第五章 生活中的轴对称
1.在丰富的现实情境中,经历观察、折叠、剪纸、图形欣赏与设计等数学教学活动过程,进一步积累数学活动经验和发展空间观念.
2.通过丰富的实例认识轴对称,探索它的基本性质,理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质.
3.探索并了解基本图形(线段、角、等腰三角形)的轴对称性及相关性质.
4.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形,探索简单图形之间的轴对称关系,并能指出对称轴.
5.欣赏轴对称图形,进一步体会轴对称在现实生活中的广泛应用.
1.让学生在丰富的现实情境中,经历观察、折叠、剪纸、欣赏与设计等数学活动过程,进一步发展空间观念,丰富学生对轴对称的直观体验和理解,发展学生有条理的思考和语言表达能力.
2.在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步发展初步的演绎推理能力和有条理表达的能力.
1.在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力,感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识.让学生进一步了解轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值,增进学生学习数学的兴趣.
2.在探索轴对称性质的一系列教学活动中,培养学生合作意识、团队意识,增强学生间沟通交流能力,提高学生面对困难时勇于解决问题的信心和勇气.
3.通过欣赏轴对称图形的设计过程,提高学生审美意识的发展.
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象,欣赏轴对称图形、学习轴对称的基本性质、利用轴对称进行简单的图案设计,将使我们进一步丰富自己的图形认识和积累活动经验、体会数学与现实世界的密切联系.同时,轴对称也是探索一些图形的性质,认识、描述图形形状和位置关系的重要手段之一.因此本章的内容是十分重要的.在后面的学习中,还将涉及用坐标的方法对轴对称进行刻画,这将进一步深化我们对轴对称的认识.
本章内容分为4个部分:轴对称现象、探索轴对称的性质、简单的轴对称图形和利用轴对称进行设计.轴对称现象,立足于学生已有的生活经验和初步的数学活动经历,从观察现实生活中的轴对称现象以及简单的轴对称图形开始,力图使学生能够从广阔的视角直观认识并描述轴对称的概念.探索轴对称的性质,通过学生活动,发现和概括轴对称的基本性质,并利用轴对称画简单图形.在探索轴对称性质后,通过逐步分析等腰三角形、线段、角等简单的轴对称图形,引导学生进一步了解和认识轴对称图形及轴对称图形的性质.将简单轴对称图形的学习顺序设计为等腰三角形、线段、角,是按照学生的直观认知规律安排的,
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利于学生接受.简单的图案设计活动,使学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵,发展应用意识和创新能力.
本章所涉及的学习素材首先包含大量的与轴对称有关的现象和实际问题,其次包括常见的简单轴对称图形,如等腰三角形、线段、角等.本章的每节内容都为学生提供了生动有趣的现实情境,并通过观察、折纸、扎眼、简单图案设计、艺术作品欣赏等活动,进一步丰富学生轴对称的直观体验和理解.
通过本章的学习,进一步丰富学生的数学活动经验和体验,同时,在学习中有意识地培养积极的情感态度,促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展.
【重点】 轴对称性质在简单几何图形(等腰三角形、线段、角)中的应用.
【难点】 利用等腰三角形、线段、角的轴对称性解决实际问题并能严格说理.
1.注意从生活实际中选取材料.人们生活在三维空间,丰富多彩的图形世界为“空间与图形”的学习提供了大量真实的素材,本章的大多知识都有丰富的实际生活背景,在现实生活中有着广泛的应用.在教学中,既要充分利用教科书中提供的各种实例,又要尽力挖掘有关的现实素材.所挖掘的素材不仅应包括人们所熟悉的标准的几何图形,更应当包括现实世界中存在的丰富多彩的二、三维的实物和图形(如树叶、建筑物、风景图片等),使学生不仅能从这些素材中获取数学上的认识,而且能从美学的角度欣赏现实世界中与轴对称有关的图形,从中发现轴对称的特性.
2.加强实验操作教学.本章中的许多知识,可通过数学实验直接获得,学生在动手实验的基础上,既能从中发现数学原理,还能体验到问题的结论和方法之间的精彩过程,以已有的知识和经验为基础进行积极“和谐”的建构过程,从而把新的学习内容正确地纳入到已有的认知结构中去,从而让学生经历数学结论的探索过程.
3.使用合作交流的学习方式.改变学习方式,引导学生进行合作交流,对于培养学生的综合素质至关重要.如探索等腰三角形的轴对称性时,先由学生自己思考、猜想,然后相互交流自己的看法,师生共同总结出等腰三角形的性质——等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线.这个性质包含两部分,前面的部分说明等腰三角形是轴对称图形,后面的部分是说明对称轴的位置是怎样形成的,这一点同学们往往不够重视,从而出现这样或那样的错误.一个图形的对称轴是一条直线,既然等腰三角形是轴对称图形,就需要进一步明确对称轴的位置.这条直线就是等腰三角形底边的垂直平分线.一定要向同学们交代清楚等腰三角形的对称轴是一条直线,而不是线段,这样学生就不会误认为等腰三角形的对称轴是底边上的中线了.这些结论的获得过程都可以采用合作交流的学习方式,可在学生充分思考、猜想、讨论的基础上,通过全班交流加以肯定.
4.提供个性化的学习空间,满足学生多样化的学习要求.在本章中有许多内容的学习需要学生的个性化活动与个人的空间想象,如对轴对称现象的欣赏、轴对称性质的发现和理解、图案的设计、等腰三角形中相等线段的发现等.在引导学生学习这些内容时,教师应该有意识地满足学生多样化的学习需求,真正为学生提供个性化的学习时间与空间.如引导学生设计轴对称徽标图案时,学生可能会有不同的想象,他们可能选取折叠、剪纸、画图等不同的操作方法来完成自己的创意,教师应鼓励学生大胆想象、尝试.不能用唯一的标准判断全体学生的成果,只要学生的设计符合要求,就应给予肯定.要把关注点放在活动中的教学层面上,主要观察学生是否真正理解了轴对称变换的特点.
5.加强学生推理能力的培养,推理能力主要表现在三个方面:(1)能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例;(2)能清晰、有条理地表达自己的思考过程,做到言之有理、落笔有据;(3)在与他人交流的过程中,能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论与质疑.教材中的几何内容是培养学生推理论证能力的主要素材.关于严格的证明问题,教材在八年级才学习,但从本章开始就应加强对学生推理能力的训练.
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6.注意现代信息技术的应用,现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学及数学学习等产生深刻的影响,信息技术工具的使用能为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具,重视现代信息技术的应用是符合现代课改的理念和社会发展需要的.在本章,信息技术工具是大有用武之地的,许多计算机软件都有进行轴对称变换的功能,利用这个功能,可以方便地作出轴对称图形,并研究它的性质.还可以利用计算机软件探索轴对称的性质,探索线段的垂直平分线的性质,进行图案设计等.
1 轴对称现象
1课时
2 探索轴对称的性质
1课时
3 简单的轴对称图形
3课时
4 利用轴对称进行设计
1课时
回顾与思考
1课时
1 轴对称现象
1.经历欣赏、折叠等活动,初步认识轴对称,能识别简单的轴对称图形及其对称轴.
2.掌握轴对称图形和两个图形成轴对称的区别.
1.经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征的过程,进一步积累数学活动经验和发展学生的空间观念.
2.通过观察、折叠、分析等活动,认识轴对称图形的共同特征,养成探索知识的能力与分析问题、思考问题的习惯.
1.欣赏现实生活中的轴对称图形,体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值.
2.初步获得动手的乐趣和成就感,欣赏并体会对称美,感受轴对称的价值,培养学生热爱生活的情感.
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【重点】 通过对现实生活实例和典型图案的观察与分析,认识轴对称和轴对称图形,会找出简单的轴对称图形的对称轴.
【难点】 理解轴对称图形和轴对称的联系与区别.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 剪刀、白纸、收集各类有关对称的图案和各种现实生活中有关对称的实例.
导入一:
【活动内容】 (出示投影片)
同学们请观察下面的几组图片,说说它们有什么共同特点.
