第三章 变量之间的关系
1.能发现实际情境中的变量及其相互关系,并确定其中的自变量与因变量.
2.从表格、图象中分析出某些变量之间的关系,并能用自己的语言表达,培养有条理的思考和表达的能力.
3.根据具体问题,选取用表格或关系式来表示某些变量之间的关系,并结合对变量之间关系的分析,尝试对变化趋势进行初步的预测.
4.能从图象中获取变量之间关系的信息,并能用语言进行描述.
1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,进一步培养符号感和抽象思维.
2.经历从图象中分析变量之间关系的过程,体会变量之间的关系,结合具体情境,理解图象上的点表示的意义.
1.能从运动变化的角度解释生活中的数学现象,体验成就感,获得学习的乐趣,发展对数学更高层次的认识.
2.感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的乐趣.
3.体验从运动变化的角度认识数学对象的过程,培养对数学的认识.
本章对于学生来说是一章全新的知识,主要是从数学的角度研究变量和变量之间的关系,将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来.同时,研究现实世界中的变化规律,也使学生从常量的世界进入了变量的世界,开始接触一种新的思维方式.我们知道,函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容.本套教材对函数的学习不是一蹴而就的,而是遵照循序渐进、螺旋上升的原则进行设计.
在七年级上册中,教材已经在代数式求值、探索规律等地方渗透了变化的思想,而本章则是第三学段第一次集中讨论变量之间的关系.本章通过大量学生感兴趣的日常生活或其他学科中的问题(如骆驼的体温、潮汐的涨落),使他们体会变量和变量之间相互依赖的关系,感受数学的应用价值.本章还通过分析用表格、关系式和图象所表示的变量间关系的活动,使学生初步理解并尝试用数学的方法描述变量之间的关系.学生通过本章中对变量间关系的学习,将为以后顺利过渡到函数学习打下基础.
为了发展学生对函数思想的理解,必须使他们对变量间关系的多种表示——表格表示、关系式表示、图象表示有相当丰富的经历.因此教材在第1节中通过探讨小车下滑时间的活动,使学生初步体会变量之间的相依关系,并用表格来表示变量之间的关系.使学生学习如何从表格中获取信息,发展他们通过数据分析进行预测和解决问题的能力.在学生已经学会计算一些图形的面积和体积的基础上,教材在第2节讨论由底边长(或半径、高)的变化引起的面积(或体积)的变化,并由此引出运用关系式表示变量之间的关系.然后运用形象的“机器输入输出图”,渗透自变量和因变量值的对应思想,
49
为以后理解函数的概念做铺垫.“排碳计算公式”内容的设计是为了将生活中变量之间关系的表达转化为数学上的关系式表达.在第3节第1课时中,通过学生所熟悉的气温变化图,引入变量之间关系的第三种表示方法——图象.图象表示因其直观性有着其他表示方式所不能替代的作用,它是将关系式和数据转化为图形形式,是“看见”相应的变化规律的途径之一.因此,本章在第3节第2课时中特别又对图象所表示的变量之间的关系进行了讨论,让学生用语言描述图象所表示的变化过程,加强他们对图象表示的理解,发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力.
概括起来说,第1节是本章的起始课,除给出变量、常量的概念,还给出变量之间关系的第一种表示方式——表格表示法.第2节给出变量之间关系的第二种表示方式——关系式表示法.第3节给出变量之间关系的第三种表示方式——图象表示法,并力图与表格表示法、关系式表示法进行联系,但不要求学生画图象.
【重点】 能根据表格中的数据、关系式中的变量、图象上的点来获取信息,明确自变量、因变量所表示的实际意义.
【难点】 三种表示变量之间关系的方法之间的联系,能从具体问题中获取变量之间的关系.
1.本章主要讨论的是现实世界中大量存在的变量,讨论如何用数学的方法去理解、表示变量之间的关系,并解决一些问题和进行预测.因此在教学中,教师要创设丰富的现实情境使学生体会变量以及变量之间相互依赖的关系,而不是形式地讨论变量的有关概念.教师可以充分利用教科书中提供的问题,也可以创设新的情境,或鼓励学生自己从生活中寻找有关素材供课堂讨论.
2.运用数学的语言、方法、知识去理解、刻画现实世界中的变化规律,是本章学习的主要目标之一.而实现这一目标的重要途径是使学生亲身经历探索现实世界变化规律的过程,在探索活动中理解变量之间的相依关系,并尝试用语言和符号去刻画.例如,在探索小车下滑过程中下滑时间与支撑物高度的关系时,教师应鼓励学生充分地从表格中获取信息,运用自己的语言进行描述,并与同伴进行交流.有条件的地方,教师可以让学生亲自实践这个实验或实践其他可操作性的实验,使他们获得变量之间关系的直观体验,并体会收集数据、整理数据、由数据进行推断的思考方式.
