第十九章 平面直角坐标系
1.结合实例,使学生经历从现实中抽象出平面直角坐标系的过程,感受直角坐标系的实际意义,体会有序数对可以表示物体的位置,发展数学应用意识.
2.理解平面直角坐标系的有关概念,能画出平面直角坐标系;在给定的直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置确定出它的坐标;对给定的正方形(或实际中的物体),能建立适当的直角坐标系,写出它的顶点坐标(或描述物体的位置).
3.在平面上,能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.
4.在直角坐标系中,能由多边形的顶点坐标,知道以坐标轴(或沿坐标轴方向)为对称轴(或平移)的对称图形的(或平移后图形)顶点坐标,了解对应顶点与坐标(或图形与图形)之间的关系.
5.了解位似图形;在直角坐标系中,了解将多边形的顶点坐标(一个顶点在原点上、一条边在横轴上)分别扩大或缩小相同程度时,所得图形与原图形之间的关系.
1.在观察、探究的过程中让学生获得发现的喜悦,体验从现实中抽象出直角坐标系这一数学模型的过程,理解直角坐标系的实际意义,增强数学应用意识.
2.经历点的坐标变化与图形变化之间关系的探索过程,感受图形变化后点的坐标变化的规律,强化学生的数形结合意识,提高学生分析问题的能力.
1.在探究知识的过程,让学生体会数学知识与生活的密切联系,增强学生学习数学的兴趣,培养他们积极的学习态度.
2.培养学生严谨的学习态度和小组合作学习的良好学习习惯,增强责任感.
本章从确定平面上物体的位置,建立平面直角坐标系,并在直角坐标系中研究了坐标与图形运动之间的关系,较好地体现了数形结合方法及其应用过程.
确定平面上物体的位置与生活密切相关,由此引入直角坐标系,可使学生切实感受其实际意义,有利于发展学生的应用意识.同时,由于直角坐标系是数形结合方法的典型体现,是联系代数与几何的桥梁,因此本章内容可使学生较好地感受代数与几何知识的有机结合,并对学生今后的学习有着重要的作用.
本章在呈现方式上力求突出以下几点:
1.注重加强知识间的相互联系.
教材注重突出平面直角坐标系与数轴的联系,对于平面直角坐标系的引入是在实际问题的基础上进行的.
2.突出数形结合的思想.
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教材体现平面直角坐标系的作用,无论是在数学还是在其他领域,平面直角坐标系都有着非常广泛的应用,教材突出了用几何的方法研究代数问题,又可以用代数的方法研究几何问题的特点.
3.注重学生的认知规律.
教材改变了原教科书从数学的角度引出坐标系的做法,而是将本章内容的编写紧紧围绕着确定物体的位置展开,从实际生活中确定物体的位置出发引出坐标系,也就是从实际需要引出坐标系这个数学问题.
4.内容编写生动活泼.
教材注重结合本章内容的特点,将枯燥的数学问题赋予有趣的实际背景,使内容更符合学生的年龄特点,激发学生学习数学的兴趣.
【重点】
1.能用坐标确定平面上物体的位置.
2.理解和掌握坐标与图形之间的关系.
【难点】
坐标与图形的位置与变化.
1.由生活事例引入,师生合作,先从实际中需要确定物体的位置出发,引出有序数对的概念,指出有序数对可以确定物体的位置,采用动画课件和游戏,让学生在轻轻松松的环境中掌握重点和难点.
2.让学生观察地图上怎样利用坐标表示点的地理位置,使学生受到启发,以此去解决建立坐标系的问题.
3.用坐标表示地理位置体现了坐标在实际生活中的应用,可由学生熟悉的实例引入,要通过实例复习比例尺的应用,让学生学会根据实际情况选择明显或熟悉的地点为原点,按习惯选择向东、向北为横、纵轴的正方向,建立平面直角坐标系.
4.本章的内容由图形上点的位置变化观察它们坐标的变化,归纳出一般规律,内容浅显易懂,可放手让学生通过合作交流、互相探究完成本章的学习,改变学生的学习方式.
5.在坐标与图形变化的例题教学中,应让学生明确图形经过平移、对称和伸缩之后,图形上的点的坐标也随之变化,让学生掌握它们的变化规律.
19.1确定平面上物体的位置
1课时
19.2平面直角坐标系
2课时
19.3坐标与图形的位置
1课时
19.4坐标与图形的变化
2课时
回顾与反思
1课时
19.1 确定平面上物体的位置
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1.在平面内能用有序数对表示物体的位置.
2.能用方位角和距离表示物体的位置.
1.通过直观感知等方式探索、描述点的位置的方法,进一步渗透数形结合的思想.
2.通过丰富多彩、形式多样的确定平面上物体位置的方式,使学生感受丰富的确定位置的现实背景.
3.进一步发展形象思维能力和数学应用的能力.
1.初步渗透对应思想,培养学生积极的学习态度和良好的学习品质.
2.让学生主动地参与观察、操作与活动.
3.让学生能把思考的结果用语言很好地表达出来,同时要让学生很好地交流和合作.
【重点】
平面内点的位置的描述.
【难点】
能用方位角和距离表示物体的位置.
【教师准备】 课件1~10.
【学生准备】 查阅确定平面上物体位置的方法.
导入一:
师:如果有人问你在班级中的座位,你会怎样说?
生1:第2行,第7列.
生2:第3小组,第6排.
师:生活中我们常常需要确定物体的位置,怎样确定一个点在平面内的位置呢?如:确定学校、家庭的位置,城市的位置等.本节课我们就来研究为什么要确定位置,掌握确定位置的一些基本方法.
[设计意图] 通过学生介绍自己在班内的位置导出本节课的学习课题.
导入二:
【课件1】 观察(“用坐标来确定位置”课件):
幻灯片1(如图所示):在电影院或教室里如何找到自己的座位?
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幻灯片2:怎样确定北京在中国地图上的位置?
幻灯片3:雷达怎样描绘轮船在海洋中的位置?
【思考】 表示平面上点的具体位置至少需要几个数据来确定?
[设计意图] 通过思考让学生明确表示平面上的具体位置需要两个数据,从而确定本节课的学习内容.
导入三:
【课件2】 确定物体位置,从古至今都非常重要,在“涿鹿之战”中,黄帝用“指南针”打败了勇猛异常的蚩尤,郑和使用“罗盘、测深仪、牵星板”等当时先进的“定位技术”七下西洋,人类社会发展到科学技术日新月异的今天,人们使用“全球定位系统”,如果同时接收三颗卫星发射的信号很快就能测得船舶与三颗卫星的距离,精确定出船舶的位置,但无论使用怎样先进的设备,要指出平面上物体的位置至少需要两个数字,现在我们就一起研究这一问题!
[设计意图] 利用故事引入,让学生产生探究的欲望,从而积极地投入到本节课的学习之中.
探究1 用有序数对表示物体位置
[过渡语] 建立数轴后,数轴上的点的位置可以用一个实数来表示,平面上的点的位置该如何表示呢?下面我们来看下面的问题.
思路一
【课件3】 如图,每个同学在教室里都有一个确定的座位.按照列在前、行在后的顺序,每个座位都可以用一对数来表示.例如,在下面部分同学的座次表中,小明在第3列第5行,可以用一对数(3,5)来表示他的座位位置.
让学生讨论.
【课件4】
按照上面的表示方法,讨论下面的问题:
(1)小强的座位应该用哪对数来表示?小亮和小红的座位呢?
((2,3),(5,3),(7,6).)
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(2)一对数(1,4)表示的是哪个同学的座位?
(小惠.)
(3)两对数(5,3)和(3,5)表示的座位相同吗?它们分别表示哪两个同学的座位?
(不相同,小亮和小明.)
(4)每个同学的座位都能用一对数来表示吗?
(能.)
学生小组交流、讨论.
教师强调平面内一对有序数对只能表示一个点的位置.