[处理方式] 通过收集整理与对称相关的图片和实物,使同学们先对对称有一个整体的感性认识,并且初步了解对称在生活中大量存在,理解学习对称的必要性,观察图形寻找特点.
[设计意图] 用投影仪演示,展示生活中的一些美丽的图案,充分体现了“轴对称”是生活中常见的现象,以及轴对称设计所带来的合理、和谐及对称美.使学生能够形象直观地感受图形的对称,感受数学与生活的密切联系,体会数学来源于生活服务于生活,极大地激发同学们学习数学的兴趣和热情.
导入二:
【活动内容】
请同学们回答下列问题.
【问题】 这是什么旗帜?说说这个旗帜的图案具有什么特征.
答案提示:澳门区旗,它的左右两部分是完全一样的,它是轴对称图形.
[处理方式] 问题让学生口答完成;经过学生讨论后得出轴对称图形之后,告诉学生,本节课将要走进轴对称的世界一探究竟,激发学生的学习热情,从而引入新课.
[设计意图] 本节课一开始,根据澳门旗帜中的图案得出是轴对称的图形,既激发了学生的探索欲望和学习的热情,又引发了学生的爱国热情.
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[过渡语] 这种现象离我们并不遥远,我们生活在一个充满对称的世界之中,对称给人以平衡、安静与和谐的美感.
思路一
1.直观感知——欣赏美.
【问题】 想一想:这些图片有什么共同的特征?
[处理方式] 分别从自然景观、中外建筑及路标图案中出示大量生活中的图片供学生欣赏,而且在欣赏前,提出:“想一想:这些图片有什么共同的特征吗?”教师在这一过程中关注学生是否能够认真观看图片,并能够进行积极地思考以感知轴对称现象的特征.
[设计意图] 让学生从自然界的立体建筑过渡到平面图形,使学生充分感知现实生活中的轴对称现象,体会数学与现实生活的密切联系.极大地激发同学们学习数学的兴趣和热情.
2.形成概念——抽象美.
观察了美丽的图片,你能动手作出这样的图案吗?
活动1:撕一撕.
出示长方形纸片,请同学们来思考:
问题1
用这个长方形纸片你怎么玩呢?
问题2
将一张纸对折,动手试试你能撕出什么美丽的图形?
问题3
看看你手中的这个图形是否也具有上述特征呢?你是怎样知道的呢?
[处理方式] 教师先提出:“你会玩吗?”调动学生的积极性,引起学生动手的要求,对于问题1学生可能会说折飞机、叠小动物,剪纸等,教师都给予充分的肯定,然后提出问题2;对于问题2,学生动手操作,教师选几份好看的图案贴在黑板上,引导学生分析问题3.通过问题3让学生分析对折能重合等.引出轴对称图形的定义.教师关注学生能否进行积极的思考,并尝试通过折叠来进行说明并给予鼓励.
[设计意图] 结合学生好玩的心理特征,从“玩”这一话题引入,自然引入新课学习.一方面为学生创设一个愉快、宽松的学习环境;另一方面通过学生动手撕纸,既激发了学生的学习兴趣,又让学生初步体会轴对称图形的特点.
活动2:说一说.
问题1
你能用自己的语言来描述什么是轴对称图形吗?
问题2
你能从身边找到类似的图形吗?
[处理方式] 引导学生用自己的语言来描述什么是轴对称图形之后,教师再给出准确的定义:如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形.并对定义中的关键词:一个图形——对折——重合进行强调,
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特别是轴对称图形是针对一个图形而言的这个关键点,为下一步引出两个图形成轴对称的定义奠定基础.教师在这个过程中关注学生能否结合实例尝试用自己的语言来描述什么是轴对称图形.当学生对概念有较好的认识后,让学生从自己的身边找出具有轴对称现象的图形,可以小组交流讨论完成.
[设计意图] 通过想一想、撕一撕、说一说等活动,让学生的眼、脑、手、口有机地统一起来,使学生的理解从感性逐步上升到了理性,而且可以激发学生学习的主动性,培养他们的发散性思维,最终引导学生在不知不觉中总结出轴对称图形的概念.使学生充分感知现实生活中的轴对称现象,再次体会数学与现实生活的密切联系.
活动3:练一练.
【问题】 判断下列图形是否是轴对称图形,如果是,请指出它的对称轴.
[设计意图] 该环节设置的目的在于巩固新知、反馈学情.同时,6个小题的设置,可以使更多的学生参与到学习中来,感受到成功的快乐.
3.动手操作——创造美.
活动1:吹颜料实验.
准备一张A4的纸,在上面滴几滴墨水或颜料,将颜料吹成一定的造型后,将纸对折、压平,压出清晰的折痕,最后将纸打开铺平,观察所得到的图案.
活动2:引导发现.
【问题】 如果我们把它看成是两个图形呢?你能发现这两个图形在位置上有什么特点吗?
[处理方式] 对于活动1,为学生课前准备好A4纸和颜料,学生动手操作,学生完成作品后,选择一部分具有代表性的作品展示在黑板上.对于活动2,引导学生根据创作过程得出这些都是轴对称图形.然后以其中的一幅图形为例引导学生回忆轴对称图形是针对一个图形来说的这个关键点,也就是说刚才我们是把它当成一个图形来对待的.接着提出这样的问题:“如果我们把它看成是两个图形呢?”“你能发现这两个图形在位置上有什么特点吗?”,从而顺利引出两个图形成轴对称的定义.
[设计意图] 利用课堂生成吹颜料实验中学生的作品顺利地引出两个图形成轴对称的定义.该活动的进行不仅可以激发学生的兴趣,培养学生的创造性,还可以使学生体验到成功的乐趣,让不同的学生得到了不同的发展.
思路二
(用实物展台展示学生作品)大家把你们收集的有关轴对称的图片或者实物拿出来,观察一下它们的特点,能否总结一下什么叫轴对称图形?它的对称轴是什么?
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[处理方式] 学生认真思考然后在小组内交流,教师巡视指导,然后用自己的语言叙述轴对称图形的定义.接着教师板书并强调注意事项.
把一个平面图形沿着某条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.
应注意三点:(1)轴对称图形是一个图形;(2)对折;(3)重合.
大家利用这三点对折一下你手中的图形,它们是否是轴对称图形呢?你是否还可以举出其他的有关轴对称的例子?你能知道它们有几条对称轴吗?
生活小常识:把图案设计成轴对称它有一种和谐美,是保持平衡(飞机),健康与生存的需要(蝴蝶).我们不仅可以从生活中找到轴对称图形,而且也可以像设计师那样设计出轴对称图形,大家将一张纸对折后,用笔尖在纸上扎出如图所示的图案,将纸打开后铺平,观察所得的图形,是轴对称图形吗?你还能利用这种方法得到其他的轴对称图形吗?与同伴进行交流.
[处理方式] 学生动手扎针,进行实验,进一步感受轴对称图形的意义.
[设计意图] 对称现象及对称图形在生活中存在大量实例,因此对称对于学生来说应该不陌生,理解起来也应不困难,通过收集整理与对称相关的图片和实物,使同学们先对对称有一个整体的感性认识,学生通过扎眼和剪纸的方式得到了轴对称图形,增强学生的动手操作能力,也加深了学生对轴对称图形的认识.
4.对比归纳——探究美.
活动:两图成轴对称.
在我们生活中也有这样的图形(多媒体展示图片):
问题1
观察每组图案,你发现了什么?与大家交流.
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问题2
轴对称图形和轴对称有什么区别和联系呢?
[处理方式] 学生能否积极进行思考、发表自己的见解及认真倾听其他同学的想法.并总结出:对于两个平面图形,如果沿一条直线对折后能够完全重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴.进而对比归纳出轴对称图形和两个图形成轴对称的区别.轴对称图形和两个图形成轴对称的区别:
两个图形成轴对称
轴对称图形
是两个图形之间的关系
是一个图形本身具有的特性
翻折后两个图形完全重合
对折后与图形的另一半完全重合
通过刚才的环节,学生已经深刻地感受到了自己的作品到底是轴对称图形还是两个图形成轴对称取决于我们是把它当成一个图形来看,还是当成两个图形来看,这其实就是两个概念之间的联系,紧接着我会引导学生来对比概念,从而找出其他的联系和区别.