3.注重使学生从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息,并运用语言进行表达.前面已经提到,为了发展学生对变量之间关系的理解,必须使他们对变量之间关系的多种表示——表格表示、关系式表示、图象表示有相当丰富的经历.因此,教科书安排了大量由表格、关系式、图象所表达的变量之间关系的实例.在学生讨论这些例子时,教师要留给他们充分思考的时间,鼓励他们从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息,并运用自己的语言进行表述.当学生运用语言进行表述时,教师不要苛求语言的统一性以及对关系的精确描述,只要学生能大致描述出变量之间的关系即可.
4.在现实情境中评价学生对变量之间关系的理解.在考查学生对变量之间关系的理解时,应关注学生是否能够感受周围世界中的变量,是否能够发现变量之间互相依赖的关系;关注学生是否能从表格和图象中获取信息,并由此进行预测;关注学生能否运用语言、表格、关系式描述一些变量之间的关系等.评价时应提供具体的问题情境,从大量实际问题或学生感兴趣的问题出发.避免形式化地对两个变量之间关系的三种表达形式进行讨论.
5.在本章的学习中,好多信息都是由学生花费了较多的时间从具体问题中抽象出变化规律、理解符号所代表的变化规律等活动中获得的,这些活动对于学生发展符号感具有重要的价值.因此,对上述活动过程教师应给予学生大量支持与鼓励,而不是直接将结论告诉学生.教学时教师应从以下几方面对学生加以关注:从事活动的投入程度;从表格、关系式、图象中获取信息的准确性和广泛性;对具体情境中变量之间关系的敏感性;运用语言描述变量之间关系的合理性等.
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1 用表格表示的变量间关系
1课时
2 用关系式表示的变量间关系
1课时
3 用图象表示的变量间关系
2课时
回顾与思考
1课时
1 用表格表示的变量间关系
1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,获得探索变量之间关系的体验,进一步发展符号感.
2.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量,并能举出反映变量之间关系的例子.
3.能从表格中获得变量之间关系的信息,能用表格表示变量之间的关系,并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测.
经历实验、操作、观察、猜想、交流等获取信息的过程,体会我们生活在一个变化的世界中,进一步理解变量之间的关系,从表格中获取两个变量之间关系的有关信息.
激发学生学习数学的兴趣,认识到现实生活中蕴含着大量两个变量之间关系的有关问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学方法予以解决.
【重点】 通过具体情境理解变量、自变量和因变量的概念,能从表格中发现变量之间的变化关系,并能用自己的语言描述出来.
【难点】 对表格中的数据作出分析和预测,用变量之间变化的思想描述我们所生活的世界中的变化.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P62~63.
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导入一:
前一段时间大萌子和萌爸的三十年照片被晒在网上,这30张照片是一个北京姑娘1岁到30岁和爸爸的合影,从小到大,她的每一步都有爸爸陪伴,每张照片都有那一年的故事,触动心灵!孩子茁壮成长,父母日渐老去.
[处理方式] 通过上面的例子,我们感到:我们生活在一个变化的世界中.从数学的角度研究变化的量,讨论它们之间的关系,将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来,这也是我们第三章将要学习的变量之间的关系.
[设计意图] 通过具体生活的实例激发学生的学习兴趣,在学生熟悉的情境中自然地引入本章的内容,学生感到亲切、贴近生活,乐意去学习探究,又通过具体的情境,让学生对本章学习研究的内容有个大致的了解,目的性较强,直接指向本节课所要学习的内容.
导入二:
猜猜看:他是谁?
[处理方式] 让学生观察交流,感受身边的日常变化.
[设计意图] 通过具体情境激发学生的学习兴趣,让学生观察图片作为课堂教学的引入,通过举例,希望学生体会身边的事物无时无刻不在发生变化,培养学生善于观察的能力,让学生感受事物的变化,进而引向本节课所要学习的内容.
探究活动1 小车下滑实验
思路一
【活动内容1】
直观感知支撑物的高度与小车下滑时间的变化关系.
下面我们来观察一个小车下滑实验:(课件出示)
王波学习小组利用同一块木板,测量小车从不同高度下滑的时间.
【问题】 支撑物的高度不同,小车下滑的时间有怎样的变化?(如上图)
[处理方式] 课件演示小车从不同高度下滑的实验.
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讨论得出:
图(1)小车下滑的时间较长,图(4)小车下滑的时间较短.从图(1)到图(4),随着支撑物的增高,小车下滑的时间逐渐变短.由于木板的长度不变,因此支撑物的高度越高,木板就越陡,小车下滑的时间就越短.
【活动内容2】
数据感知支撑物的高度与小车下滑时间的变化关系.
小组根据实验得出如下数据:
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
根据上表中数据,你能回答下列问题吗?
(1)支撑物高度为70 cm时,小车下滑时间是多少?
(2)如果用h表示支撑物高度,t表示小车下滑时间,随着h逐渐变大,t的变化趋势是什么?
(3)h每增加10 cm,t的变化情况相同吗?
(4)估计当h=110 cm时,t的值是多少?你是怎样估计的?