[知识拓展] 用一对有序数对表示一个确定的位置,其中各个数表示不同的含义,我们把这种有顺序的两个数a,b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b).利用有序数对,可以很准确地表示出一个位置.
思路二
展示进入电影院依据电影票找位置的情景和问题.
问题:在电影院内如何找到电影票上所指的位置?
具体问题:
【课件5】
如果A,B两人各拿到一张只有6排和只有6号的电影票:
1.A,B两人能否找到属于自己的位置?
2.假如A要找到属于他的位置,还需加什么条件?B呢?
3.假如换两张电影票,A的为6排3号,B的为3排6号,那么A,B能否找到自己的位置?
请同学们在平面图中找出“6排3号”与“3排6号”的位置.
4.如果将“6排3号”简记作(6,3),
那么“3排6号”如何表示?
(5,6)表示什么含义?(6,5)呢?
从刚才的讨论中,你知道在电影院内,确定一个座位一般需要几个数据?
【学生活动】 根据教师的层层设问积极主动地思考并回答,从中学习新的表示方法,同时感知确定平面上物体的位置需要两个数据,并且这两个数据是有顺序的.
[设计意图] 通过电影院里座位位置的确定,唤起学生已有的生活经验,为本课的学习做铺垫,能够较好地体现数学的现实性,充分吸引学生的注意力,使学生感觉到数学就在自己身边,激发了学生的学习兴趣,有利于学生形成良好的数学观.同时也在教师的层层设问中,让学生感觉到电影院里位置的确定需要两个数据,并且这两个数据的表示是有顺序的.
【思考】 每个座位都能用唯一一对数表示吗?
【学生活动】 小组讨论.
做接龙游戏.
约定教室里的学生从左边数为第1列、第2列……从前到后为第1排、第2排……
教师先说一对列数在前排数在后的数对,如(1,2),与此对应的学生站起来再说一数对,如(5,3),与此对应的学生站起来再说一数对……依次接龙下去.
[设计意图] 虽然学生已经有了初步的感知,但是在回答上述问题时仍会有些迟疑,设置此游戏可以帮助学生深刻理解每个座位都能用唯一一对数表示.由此得到平面上物体的位置可以用唯一一对数来表示.
【课件6】 做一做.
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如图是中国象棋棋盘的示意图,部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上,每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示.
(1)分别用三对数表示“车”“马”“炮”所在的位置.
(2)两对数(5,3)和(7,4)分别表示哪两枚棋子的位置?
(3)象棋规则规定:“车”只能沿直线行走,一次可以走任意格.请你用四对数描述“车”的行走路线:A→B→C→D.
引导学生通过观察得出:(1)车(8,5),马(7,9),炮(3,7).(2)象,卒.(3)A(8,5),B(2,5),C(2,8),D(6,8).
想一想:
(1)这是利用什么方法来确定位置的?
(2)用这种方法确定位置首先应该做什么?
(3)需要几个数据来确定点的位置?
总结:由上可知,在平面内,物体的位置可以用一对数(列左行右)来表示.
探究2 用方位角和距离表示物体的位置
[过渡语] 在航海、航空和测量中,通常用“方位角和距离”来表示物体的位置.
思路一
【课件7】 如图,在某个时刻,一艘货轮在导航灯北偏东60°的方向上,且距离导航灯10 km.
【思考】
(1)如何用方位角和距离描述导航灯相对于货轮的位置?
(2)在某一时刻,一艘客轮在导航灯北偏西30°的方向上,且距离导航灯5 km处.请你在图中找出这艘客轮的位置.
引导学生分析得出:(1)南偏西60°方向上,且距离货轮10 km.
(2)客轮位置如图所示.
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归纳:利用方位角和距离确定物体的位置,应明确东、西、南、北,通常以参照点建立方位,以北偏东(西)或南偏东(西)为方位角,测量距离应注意比例尺.
教师提出问题:(1)这又是用什么方法确定物体位置的呢?
(2)用这种方法确定位置必须要知道什么?
(3)请举出生活中用这种方法确定位置的例子.
学生思考后回答,个别补充.
小结:采用“方位角和距离”来表示物体位置的方法,要明确参照点,选择不同的参照点表示同一物体的位置,结果是不同的.
从某个参照点看物体,视线与正北(或正南)方向射线的夹角称为方位角.
思路二
展示一个与电影票这一情境不同的实例.
在解决问题中思考:这个实例中确定平面上物体位置用到了哪些量,分别是什么?
具体问题:
【课件8】 下图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图,对我方潜艇来说:
(1)北偏东40°的方向上有哪些目标?
(2)距我方潜艇图上距离1 cm处的敌舰有哪几艘?
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要几个数据?
解:(1)对我方潜艇来说,北偏东40°的方向上有两个目标:敌舰B和小岛.
(2)距我方潜艇图上距离1 cm处的敌舰有两艘:敌舰A和敌舰C.
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要两个数据:距离和方位角.如:对我方潜艇来说,敌舰A在正南方向,图上距离为1 cm处;敌舰B在北偏东40°的方向上,图上距离为1.5 cm处;敌舰C在正东方向,图上距离为1 cm处.
【教师活动】 组织学生完成,引导学生探索.
【学生活动】 观察分析,回答问题,相互交流,总结出确定每艘敌舰的位置还是需要2个数据——方位角和距离.
[设计意图] 刚刚从实例中体会了一种确定平面上物体位置的方法,但还有其他的一些方法,这里就介绍了用方位角和距离表示.在这里希望学生体会到平面上确定物体的位置有多种方式,但基本上都需要两个数据.
【课件9】 练习:如图所示,4艘渔船在回港途中,突遭9级强风,船上共35名船员遇险,岛上边防战士接到命令后立即出发,进行拉网式搜救.
以小岛为观测点,你能告诉边防战士渔船A,B,C,D的位置吗?小岛南偏西60°方向的15 km处是什么?
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【学生活动】 独立思考并回答问题,学生互评.
[设计意图] 巩固新知,加强“方位角+距离”这种确定平面上物体位置的方法的使用,运用生活中的实际例子更能说明数学来源于生活,又服务于生活.
[知识拓展] 经纬度定位法.
【课件10】 展示一幅气象图片.
师:这是一幅用气象卫星拍摄的台风生成的图片,在夏季时,我们经常听到关于台风的播报,在描述台风位置时常用哪些量呢?
【学生活动】 学生回忆并交流.
从而得到:利用了经度和纬度这两个量.
教师指出根据经纬线可以确定地球上任何一点的位置.
把经度写在前,纬度写在后,两头括号,中间逗号,写成数对形式就叫做经纬法.如北京在北纬40°,东经116°,记为(116°,40°).
1.用有序数对表示物体的位置.
在平面上确定一个点的位置,一般需要两个数.这两个数各自表示不同的意义,它们不能随意交换位置,我们把它们叫做有序数对.
在用有序数对表示位置时,要注意它们的顺序和各自的意义.
2.用方位角和距离表示物体的位置.
选择观测点作为参照物,由已知的角度确定被观测点所在的方向,由距离确定被观测点的位置,这是一种用“极坐标”来表示位置的方法,这种方法在军事和地理上经常用到.
说明:用“极坐标”表示点的位置,就是先选定某个参照物和某个方向,然后用一个角度和距离表示一个点的位置.
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1.课间操时,小华、小军、小刚的位置如图所示,小华对小刚说,如果我的位置用(0,0)表示,小军的位置用(2,1)表示,那么你的位置可以表示成 ( )
A.(5,4) B.(4,5)
C.(3,4) D.(4,3)
解析:根据已知两点的位置确定小刚的位置.故选D.
2.如果座位表上“5列2行”记作(5,2),那么(4,3)表示 ( )
A.3列5行 B.5列3行
C.4列3行 D.3列4行
解析:若座位表上“5列2行”记作(5,2),那么(4,3)表示4列3行.故选C.
3.下列数据,不能确定物体位置的是 ( )
A.东经120°,北纬30°
B.新华路25号
C.北偏东25°
D.东经118°,北纬45°
解析:北偏东25°不能确定物体的位置.故选C.