[设计意图] 引导学生顺利突破本节课的难点,还可以促进学生观察、分析、归纳、概括等能力的发展.
[知识拓展] 轴对称和轴对称图形的区别和联系:
区别:两个图形成轴对称指的是“两个”图形之间的对称关系,而轴对称图形是指“一个”图形具有的对称性质.
联系:①都是用对折、翻折180°图形重合来定义的;②两者可相互转化,如果把轴对称的两个图形看成是一体的,那么这“一个”图形就是轴对称图形,反过来,如果把一个轴对称图形互相对称的两部分看成是两个图形,那么这“两个”图形是成轴对称的.
1.轴对称和轴对称图形的定义.
把一个平面图形沿着某条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.
2.确定对称轴.
3.轴对称和轴对称图形的区别与联系.
如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形.
1.粗圆体的汉字“王、中、田”等都是轴对称图形,请你再写出一个这样的汉字: .
解析:申(答案不唯一)
2.下列交通标志图案是轴对称图形的是 ( )
答案:C
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3.下列图案中,不是轴对称图形的是 ( )
答案:A
4.下列图形中,是轴对称图形的是 ( )
答案:D
5.永州的文化底蕴深厚,永州人民的生活健康向上,如瑶族长鼓舞,东安武术,宁远举重等,下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的,其中是轴对称图形的是 ( )
答案:C
1 轴对称现象
1.图形欣赏,导入新课.
2.新知构建:
(1)轴对称图形定义;
(2)轴对称定义;
(3)轴对称与轴对称图形的区别与联系.
3.巩固训练、检测反馈.
一、教材作业
【必做题】
教材第117页习题5.1知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第117页习题5.1数学理解第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列“表情图”中,属于轴对称图形的是 ( )
2.观察下列图形,是轴对称图形的有 ( )
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A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.小雨找到了四幅图案,如图所示,其中不是轴对称图形的是 ( )
4.请观察(1)~(5)图形,指出哪些是轴对称图形,哪些成轴对称.
【能力提升】
5.(2015·日照中考)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是 ( )
6.如图所示的四个图形中,从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同?请指出这个图形,并简述你的理由.
【拓展探究】
7.分别指出下列轴对称图形中的对称轴条数.
【答案与解析】
1.D
2.C
3.A
4.(1)(2)(3)(4)(5)都可以看做是轴对称图形. (2)(3)(5)又可以看做是两个图形成轴对称.
5.D(解析:A.不是轴对称图形,故本选项错误;B.不是轴对称图形,故本选项错误;C.不是轴对称图形,故本选项错误;D.是轴对称图形,故本选项正确.故选D.)
6.解:②不是轴对称图形,其余的都是轴对称图形.
7.解:分别是5条、1条、6条、4条.
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这节课从熟悉的生活图形入手,让学生对轴对称图形和成轴对称的图形有了深刻的认识,知道了它们的区别和联系.另外,教师创造机会,给学生以充分的自由,把学生看成学习的主人,学生的积极性高涨,自然会有新的突破.本节课的另一特色是充分发挥媒体的作用,利用课件设计,调动学生的学习积极性,再一次使课堂气氛推向高潮.
时间问题,在小组讨论的时候,让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.以后教学时应对小组讨论给予适当的指导,使小组合作学习更具实效性.
如给学生分组,把握教材的难度和重点,加强对学生的调控,备课要细致等,以利于后面的教学.
随堂练习(教材第116页)
解:自左向右依次有1条,6条,2条,1条,1条,5条,1条,1条,1条,2条,2条,4条对称轴.画对称轴略.
习题5.1(教材第117页)
知识技能
1.解:第1,3,4,5,7,8个图形是轴对称图形,如图所示,图中虚线为其对称轴.
数学理解
3.解:轴对称图形有“草、木、中”.类似的如“口、王”(答案不唯一).
4.解:如图所示,可以得到三角形或四边形.如果沿着两条直角边展开,就得到等腰三角形,如果沿着斜边展开,就得到一个四边形.
1.充分挖掘和利用现实生活中大量的轴对称现象进行学习.体会轴对称的概念,用轴对称的概念来理解生活中与对称相关的轴对称图形,同时也能够欣赏现实世界中蕴含的有关轴对称的图案.
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2.注意学习的多样性.在学习体会轴对称的概念及性质时,可让学生自己设计轴对称图案,如通过扎眼、印墨迹、折叠、剪纸、画图等方式完成自己的创意,从而更好地理解本节内容.
3.在本节教学中,学生容易在以下两个问题中对概念把握不清:
a.容易识别轴对称图形,但是在凭感觉.在用眼睛观察图形的左右两部分是否一样,而不是用定义去验证、判断.因此,当一个图形有很多条对称轴时,往往是画不全的.例如把正方形的对称轴化成两条的人很多.
b.混淆“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”这两个概念.
以上问题的解决都需要弄清楚轴对称图形的定义的内涵与外延.
2 探索轴对称的性质
1.理解轴对称的性质:成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.
2.能够综合运用常见的几类轴对称图形的性质解决一些简单的实际问题.
1.经历探索轴对称性质的过程,积累数学活动经验,发展空间观念.
2.通过观察、分析、探索轴对称的性质,体会数形结合的数学思想的应用.
1.通过本节课的学习,帮助学生更容易地感受到数学与现实生活的联系,体验到数学在解决实际问题中的作用,培养学生实事求是的态度及合作交流的能力.
2.通过环环相扣的、层层深入的问题设置,鼓励学生积极参与,培养学生自主、合作、探究的能力,培养学生学习数学的兴趣.
【重点】 探索轴对称的性质.
【难点】 运用轴对称的性质作图及利用轴对称的性质解决一些实际问题.
【教师准备】 多媒体课件、三角板、直尺、圆规等.
【学生准备】 量角器、刻度尺、网格纸、操作纸、圆规等.
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导入一:
【活动内容】 复习轴对称图形和轴对称的定义、区别和联系.
观察下面几组图片和图形,它们有什么特点?
轴对称图形: .
成轴对称: .
导入二:
【活动内容】 同学们,在学习新课之前让我们先观看一组美丽的图片.(多媒体展示)
【问题】 美丽的风景让人流连忘返,雄伟的建筑让人心生敬畏.美好的事物让我们的生活丰富多姿,你知道在这些事物中所隐含的数学知识吗?
[处理方式] 对称是一种美,在我们的身边就有这种对称美,你发现了吗?比如:以教室的中间线为对称轴,你能找到与自己相对称的同学吗?
学生议论,找与自己相对称的同学.
(教师出示并板书课题:2 探索轴对称的性质)
[设计意图] 通过生活中的轴对称现象,让学生体会数学与生活的联系,激发学生的学习兴趣.借助找对称的游戏,让学生初步感受不对称两个图形之间的关系,激发学生的求知欲,为本课的学习做好铺垫.
探究活动1 扎字实验
思路一
方法:(教师边叙述边引导学生操作,让一名学生利用实物投影展示操作过程.要点提示:①折痕要压实;②扎字时要注意利用格点和网格线)
对折扎字,如图所示:
打开铺平,如图所示:
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【问题】 完成操作过程的同学,请将方格纸打开后铺平,标上相应的字母,然后根据你的操作心得在小组内讨论交流导学案活动一中的问题:(多媒体出示)
(1)图中折痕两旁的“14”有什么关系?
(2)在扎字的过程中,点E与点E'重合,点F与点F'重合.设折痕所在直线为l,连接点E与点E'的线段EE'与直线l有什么关系?连接点F与点F'的线段呢?
(3)线段AB与线段A'B'有什么关系?线段CD与线段C'D'呢?
(4)∠1与∠2有什么关系?∠3与∠4呢?说说你的理由.
[处理方式] 学生讨论交流,教师巡视,了解各小组的讨论情况,适时点拨引导.完成后让各小组派代表展示结果;在学生叙述的同时教师借助多媒体播放Flash动画,进行演示,帮助学生理解.
分组展示:
1.折痕两旁的“14”关于直线l对称.
2.都能被直线l垂直平分.
3.线段AB=线段A'B',线段CD=线段C'D'.
