第六章 概率初步
1.能区分什么是确定事件和不确定事件,感受生活中的随机现象,并体会不确定事件发生的可能性大小.
2.通过试验感受不确定事件发生的频率的稳定性,理解概率的意义.
3.能求一些简单不确定事件发生的概率.
4.能设计符合要求的简单概率试验.
利用不确定事件发生的频率的稳定性理解概率的意义;能求一些简单不确定事件发生的概率.能判断游戏是否公平,掌握概率与面积(转盘)的关系.
学会用数学知识来解决生活中的实际问题,增强创新精神和应用数学的意识,从而实现知识来源于生活,又服务于生活的转化过程.
概率主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象.它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生的可能性的刻画,来帮助人们作出合理决策.它与其他数学领域的内容有着密切联系,本章为学生提供了将各个领域内容联系起来的机会.教材先是从掷骰子入手介绍事件发生的可能性的大小,再让学生知道事件的发生是有可能的,这也是事件发生的可能性从定性到定量的一个过渡.对事件发生的等可能性理解的好坏在一定程度上将直接关系到对后面随机事件的理解.最后教材介绍了两类概率模型(古典概型和几何概型),并要求学生能进行这两类概率的简单计算,会设计符合简单概率模型的方案.
本章主要内容是感受生活中的随机现象,并能体会不确定事件发生的可能性大小,通过试验感受不确定事件发生的频率的稳定性,理解概率的意义;能求一些简单不确定事件发生的概率.本章内容是以后进一步学习统计与概率的基础.本章主要涉及必然事件、不可能事件、确定事件、不确定事件等定义,事件A发生的频率及频率的稳定性、事件A发生的概率等概念.
【重点】
1.概率的意义.
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2.经历“猜测——试验和收集试验数据——分析试验结果——验证试验结果”的过程.
3.设计符合条件的简单概率模型.
4.会求几类事件发生的概率.
【难点】
1.概率的意义.
2.设计符合条件的概率模型.
1.在具体情境中了解必然事件和不可能事件发生的概率,体会概率的取值在0~1之间.
2.理解游戏规则对双方是否公平,运用概率的语言说明游戏的公平性,并能按要求设计游戏.
3.通过试验,获得事件发生的频率,知道大量重复试验的频率可作为事件发生的概率的估计值.
4.进行简单的概率计算,了解概率的大小与面积的关系.
1 感受可能性
1课时
2 频率的稳定性
2课时
3 等可能事件的概率
4课时
回顾与思考
1课时
1 感受可能性
通过猜测与游戏的方式,让学生进入问题情境,切身感受什么是不可能事件、必然事件、确定事件与不确定事件,知道事件发生的可能性是有大小的.
使学生在教师的指导下自主地发现问题、探究问题,获得结论,感受数学和实际生活的联系,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
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通过创设游戏情境,使学生主动参与,做数学试验,增强学生的数学应用意识,初步培养学生以科学数据为依据分析问题、解决问题的良好习惯.
【重点】 识别必然事件、不可能事件、确定事件与不确定事件.
【难点】 判断事件发生可能性的大小.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P136~137.
导入一:
[过渡语] 生活中,在我们身边每天都会有一些事情发生,有些事情一定不会发生,而有些事情却是不可预测到的.譬如,每天太阳从东方升起,不论刮风下雨,时光一定不会倒流,下周一下雨吗?不一定.
【问题】 你能猜出老师今天怎么提问同学回答问题吗?(与平时不一样,动画演示学号确定学生回答问题)
动感学号:学号=45.
[设计意图] 利用学生好奇的“动感学号”激起学生的学习兴趣,为本节课打好基础,通过学生身边生活的事例引导,让学生感受生活中的事件还有这么多的情形需要探索,引发思考,使学生初步感受到“数学来源于生活”,直接切入本节课题.
导入二:
[过渡语] 生活中有些事情一定会发生,有些事情一定不会发生,还有些事情可能会发生、也可能不会发生,下面就让我们一起去看一看.
【活动内容】
猜一猜、想一想.
1.随机投掷一枚均匀的骰子,掷出的点数会是10吗?