(5)随着支撑物高度h的变化,还有哪些量发生变化?哪些量始终不发生变化?
[处理方式] 先小组讨论后,汇报交流,师引导学生根据表格中数据进行适当的运算,通过观察分析这些计算结果,得出相应的结论,让学生了解这是利用表格分析变化关系、预测变化趋势的一种常用的方法.得出答案:
(1)支撑物高度为70 cm时,小车下滑时间是1.59 s.从表格中直接可以查出.
(2)t随着h的增大而减少.支撑物的高度越高,下滑的时间就越短.
(3)h每增加10 cm,t的变化情况不相同.通过计算,可得到h每增加10 cm,t的变化量依次减少1.23 s,0.55 s,0.32 s,0.24 s,0.18 s,0.12 s,0.09 s,0.09 s,0.06 s.因此h每增加10 cm,t的变化情况不相同,但是随着h的变化,t的变化量逐渐变小.(将t的变化量展现出来)
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
1.23
0.55
0.32
0.24
0.18
0.12
0.09
0.09
0.06
(4)当h=110 cm时,t的值大约为1.30 s;当h=110 cm时,又比h=100 cm增加10 cm,根据t的变化量的变化趋势可以发现t的减少量要小于0.06 s或等于0.06 s,故可估计t的减少量为0.05 s,因此t的值大约为1.35- 0.05=1.30(s).
(5)随着支撑物高度h的变化,下滑的时间t会发生变化,小车下滑的路程没有发生变化.
思路二
[过渡语] 我们来看一个实验,随着小车的下滑高度的增加,小车下滑的时间有何变化?
【活动内容】
探究小车下滑的时间随高度变化的情况.
[处理方式] 请两名同学到前面来进行实验.其他每组同学记录实验数据.(拿出实验器材:小车、木板、秒表、调节高度的装置,找两名学生到前面来进行实验,说明实验的目的及步骤)根据实验数据师生共同讨论,得出问题答案.
猜想:随着小车的下滑高度的增加,小车下滑的时间逐渐减小.
师:那么事实是不是这样呢?我们就来验证一下,让小车从不同的高度滑下,用秒表记录下每次小车下滑的时间,看看有何规律.把实验数据填入下表:
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
将实验的数据填入表格.
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
师:支撑物高度为70 cm时,小车下滑时间是多少?
49
生:支撑物高度为70 cm时,小车下滑时间为1.59 s.
师:如果用h表示支撑物高度,t表示小车下滑时间,随着h逐渐变大,t的变化趋势是什么?
生:随着h逐渐变大,t逐渐变小.
师:h每增加10 cm,t的变化情况相同吗?为什么?
生:不相同.因为我是通过计算得到的,h每增加10 cm,t的变化量依次减少1.23 s,0.55 s,0.32 s,0.24 s,0.18 s,0.12 s,0.09 s,0.09 s,0.06 s.(如下表:教师此时展示差值表,便于学生分析回答问题)因此h每增加10 cm,t的变化情况是不相同的,但是随着h的变化,t的变化量逐渐变小.
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
1.23
0.55
0.32
0.24
0.18
0.12
0.09
0.09
0.06
师:估计当h=110 cm时,t的值是多少?你是怎样估计的?
生:当h=110 cm时,t的值可能是1.30 s,从表格中可以看出当小车的高度从90 cm上升到100 cm时,时间减少了0.06 s,而且随着高度的增加,时间减少的越来越少,所以当小车的高度从100 cm上升到110 cm时,时间最多减少0.06 s,所以我认为减少0.05 s比较合适,所以我认为h=110 cm时,t的值可能是1.30 s.
师:这位同学回答得很好.我们推测估计时,要根据表中的数据进行分析整理,然后作出合理的回答.(教师可说明答案是1.29 s至1.35 s中的任意一个值)
师:随着支撑物高度h的变化,还有哪些量发生变化?哪些量始终不发生变化?
生:随着支撑物高度h的变化,小车下滑的时间t会发生变化,小车下滑的路程没有发生变化.
[设计意图] 通过小车下滑的实验,让学生参与到收集数据的实验过程中,借助于数据感受具体的变化及其中蕴含的规律;亲身感受随着支撑物高度的增加,小车下滑所用的时间越来越少.体会这一过程中变化的量,为变量、自变量、因变量、常量这些概念的引入打下基础.同时鼓励学生充分进行交流,培养他们从表格中获取信息的能力.
探究活动2 变量、自变量、因变量、常量等概念
[过渡语] 在小车下滑过程中既有不变的量,也有变化的量,而在变化的量中,由于其中一个量变化,一般会造成另外一个量变化,这些量有相应的名称,请同学们看课本63页相关内容,明确各自的名称.
[处理方式] 学生看课本63页相关内容,明确变量、自变量、因变量、常量的意义.理解:①在变化过程中,若有两个变量x和y,其中y随着x的变化而发生变化,我们就把x叫自变量,y叫因变量.始终不变的量叫做常量.②利用在变化过程中,两个变量的因果关系,确定自变量和因变量.③借助表格,可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.④在利用表格表示变量之间的关系时,通常自变量在表格的第一行,而因变量则在第二行.