4.∠1=∠2,∠3=∠4.
注:
教师可让学生根据折叠过程中某些元素的重合说明理由.
学生在回答问题(2)时,可能只会想到直线l垂直线段而想不到平分.此时教师可作如下引导:
引导1:设线段EE'与直线l的交点为O,则线段OE与线段OE'有什么关系?你是如何发现的?
引导2:由以上我们可以看出线段EE'与直线l的关系可描述为什么?
学生在回答问题(3)时,可能会想到线段AB与线段A'B'的位置关系,即AB∥A'B'.此时教师可作如下引导:
引导1:成轴对称的两个图形对应的线段一定平行吗?观察线段DC与线段D'C',你有什么发现?
引导2:线段AB与线段A'B'的关系和线段DC与线段D'C'的关系有什么共同点?
[设计意图] 本环节从网络数字语言入手,进一步提高学生学习数学的兴趣.一方面,在不知不觉中达到了情感教育的目的;另一方面,把枯燥的数字赋予新的内涵,让学生感受数学的魅力.同时让学生在一个开放的环境下展示、讲解亲自获取的数学知识,
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而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争,气氛热烈,使学生们对轴对称的基本性质认识得更为深刻.同时培养学生的动手能力、数学表达能力、团队合作意识.
思路二
【活动内容1】 各小组派代表展示自己课前所做的“14”,再结合幻灯片引导学生完成以下几个问题:
1.图中两个“14”有什么关系?
2.如果连接CC',FF',分别与直线l交于点G,H,那么所构造的线段与直线l有什么关系?(提示:用测量的方法)
3.线段AB与A'B',CD与C'D'有什么关系?
4.∠1与∠2有什么关系?∠3与∠4呢?
[处理方式] 学生动手连接两点,不会的同学主动向小组的其他成员求助,谁掌握谁就是老师,激发学生学习兴趣,满足学生的好强心理.问题2要求学生用测量的方法,学生回答此问题时要追问直线l和FF'是什么样的位置关系,线段FH和HF'有什么样的等量关系.小组内互补,小组间互相竞争,学生通过连接讨论发现轴对称的基本性质,使学生们对轴对称的基本性质认识得更为深刻.
[设计意图] 本活动学生能够初步探索得到本节课的核心内容——轴对称的基本性质:对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等.至少让学生对本节课所要学习的内容有大致的了解.
【活动内容2】 沿对称轴对折后,点A与A'重合,我们称A关于对称轴的对应点是点A'.同理线段AB关于对称轴的对应线段就是线段A'B',∠1关于对称轴的对应角是∠2.
通过以上的练习,在轴对称图形中,对应点所连的线段与对称轴有什么关系?对应线段有什么关系?对应角有什么关系?在两个成轴对称图形中呢?小组内讨论完成以上几个问题,并尝试说明你是怎么样得到结果的.
学生回答后教师总结板书结论.
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.
[处理方式] 小组讨论,多请不同小组的同学,不同层次的学生回答,了解他们的掌握情况,及时掌握学情.提问时小组长尽量让后进生回答,老师鼓励后进生回答,并及时给予肯定的评价,激发学习动力.最后教师指明本节课的知识点,明确所要学习的重点知识.
[设计意图] 学生初步了解的轴对称的性质不能完全说明白,学习较好同学的猜测基本是准确的,让他们成为基础薄弱学生的老师,首先让薄弱同学了解记住知识,让学生尝试去大胆猜想,鼓励学生积极发言,让更多的学生参与其中.学生在回答问题时,及时评价,明确知识点.
探究活动2 轴对称图形的性质
上面我们研究了成轴对称的两个图形的特点.对于轴对称图形来说,还具有这些特点吗?现在老师给你一个轴对称图形(多媒体出示),你能利用手中操作图来进一步探索轴对称图形的性质吗?先做一做,再在小组内讨论交流相关问题.(多媒体出示)
上图是一个轴对称图形,观察图回答下列问题:
(1)找出它的对称轴及其成轴对称的两个部分.
70
(2)连接点A与点A'的线段与对称轴有什么关系?连接点B与点B'的线段呢?
(3)线段AD与线段A'D'有什么关系?线段BC与B'C'呢?为什么?
(4)∠1与∠2有什么关系?∠3与∠4呢?说说你的理由.
[处理方式] 学生利用课前准备的操作纸,边操作边完成上面的4个问题.教师巡视观察学生的做题情况,及时点拨引导学困生.完成后,让学生借助学具在小组内讨论交流,互相交流,然后小组代表进行展示;在学生叙述的同时教师借助多媒体播放Flash动画,进行演示,帮助学生理解.
分组展示:
(1)图中的虚线就是它的对称轴.因为沿虚线对折后虚线两边的部分能够重合.
(2)都被对称轴垂直平分.
(3)分别相等.
(4)∠1=∠2,∠3=∠4.
注:关于每个结论产生的理由,学生可以根据折叠过程中某些元素的重合说明理由.教师适时做出评价.
【问题】 结合以上操作过程和对应元素的概念.我们发现,在轴对称图形中,对应点所连的线段与对称轴有什么关系?对应线段有什么关系?对应角有什么关系?在两个成轴对称的图形中呢?
[处理方式] 学生在小组内交流讨论,最后形成结论进行展示.(多媒体出示)
总结:在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.(师板书轴对称的性质)
[设计意图] 让学生类比活动1,通过自主探究,使问题不断深化,促使学生不断思考,点燃了学生探究的热情,让学生在感受轴对称图形的性质,在解决问题的过程中增加自信.
探究活动3 轴对称性质的应用
[过渡语] 你能利用前面总结的轴对称图形性质解决以下问题吗?
(1)在下列图形中,找出轴对称图形,并找出它的两组对应点.
(2)给你一个点A,你能找到并画出点A关于直线l的对应点A'吗?你是如何做的?与同伴交流.
(学生自主展示,教师以提问的方式强化作法,并规范作图)
学生画法展示:
如图所示,①过A点画AO⊥l于O点;
②延长AO到点A'使OA'=AO.
70
所以点A'就是所求的点A关于直线l的对应点.
(3)同学们能够画出一个点的对称点,那么如果老师给的是一条线段呢?如图(多媒体出示),画出线段AB关于直线l成轴对称的线段A'B'.
(此题在处理时引导学生明确确定线段的两个关键点的对应点即可以确定已知线段关于直线l成轴对称的线段)
学生作图过程展示:
(4)以上我们分别画出了一个点、一条线段的对称点、对称线段.复杂的图形都是由这些基本的图形组成的,如图,是一个图案的一半,其中的虚线是这个图案的对称轴,你能画出这个图案的另一半吗?
(此题在处理时引导学生明确:①选择关键点的个数;②对称轴上的点的对应点是它本身)
学生作图过程展示:
应用延伸:
如图,某同学打台球时想绕过黑球,通过击主球,使主球撞击桌边MN后反弹回来击中彩球.请在图中标明,主球撞在MN上哪一点才能达到目的(以主球、彩球的球心A,B来代表两球)?
[设计意图] 利用轴对称的性质作图是本课的难点.为帮助学生突破这一难点,在设计上从点到线,再到复杂图形.遵循了由简单到复杂的过程,便于学生理解.解题时通过引导学生,利用所学过的知识来寻找解决问题的途径,锻炼学生画图的能力.
[知识拓展]
(1)关于某直线成轴对称的两个图形一定是全等图形,而全等图形不一定成轴对称;
(2)对称轴是对应点所连的线段的垂直平分线;
(3)对应点的连线互相平行(有时在一条直线上);
(4)若两点所连线段被某直线垂直平分,则此直线为这两点的对称轴;
(5)两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或其延长线相交,那么交点一定在对称轴上.
1.轴对称图形的性质:
(1)对应点所连线段被对称轴垂直平分.
(2)对应线段相等.
70
(3)对应角相等.
2.图形的折叠:折痕所在直线就是这个轴对称图形的对称轴.
1.已知互不平行的两条线段AB,CD关于直线l对称,AB,CD所在直线交于点P,下列结论中:①AB=CD;②点P在直线l上;③若A,C是对称点,则l垂直平分线段AC;④若B,D是对称点,则PB=PD.其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:根据轴对称的性质,4个结论都正确.故选D.