2.随机投掷一枚均匀的骰子,掷出的点数一定不超过6吗?
3.随机投掷一枚均匀的骰子,掷出的点数一定是1吗?
[处理方式]
1.这几个问题的答案很直接,可由学生独立完成.
2.根据学生的回答,引人新课,并板书课题——1感受可能性.
[设计意图] 通过问题情境的引入,引发思考,让学生感受生活中一些事件的多种变化.
[过渡语] 下面就让我们共同感受一下生活中的随机现象,并体会不确定事件发生的可能性大小吧!
探究活动1 三类事件
思路一
【活动内容1】
(多媒体出示)“下列事件一定发生吗?”
【思考1】
(1)普通玻璃杯从10米高处落到水泥地面上会破碎;
(2)太阳从东方升起;
(3)今天星期天,明天星期一;
(4)太阳从西方升起;
(5)一个数的绝对值小于0.
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[处理方式] 通过“动感学号”让学生回答上述问题,引出本节的知识点,并引导学生分析总结,板书概念,其中(1),(2),(3)说明“什么是必然事件?”(4),(5)说明“什么是不可能事件?”进而让学生了解何为确定事件.
[设计意图] 分类说明可以让学生易于理解确定事件的意义,让学生学会用自己的方式理解问题,确定事件分为两类,一类是(一定会发生的)必然事件,另一类是(一定不会发生的)不可能事件.
【活动内容2】
(多媒体出示)“下列事件一定发生吗?”
【思考2】
(1)掷一枚硬币,有国徽的一面朝上;
(2)买彩票恰好中奖;
(3)从商店买的饮料中奖;
(4)通过“动感学号”找同学回答问题,你肯定被选中.
[处理方式] 让学生学会类比理解,这4件事和思考1明显不一样,它们具有不确定性,有可能发生,也有可能不发生,像这样,事先无法肯定它会不会发生,这样的事件称为不确定事件(随机事件),不确定事件发生的可能性有大有小.
[设计意图] 使学生在有趣的问题中体会不确定事件(随机事件),提高学生学习数学的兴趣,积累丰富的数学活动经验,让学生感受到数学和实际生活的联系.
思路二
【活动内容1】
必然事件.
请同学们思考,下列事件一定会发生吗?说一说你的理由.(多媒体出示)
(1)普通玻璃杯从10米高处落到水泥地面上会破碎;
(2)太阳从东方升起;
(3)豆油滴入水中,油会浮在水面上.
[处理方式] 上面的3个事件一定会发生.像这样,在一定条件下,有些事情我们事先能肯定它一定发生,这些事情称为必然事件(师板书).例如:“随机投掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数不超过6”就是一个必然事件.
[设计意图] 利用生活常识及课本知识,让学生体会现实生活中的必然事件,通过对这些事件的分析,理解必然事件的特点,进一步体会数学来源于生活.
【活动内容2】
不可能事件.
请同学们思考,下列事件一定会发生吗?说一说你的理由.(多媒体出示)
(1)明天太阳从西方升起;
(2)一个数的绝对值小于0.
[处理方式] 以上2个事件一定不会发生.像这样,有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这些事情称为不可能事件(师板书).例如,“掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数是10”就是一个不可能事件(师板书).我们把必然事件与不可能事件统称为确定事件.
[设计意图] 通过类比必然事件,结合生活常识,体会不可能事件的特点,通过分析必然事件和不可能事件,进而让学生了解什么是确定事件.
【活动内容3】
不确定事件.
请同学们思考,下列事件一定会发生吗?说一说你的理由.(多媒体出示)
(1)打开电视机,正在播放足球比赛;
(2)买彩票恰好中奖;
(3)从商店买的饮料中奖;
(4)通过点名单找同学回答问题,“××”被选中.
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[处理方式] 这些事件不一定会发生.比如:当我打开电视的时候,可能放我喜欢的动画片.我买饮料时,许多时候是“谢谢品尝”,在我们的生活中,也有许多事情我们无法肯定它会不会发生,这些事情称为不确定事件,也称为随机事件(师板书).例如,“掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数一定是1”就是不确定事件.