[设计意图] 为更好地感受变量之间的关系;通过小车下滑实验进一步积累感性认识,进一步体会在具体的情境中,变量之间的依存关系和变化关系,既能激起学生学习的兴趣,又为知识的直接概括积累了材料,在此基础上通过学生看书自学,明确各自意义,再通过回顾前置实验巩固概念,符合学生的认知规律,最后点题,明确表格是表示变量之间关系的一种常用方法.
探究活动3 用表格表示两变量之间关系的应用
[过渡语] 前面我们一起研究了用表格表示两变量之间的关系,你能从变化的事件中找到自变量、因变量吗?
【活动内容】
先独立完成下列问题,然后小组内交流.
1.我国从1949年到2009年的人口统计数据如下(精确到0.01亿):
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口数量
5.
6.
8.
9.
11.07
12.59
13.35
49
/亿
42
72
07
75
(1)上表反映了 和 两个变量之间的关系, 是自变量, 是因变量.
(2)如果用x表示时间,y表示我国人口数量,那么随着x的变化,y的变化趋势是什么?
(3)从1949年起,时间每向后推移10年,我国人口是怎样变化的?
[处理方式] 引导学生观察表格中的数据变化,发现变量的整体变化趋势;利用变量之间的因果关系,区分出自变量和因变量.通过计算人口数量随年份的增加量,根据增加量的变化,得出人口数量随时间的变化关系.
解:(1)时间 人口数量 时间 人口数量
(2)随着x的增加,y也增加.
(3)从1949年起,时间每向后推移10年,我国人口增加1.5亿左右.但最后10年的增加量大约只有0.76亿.(答案合理即可)
2.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间有如下的关系(其中0≤x≤30).
时间x/分钟
2
5
7
10
12
13
14
17
20
接受能力/y
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
(1)表中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)当提出概念所用时间是10分钟时,学生的接受能力是多少?
(3)根据表格中的数据,你认为提出概念所用的时间是多少时,学生的接受能力最强?
[处理方式] 引导学生观察表格中的数据变化,发现变量间的变化关系和变化趋势.
解:(1)提出概念所用的时间和学生的接受能力之间的关系.提出概念所用的时间是自变量,学生的接受能力是因变量.
(2)59.
(3)13分钟.
[设计意图] 利用不同的问题情境,使学生感受到变量之间的依赖关系和变化关系,理解变量、自变量、因变量的概念,能根据表格中的数据,对变量进行分析和预测,达到掌握知识的目的;新颖的问题情境,能够吸引学生积极地参与学习;简单口述,既能训练学生的思维能力和语言表达能力,又可以节省时间,起到提高学习效率的作用.
[知识拓展]
1.在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量.
2.一般地,在一个变化过程中,主动变化的量是自变量,受其他量影响而发生变化的量是因变量.
3.自变量和因变量是相对的,一个量在某一变化过程中是自变量,而在另一变化过程中可能是因变量.
4.常量和变量是相对的,在不同的研究过程中,二者可以相互转化.
5.因变量的数值与自变量的数值必须一一对应.
1.变量、常量、自变量、因变量的定义.
2.借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.
1.下表是丽丽给姥姥打长途电话的几次收费记录:
时间/分
1
2
3
4
5
6
7
8
电话费/元
0.6
1.2
1.8
2.4
3.0
3.6
4.2
4.8
(1)上表反映了 与 之间的变化关系,其中 是自变量, 是因变量;
49
(2)如果用x表示时间,y表示电话费,那么随着x的增加,y的变化趋势是 ;
(3)丽丽打了5分钟电话,应该付 元的电话费;
(4)你能帮助丽丽预测一下,如果打10分钟电话,那么需付 元电话费;
(5)你能知道每打1分钟电话,需要付多少元电话费吗?电话费与打电话的时间有怎样的关系?
解:(1)时间 电话费 时间 电话费 (2)不断增加 (3)3.0 (4)6.0 (5)每分钟0.6元,电话费=0.6×时间.
2.某电影院地面的一部分是扇形,座位按下列方式设置:
排数
1
2
3
4
座位数
60
64
68
72
(1)上述哪些量在变化?自变量和因变量分别是什么?
(2)第5排、第6排各有多少个座位?
(3)第n排有多少个座位?请说明你的理由.
解:(1)排数和座位数在变化,排数是自变量,座位数是因变量.
(2)第5排有76个座位,第6排有80个座位.
(3)第n排有60+4(n- 1)=(4n+56)个座位,每一排比前一排多4个座位.
1 用表格表示的变量间关系
探究活动1 小车下滑实验
探究活动2 变量、自变量、因变量、常量等概念
一、教材作业
【必做题】
教材第63页习题3.1知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第64页习题3.1问题解决第4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里水的温度随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是 ( )
A.太阳光强弱
B.水的温度
C.所晒时间
D.热水器的容积
2.据世界人口组织公布,地球上的人口从1600年到1999年一直呈递增趋势,即随时间的变化,地球上的人口数量在逐渐增加,如果用t表示时间,y表示人口数量,那么 是自变量, 是因变量.