4.生态园位于县城东北方向5公里处,如图所示,表示准确的是 ( )
A B
C D
解析:∵生态园位于县城东北方向5公里处,∴生态园在县城北偏东45°距离县城5公里.故选B.
5.能确定某学生在教室中的具体位置的是 ( )
A.第3排 B.第2排以后
C.第2列 D.第3排第2列
解析:A.第3排,不知道第几列,无法确定位置,故本选项错误;B.第2排以后,第几排和第几列都不确定,无法确定位置,故本选项错误;C.第2列,不确定是第几排,无法确定位置,故本选项错误;D.第3排第2列可以确定位置,故本选项正确.故选D.
6.(1)在电影票上,将“8排9座”简记为(8,9),则(10,12)表示的含义是 .
(2)如果用(8,4)表示八年级四班,则七年级三班可表示成 .
解析:根据有序实数对的意义分析解答即可.
答案:(1)10排12座 (2)(7,3)
7.如图所示,方格中有25个汉字,如四1表示“天”,请沿着以下路径去寻找你的礼物:
(1)一1→三2→二4→四3→五1;
(2)五3→二1→二3→一5→三4;
(3)四5→四1→一2→三3→五2.
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解析:根据表格,分别找出各路线表示的汉字,排列即可.
解:(1)一1表示我,三2表示是,二4表示最,四3表示棒,五1表示的,
所以礼物为:我是最棒的.
(2)五3表示努,二1表示力,二3表示就,一5表示能,三4表示行,
所以礼物为:努力就能行.
(3)四5表示明,四1表示天,一2表示会,三3表示更,五2表示好,
所以礼物为:明天会更好.
8.在我国沿海地区,几乎每年夏秋两季都会或多或少地遭受台风的侵袭,加强台风的监测和预报,是减轻台风灾害的重要措施.下表是中央气象台2010年发布的第13号台风“鲇鱼”的有关信息:
时间
台风中心位置
东经
北纬
2010年10月16日23时
129.5°
18.5°
2010年10月17日23时
124.5°
18°
请在下面的经纬度地图上找到台风中心在16日23时和17日23时所在的位置.
解析:首先可以确定经度,再确定纬度,分别找出描点即可.
解:根据经纬度地图直接找到台风中心在16日23时和17日23时所在的位置即可,如图所示.
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9.如图所示,一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动.它从A处出发去看望B,C,D处的其他甲虫,规定:向上向右走为正,向下向左走为负.从A到B记为:A→B(+1,+4),从B到A记为:B→A(-1,-4),其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向.
(1)A→C( , ),B→C( , ),C→D( , );
(2)若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D,请计算该甲虫走过的最少路程;
(3)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为(+2,+2),(+2,-1),(-2,+3),(-1,-2),请在图中标出P的位置.
解析:(1)根据第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向,结合图形写出即可.(2)根据行走路线列出算式计算即可得解.(3)根据方格和标记方法作出线路图即可得解.
解:(1)A→C(+3,+4),B→C(+2,0),C→D(+1,-2).
(2)1+4+2+1+2=10.
(3)点P如图所示.
10.如图(1)所示,将射线OX按逆时针方向旋转β角,得到射线OY,如果点P为射线OY上的一点,且OP=a,那么我们规定用(a,β)表示点P在平面内的位置,并记为P(a,β),例如,图(2)中,如果OM=8,∠XOM=110°,那么点M在平面内的位置记为M(8,110),根据图形,解答下面的问题.
(1)如图(3)所示,如果点N在平面内的位置记为N(6,30),那么ON= ;∠XON= .
(2)如果点A,B在平面内的位置分别记为A(5,30),B(12,120),试求A,B两点之间的距离并画出图形.
(1)
(2)
(3)
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解析:(1)由题意得表示位置的第一个数字表示此点与点O的距离,第二个数字表示点O与此点所连射线与OX所夹的角的度数;(2)根据相应的度数判断出△AOB的形状,再利用勾股定理得出AB的长.
解:(1)根据点N在平面内的位置记为N(6,30),可知ON=6,∠XON=30°.
(2)如图所示.∵A(5,30),B(12,120),∴∠BOX=120°,∠AOX=30°,∴∠AOB=90°,
∵OA=5,OB=12,
∴在Rt△AOB中,AB==13.
19.1 确定平面上物体的位置
探究1 用有序数对表示物体位置
探究2 用方位角和距离表示物体的位置
一、教材作业
【必做题】
1.教材第32页练习第1,2题.
2.教材第32页习题第1,2题.
【选做题】
教材第32页习题第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示是做课间操时,小明,小刚和小红三人的相对位置,如果用(4,5)表示小明的位置,(2,4)表示小刚的位置,则小红的位置可表示为 ( )
A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,2)
(第1题图)
(第2题图)
2.如图所示,点O,M,A,B,C在同一平面内,若规定点A的位置记为(50,20°),点B的位置记为(30,60°),那么,图中点C的位置应记为 ( )
A.(60°,30) B.(110°,34)
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C.(34,4°) D.(34,110°)
3.气象台为了预报台风,首先要确定台风中心的位置,则下列说法能确定台风中心位置的是 ( )
A.西太平洋 B.距电台500海里
C.北纬28°,东经36° D.湛江附近
4.若李玲从学校出发先向东走1000米,再向南走1500米便可到家,则用(1000,-1500)表示李玲家的位置,若王辉从学校出发先向西走500米,再向北走2000米便可到家,则用(-500,2000)表示王辉家的位置,若刘晓从学校出发先向东走1500米,再向北走1500米便可到家,则刘晓家的位置可表示为 ( )
A.(1500,1500) B.(-1500,1500)
C.(1500,-1500) D.(-1500,-1500)
5.如图所示,若用“C4”表示“孝”,则“A5-B4-C3-C5”表示 ( )
A.爱满乡村 B.孝老敬亲
C.国学引领 D.板桥中学
6.按下面的叙述,能确定位置的选项是 ( )
①小军家在距离天安门广场500 m的地方;②李老住在希望小区10栋,3单元,607室;③妈妈说下班后在图书大厦的一层西北角等我;④北京电视台在北京西客站的西北方向.
A.①② B.②③④ C.①②③ D.②③
【能力提升】
7.小明的爷爷退休生活可丰富了!下表是他某日的活动安排.和平广场位于爷爷家东400米,老年大学位于爷爷家西600米.从爷爷家到和平路小学需先向南走300米,再向西走400米.
早晨6:00~7:00
与奶奶一起到和平广场锻炼
上午9:00~11:00
与奶奶一起上老年大学
下午4:30~5:30
到和平路小学讲校史
(1)请依据图示中给定的单位长度,在图中标出和平广场A、老年大学B与和平路小学C的位置;
(2)求爷爷家到和平路小学的直线距离.
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8.如图所示,已知射线OX,当OX绕端点按逆时针方向旋转30°到OA时,如果线段OA的长是2 cm,那么点A用A(2,30°)表示.
(1)画出两点B(3,50°),C(4,140°)的位置;
(2)量出BC的长(精确到0.1 cm);
(3)求B点的方位角.
9.如图所示,为某城市的街道平面图,图中的线段表示道路.
(1)若A点所在的2街5大道的十字路口的位置可用(2,5)表示,那么B点可用什么方式表示?
(2)找出从A点到B点的一条最短线路,并用适当的方式表示这条最短线路;
(3)想一想,从A到B的最短线路共有多少条?
10.小李、小明、小刚、小强、小华、小亮是很要好的伙伴,他们家的位置如图所示.一天,小李说:“如果以我家为中心,你们各自家的位置在哪儿,知道吗?”其余小伙伴说:“当然知道了.”小李说:“这样吧,你们若回答出下列问题,就证明你们知道.”
(1)南偏东60°的方向上有谁的家?要确定小刚家的位置,还需要知道什么?
(2)小明家在小李家的什么方向?