[设计意图] 从学生身边熟悉的事物入手,结合生活实例,理解不确定事件(随机事件)的特点.通过举例说明,不仅能提高学生的学习积极性,还能积累学生的数学活动经验,再一次感受数学来源于生活.
探究活动2 不确定事件发生的可能性是有大小的
【活动内容】
利用质地均匀的骰子和同桌做游戏,规则如下:(多媒体出示)
(1)两人同时做游戏,各自掷一枚骰子,每人可以掷一次骰子,也可以连续地掷几次骰子.
(2)当掷出的点数和不超过10时,如果决定停止掷,那么你的得分就是所掷出的点数和;当掷出的点数和超过10时,必须停止掷,并且你的得分为0.
(3)比较两人的得分,谁的得分多谁就获胜.
多做几次上面的游戏,并将结果填入下表,通过这个表格我们可以看出什么结果?
第1次
点数
第2次
点数
第3次
点数
…
得分
第一次
游戏
甲
1
4
5
…
10
乙
5
4
…
9
第二次
游戏
甲
2
3
6
…
0
乙
1
…
1
第三次
游戏
甲
5
4
…
9
乙
3
1
6
…
10
…
…
…
…
…
…
…
生活中,有许多不确定事件,它们发生的可能性有大有小,你能举出几个例子吗?
[处理方式] 同学之间做游戏,将结果记入课本表格,教师巡视指导.
第一次游戏甲获胜;第二次游戏乙获胜;第三次游戏乙获胜.通过掷骰子游戏的结果可以看出:一般地,不确定事件发生的可能性是有大有小的(师板书).
举例:任意掷一枚质地均匀的骰子,结果是2的倍数比结果是3的倍数的可能性要大.
十字路口红绿黄灯时间设置不同,黄灯的时间最短,碰到它的可能性最小……
不透明的袋子中有3个红球,1个白球,所有的球除颜色外,其他完全相同.从中任意摸一个球,你认为摸到哪种颜色的球的可能性较大,说说你的理由.(摸到红球的可能性大,因为红球的数量多).
[设计意图] 通过掷骰子游戏,让学生体会不确定事件的结果,会存在这样或那样的可能,而这种可能性是有大小的.让学生自己在游戏中发现知识,总结知识,接受知识会更快、更自然、印象更深刻.让学生举例说明不确定事件的大小,进一步培养学生发现问题、解决问题的能力,体会数学知识在生活中的应用.
探究活动3 摸球游戏
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甲袋中有10个白球,乙袋中有10个红球,丙袋中有红球、白球共10个,且三个袋中所有的球除颜色外,完全相同.
判断下列事件各是什么事件:
1.从甲袋中摸到一球是红球. ( )
2.从甲袋中摸到一球是白球. ( )
3.从乙袋中摸到一球是红球. ( )
4.从乙袋中摸到一球是白球. ( )
5.从丙袋中摸到一球是红球. ( )
6.从丙袋中摸到一球是白球. ( )
[游戏提示]
1.在甲、乙两袋中,摸到球的颜色是确定的,在丙袋中,摸到的球的颜色是不确定的.
2.在丙袋中,如果红球和白球的数量不等,那么摸到红球的可能性与摸到白球的可能性是不一样的.
3.一般地,不确定事件发生的可能性是有大小的.
[设计意图] 通过摸球游戏进一步体会可能性的大小,体会数学知识在生活中的应用.通过游戏使学生体会生活中许多不确定事件发生的可能性是有大小的.同时以游戏引入知识,学生接受起来会更自然,印象会更深刻.通过亲身体验,把问题渗透到游戏中,找到求随机事件中可能性大小的方法,培养学生发现问题、解决问题的能力.
1.在一定条件下,有些事情我们事先能肯定它一定发生,这些事情称为必然事件.
2.有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这些事情称为不可能事件.
3.必然事件与不可能事件统称为确定事件.
4.许多事情我们无法肯定它会不会发生,这些事情称为不确定事件,也称为随机事件.
5.一般地,不确定事件发生的可能性是有大有小的.