3.某条河受暴雨袭击,某一天此河的水位记录如下表:
时间/时
0
4
8
12
16
20
24
水位/米
2
2.5
3
4
5
6
8
(1)上表反映了 与 之间的关系,其中 是自变量, 是因变量;
(2)12时的水位是 ;
(3) 这个时段水位上升最快.
49
【能力提升】
4.某城市自来水收费实行阶梯水价,收费标准如下表所示,用户5月份交水费45元,则所用水为 方.
月用水量
不超过12方部分
超过12方不超过18方部分
超过18方部分
收费标准/(元/方)
2
2.5
3
5.苹果熟了,小明帮助妈妈到集贸市场去卖刚刚采摘下来的苹果.已知销售数量x与售价y的关系如下:
销售数量x/千克
1
2
3
4
5
售价y/元
2.1
4.2
6.3
8.4
10.5
(1)上表反映了 和 两个变量之间的关系, 是自变量, 是因变量;
(2)根据表格中的数据,售价y是随销售数量x的变化而 的;
(3)估计当x=15时,y的值是 .
【拓展探究】
6.下表是某冰箱厂2015年前半年每个月的产量:
x/月
1
2
3
4
5
6
y/台
10000
10000
12000
13000
14000
18000
(1)根据表格中的数据,你能否根据x的变化,得到y的变化趋势?
(2)根据表格你知道哪几个月的月产量相同?哪个月的月产量最高?
(3)求2015年前半年的平均月产量是多少.
【答案与解析】
1.B(解析:由题意可知,水的温度随着所晒时间的变化而变化,所晒时间是自变量,水的温度是因变量.故选B.)
2.时间(或t) 人口数量(或y)
3.(1)时间 水位 时间 水位 (2)4米 (3)20至24时
4.20(解析:由题意得5月份用水量超过18方,设超过的部分为x方,由题意列方程为12×2+6×2.5+3x=45,解得x=2,所以5月份用水量为20方.)
5.(1)销售数量 售价 销售数量 售价 (2)变化 (3)31.5
6.解:(1)随着月份x的增大,月产量y正在逐渐增加. (2)1月、2月两个月的月产量相同,6月份月产量最高. (3)(10000+10000+12000+13000+14000+18000)÷6≈12833(台).故2015年前半年的平均月产量约为12833台.
用学生比较熟悉而又感兴趣的具体问题情境和实例展开知识的学习和探究,学生能积极、主动地参与知识的学习过程;学生充分地交流讨论,较好地训练了学生的语言表达能力和对知识的理解能力;学生主动参与实验,亲身感受变量之间的变化关系,印象深刻,理解到位;通过口答叙述,小组讨论达成共识,再进行交流展示,既节省了时间,又达到了目标.整体来看,学生积极参与,踊跃发言,对变量、自变量、因变量的理解较好,对表格表示的变量间的关系,有一个比较清楚的了解,对数据的分析和预测比较客观、合理.
49
由于本节知识点较少,也较为简单,在设计教学过程的时候,比较松散,学生训练的题目较少,特别对表格中的数据变化有一定规律的题目训练不够,对数据变化的情况学生叙述不够准确、客观,教师的引导不够到位,学生使用数学语言的能力还要进一步加强.
加强对数学语言训练的力度,结合具体的问题情境训练学生语言表达的准确性和简洁性;设计灵活多样而新颖的题目,加强对学生理解知识能力的训练,同时结合具体题目做好渗透,为下一节的学习做好铺垫;增大课堂容量,采取更加灵活的方式,加大训练的强度,增加训练的效果.
随堂练习(教材第63页)
1.解:如气温随时间的变化,脉搏随运动强度的变化,作物的高度随种植时间的变化等.(答案不唯一)
2.解:(1)氮肥的施用量和土豆产量之间的关系;氮肥的施用量是自变量,土豆产量是因变量. (2)32.29 t,15.18 t. (3)如可以回答氮肥的施用量为336 kg/hm2时比较适宜,因为此时土豆的产量最高;还可以回答氮肥的施用量为259 kg/hm2时比较适宜,因为此时土豆的产量与施用量为336 kg/hm2时差不多,而又可以节约肥料.合理即可. (4)这里主要关注的是对变化过程的大致刻画,答案只要合理即可.
习题3.1(教材第63页)
知识技能
1.解:如下表所示.
时间/年
1600
1830
1930
1960
1974
1987
1999
2011
世界人口/亿
5
10
20
30
40
50
60
70
由表格可以看出世界人口随时间的推移,增长越来越快.
2.解:(1)年龄和体重在发生变化,年龄是自变量,体重是因变量. (2)如下表所示.