2.若直角三角形是轴对称图形,这个三角形三个内角的度数为 .
答案:45°,45°,90°
3.如图所示的是轴对称图形,根据轴对称图形的性质,你可以得到相等的线段是 ,相等的角是 .
答案:AB=CD,BE=CE ∠ABE=∠DCE
4.如图所示,两个三角形关于直线l成轴对称,根据图中的数据,你认为∠α的度数应是 .
答案:20°
5.如图所示,矩形纸片ABCD中,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,∠AEB=30°,那么∠EFB= .
答案:75°
2 探索轴对称的性质
探究活动1 扎字实验
探究活动2 轴对称图形的性质
探究活动3 轴对称性质的应用
一、教材作业
70
【必做题】
教材第120页习题5.2知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第120页习题5.2问题解决第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.用扎纸的方法得到如图所示的轴对称图案.
(1)在对称轴的右边的图中,分别标出A,B,C,D,E,F的对称点A',B',C',D',E',F'.
(2)若AF=0.5 cm,BC=2 cm,则A'F'= cm,B'C'= cm;
(3)若∠EDC=90°,则它的对应角 的度数是 ;
(4)成轴对称的两个图形的对应线段 ,对应角 ,线段DD'与直线l的位置关系是 .
2.如图所示,在方格纸上请你以树干为对称轴画出树的另一半.
3.(2015·安徽中考)如图所示,在边长为1个单位长度的小正方形网格中,给出了△ABC(顶点是网格线的交点).请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.
【能力提升】
4.如图所示,将一个长方形的纸片沿着EF折叠后,ED'和BC的交点为G,点D,C分别落在D',C'的位置上,若∠EFG=55°,则∠1= ,∠2= .
5.下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题,请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线空白处填上恰当的图形.
【拓展探究】
70
6.在一次晚会上,主持人出了一道题目:“如何把变成一个真正的等式?”很长时间没有人答出,小兰仅仅拿出了一面镜子,就很快解决了这道题目,你知道她是怎样做的吗?
【答案与解析】
1.解:(1)如图所示. (2)0.5 2 (3)∠E'D'C' 90° (4)相等 相等 垂直
2.解:如图所示.
3.解:如图所示.
4.70° 110°(解析:由题意可知四边形CDEF与四边形C'D'EF关于EF对称,于是有∠DEF=∠D'EF,又因为AD∥BC,所以∠DEF=∠D'EF=∠EFG=55°,所以∠1=180°- 55°- 55°=70°,∠2=180°- 70°=110°.)
5.(解析:是阿拉伯数字1,2,3,4,5,6的轴对称,答案应为数字6的轴对称图形.)
6.解:用镜子照一下,可以得到关于镜面成轴对称的图形,如图所示,算式得以成立.
70
积极发挥评价在教学中的激励作用,对学生的表现,及时进行评价和激励,对于有一定难度的题目,鼓励学生积极思考,充分利用小组的智慧,群策群力完成对知识的学习和掌握.
学生作图较慢,耽搁时间,在画图时,找关键点的对称点,学生掌握还不够,还没有形成基本能力,练习题注意向有利于学生学习和节省时间而设计.
教师在引导设计上再细腻,教师直接予以表述,效果不是很好,由学生自己总结,数学语言的使用和训练需要进一步加强.
习题5.2(教材第120页)
知识技能
1.提示:自左向右除第四个图形不是轴对称图形外,其他四个图形都是轴对称图形.找对应点略.
2.提示:如图所示.(其他合理答案均可)
问题解决
3.提示:画出的图形形状大致如图所示.
4.解:在右侧再画一半就可以了,如图所示.
联系拓广
5.提示:在题目的正对面放一面镜子,原等式在镜子中变成了“5+3=8”.
如图所示,在∠AOB内有一点P,分别画出P关于OA,OB对称的点P1,P2,连接P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=5 cm,则△PMN的周长为多少?
70
〔解析〕 由轴对称图形的性质可以得到线段PM=P1M,PN=P2N,进而可以得到三角形的周长.
解:由轴对称性质可知MP=MP1,NP=NP2,
所以△PMN的周长=MP+MN+NP=MP1+MN+NP2=P1P2=5 cm.
[解题策略] “在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应线段相等”的理解应用.
3 简单的轴对称图形
1.掌握等腰三角形、线段、角三种基本图形的性质,并能利用性质解决问题.
2.能利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质进行简单的说理.
3.在解决等腰三角形等有关问题时,体会分类思想的应用.
1.经历探索简单图形轴对称的过程,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.
2.通过操作与思考,掌握等腰三角形、线段、角的轴对称性质形成过程.
1.使学生在认识、制作和欣赏轴对称图形的过程中,感受到物体或图形的对称美,激发对数学学习的积极情感.
2.培养学生自主学习,主动参与,主动交流合作的意识和能力,在小组合作交流活动中互相激发灵感,取长补短,培养学生团结合作的学习精神.
3.在探讨问题的过程中,提高学生动脑、动手能力,提高学生分析问题和解决实际问题的能力,从而树立学习数学的信心.
【重点】 等腰三角形、线段、角三种基本图形的轴对称图形性质.
【难点】 能利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质进行简单的说理.
第课时
70
1.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质.
2.学会运用等腰三角形的思想整体观察对象,总结一些有益的结论.拓宽学生视野,提高学生认知水平,培养学生利用信息、开展思考和表达能力.
1.经历探索简单图形的轴对称性质的过程,进一步理解轴对称的性质,积累数学活动经验,发展空间观念.
2.经历等腰三角形轴对称性质的探索过程,注意体会分类讨论思想在等腰三角形中的应用.
1.通过优美的等腰三角形“三线合一”的性质及应用,体会几何图形的和谐美,感受数学与我们的生活息息相关.
2.使学生在认识、制作和欣赏轴对称图形的过程中,感受到物体或图形的对称美,激发对数学学习的积极情感.
【重点】 等腰三角形、等边三角形的性质.
【难点】 等腰三角形、等边三角形的性质及探索过程.
【教师准备】 多媒体课件,三角尺.
【学生准备】 等腰三角形纸片、等边三角形纸片.
导入一:
温故:
1.下列图形是轴对称图形吗?如果是,指出对称轴.
2.画一画,把下列轴对称图形补充完整,并根据你画图的过程回忆一下轴对称图形的性质.
70
3.欣赏——发现.
这节课我们就从最简单、最常见的等腰三角形入手来研究.
[处理方式] 课件展示图片,让学生仔细观察并回答问题.
[设计意图] 通过问题,希望学生能回忆起前两节所学内容,学生能够准确而全面地找出对称轴,并能说出部分图标的标志名称.以生活中的事例入题,大大提高了学生的学习兴趣,也由此告知学生数学来源于生活的道理.
导入二:
【活动内容1】 展示等腰三角形在实际生活中的应用.
问题1
欣赏图片,找出熟悉的图形.
问题2
找出你身边含有的上述图形.
【活动内容2】 复习等腰三角形的相关内容.
问题1
什么是等腰三角形?请说出各部分的名称.
问题2
什么是等边三角形?它与等腰三角形有什么关系?
[处理方式] 先让学生回答等腰三角形的概念及各部分名称,有可能学生会回答“两条腰相等的三角形”,这时老师要注意及时纠正,同时课件展示图形并出示各名称,之后老师再强调“两边相等的三角形是等腰三角形”.之后出示活动内容2,让学生欣赏并说明等腰三角形在生活中的广泛应用,“它还有哪些性质呢”?然后老师引入课题——今天我们继续研究《简单的轴对称图形》.
[设计意图] 通过复习引出等腰三角形并回顾等腰三角形的有关概念,让学生欣赏生活中含等腰三角形的图片,既能激发学生的兴致同时引出继续探索的学习欲望.
探究活动1 利用折纸活动探索等腰三角形的性质
70
[过渡语] 等腰三角形是一种特殊的三角形,它除了具备一般三角形的性质,还具有一些特殊的性质.拿出你课前准备的等腰三角形纸片,折一折,看你能有什么发现?同时思考下列问题.