1.袋子里有8个红球,m个白球,3个黑球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,若摸到红球的可能性最大,则m的值不可能是 ( )
A.1 B.3
C.5 D.10
解析:因为从中任意摸出一个球,摸到红球的可能性最大,所以红球的数量最多,故白球不可能超过8个.故选D.
2.下列事件中哪些是确定事件?哪些是不确定事件?
①阳历6月份只有30天;
②随手抛出的一个石块会落下来;
③明天是晴天;
④掷骰子掷出点数是5;
⑤1+1=2;
⑥1+1=3;
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⑦我们班20号是女生;
⑧打开电视正在播放广告;
⑨刻舟求剑;
⑩拋一枚硬币,正面朝上.
解:确定事件:①②⑤⑥⑨.
不确定事件:③④⑦⑧⑩.
3.口袋里有10只黑袜子,6只白袜子,8只红袜子,任意摸出一只袜子,什么颜色袜子被摸出的可能性最大?
解:黑袜子,因为黑袜子的数量最多.
4.小明任意买一张电影票,座位号是2的倍数与座位号是5的倍数的可能性哪个大?
解:根据题意,座号是2的倍数的末位数为0,2,4,6,8,而5的倍数末位数是0,5,比较可得:任意买一张电影票,得到的座号是2的倍数比是5的倍数的可能性要大.
5.某路口红绿灯的时间设置为:红灯40秒,绿灯60秒,黄灯4秒.当人或车随意经过该路口时,遇到哪一种灯的可能性最大,遇到哪一种灯的可能性最小?根据什么?
解:因为经过路口的红绿灯时间设置为:红灯40秒,绿灯60秒,黄灯4秒,所以绿灯时间>红灯时间>黄灯时间,所以遇到绿灯可能性最大,遇到黄灯可能性最小.
1 感受可能性
探究活动1 三类事件
探究活动2 不确定事件发生的可能性是有大小的
探究活动3 摸球游戏
一、教材作业
【必做题】
教材第138页习题6.1知识技能第1,2,3题.
【选做题】
教材第138页习题6.1数学理解第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列事件中,随机事件是 ( )
A.没有水分,种子发芽
B.367人中至少有2人的生日相同
C.在标准气压下,- 1 ℃冰融化
D.小瑛买了一张彩票获得500万大奖
2.袋中有红球4个,白球若干个,它们只有颜色上的区别,从袋中随机取出一个球,如果取到白球的可能性较大,那么袋中白球的个数可能是 ( )
A.3个 B.不足3个
C.4个 D.5个或5个以上
3.(2015·龙岩中考)下列事件:①在足球赛中,弱队战胜强队;②抛掷1枚硬币,硬币落地时正面朝上;③任取两个正整数,其和大于1;④长为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形.
其中确定事件有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
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4.下列说法正确吗?为什么?
(1)如果一件事发生的机会只有十万分之一,那么它就不可能发生;
(2)如果一件事发生的机会达到99.9%,那么它就必然会发生;
(3)如果一件事不是不可能发生的,那么它就必然发生;
(4)如果一件事不是必然发生的,那么它就不可能发生.
【能力提升】
5.口袋中有15个球,其中白球有x个,绿球有2x个,其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球,若为绿球则甲获胜;甲摸出的球放回袋中,乙从袋中摸出一个球,若为黑球则乙获胜;则当x= 时,游戏对甲、乙双方都公平.
【拓展探究】
6.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比为3∶7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上,“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大?
【答案与解析】
1.D(解析:A.是不可能事件,选项错误;B.是必然事件,选项错误;C.是不可能事件,选项错误;D.是随机事件,选项正确.故选D.)
2.D(解析:因为袋中有红球4个,取到白球的可能性较大,所以袋中的白球数量大于红球数量,即袋中白球的个数可能是5个或5个以上.故选D.)
3.B(解析:①在足球赛中,弱队战胜强队是随机事件,不是确定事件;②抛掷1枚硬币,硬币落地时正面朝上是随机事件,不是确定事件;③任取两个正整数,其和大于1是必然事件,是确定事件;④长为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形是不可能事件,是确定事件.综上可得只有③④是确定事件,共2个.故选B.)