(3)距小李家图上距离为0.9 cm处的地方有谁的家?
(4)想确定他们每个小伙伴的家的位置,各需要哪些数据?
11.如图所示,小明家在A(10,8)处,小刚家在B(4,4)处,从小明家到小刚家可以按下面的两条路线走.
路线一:(10,8)→(10,7)→(8,7)→(8,6)→(6,6)→(6,5)→(4,5)→(4,4);
路线二:(10,8)→(4,8)→(4,4).
(1)请你在图上画出这两条路线,并比较这两条路线的长短;
(2)请你依照上述方法再写出一条路线.
12.李娜和王欣相约一起去看电影,他们买了两张电影票,座位号分别是7排11座和7排12座,可表示为(7,11)和(7,12).
(1)怎样才能既快又准确地找到座位?
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(2)李娜和王欣的座位是否挨在一起?
(3)(11,7)和(12,7)分别表示几排几座呢?
【拓展探究】
13.如图所示,雷达探测器测得六个目标A,B,C,D,E,F出现.按照规定的目标表示方法,目标C,F的位置表示为C(6,120°),F(5,210°).
(1)按照此方法表示目标A,B,D,E的位置.
A: ;B: ;D: ;E: .
(2)若目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800米,目标F的实际位置是南偏西60°距观测站1500米,写出目标A,B,D,E的实际位置.
(3)若另有目标G在东南方向距观测站750米处,目标H在南偏东15°距观测站900米处,在图中表示出G,H的位置.
【答案与解析】
1.D(解析:根据已知两点的位置特点可以确定小红的位置.)
2.D(解析:∵规定点A的位置记为(50,20°),点B的位置记为(30,60°),∴图中点C的位置应记为(34,110°).)
3.C
4.A
5.D(解析:∵用“C4”表示“孝”,∴A5表示板,B4表示桥,C3表示中,C5表示学.)
6.D(解析:①小军家在距离天安门广场500 m的地方,没有方向,无法确定位置,故①错误;②李老住在希望小区10栋,3单元,607室,位置确定,故②正确;③妈妈说下班后在图书大厦的一层西北角等我,位置确定,故③正确;④北京电视台在北京西客站的西北方向,没有距离,无法确定位置,故④错误.)
7.解:(1)如图所示. (2)爷爷家到和平路小学的直线距离为=500(米).
8.解:(1)如图所示. (2)量得BC的长为5.0 cm. (3)B点的方位角为北偏东40°.
9.解:(1)因为B点所在的位置是5街3大道的十字路口,所以B点可用(5,3)表示. (2)(2,5)→(5,5)→(5,3)(答案不唯一). (3)从A到B的最短线路共有10条.
10.解:(1)南偏东60°的方向上有小刚家和小亮家.要确定小刚家的位置,还需要知道小刚家与小李家的距离. (2)小明家在小李家的北偏东60°的方向. (3)
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距小李家图上距离为0.9 cm处的地方有小华家、小刚家和小强家. (4)确定他们每个小伙伴的家的位置,需要各家相对于小李家的方向和与小李家的距离.
11.解:(1)如图所示,这两条路线的长度一样. (2)路线三:(10,8)→(10,4)→(4,4),如图所示.(答案不唯一)
12.解:(1)先找第7排,再找11座和12座. (2)若分单号区与双号区,则李娜和王欣的座位没挨在一起;若没分单号区与双号区,则李娜和王欣的座位挨在一起. (3)(11,7)表示11排7座,(12,7)表示12排7座.
13.解:(1)A(5,30°),B(2,90°),D(4,240°),E(3,300°). (2)1800÷6=300(米),A的实际位置:北偏东60°距观测站1500米,B的实际位置:正北方距观测站600米,D的实际位置:南偏西30°距观测站1200米,E的实际位置:南偏东30°距观测站900米. (3)G,H的位置如图所示.
本节课以解决生活中的问题为主线,利用学生已有的知识经验和认知水平,有意地为学生的学习活动设置障碍,从学生在教室中的位置入手,充分利用学生的生活经验,唤醒了学生已有的知识,引入用一对数表示物体的位置的方法,展示数学的现实性,并渗透平面内的点和有序数对的一一对应关系.教师在教学过程中,通过大量的实例,让学生发现探究用有序数对确定位置的方法,并不断地边总结边练习,充分调动了学生的学习积极性,使学生体会到有序数对对于表示物体位置的重要性,同时渗透了确定物体位置的多种方法.
在用方位角确定物体的位置时,有部分学生对于方位掌握得不好,不能正确地确定方位.原因是有的学生对于平面上的方向掌握不清楚,导致在判断的时候出现错误.并且对于不同的参照物,不能灵活地加以分析和应用.
在探究2的过程中,可引导学生先复习方位,明确“上北下南,左西右东”等方向,这样能更深刻地让学生辨明方向,另外对于“观察与思考”的教学,
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可引导学生换一个参照物进行分析,提高学生解决问题的能力,从而更加明确,参照物不同,表示物体的位置的结果是不同的.
练习(教材第32页)
1.解:(1)A2:李明;B3:86;C4:90;D5:91. (2)王涛的数学成绩:B4;张磊的英语成绩:D3.
习题(教材第32页)
1.解:(1)白后(d,1),黑车(f,6). (2)白后(4,1),黑车(6,6). (3)(3,3)→(3,7)→(5,7)→(5,2).
2.解:新华书店在学校的北偏西40°方向上,距离学校0.8 km处;少年宫在学校的南偏西20°方向上,距离学校1.6 km处;超市在学校的北偏东60°方向上,距离学校1.1 km处.
确定位置的方法.
(1)行列定位法:该方法是确定平面内某物体位置的重要方法之一,在这种方法中,常把平面分成若干行、列,然后利用行号和列号表示平面上点的位置,在此方法中,要准确描述出某点的位置需两个互相独立的数据,两者缺一不可,此方法也是平面直角坐标系内容的一个铺垫.
(2)“极坐标”定位法:“极坐标”定位法是生活中常用的方法,运用此法需要两个数据:①方位角;②距离.两者缺一不可.如:在野外问路时常常得到这样的答复:“往西南方向走5公里就到了”,“学校的实验楼位于大门口的北偏东35°,距离大门200米处”.
(3)区域定位法:区域定位也是生活中常用的方法,它需要两个数据才能确定物体的位置,用区域定位法确定物体的位置时具有简单明了的特点,但有时往往不精确,所以在要求准确描述物体的位置时,有的同学为省事选此法易出错,因此要视情况加以选择.
(4)经纬定位法:该法是确定位置的重要方法之一,它也需要两个数据——经度、纬度.此方法在地理学中有着极其广泛的应用.
19.2 平面直角坐标系
1.理解平面直角坐标系的定义,能画出直角坐标系.
2.在给定的直角坐标系中,能由坐标描出点的位置,能由点的位置确定它的坐标.
3.能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置.
1.通过画坐标系,由点找坐标等过程,发展学生数形结合的思想,合作交流的意识.
2.通过对一些点的坐标观察,探索坐标轴上的点的特征、对称点的特征和象限内点的特征,培养学生的探索意识和能力.
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1.在探索的过程中,掌握平面直角坐标系与现实世界的密切联系以及它对人类历史发展的作用.
2.提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心.
【重点】
理解平面直角坐标系的有关知识,能建立直角坐标系确定点的坐标.
【难点】
平面直角坐标系中的坐标特点.
第课时
1.掌握平面直角坐标系的概念和各部分的名称.
2.能正确画出平面直角坐标系.
3.初步理解坐标平面内点与有序数对的一一对应关系,并能熟练地由点的位置求坐标和确定平面上点的坐标.
经历从实际问题抽象出直角坐标系的过程,掌握确定坐标系内点的坐标的方法.
体验平面直角坐标系是从具体问题中抽象出来的一种处理平面上点和数的关系的数学模型,欣赏平面直角坐标系所具有的对称美.
【重点】
由点求坐标及(a,b),(b,a)的区别和书写顺序.