【问题】 请同学们结合课本P121问题,将自己准备的等腰三角形折叠,使得两腰重合.
(1)等腰三角形是轴对称图形吗?找出对称轴.
(2)等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴吗?
(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?
(4)沿对称轴对折,折叠以后,你有什么新的发现?(除了两腰重合外,还有重合的部分吗?等腰三角形是轴对称图形吗?对称轴是什么?)你能发现等腰三角形的哪些特征?说说你的理由.
[处理方式] 先让学生用准备好的等腰三角形纸片按要求折纸,并观察除了两腰重合外,还有重合的部分吗?学生独立思考后,小组间交流答案.
问题(1),有些学生可能凭借直观感觉想象出它的对称轴,对于这部分学生老师要鼓励他们再通过操作进行验证;有些学生可能会直接动手折叠寻找对称轴,这时老师要提示他们如何解释这个结果;对于对称轴的描述,很多学生会说“中线,高或角平分线”,最后老师再组织学生展示答案,在学生展示的时候老师追问怎样解释等腰三角形是轴对称图形,然后教师借助多媒体演示,引导学生用语言叙述自己得出的结论,即等腰三角形是轴对称图形.
有了第(1)题的操作、演示和老师的追问,对于问题(2)(3)学生可能会正确描述,若有些学生表述不准确,老师再追问对称轴是哪条直线,再次让学生独立叙述对称轴,即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.这时老师要再次强调对称轴是直线.问题(4)先让学生自己总结,老师再问“除了上述性质外,对折后还有哪些重合部分”,学生能得出等腰三角形的两个底角相等.再展示等腰三角形的性质,根据师生的共同总结再以填空的形式展示几何语言的应用.
[设计意图] 这节课主要是通过动手操作探索等腰三角形的轴对称性及其有关特征,让学生充分动手操作活动,折一折等腰三角形纸片,独立发现有哪些结论.然后小组成员一起通过操作验证自己的结论,并能合理地解释自己的结论,探索等腰三角形的有关特征.
符号语言:
如图所示,在△ABC中,AB=AC时,
(1)因为AD⊥BC,所以∠ =∠ , = .
(2)因为AD是中线,所以 ⊥ ,∠ =∠ .
(3)因为AD是角平分线,所以 ⊥ , = .
跟踪练习:
70
1.已知:△ABC中,AB=AC.小明想作∠BAC的平分线,但他没有量角器,只有刻度尺,他如何作出∠BAC的平分线?
2.若等腰三角形的一个内角为50°,则它的另外两个内角为 .
〔答案〕 1.BC边上的中线即为∠BAC的平分线 2.65°,65°或50°,80°
[处理方式] 第1题在学生独立思考的过程中老师巡视,如果有同学会做,可让他们小组内交流,如果多数学生有困难,此时老师可提示刻度尺的作用是什么,然后让学生全班展示.第2题先让学生独立做,一定会有学生求出一种结果,这时可由做对的学生讲解,然后老师追问“若内角为100°呢”,等学生完成后老师继续追问这类题有什么规律,最后老师总结,“在等腰三角形中,我们只要知道任意一个角,就可以求出另外两个角!当所给角为锐角时,有两种情况,若为直角或钝角则只有一种情况.”
[设计意图] 第1题为了巩固三线合一,让学生体会三线合一的应用,第2题向学生进一步渗透分类讨论思想,由于课时容量较大,不再设计含边和周长的题目.
探究活动2 探究等边三角形的特征
师:我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形,下面请同学们拿出准备好的等边三角形纸片再来探究等边三角形还有哪些性质.
问题1
等边三角形有几条对称轴?对称轴是什么?
问题2
你能发现它的哪些特征?
[处理方式] 学生手中有等边三角形纸片,可能有部分学生仍喜欢动手折叠,这样他们很容易得出“等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴”;同时也可以发现“三个角都能重合,三边互相重合”;也会有学生依照等腰三角形的性质进行推理,能详细解释“等边三角形三角相等,都等于60°,三条边相等”.这时老师可建议折叠的同学也尝试进行理论说明,仍然要强调“三线合一”.
[设计意图] 因为有了前面的经验,学生通过操作和思考分析等边三角形的轴对称性就有章可循,能尽可能多地探索它的特征.学生可能运用不同的办法解决这个问题,有的学生可能借助操作,有的学生可能通过等边三角形的特殊性由等腰三角形的性质推知它的特征.等腰三角形有这么多的性质,现在请大家思考如何得到一个等腰三角形.
探究活动3 探究如何得到一个等腰三角形
问题1
你能用折叠的方法得到一个等腰三角形吗?
问题2
你能借助刻度尺或圆规画出等腰三角形吗?
[处理方式] 让学生先用折纸的方法作出三角形,这样比较简单,先将长方形纸对折,再沿折痕折出一个直角三角形,然后沿第二次的折痕剪下,展开后得一个等腰三角形,学生小学时学过,然后让学生结合过程说明,再次巩固等腰三角形的轴对称性;解决完问题1再出示问题2,这时给学生留出充分的时间交流、合作,学生先说作法,老师再边说边演示,用圆规画一段弧,在圆弧上取两点,将圆心和所取两点依次连接就组成一个等腰三角形.
[设计意图] 通过作等腰三角形巩固它的轴对称性和两边相等的特点,同时锻炼学生的动手能力和善于动脑的习惯.
[知识拓展] 等腰三角形中的分类讨论思想:
70
(1)遇角需讨论.对于一个等腰三角形,若条件中并没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角,再运用三角形内角和定理求解.
(2)遇边需讨论.对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪是底哪是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.
(3)遇到中线、高线、中垂线、角平分线等需要讨论.等腰三角形没有明确底和腰时,提及到上述线段应该分类讨论.
1.等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线是等腰三角形的对称轴.
(3)等腰三角形的两个底角相等.
2.等边三角形的性质:
(1)等边三角形是轴对称图形.
(2)等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合(三线合一),它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.等边三角形共有三条对称轴.
(3)等边三角形的各角都相等,都等于60°.
3.等腰三角形的画法.
1.等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为 ( )
A.16 B.18
C.20 D.16或20
解析:三边长分别为4,8,8.故选C.
2.等腰三角形的顶角为80°,则它的底角是 ( )
A.20° B.50° C.60° D.80°
解析:等腰三角形两底角相等.故选B.
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于D,则BD= .
解析:根据等腰三角形三线合一可以得出答案为3.故填3.
第1课时
探究活动1 利用折纸活动探索等腰三角形的性质
探究活动2 探究等边三角形的特征
探究活动3 探究如何得到一个等腰三角形
一、教材作业
【必做题】
教材第122页习题5.3知识技能第1,2题.
【选做题】
70
教材第123页习题5.3数学理解第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.等腰三角形中,若底角是65°,则顶角的度数是 .
2.等腰三角形的周长为10 cm,一边长为3 cm,则其他两边长分别为 .
3.等腰三角形一个角为70°,则其他两个角分别是 .
【能力提升】
4.如图所示,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32°,则∠BAC= .
5.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠BAC= .
【拓展探究】
6.如图所示,△ABC中,AB=AC,D,E在BC边上,且AD=AE.试说明BD=CE.
【答案与解析】
1.50°(解析:由等腰三角形两底角相等和三角形内角和可求得.)
2.3.5 cm,3.5 cm或3 cm,4 cm(解析:本题需要对一边长3 cm进行分类讨论.)
3.55°,55°或70°,40°(解析:本题需要对一内角70°进行分类讨论.)
4.69°(解析:在三角形ABD中,因为AB=AD,所以∠B=∠ADB=(180°- 32°)×=74°,在三角形ADC中,因为AD=DC,所以∠CAD=∠ADB=74°×=37°.所以∠BAC=32°+37°=69°.故填69°.)
5.120°(解析:因为BP=PQ=QC=AP=AQ,所以∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°,∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ.又因为∠BAP+∠ABP=∠APQ,∠C+∠CAQ=∠AQP,所以∠BAP=∠CAQ=30°.所以∠BAC=120°.故∠BAC的度数是120°.)
