 若设原来的学生共有x人,则所列方程为 ( )
A.-=3 B.-=3
C.-=3 D.-=3
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.当x 时,分式有意义.
12.(2014·泰州中考)已知a2+3ab+b2=0(a≠0,b≠0),则代数式+的值等于 .
13.计算÷= .
14.(2014·安徽中考)方程=3的解是x= .
15.(2014·泉州中考)计算+= .
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16.已知的值为整数,则x的整数值为 .
17.(2015·黄冈中考)计算÷的结果是 .
18.已知a2-5a+1=0,则a2+a-2= .
三、解答题(共58分)
19.(16分)(1)化简:(a2+3a)÷;
(2)化简:(a2b+ab)÷;
(3)(2015·恩施中考)先化简,再求值:·-,其中x=2-1;
(4)已知实数a满足a2+2a-8=0,求-·的值.
20.(8分)解分式方程:
(1)-=3;
(2)-=0.
21.(8分)先化简÷,然后从0,1,2中选择一值求原式的值.
22.(8分)(2015·广州中考)已知A=-.
(1)化简A;
(2)当x满足不等式组且x为整数时,求A的值.
23.(8分)课堂上,李老师出了这样一道题:已知=+,求整式A,B.本题是这样思考的:已知是等式,首先对等式的右边进行通分,可得,已知两个分式相等时,若分母相等,则分子也相等,即:3x-4=(A+B)x-(2A+B),利用多项式相等,则对应的系数相等可求得A,B.请你根据上面的思路解决下列问题:
已知=+,求A,B的值.
24.(10分)(2015·咸宁中考节选)在“绿满鄂南”行动中,某社区计划对面积为1800 m2的区域进行绿化.经投标,由甲、乙两个工程队来完成,已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍,并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时,甲队比乙队少用4天.
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积;
(2)设甲工程队施工x天,乙工程队施工y天,刚好完成绿化任务,求y与x的函数解析式.
【答案与解析】
1.B(解析:根据分式的定义.故选B.)
2.D(解析:A.不能约分;B.不能约分;C.等于1;D.可约去(a-b)2.故选D.)
3.C
4.A(解析:由分式的基本性质,分子、分母都乘相同的倍数得到A正确.)
5.A(解析:原式有意义的条件是a-1≠0,a+1≠0.解得a≠1且a≠-1.故选A.)
6.D(解析:去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,解得x=1,经检验,x=1是原分式方程的增根,所以分式方程无解.故选D.)
7.D
8.C(解析:由x2-1=0,得x=±1.当x=1时,x-1=0,故x=1不合题意;当x=-1时,x-1=-2≠0,所以x=-1时分式的值为0.故选C.)
9.A(解析;方程两边同乘x-3,得(1+m)x=-2,当1+m=0时,方程(1+m)x=-2无解,此时m=-1,当1+m≠0时,根据分式方程有增根为x=3.把x=3代入(1+m)x=-2,解得m=-.综上可得m的值为-1或-.故选A.)
10.A
11.≠±2(解析:分式有意义的条件为x2-4≠0.)
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12.-3(解析:∵a2+3ab+b2=0,∴a2+b2=-3ab,∴原式= ==-3.)
13.(解析:原式=·=.)
14.-4(解析:去分母,得4x-2=3x-6,解得x=-4,经检验,x=-4是原分式方程的解.)
15.1(解析:原式==1.)
16.3,2,0
17.(解析:原式=÷=·=.故填.)
18.23(解析:由a2-5a+1=0,得a+a-1=5,则原式=52-2=23.)
19.解:(1)原式=a(a+3)÷=a(a+3)·=a. (2)原式=ab(a+1)·=ab. (3)原式=·-=-=-,当x=2-1时,原式=-=-. (4)原式=.∵a2+2a-8=0,∴a2+2a=8,故原式=.
20.解:(1)x=4. (2)无解.
21.解:原式=.∵x只能取1,∴原式=.
22.解:(1)A=-=-=-=. (2)由x-1≥0,解得x≥1.由x-3
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