【难点】
坐标平面内的点与有序数对的一一对应关系.
【教师准备】 课件1~7.
【学生准备】 复习平面上物体位置的表示方法,直尺.
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导入一:
1.什么是数轴?(规定了原点、正方向及单位长度的直线.)
2.数轴上的点与实数间的关系是什么?
(一一对应关系,即数轴上每一个点的位置都能用一个实数表示,反之,任何一个实数在数轴上都有唯一的一个点和它对应,这个实数叫做这个点在数轴上的坐标)
[设计意图] 利用复习,复旧导新,体现知识间的必然联系,使学生认识到所学知识的关联性,从而积极地进入到本节课的学习之中.
导入二:
提出问题:
(1)在电影院里怎样确定一个观众的位置?
(2)在现实生活中这样的例子很多,你们能不能举出一些现实生活中用一对实数来表示平面内点的位置的例子呢?
(3)究竟如何用一对实数来表示平面内点的位置呢?接下来介绍笛卡儿的平面直角坐标系.
[设计意图] 由电影院里观众的位置抽象出用一对实数来表示平面上点的位置的数学问题,没有急于给出平面直角坐标系的概念,而是给学生一段时间去思考,去交流.然后介绍笛卡儿的平面直角坐标系,体现了引入新知识的一个重要原则——由自然到必然.
导入三:
一条直线上的点,我们可以借助数轴,利用代数知识研究它.
数轴上的每一个点都对应一个实数,我们把这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.
平面上的点,我们怎样去研究,用什么方法表示它呢?这就需要引入一个新的工具——平面直角坐标系.
[设计意图] 体现知识的连续性,直接导入本节课的学习内容,使学生明确学习目标.
[过渡语] 建立平面直角坐标系之后,就可以用有序实数对来表示平面上点的位置.
思路一
1.初步感知
【课件1】 如图是某城市部分街道的示意图.在繁星大道和中山路的交叉口点O处,小亮向交警叔叔问路.
【思考】
(1)按照交警的指示,小亮能找到图书大厦吗?
(2)如果约定以点O处为参照点,先说出向东(或向西)方向上的距离,再说向北(或向南)方向上的距离,那么图书大厦附近交叉路口P点可以怎样表示?
指导学生说出P点可以表示为(东3 km,北2 km).
如果我们把中山路看成一条数轴(向东的方向为正),把繁星大道看成另一条数轴(向北的方向为正),把它们的交点O看成两条数轴的公共原点,以1 km作为数轴的单位长度,那么点P的位置就可以用一对数(3,2)来表示.
教师展示建立的方法,让学生观察并思考下列问题:
(1)点A,B,C的位置应如何表示?
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(2)你能在图中找到用(3,-1.5),(-2,2)表示的点的位置吗?
(3)街道所在平面上的任何一点,它的位置都可以用一对数表示出来吗?举例说明.
小组讨论、合作交流上述3个问题.
2.知识讲解
在数学中,我们可以用一对有序实数对来确定平面上点的位置.
【课件2】 展示图(1)介绍建立平面直角坐标系的方法和相关概念.
归纳:在平面内,画两条有公共原点且互相垂直的数轴,就构成了平面直角坐标系,简称直角坐标系.水平方向的数轴叫做x轴(或横轴),取向右为正方向;竖直方向的数轴叫做y轴(或纵轴),取向上为正方向.
[知识拓展] (1)x轴和y轴的单位长度可以相同,也可以不同,它与数轴一样,其单位长度是根据需要确定的.
(2)由于x轴和y轴是数轴,所以数轴上的点一律不带单位,若所画的平面直角坐标系具有实际意义,则一般在表示横轴和纵轴的字母后附上单位.
【课件3】 出示图(2)介绍点A坐标的确定方法,并让学生说出M,N,P,Q的坐标,
3.例题讲解
【课件4】
(教材第35页例1)如图(1)所示,在平面直角坐标系中,描出点A(0,4),B(4,2),C(2,-3),D(-2,-3),E(-4,2),并依次连接ABCDEA.
解:在y轴上描出表示4的点,即得A(0,4).
分别过x轴上表示4的点和y轴上表示2的点,作x轴和y轴的垂线,两条垂线的交点就是点B(4,2).
同理,可以描出C,D,E三点.
依次连接ABCDEA,得到图(2)中所示的图形.
教师指导点A(0,4)是在y轴上表示4的点,其他的点学生独立完成.
请同学们在练习本中建立坐标系,在坐标平面内任取一点P,过点P作横轴和纵轴的垂线,分别标出垂足M,N,垂足M,N分别在两条坐标轴上各有几个实数和它相对应?
学生动手操作,举手回答问题.
明确垂足M,N分别在横轴和纵轴上对应的实数都是唯一的,其中垂足M在横轴,M对应的实数叫做点P的横坐标;垂足N在纵轴上,对应的实数叫做点P的纵坐标.
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由此可知,在平面内任取一点,总有唯一的有序实数对和它对应.
[知识拓展] 坐标是指一对有序实数,其中“有序”是指顺序,顺序是先横后纵,即先写横坐标,后写纵坐标,它们之间用“,”分开,其位置不能颠倒.
已知P1的坐标为(2,3).请在上图所画的坐标平面内画出符合这种条件的点,满足这种条件的点能画出几个?
学生动手尝试,交流画图的结果,并回答问题.
明确:在给定点的坐标的情况下,所画的点是唯一的,说明任给一点的坐标,坐标平面内都有唯一的一个点和它相对应.
归纳可知:有序实数对(点的坐标)与平面内的点成一一对应关系.
教师引导学生分析一一对应关系的含义.
【总结】 实数与数轴上的点具有一一对应关系,由此可知,坐标平面上的点与有序实数对具有一一对应关系,即坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示;反过来,任意一对有序实数都可以表示坐标平面上唯一一个点.
思路二
1.知识铺垫
【课件5】 说明两个问题,一是横轴表示一天24小时;二是纵轴表示由零下2度到零上10度.这就是为了工农业生产的需要,气象工作者绘制的24小时天气变化情况的记录.针对下图同学们回答下列问题:
(1)你能看出这一天最高温度在哪一点?
(2)最低温度在哪一点?
(3)8,12,18时的气温是多少度?
(4)你能说出一天中什么时刻气温最高,什么时刻气温最低?
大概你很想知道气象工作者是怎样绘制的这幅图,为了使你也能根据情况画出此图,在本节中我们首先来学习平面直角坐标系.
【课件5】 由学生自己完成.
(1)写出数轴上A,B,C,D,E各点的坐标.
(2)在数轴上分别标出坐标为-1,4,2.5,0,-1.5,-3.5的各点.
数轴上的点与实数是一一对应的,数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.知道了一个点的坐标,这个点的位置就确定了.
2.探究感知
【问题1】 你去过电影院吗?你知道在电影院是怎么找座位的吗?(×排×座)
【问题2】 你是如何确定某市在地球上的地理位置的?(东经,北纬)
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在数学中,我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置.为此,在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴(如图所示),这就建立了平面直角坐标系.通常把其中水平方向的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;竖直方向的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向.x轴与y轴的公共原点叫做坐标原点.
阅读教材35页的内容,在重要的知识点上划记.
引导学生在练习本上画出平面直角坐标系.
观察平面直角坐标系具有哪些特征.
同桌讨论,并加以总结.
归纳:平面直角坐标系具有以下特征:在同一平面内的两条数轴,①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.在平面直角坐标系中,任意一点都可以用一对有序实数来表示.
例如,图中的点P,从点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为M和N.这时,点M在x轴上对应的数为3,称为点P的横坐标;点N在y轴上对应的数为2,称为点P的纵坐标.依次写出点P的横坐标和纵坐标,得到一对有序实数(3,2),称为点P的坐标.这时点P可记作P(3,2).
【课件6】 画平面直角坐标系,并在图中描出坐标是(2,3),(-2,3),(3,-2)的点Q,S,R,Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗?S(-2,3)与R(3,-2)是同一点吗?