6.解法1:因为AB=AC,所以∠B=∠C(等边对等角),因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED(等边对等角),又∠ADE=∠B+∠BAD,∠AED=∠C+∠CAE,所以∠BAD=∠CAE(等量代换),在△ABD和△ACE中,所以△ABD≌△ACE(ASA),所以BD=CE(全等三角形的对应边相等).
解法2:如图所示,过点A作AH⊥BC,垂足为点H,因为AB=AC,AH⊥BC,所以BH=CH(等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合),同理可得DH=EH,所以BH- DH=CH- EH,所以BD=CE.
70
本节课学生通过动手操作、自主探索、合作交流等多种形式获取知识、发展能力,充分体现了学生的学习主体性精神.学生在和谐民主的气氛中,得到了自身素质的提高.
本节课需要学生动手操作的活动较多,由于动手能力水平上的差异,造成时间安排上不够理想,下次教学时注意整改.
有意识地满足学生多样化的学习需求,为学生提供个性化学习的时间和空间.
随堂练习(教材第122页)
1.解:有3条对称轴,分别是过大三角形顶点和对边中点的直线.
2.解:根据等腰三角形“三线合一”的性质,等腰三角形ABC底边BC上的中线DA应垂直于底边BC即木条.如果重锤过点A,说明直线AD垂直于水平线,那么木条就是水平的.
3.解:(1)底角的度数是(180°- 60°)÷2=60°. (2)底角的度数是(180°- 90°)÷2=45°. (3)底角的度数是(180°- 120°)÷2=30°.
习题5.3(教材第122页)
知识技能
1.解:如图所示.
2.提示:各内角的度数分别为36°,72°,72°.
数学理解
3.解:长方形是轴对称图形,有2条对称轴.圆是轴对称图形,有无数条对称轴.
4.解:是轴对称图形,可通过对折的办法检验它的对称性.
问题解决
5.提示:按如图所示的方法作图,将奶站建在P点处.
(第5题图)
70
等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形,就是因为这种特殊性,在具体处理问题时往往又会出现错误,因此,在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论.那么在什么情况下应该分类讨论呢?本文分以下几种情形讲述.
一、遇角需讨论
已知等腰三角形的一个内角为75°,则其顶角为 ( )
A.30° B.75°
C.105° D.30°或75°
〔解析〕 75°角可能是顶角,也可能是底角.当75°角是底角时,则顶角的度数为180°- 75°×2=30°;当75°角是顶角时,则顶角的度数就等于75°.所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°.故选D.
[解题策略] 对于一个等腰三角形,若条件中并没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角,再运用三角形内角和定理求解.
二、遇边需讨论
已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于 .
〔解析〕 已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长,因此应由三角形的三边关系进行分类讨论.当5是等腰三角形的腰长时,这个等腰三角形的底边长就是6,则此时等腰三角形的周长等于16;当6是腰长时,这个三角形的底边长就是5,则此时周长等于17.故这个等腰三角形的周长等于16或17.故填16或17.
[解题策略] 对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪是底哪是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.
三、遇中线需讨论
若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分,求这个等腰三角形的底和腰的长.
解:已知条件并没有指明哪一部分是9 cm,哪一部分是12 cm,因此,应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是x cm,底边长为y cm,可得或解得或即当腰长是6 cm时,底边长是9 cm;当腰长是8 cm时,底边长是5 cm.
[解题策略] 这里求出来的解应满足三角形三边关系定理.
四、遇高需讨论
等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,求这个等腰三角形的顶角的度数.
解:依题意可画出图(1)和(2)两种情形.图(1)中顶角为45°,图(2)中顶角为135°.
五、遇中垂线需讨论
在△ABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B= .
〔解析〕 按照题意可画出图(1)和(2)两种情况的示意图.如图(1)所示,当交点在腰AC上时,△ABC是锐角三角形,此时可求得∠A=40°,所以∠B=∠C=(180°- 40°)=70°.如图(2)所示,当交点在腰CA的延长线上时,△ABC为钝角三角形,此时可求得∠BAC=140°,所以∠B=∠C=(180°- 140°)=20°.故填70°或20°.
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[解题策略] 这里的图(2)最容易漏掉,求解时一定要认真分析题意,画出所有可能的图形,这样才能正确解题.
第课时
1.探索并了解线段垂直平分线的有关性质.
2.应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题.
3.会用尺规作图作一条线段的垂直平分线.
1.经历探索简单图形轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.
2.教师通过生活中的实际问题来达到让学生对简单轴对称图形加深认识的目的,从而培养学生的识图能力.
1.在解决实际问题的过程中体会数学与生活的密切联系;体验用数学知识解释生活中的问题的乐趣,感受数学美,增强自信心,提高学习数学的乐趣.
2.通过分组讨论学习,使学生体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性,培养团结协作的精神.
【重点】 线段垂直平分线的有关性质.
【难点】 用尺规作线段的垂直平分线,并用之解决一些实际问题.
【教师准备】 制作多媒体课件,圆规、直尺.
【学生准备】 预习课本知识,准备一张纸、直尺、圆规、铅笔.
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导入一:
如图所示,祥和乳业公司要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B到它的距离相等?
[处理方式] 让学生自己思考,各抒己见,让学生在争论中发现自己的想法是否正确,教师不必明确答案,要留给学生思考的余地和悬念,让学生带着问题进入下面的学习.
[设计意图] 通过生活中的实际问题引入新课,让学生在自己解决问题的过程中发现障碍,激发学生的兴趣和求知欲,调动学生学习的积极性,为学习新课做好准备.
导入二:
【活动内容1】
复习回顾.
1.什么叫轴对称图形?
如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
2.(多媒体展示课件)下列图形哪些是轴对称图形?
3.轴对称图形有什么性质?
在轴对称图形或成轴对称的两个图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.
[处理方式] 学生举手回答,对于出现的错误再由学生纠正,教师适时评价,引导.
[设计意图] 通过完成本组题目,对轴对称图形的概念、性质进行回顾,为本节课的学习提供必要的知识准备,同时,也检查了学生对学过知识的掌握情况.
【活动内容2】
导入新课.
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(多媒体展示课件)如图,在一条河的岸边有两个仓库A,B,现在要在靠近A,B一侧的河岸边建造一个码头M,使它到两个仓库的距离相等,码头M应建在什么位置?
[处理方式] 学生思考讨论码头应建在什么位置,教师在学生感到困难时引入新课.
[设计意图] 本课以建造码头为开头,提出问题,让学生来思考如何建造码头才能保证到两个仓库的距离相同,来激发学生的兴趣和求知欲望,调动学生学习的积极性,引起学生的兴趣,导入新课,学生的积极性一下子被调动起来了,为下面的学习开了个好头.
探究活动1 线段的对称性
思路一
【活动内容】
线段是轴对称图形吗?如果是,你能找出它的一条对称轴吗?
做一做:为了解决这个问题,请同学们拿出准备好的纸,在纸上画出一条线段AB,对折AB使点A,B重合,折痕与AB的交点为O.
想一想:(1)折痕两旁的部分能重合吗?线段是一个轴对称图形吗?这条折痕是线段的对称轴吗?
(2)点O是线段AB的中点吗?折痕与线段AB垂直吗?为什么?
(3)由此你能得到什么结论?
[处理方式] 学生拿出纸,按照上面的步骤画出一条线段AB,然后对折AB,进行观察思考后回答问题.
通过折叠可以看到AB对折后能够重合,说明线段AB是轴对称图形,而且折痕就是线段AB的对称轴.可以发现折痕与AB垂直,并且平分这条线段AB.从而总结:线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
学生通过用三角板上的直角验证,或用量角器量取角度后验证,教师予以评价、引导:通过实验手段得到的结论,都是不严密的,我是这样验证的(边说边演示手中的折纸),由折叠可知∠1=∠2,又因为∠1+∠2=180°,所以∠1=∠2=90°,所以折痕与线段AB垂直.
教师补充:线段还有一条对称轴,它就是线段AB所在的直线,因为线段上所有的点都在这条直线上,那么这条线段上每一个点关于这条直线的对称点都是它本身,所以线段所在的直线也是它的一条对称轴.