年龄
刚出生
6个月
1周岁
2周岁
6周岁
10周岁
体重/kg
3.5
7
10.5
14
21
31.5
(3)刚出生的婴儿体重增长快,以后至10周岁体重也随着年龄的增长而增长,但增长的速度明显放慢.
问题解决
4.解:(1)老花镜的度数越大,镜片与光斑的距离越小. (2)140度~150度(估计的度数接近即可).
5.解:(1)反映了海拔高度与空气含氧量之间的关系.海拔高度是自变量,空气含氧量是因变量. (2)299.3 g/m3,182.08 g/m3. (3)大约为150.66 g/m3(合理即可) .
奥运会的年份与届数如下表所示,表中n的值等于 ( )
年份
1896
1900
1904
…
2012
届数
1
2
3
…
n
A.28 B.29 C.30 D.31
〔解析〕 年份是自变量,届数是因变量,根据数据可得二者的变化规律:第1届相应的举办年份=1896+4×(1- 1)=1892+4×1=1896;第2届相应的举办年份=1896+4×(2- 1)=1892+4×2=1900;第3届相应的举办年份=1896+4×(3- 1)=1892+4×3=1904;…;第n届相应的举办年份=1896+4×(n- 1)=1892+4n.根据规律代入相应的年份即可算出届数.令1892+4n=2012,解得n=30.故选C.
49
[解题策略] 此题主要考查了数字的变化,解题关键是弄清题意,根据题目中给出的规律列出代数式.本题每届举办年份比上一届举办年份多4.
2 用关系式表示的变量间关系
1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体会一个变量对另一个变量的影响,发展符号感.
2.能根据具体情境,用关系式表示某些变量之间的关系.
3.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系.
1.如何将生活中的实际问题转化为数学问题.
2.如何用数学方法解决实际生活中的问题.
培养学生动手的能力,探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力.通过教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法.
【重点】 通过用关系式表示变量之间的关系,体会变量之间的数值对应关系.
【难点】 将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P66~67.
导入一:
【活动内容】
复习用表格表示两个变量之间的关系.
【问题】 随着手机的普及,现代人们的通信越来越便捷.打电话要交话费,下表是某同学家长调取的几次通话时间和相应通话费用:
通话时间/分钟
1
2
3
4
5
6
通话费用/元
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
(1)你能说出表格中的两个变量哪一个是自变量,哪一个是因变量吗?
49
(2)随着通话时间的增加,通话费用是如何变化的?
(3)如果用字母x表示通话时间,用字母y表示通话费用,你能用字母表示它们之间的关系吗?
[处理方式] 通过熟悉的事物让学生回顾上节课所学,理解变量、自变量、因变量、常量等概念;看懂表格,准确得出信息,独立完成解答.(板书课题:2 用关系式表示的变量间关系)
[设计意图] 电话是现代生活中最常见的通信工具,通过这个情境更能够激发学生的学习兴趣,既复习了上节课用表格表示变量间的关系,又引出了关系式的概念并进行了简单的应用,让学生初步经历了用关系式表示变量间的关系,培养学生学习数学、应用数学的意识.
导入二:
夏天到了,小明的妈妈让小明到鞋店去买双凉鞋,小明心想,何不用刻度尺量量自己的脚有多长,再去鞋店?结果小明用刻度尺量得自己的脚长25厘米,就急忙去了鞋店,老板问小明:你穿多大的鞋?小明顺口说:我穿二五的.鞋店老板愕然,对小明说:你怎么穿这么小的码呀!小明说:我来之前,在家刚量完,是25厘米.这么一说,老板恍然大悟,对小明说:我问你穿的“码”数,你告诉我的却是“厘米”数.鞋店老板喜欢和学生经常讨论数学问题,他心想,何不让小明找出“码”数与“厘米”数的关系式.于是,他告诉了小明:你观察下表,如果你能找出“码”数与“厘米”数的关系来,我就送你一双鞋.
厘米
22
22.5
23
23.5
24
24.5
码
34
35
36
37
38
39
问题1
如果设鞋子的“厘米”数为x,“码”数为y,那么自变量和因变量分别是什么?
问题2
当“厘米”数每增加0.5厘米,“码”数怎样变化?
问题3
随意给出一个“厘米”数,如何快速找到所对应的“码”数呢?
[处理方式] 问题1,2由学生口答,问题3由于上学期学习探索规律的时候,探索过这样的问题,引导学生找到厘米x和码y之间的等量关系y=2x- 10.
[设计意图] 通过生活情境激发学生利用数学解决生活问题的欲望,由于上学期学习过探索规律,能理解它们的数量关系,但是从变量的角度来理解,又体现了表示变量间关系的一种方法,使学生又有了新的认识.
[过渡语] 我们能用表格的形式反映出两个变量之间的关系,还能不能用另一种形式表达呢?
探究活动1 变化的三角形
【问题】 三角形ABC底边BC上的高是6 cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时,仔细观察三角形面积的变化.
(1)在三角形ABC变化的过程中,自变量、因变量各是什么?