加问1:从上题中,对于平面直角坐标系上的点和有序实数对来说,你有什么发现吗?
(平面直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的.)
加问2:请你谈谈这句话的含义.
【课件7】 图中是某市旅游景点示意图,请建立适当的坐标系,使横轴与网格线的横线平行,纵轴与网格线的竖线平行,并且使青云山的坐标为(3,-2),然后再写出下列各景点的坐标.
徂徕山 ,林放故居 ,汶河发源地 ,望驾山 .
〔解析〕 根据青云山的位置向上两个单位,再向左3个单位,可得坐标原点,根据景点所处的位置,可得答案.以金斗山市政府所在的网格线的横线为x轴,竖线为y轴,金斗山市政府为坐标原点建立直角坐标系,如图所示.
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答案:(-6,-3) (-3,-5) (-2,5) (4,4)
[设计意图] 通过充分的知识铺垫,引入平面直角坐标系,边讲边练,让学生对知识有充分的理解和掌握.
1.在平面内,画两条有公共原点且互相垂直的数轴,就构成了平面直角坐标系,这个平面叫做坐标平面,两条数轴叫做坐标轴.水平方向的数轴叫做x轴(横轴),取向右为正方向;竖直方向的数轴叫做y轴(纵轴),取向上为正方向.x轴与y轴的公共原点叫做坐标原点.
2.在直角坐标系里,根据点A的位置写出其坐标的方法是:从点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足在x轴和y轴上对应的数分别是x0(叫做点A的横坐标)和y0(叫做点A的纵坐标),有序实数对(x0,y0)叫做点A的坐标,记为A(x0,y0).
1.如图是丁丁画的一张脸的示意图,如果用(0,2)表示靠左边的眼睛,用(2,2)表示靠右边的眼睛,那么嘴的位置可以表示成 ( )
A.(1,0) B.(-1,0)
C.(-1,1) D.(1,-1)
解析:根据左眼、右眼的坐标画出直角坐标系,然后写出嘴的位置对应的点的坐标.故选A.
2.在一次“寻宝”游戏中,“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点A(2,3),B(4,1),A,B两点到“宝藏”点的距离都是,则“宝藏”点的坐标是 ( )
A.(1,0) B.(5,4)
C.(1,0)或(5,4) D.(0,1)或(4,5)
解析:宝藏点的位置如图(2)所示,坐标为(1,0)或(5,4).故选C.
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(1)
(2)
3.在平面内有A,B两点,若以B点为原点建立平面直角坐标系,则点A的坐标为(2,5),若以A点为原点建立平面直角坐标系,则点B的坐标为 ( )
A.(-2,-5) B.(-2,5)
C.(2,-5) D.(2,5)
解析:∵以B点为原点建立平面直角坐标系,则点A的坐标为(2,5),∴以A点为原点建立平面直角坐标系,则点B的坐标为(-2,-5).故选A.
4.如图所示,茗茗从点O出发,先向东走15米,再向北走10米到达点M,如果点M的位置用(15,10)表示,那么(-10,5)表示的位置是 ( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
解析:根据题意可得:茗茗从点O出发,先向东走15米,再向北走10米到达点M,如果点M的位置用(15,10)表示,即向西走为x轴负方向,向南走为y轴负方向,则(-10,5)表示的位置是从原点出发,向西走10米,向北走5米,即点D所在位置.故选D.
5.(2016·山西中考)如图是利用网格画出的太原市地铁1,2,3号线路部分规划示意图,若建立适当的平面直角坐标系,表示双塔西街的点的坐标为(0,-1),表示桃园路的点的坐标为(-1,0),则表示太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标是 .
解析:根据桃园路的点的坐标可知1号线起点所在的横线为x轴,根据双塔西街的点的坐标可知2号线起点所在的竖线为y轴,建立平面直角坐标系,确定太原火车站的点的坐标.故填(3,0).
6.如图所示,这是某城市部分简图,每个小正方形的边长为1个单位长度,已知火车站的坐标为(1,2),试建立平面直角坐标系,并分别写出其他各地点的坐标.
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解析:利用火车站的坐标为(1,2),得出原点位置,进而建立平面直角坐标系得出各点坐标.
解:如图所示,建立平面直角坐标系,可得:
医院的坐标为(-1,0),
文化馆的坐标为(-2,3),
体育场的坐标为(-3,5),
宾馆的坐标为(3,4),
市场的坐标为(5,5),
超市的坐标为(3,-1).
7.星期天,小明、小刚、小红三名同学到公园玩时走散了,以中心广场为坐标原点,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立坐标系,他们对着景区示意图通过电话互报出了自己的位置(图中小正方形的边长代表100 m).
小明:“我这里的坐标是(-300,300).”
小刚:“我这里的坐标是(-200,-200).”
小红:“我这里的坐标是(300,-300).”
(1)在图中建立平面直角坐标系;
(2)指出小明、小刚、小红在图中所在的位置;
(3)写出音乐台的坐标.
解析:建立平面直角坐标系,然后根据点的位置的确定方法找出三人的位置即可.
解:(1)建立平面直角坐标系,如图所示.
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(2)小明、小刚、小红在图中所在的位置,如图所示.
(3)音乐台的坐标为(0,500).
8.小强放学后,先向东走了300米,再向北走了200米,到书店A买了一本书,然后向西走了500米,再向南走了100米,到快餐店B买了零食,又向南走了400米,再向东走了800米,回到他家C,如图,以学校为原点建立坐标系,图中的每个单位长度表示100米.
(1)请在图中的坐标系中标出A,B,C的位置,并写出A,B,C三点的坐标;
(2)如果超市D的坐标为(-1,-3),邮局E的坐标为(4,2),请在图中标出超市和邮局的位置;
(3)请求出小强家到超市的实际距离.
解析:(1)利用小强所走路线可在坐标系中标出A,B,C的位置,然后根据A,B,C三点的位置写出A,B,C三点的坐标;(2)利用D点和E点坐标标出超市和邮局的位置;(3)先求出CD的长,再乘100即可得到小强家到超市的实际距离.
解:(1)如图所示,A(3,2),B(-2,1),C(6,-3).
(2)如图所示.
(3)因为CD=7,
所以小强家到超市的实际距离为700米.
9.如图所示,已知A,B两村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车在x轴上行驶,从原点O出发.
(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?写出此点的坐标;
(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?写出此点的坐标.
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解析:根据垂线段最短的原则确定最近点的位置,并用坐标表示.
解:(1)汽车行驶到点A到x轴的垂线段的垂足处时,离A村最近,此点的坐标为(2,0).
(2)汽车行驶到点B到x轴的垂线段的垂足处时,离B村最近,此点的坐标为(7,0).
第1课时
1.平面直角坐标系
2.x,y轴,坐标原点
例题
3.坐标平面内的点与有序实数对一一对应
一、教材作业
【必做题】
1.教材第36页练习第1,2题.