注意:线段的另一条对称轴比较抽象,学生不易理解,也不要求学生掌握,如果学生没有提出异议,教师不必刻意提出.
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[设计意图] 让学生通过亲自动手折纸,自己发现结论,并及时引导学生对发现的结论进行证明,进一步培养了学生严谨思维、推理论证、及时验证的好习惯,也为后续教学做好准备.
思路二
【活动内容】
线段的对称性.
(多媒体出示)
问题1
线段是轴对称图形吗?如果是,你能找出它的一条对称轴吗?
问题2
为了解决这个问题,请按下面的步骤做一做:在你准备的透明纸上画一条线段AB及它的中点O,再过O点画出与AB垂直的直线CD,沿直线CD将纸对折,看看线段OA与OB是否重合?
[处理方式] 学生先思考、猜想问题1,然后根据问题2的操作流程在透明纸上画线段,动手折纸,观察,思考,展示自己的结论,要留给学生充足的时间进行活动,学生的叙述可能不够完整,教师要及时给以点拨,规范学生的语言.接着顺势引导学生思考:由此得到线段是不是轴对称图形?线段AB的一条对称轴是什么?它与线段AB有什么关系?先让学生自己尝试回答,最后达成共识:线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
[设计意图] 让学生通过亲自动手折纸,自己发现结论,使学生对发现的结论印象深刻.
探究活动2 线段垂直平分线的定义与性质
【活动内容1】
线段垂直平分线的定义.
师:根据上面的操作我们知道了线段是轴对称图形,垂直并且平分这条线段的直线是这条线段的对称轴,你知道像这样的直线的名称吗?
[处理方式] 学生先思考,然后小组交流,最后代表发言,教师根据学生回答的情况给予点拨,规范数学语言.归纳出线段垂直平分线的定义:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.
[设计意图] 通过亲身实践感受概念,归纳概念,培养学生归纳总结的习惯及能力.
【活动内容2】
线段垂直平分线的性质.
师:通过前面的学习,我们认识了线段垂直平分线,这条直线究竟有哪些性质呢?下面我们一起探究一下.
做一做:请同学们在刚才折后的线段AB的折痕上取一点M,沿MA,MB将纸折叠,把纸张展开后,你将得到折痕MA和MB.
学生按照老师的要求进行折叠纸片,展开后得到线段MA和MB(如图).
想一想:MA与MB大小有什么关系?能说明你的理由吗?
如果改变点M的位置,那么AM还等于BM吗?
由此你能得到线段垂直平分线的性质吗?
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[处理方式] 学生通过各种方法说明理由:(1)通过手中的纸片,用刻度尺量取后发现它们相等.(2)通过折叠纸片,从它们互相重合发现它们相等.(3)通过三角形全等证明它们相等,在△AOM和△BOM中,因为AO=BO,∠AOM=∠BOM=90°,OM=OM,所以△AOM≌△BOM,所以AM=BM.教师要及时给以鼓励,对于学生表述不完善的地方,要给以正确的梳理.对于性质的证明很有必要,如果学生只是通过量取或折叠重合的方法加以说明,教师要引导学生在理论上加以证明.从而总结线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
[设计意图] 线段垂直平分线的性质比较重要,要让学生自己发现结论,以便加深学生的理解和记忆,同时要让学生说明自己发现的正确性,逐步培养学生的说理能力.
探究活动3 尺规作图:作线段垂直平分线
【活动内容】
1.(多媒体展示课件)请同学们思考如何来完成这个作图题.
已知:线段AB.
求作:线段AB的垂直平分线.
[处理方式] 学生认真思考如何作线段AB的垂直平分线,小组间相互讨论.教师提示:可以结合我们刚才所讲的“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”来进行作图.
学生思考后,在练习本上完成作图,如图所示.
教师引导:你是怎样做的?能把你的方法告诉大家吗?
学生回答作法:
(1)分别以点A和B为圆心,任意长为半径作弧,两弧相交于点C和D.
(2)作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线.
教师引导:我们在进行作图时,必须要注意:以点A和B为圆心画弧时,半径长必须要大于AB,这样才能得到C,D两个交点.(多媒体展示作法)
2.我们刚刚学会了如何用尺规作线段的垂直平分线,可是你能说明为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线吗?
[处理方式] 学生思考,必要时教师引导:我们只要连接CA,CB,DA,DB就可以了,因为在△ADC和△BDC中,AC=BC,AD=BD,CD=CD,
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由SSS可知△ADC≌△BDC,得到∠ACD=∠BCD,再由等腰三角形的“三线合一”就可知道CD是AB的垂直平分线.
师:现在我们回过头来解决开头我们提出的问题,码头应建在什么位置呢?
生:可以先作线段AB的垂直平分线,与河岸边的交点就是码头M的位置.(如图)
教师对学生的作图给予评判和指导,并对作的好的加以肯定.
[设计意图] 通过利用尺规作线段的垂直平分线,学生在动手中学到了知识,理解并掌握了线段垂直平分线的定义与性质,有利于学生的掌握和记忆.
1.线段的轴对称性,知道了线段的一条对称轴是线段的垂直平分线.
2.线段垂直平分线的定义:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.
3.线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
4.尺规作图:线段的垂直平分线的作法.
1.如图所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:因为直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,所以PB=PA,而已知线段PA=5,所以PB=5.故选B.
2.如图所示,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于 ( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
解析:因为等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°,所以∠ABC=80°,因为DE是线段AB的垂直平分线,所以AE=BE,所以∠A=∠ABE=20°,所以∠CBE=∠ABC- ∠ABE=80°- 20°=60°.故选C.
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3.如图所示,在△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB,BC于点E,D,BE=6,求△BCE的周长.
解:因为DE是BC的垂直平分线,所以BE=CE=6.所以△BCE的周长=BE+CE+BC=6+6+10=22.
4.如图所示,A,B,C三点表示三个城镇的位置,由于城镇的发展,手机用户人口增多,现在三镇要联合建造一座手机信号发射塔,使发射塔到三镇的距离相等,你能找出它的位置吗(用点P表示)?并简要说明理由.
解:连接AB,BC,作线段AB,BC的垂直平分线,交点即为点P.根据线段垂直平分线的性质得出,点P到三镇的距离相等.(图略)
第2课时
探究活动1 线段的对称性
探究活动2 线段垂直平分线的定义与性质
探究活动3 尺规作图:作线段垂直平分线
一、教材作业
【必做题】
教材第124页习题5.4知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第125页习题5.4问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有 ( )
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
2.如图所示,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D,E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:
(甲)作∠ACP,∠BCP的平分线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求;
(乙)作AC,BC的中垂线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求.
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对于甲、乙两人的作法,下列说法正确的是 ( )
A.两人都正确 B.两人都错误
C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是 ( )
A.AE=BE B.AC=BE
C.CE=DE D.∠CAE=∠B
【能力提升】
4.如图所示,已知AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于D.
(1)求∠DBC的度数;
(2)若△DBC的周长为14 cm,BC=5 cm,求AB的长.
5.如图所示,在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于D,若DE垂直平分AB,求∠B的度数.
【拓展探究】
6.利用尺规作出如图所示的△ABC的重心O.(提示:三角形的重心就是三角形三条中线的交点.先画出各边的垂直平分线,确定各边的中点,然后就可以画出中线了)(保留作图痕迹,不写作法)
【答案与解析】
1.A(解析:因为AC=AD,BC=BD,所以点A,B在线段CD的垂直平分线上.所以AB垂直平分CD.故选A.)
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2.D(解析:甲错误,乙正确.理由如下:因为CP是线段AB的中垂线,所以△ABC是等腰三角形,即AC=BC,∠A=∠B,如图所示,作AC,BC的中垂线分别交AB于D,E,连接DC,CE,所以∠A=∠ACD,∠B=∠BCE,因为∠A=∠B,所以∠ACD=∠BCE,又因为AC=BC,所以△ACD≌△BCE,所以AD=EB,因为AD=DC,EB=CE,所以AD=DC=EB=CE.故选D.)
3.B(解析:A.根据线段垂直平分线的性质,得AE=BE,故该选项正确;B.因为AE>AC,AE=BE,所以AC
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