49
(2)如果三角形的底边长为x(cm),那么三角形的面积y(cm2)可以表示为 ;
(3)当底边长从12 cm变化到3 cm时,三角形的面积从 cm2变化到 cm2;
(4)完成下表.
x/cm
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
y/cm2
[处理方式] 鼓励学生大胆去讨论、思考、尝试,教师及时点拨、评价学生探索的结果,帮助学生认识自我,建立信心.
y=3x表示了三角形底边长x和三角形面积y之间的关系,它是变量y随x变化的关系式.
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法,利用关系式(如y=3x),我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值.
[设计意图] 利用多媒体课件展示三角形的变化,让学生直观地感受两个变量,引导学生对关系式进行猜测、探究,提高学生的兴趣,帮助学生增强信心.利用关系式计算并进行填表,让学生体会关系式的优点:字母的广泛性.感受自变量和因变量的数值对应关系.
探究活动2 表格和关系式对比
思路一
【活动内容】
小组内交流两种表示变量关系的方法的异同.
【归纳总结】
1.y=3x表示了上图中三角形底边长x和面积y之间的关系,它是因变量y随自变量x变化的关系式.
2.关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.
关系式法的优点.
利用表格表示的变量间关系虽能直观地知道因变量和自变量间的对应关系,但是不够全面,不能找出对于任意一个自变量的值所对应的因变量的值.
[处理方式] 教师总结学生的探究成果,给出关系式法的名称,并指出关系式法的优点和利用方法,链接知识点——求代数式的值,从而降低新知识的难度.
思路二
【活动内容】
仔细理解两种表示变量关系的方法,并完成下表.
表格和关系式都可以表示两个变量间的关系,各有优点.具体见表格:
优点
缺点
二者关系
表格
直观反映两个变量部分数值的对应关系及变化趋势
变量的取值个数有限,估计时比较粗略
(1)利用表格可以写出关系式;
(2)
49
利用关系式可以列表格
关系式
准确反映两个变量间的关系;
变量间的对应关系不太直观
已知一个变量的值,可以求出另一变量的值
[处理方式] 加强师生、生生、组内、组间的交流合作.
[设计意图] 通过对比两种方法表示变量间的关系,总结归纳每种方法的优点和缺点,加深了学生对这两种表示变量间关系的方法的理解,对所学内容及时地回顾,有利于知识系统化,发展学生的辩证唯物主义.
探究活动3 关系式表示两变量关系的应用
【做一做】
如图所示,圆锥的高是4 cm,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化.
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?
(参考答案:自变量为圆锥的底面半径,因变量为圆锥的体积)
(2)如果圆锥的底面半径为r(cm),那么圆锥的体积V(cm3)与r的关系为 ;
(3)当底面半径由1 cm变化到10 cm时,圆锥的体积由 cm3变化到 cm3.
[处理方式] 学生分小组进行探究活动,完成三个问题后在小组内进行交流、讨论.教师巡视指导学生解答,及时进行点拨,提示圆锥体积公式,最后公布答案.
[设计意图] 在三角形面积探索的基础上,进行圆锥体积变化的探索,进一步熟悉用关系式表达变量之间的关系.
【议一议】
你知道什么是“低碳生活”吗?“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量,从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式.
(1)用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为 ,其中的字母表示的意义为: ;
(y=0.785x,y表示二氧化碳的排放量(kg),x表示的是耗电量(kW·h))
(2)在上述关系式中,耗电量每增加1 kW·h,二氧化碳排放量增加 ,当耗电量从1 kW·h增加到100 kW·h时,二氧化碳排放量从 增加到 ;
(耗电量每增加1 kW·h,二氧化碳排放量增加0.785 kg,当耗电量从1 kW·h增加到100 kW·h时,二氧化碳排放量从0.785 kg增加到78.5 kg)
49
(3)小明家本月大约用电110 kW·h、天然气20 m3、自来水5 t、耗油75 L,请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.
(提示:根据上面的排碳计算公式,用电排放的二氧化碳数量为0.785×110=86.35(kg);用天然气排放的二氧化碳数量为20×0.19=3.8(kg);用自来水排放的二氧化碳数量为5×0.91=4.55(kg);开私家车耗油排放的二氧化碳数量为75×2.7=202.5(kg).以上各项相加得297.2 kg.即小明家这几项的二氧化碳排放量为297.2 kg)
[处理方式] 学生观察图形中的排碳计算公式,熟悉等量关系和单位,可能对低碳生活有新的认识.
[设计意图] “低碳生活”对于七年级的学生来说还很陌生,通过对“低碳生活”的知识的学习,不仅拓展了学生的知识视野,也发展了学生数学表达的能力,如用字母表示变量,把语言表示转化为关系式等,同时也发展了学生的社会责任感.跟踪练习的设置,不仅是对关系式表示变量间关系的练习,也丰富了学生的知识,更为学生对比表格法和关系式法表示变量间的关系提供了例子.
[知识拓展]
1.关系式是用含自变量的代数式表示因变量的等式.