2.教材第37页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第38页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图是坐标系的一部分,若M位于点(2,-2)上,N位于点(4,-2)上,则G位于点 ( )
A.(1,3) B.(1,1) C.(0,1) D.(-1,1)
(第1题图)
(第2题图)
2.如图所示,每个小方格的边长为1,如果E点的坐标是(-2,3),那么原点最可能在 ( )
A.A点 B.B点 C.C点 D.D点
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3.如图,在象棋盘上,每个小方格均为正方形,某同学在棋盘上以小正方形的边长为1个单位长度,以正方形的边所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系.若“帅”所在点的坐标为(2,-1),则“炮”所在点的坐标为 ( )
A.(-1,1) B.(1,1) C.(-1,3) D.(-5,1)
(第3题图)
(第4题图)
4.如图所示,A为河岸上的码头,B为河中的一只小船,那么这只小船的位置确定方法不能是 ( )
A.以A为原点,河岸为x轴,建立直角坐标系来确定
B.以A为原点,河岸为y轴,建立直角坐标系来确定
C.以A,B间的距离和B在A的北偏东若干度来确定
D.以B为原点,平行于河岸的直线为x轴,建立直角坐标系来确定
5.如图所示,每个小方格的边长都为1,在直角坐标系中,如果图书馆的横坐标与实验楼的横坐标互为相反数,大门的纵坐标与实验楼的纵坐标互为相反数,则图书馆的坐标是 ( )
A.(1,5) B.(-2,3)
C.(-2,-1) D.(-2,1)
6.如图是某次战役中缴获的敌人防御工事的地图碎片,依稀可见,一号暗堡的坐标为(8,4),四号暗堡的坐标为(-4,6),另有情报可知,指挥部坐标为(0,0),则指挥部的位置大致在 ( )
A.A处 B.B处 C.C处 D.D处
7.下列关于有序数对的说法正确的是 ( )
A.(3,4)与(4,3)表示的位置相同
B.(a,b)与(b,a)表示的位置肯定不同
C.(3,5)与(5,3)是表示不同位置的两个有序数对
D.有序数对(4,4)与(4,4)表示两个不同的位置
【能力提升】
8.小刘是快餐店的送货员,如果快餐店的位置记为(0,0),现有位置分别是A(100,0),B(150,-50),C(50,100)三位顾客需要送快餐,小刘带着三位顾客需要的快餐从快餐店出发,
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依次送货上门服务,然后回到快餐店.请你设计一条合适的送货路线并计算总路程有多长.(画出坐标系后用“箭头”标出)
9.如图,一个小正方形网格的边长表示50米.A同学上学时从家中出发,先向东走250米,再向北走50米就到达学校.
(1)以学校为坐标原点,向东为x轴正方向,向北为y轴正方向,在图中建立直角坐标系;
(2)B同学家的坐标是 ;
(3)在你所建的直角坐标系中,如果C同学家的坐标为(-150,100),请你在图中描出表示C同学家的点.
10.下图中标明了李明同学家附近的一些地方.
(1)根据图中所建立的平面直角坐标系,写出学校、邮局的坐标.
(2)某星期日早晨,李明同学从家里出发,沿着(-2,1)→(-1,-2)→(1,-2)→(2,-1)→(1,-1)→(1,3)→(-1,0)→(0,-1)的路线转了一下,连接他所经过的地点,你能得到什么图形?
11.下图中标明了小红家附近的一些地方,建立平面直角坐标系如图所示.(小方格的边长为1)
(1)写出游乐场和糖果店的坐标;
(2)某星期日早晨,小红同学从家里出发,沿着(1,3),(3,-1),(0,-1),(-1,-2),(-3,-1)的路线转了一下,又回到家里,写出路上她经过的地方.
【拓展探究】
12.如图(小方格的边长为1),这是某市部分简图.
(1)请你根据下列条件建立平面直角坐标系(在图中直接画出):①火车站为原点,②宾馆的坐标为(2,2).
(2)市场、超市的坐标分别为 , ;
(3)请将体育场、火车站和宾馆看作三点,用线段连起来,得△ABC,然后将此三角形向下平移4个单位长度,再画出平移后的△A'B'C'(在图中直接画出);
(4)根据坐标情况,求△ABC的面积.
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【答案与解析】
1.C(解析:由“M位于点(2,-2)上,N位于点(4,-2)上”知,y轴为从左向数的第三条竖直直线,且向上为正方向,x轴是从下往上数第五条水平直线,向右为正方向,这两条直线交点为坐标原点.如图,那么G点的位置为(0,1).)
2.D(解析:因为E点的坐标是(-2,3),则原点在E点右边2个单位长度,下方3个单位长度处,即D点的位置.)
3.A(解析:由“帅”所在点的坐标为(2,-1),知y轴为从左向右数的第三条竖直直线,且向上为正方向,x轴是从上向下数的第三条水平直线,这两条直线交点为坐标原点.那么“炮”所在点的坐标为(-1,1).)
4.D
5.D(解析:由图书馆的横坐标与实验楼的横坐标互为相反数,大门的纵坐标与实验楼的纵坐标互为相反数,建立直角坐标系如图所示,图书馆的坐标为(-2,1).)
6.B
7.C(解析:根据有序数对的意义对各选项分析判断后利用排除法求解.)
8.解:本题答案不唯一,如图所示是其中的一条,即向北走100 m,再向东走50 m到C;接着向南走100 m,再向东走50 m到A;接着向东走50 m,再向南走50 m到B;接着向西走150 m,再向北走50 m回到O.尽可能少走重复路段,如图所示,所走的路程最短,共为600 m.
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9.解:(1)如图所示. (2)B同学家的坐标是(200,150). (3)如图所示.
10.解:(1)学校的坐标是(1,3),邮局的坐标是(0,-1). (2)如图所示,连接他所经过的地点,得到的图形像帆船.
11.解:(1)游乐场的坐标是(3,2),糖果店的坐标是(-1,2). (2)小红同学从家里出发,沿着(1,3),(3,-1),(0,-1),(-1,-2),(-3,-1)的路线转了一下,她经过的地方是学校——公园——姥姥家——宠物店——邮局.
12.解:(1)如图所示. (2)市场的坐标为(4,3),超市的坐标为(2,-3). (3)如图所示. (4)△ABC的面积=3×6-×2×2-×4×3-×1×6=18-2-6-3=7.
本课采用了复习提问——创设情境——提出问题——解决问题——巩固应用的教学过程.这样的过程使学生不仅获得了书本上的知识,而且展示了知识形成过程,以及各个知识间的相互联系,帮助学生形成了知识体系,完善了认知结构,拓展知识应用.这样教学不仅使学生理解了学习内容,而且使学生掌握了学习的方法,更好地利用所学知识解决问题.在整个教学过程中,教师始终结合教材内容,由课题引入到问题解决,自始至终向学生渗透数学应用意识,培养了学生应用数学的能力,揭示了数学源于生活,数学与人们日常生活息息相关.
本节课的重点是让学生会建立平面直角坐标系,确定点的坐标,并能根据点的坐标描出点的位置.在建立平面直角坐标系的过程中,部分同学建立的平面直角坐标系不够规范,
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如单位长度不统一,正方向等没有标上.教师在学生画图的过程中,没有及时进行指导和纠正,致使学生出现或多或少的错误.
在介绍平面直角坐标系的时候教师要重点强调平面直角坐标系的建立方法.教师可以先示范板书,然后让学生按照教师的步骤进行操作,在学生单独完成例题或习题的过程中,要注意巡视指导,有问题及时纠正.
练习(教材第36页)
1.解:东门(8,4),喷泉(0,2),百花坛(0,3),盆景园(-3,5),月季园(-1.5,9.5),小瀑布(3,11),热带植物园(5,8).
2.解:(1)如图①所示. (2)如图②所示.
习题(教材第37页)
A组
1.解:A(4,2);B(2,4);C(-3,3);D(-3,-3);E(5,-3);F(2,-4);G(0,-2).
2.解:建立的直角坐标系如图所示.各场所的坐标分别为火车站(0,0),宾馆(1,2),学校(4,3),体育馆(-5,5),文化宫(-4,2),医院(-2,-3),超市(3,-2).
3.解:如图所示.
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B组
1.解:图略.设小明家的坐标为(x,y),则y=4×=2,x==2.∴小明家的坐标为(2,2).设小芳家的坐标为(m,n),则m=n==3.∴小芳家的坐标为(-3,-3).
2.解:(1)如图所示. (2)(0,0)→(7,0)→(7,8);(0,0)→(4,0)→(4,8)→(7,8).
确定平面上物体的位置有多种方法,用直角坐标系确定平面上物体的位置的方法是其中的一种.在教学时,建议:
1.将“小亮向交警问路”的情境制作成动画片(或幻灯片),演示给学生,使学生对直角坐标系产生深刻印象,为下面正确建立平面直角坐标系奠定基础.在这个过程中,还应当补充实例(如学校周围的街道和单位),以巩固对直角坐标系的正确认识.