2.利用关系式表示变量之间的关系,最大的优点在于能比较方便地求出自变量为任意一个值时,相对应的因变量的值.利用表格表示变量之间的关系时,对于表中没有给出的相应值,在需要时往往只能估计,很难达到足够的精确度,使用关系式则没有这样的缺点.
3.利用关系式求因变量的值时,实际上就是求代数式的值.
4.在一些问题中,自变量只能取某个范围内的值.例如,在解决关于三角形面积的问题时,自变量只能为正数.
1.我们一共学习了两种表示变量间的关系的方法:表格和关系式.
2.表格和关系式在表示变量间关系时各有优点和缺点.
3.书写关系式时应注意:
(1)涉及图形的面积或体积时,写关系式是利用面积或体积公式;
(2)关系式一定要将表示因变量的字母单独写在等号的左边,含有自变量的代数式写在等号的右边;
(3)已知一个变量的值求另一个变量的值时,就是代入关系式求值,一定要分清自变量和因变量.
1.从A地向B地拨打国际长途电话,3分钟内(包括3分钟)收费8元,以后每增加1分钟加收2元,当通话时间t≥3分钟时,电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的关系式为 ( )
A.y=8(t- 3)(t≥3) B.y=t+5(t≥3)
C.y=2t+2(t≥3) D.y=2t+8(t≥3)
解析:由题意可知因变量y与自变量t之间的关系式为y=8+2(t- 3),其中t≥3,整理可得y=2t+2(t≥3).故选C.
2.在地球某地,温度T(℃)与高度d(m)的关系可以近似地用T=10- 来表示,根据这个关系式,当d的值分别是0,200,400,600,800,1000时,计算相应的T值.
解:将d=0,200,400,600,800,1000分别代入T=10- ,可得T=10,,,6,,.
3.地表以下岩层的温度y(℃)随着所处深度x(km)的变化而变化,在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y=35x+20来表示,当y=90,125,195,265,370,475时,计算相应的x值.
解:把y=90,125,195,265,370,475分别代入y=35x+20,可得x=2,3,5,7,10,13.
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2 用关系式表示的变量间关系
探究活动1 变化的三角形
探究活动2 表格和关系式对比
探究活动3 关系式表示两变量间关系的应用
一、教材作业
【必做题】
教材第68页习题3.2知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第68页习题3.2数学理解第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,圆柱的底面半径为1 cm,当圆柱的高由小到大变化时,圆柱的体积也发生了变化.
(1)在这个变化过程中,自变量是 ,因变量是 ;
(2)如果圆柱的高为x(cm),那么圆柱的体积V(cm3)与x的关系式为 ;
(3)当圆柱的高由2 cm变化到4 cm时,圆柱的体积由 cm3变化到 cm3;
(4)当圆柱的高每增加1 cm时,它的体积增加 cm3.
2.王刚同学用30元钱买笔记本,没有剩余,写出购买总数a(本)与单价n(元)的关系式.
3.将若干张长为20 cm、宽为10 cm的长方形白纸按下图所示的方法粘起来,黏合部分的宽为2 cm.
(1)求4张白纸黏合后的总长度;
(2)设x张白纸黏合后的总长度为y cm,写出y与x之间的关系式;
(3)当x=20时,求y的值.
【能力提升】
4.下面的表格列出了一个实验的统计数据,表示皮球从高处落下时,弹跳高度b与下降高度d的关系,下面能表示这种关系的式子是 ( )
d
50
80
100
150
b
25
40
50
75
A.b=d2 B.b=2d
C.b= D.b=d+25
5.声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x(℃)之间存在如下关系:y=x+331.
(1)当气温x=15 ℃时,声音的速度y= m/s;
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(2)当气温x=20 ℃时,某人看到烟花燃放5 s后才听到声音响,则此人与燃放的烟花所在地相距 m.
【拓展探究】
6.某移动通信公司开设了两种通信业务,“全球通”:使用时首先缴50元月租费,然后每通话1分钟,付话费0.4元;“动感地带”:不缴月租费,每通话1分钟,付话费0.6元(本题的通话均指市内通话).若一个月通话x分钟,两种方式的费用分别为y1元和y2元.
(1)分别写出y1,y2与x之间的关系式;
(2)一个月内通话多少分钟,两种移动通信费用相同?
(3)某人估计一个月内通话300分钟,应选择哪种移动通信合算些?
【答案与解析】
1.(1)圆柱的高 圆柱的体积 (2)V=πx (3)2π 4π (4)π
2.解:关系式为a=.
3.解:(1)20+18×3=74(cm). (2)y=18x+2. (3)当x=20时,y=362.
4.C(解析:由题目中自变量与因变量的一一对应关系可以得出b=.)
5.(1)340 (2)1715
6.解:(1)y1=50+0.4x,y2=0.6x. (2)令y1=y2,即50+0.4x=0.6x,解得x=250,当每个月通话250分钟时,两种移动通信费用相同. (3)当x=300时,y1=170,y2=180,y1
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