2.对于“观察与思考”“做一做”和例题的内容,均应先引导学生一边动脑思考,一边动手操作来完成,然后,再师生一起辨析交流,达到正确认识直角坐标系的目的.
3.平面直角坐标系中的有关概念,应让学生在解决问题的过程中逐渐加深理解,不必死记硬背.对于“由点求坐标”“由坐标描点”应强调它们的做法要领,完成所举示例内容就可以了,不必另行增加练习难度.
笛卡儿和笛卡儿坐标系的产生.
据说有一天,法国哲学家、数学家笛卡儿生病卧床,病情很重,尽管如此他还反复思考一个问题:几何图形是直观的,而代数方程是比较抽象的,能不能把几何图形与代数方程结合起来,也就是说能不能用几何图形来表示方程呢?要想达到此目的,关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩,他苦苦思索,拼命琢磨,通过什么样的方法,才能把“点”和“数”联系起来,突然,他看见屋顶上的一只蜘蛛,拉着丝垂下来,一会工夫,蜘蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”使笛卡儿的思路豁然开朗.他想,可以把蜘蛛看作一个点,它在屋子里可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢?他又想,屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线,
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如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的三条线作为三根数轴,那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数.反过来,任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应,同样道理,用一组数(x,y)可以表示平面上的一个点,平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示,这就是坐标系的雏形.
直角坐标系的创建,在代数和几何上架起了一座桥梁,它使几何概念用数来表示,几何图形也可以用代数形式来表示,由此笛卡儿在创立直角坐标系的基础上,创造了用代数的方法来研究几何图形的数学分支——解析几何,他大胆设想:如果把几何图形看成是动点的运动轨迹,就可以把几何图形看成是由具有某种共同特征的点组成的.举一个例子来说,我们可以把圆看作是动点到定点距离相等的点的轨迹,如果我们再把点看作是组成几何图形的基本元素,把数看作是组成方程的解,于是代数和几何就这样合为一家人了.
第课时
1.明确数轴上点的数据特征和四个象限中点的坐标的符号特征.
2.理解和掌握关于x轴,y轴和原点对称点的坐标.
在应用中进一步掌握平面直角坐标系的基本内容,探索点在坐标平面各个位置的特点.
以现实的题材,揭示平面直角坐标系与现实世界的联系,培养学生重视实践,善于观察的习惯.
【重点】
1.能够根据点的坐标确定平面内点的位置.
2.坐标轴上点的坐标特征和四个象限中点的坐标的符号特征.
3.关于x轴,y轴和原点对称点的特征.
【难点】
体会点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系.
【教师准备】 课件1~8.
【学生准备】 复习平面直角坐标系的相关知识,准备直尺.
导入一:
【提问】 (1)平面直角坐标系的概念是什么?
(2)请你在练习本上画出平面直角坐标系.
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学生回答后操作.
想一想:平面直角坐标系的两条坐标轴把平面分成几部分?
教师展示平面直角坐标系,指出坐标系中各部分的名称.
【总结】 平面直角坐标系的两条坐标轴将平面分成了四个部分,从右上方的部分说起,按逆时针方向,各部分依次叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限,坐标轴上的点不属于任何一个象限.
那么,同一象限内的点的坐标有怎样的共同特点呢?关于x轴,y轴和原点对称的点的坐标又有什么关系呢?让我们一起走进数学世界,探讨它们的规律,揭示课题:平面直角坐标系(2).
[设计意图] 在坐标平面上,两条坐标轴将平面分成了四个区域,不同区域内或坐标轴上的点的坐标具有不同的符号特点.导入中先介绍象限的知识,便于学生进一步的学习和探讨.
导入二:
1.在如图的平面直角坐标系中,你能说出三角形ABC三个顶点A,B,C的坐标吗?
2.思考:在上面的问题中,点B和点C的坐标之间有什么关系?每一个点的横坐标与纵坐标的符号与什么有关?
[设计意图] 设计这两个问题,一方面是复习上一节课的知识,另一方面又为本节课的学习做准备.由于本节课是建立在上一节课的基础之上的,因此以复习的方式来引入新知的学习,也不失为一种好的方法.
探究1 象限内、坐标轴上点的特征
[过渡语] 平面上的点有的在象限内,有的在坐标轴上,下面我们就来研究一下它们的特征.
思路一
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【课件1】 如图所示,八边形ABCDEFGH与两条坐标轴的交点分别是M,N,P,Q四点.
分别写出图中各点的坐标.
解:A(3,1),B(1,3),C(-1,3),D(-3,1),E(-3,-1),F(-1,-3),G(1,-3),H(3,-1),P(0,3),Q(0,-3),M(3,0),N(-3,0).
引导学生说出哪些点在象限内?哪些点在x轴上?哪些点在y轴上?
(在象限内的点有A,B,C,D,E,F,G,H;x轴上的点有M,N;y轴上的点有P,Q.)
然后分组讨论:
(1)观察各点坐标,你认为同一象限内点的坐标的共同特点是什么?
(2)指出坐标轴上点的坐标的共同特点.
解:(1)同一象限内点的横、纵坐标符号分别相同,第一、二、三、四象限内点的坐标的符号分别是(+,+),(-,+),(-,-),(+,-).
(2)x轴上的点的纵坐标都是0;y轴上的点的横坐标都是0.
[设计意图] 通过学生自己探究,既有利于对四个象限概念的理解,又有利于对点的坐标的理解.
【课件2】 口答:分别说出下列各点在哪个象限内或在哪条坐标轴上?
A(6,-2),B(0,3),C(3,7),D(-6,-3),E(-2,0),F(-9,5).
[设计意图] 这里安排一组口答练习,是为了及时运用前面的规律,培养学生的空间想象能力.
思路二
【课件3】 指出下列各点所在的象限或坐标轴:A(-2,3),B(1,-2),C(-1,-2),D(3,2),E(-3,0),F(0,1).
分析:要解决这个问题,首先要画出直角坐标系,描出给出的各点,然后按照图中所描的点的位置,给出答案.
【提问】 题中为什么要写出“所在的象限或坐标轴”?明确坐标轴上的点不属于任何象限.
由学生完成上题之后,加以评价,然后提问:
(1)坐标轴上的点的坐标有什么特征?
(2)各象限中点的坐标有何特征?(若学生对此问法不太清楚,可换一种问法:坐标是由一对有序实数组成的,这对有序实数因为点的位置在不同的象限各是什么符号的数?)
学生讨论之后,结合直角坐标系图形,让学生独立完成下面的表格.
【课件4】 根据点所在象限,用“+,-”号填表:
象限
横坐标符号
纵坐标符号
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
提问:任一点P(x,y).
(1)如果P(x,y)在第二象限,那么x,y分别是正数还是负数?
(2)如果x>0,y0,即y1和y0,y>0;如果点A(x,y)在第二象限,那么x0;如果点A(x,y)在第三象限,那么x0,b0时,点M位于第几象限?
(3)当a为任意实数,且b1,则点M(-m,-m+1)在第一象限.)
4.B(解析:∵P点位于y轴右侧,x轴上方,∴P点在第一象限,又∵P点距y轴3个单位长度,距x轴4个单位长度,∴P点横坐标为3,纵坐标为4,即点P的坐标为(3,4).)
5.D(解析:∵点P的坐标为(2-a,3a+6),且到两坐标轴的距离相等,∴|2-a|=|3a+6|,∴2-a=±(3a+6),解得a=-1或a=-4,即点P的坐标为(3,3)或(6,-6).)
6.B(解析:由题中y轴上的点P可知,P点的横坐标为0,∵点P到原点的距离为5,∴点P的纵坐标为±5,∴点P的坐标为(0,5)或(0,-5).)
7.C(解析:∵点P(2-4m,m-4)在第三象限,∴∴不等式组的解集是0,b0时,即a,b同号,故点M位于第一或第三象限. (3)当a为任意实数,且b
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