4.解:(1)是随机事件,因为机会只有十万分之一,也可能发生,故错误. (2)是随机事件,因为机会达到99.9%,也可能不发生,故错误. (3)如果一件事不是不可能发生的,可能是随机事件,故错误.
(4)如果一件事不是必然发生的,可能是随机事件,故错误.
5.3(解析:由题意甲从袋中任意摸出一个球,若为绿球则甲获胜;甲摸出的球放回袋中,乙从袋中摸出一个球,若为黑球则乙获胜可知,绿球与黑球的个数应相等,也为2x个,列方程可得x+2x+2x=15,解得x=3.)
6.解:根据题意可得:地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3∶7,即相当于将地球总面积分为10份,陆地面积占3份,海洋面积占7份,所以落在海洋里的可能性更大.
1.本节课通过一系列游戏活动,引导学生投入到有趣的数学活动中,不仅有利于提高学生学习数学的兴趣,还可以帮助学生感受可能性的大小,发现身边的数学.让学生先通过猜想,再通过试验验证的过程,进行新知识的学习.在自主探索活动中,真正理解和掌握数学基础知识、技能,收到良好的效果.
2.学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中,培养了学生动手、合作、概括能力,同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识.
在上课过程中发现,学生对于不可能事件和确定事件的从属关系掌握不好,误把不可能事件当成不确定事件,在课后练习和辅导中应注重这方面知识的反馈和纠正.
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由于本节课的知识贴近生活,教师在课前除了自己多准备大量事例外,还应让学生多准备,生活中的例子虽然多,但让学生说的时候,不一定能说出来,此外,留给学生游戏实践的时间要充分,把时间还给学生,把问题留给学生,让学生去发现、去合作,然后共同解决,这对学生的学习非常有益.
随堂练习(教材第138页)
1.解:(1)是确定事件. (2)是不确定事件.
2.解:座位号是2的倍数的可能性大.
习题6.1(教材第138页)
知识技能
1.解:确定事件:(1)(4),不确定事件:(2)(3).
2.解:摸到红球的可能性大.摸到红球的可能性为=,摸到白球的可能性为=,因为>,所以摸到红球的可能性大.
3.解:落在白色区域的可能性大,因为白色区域的面积比红色区域和黄色区域的面积都要大.
数学理解
4.解:摸到红球的可能性由大到小排列为:⑤>④>③>②>①.
问题解决
5.提示:策略:转出的较小的数放到右面的方格里,如转出的数是0,就放到最右面的方格里,转出的较大的数放到左面的方格里,如转出的数是9,就放到最左面的方格里.
本节是七年级学生第一次接触有关概率的知识.初步学习“不可能”“必然”和“可能”的不同用法,归纳出“确定”与“不确定”这两个概念,为后面机会的“均等”与“不均等”,即概率初步知识奠定基础.通过本节的学习帮助学生预测随机事件在每次试验中发生的可能性,并学会处理数据.同时也能为下几节课的学习积累活动经验,并体会事件的随机性有大有小.
下列事件中,哪些是不确定事件?哪些是确定事件?
①一个数的平方是非负数;
②2016年9月1日会阳光明媚;
③在数学测验中,李飞把解答题都做对了;
④南极洲的地面温度在30 ℃以上.
解:①④是确定事件;②③是不确定事件.
2 频率的稳定性
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1.了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性.
2.能通过试验获得事件发生的概率.
3.进一步培养试验、收集试验数据和分析试验结果的能力以及提高合作的意识.
通过“猜测——试验和收集试验数据——分析试验结果——验证猜测”的过程,了解事件发生的概率有大小之分.以探究式、合作式学习为主.
由生活中的不确定现象引入,体会数学与人类生活的密切联系,通过对事件可能性的探索,使学生树立公平的态度和正确的世界观.
【重点】 事件的等可能性.
【难点】 体会事件发生的等可能性及发生的频率是基于大量的重复试验.
第课时
1.通过掷图钉等活动,经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等过程,体会数据的随机性.
2.理解不确定事件(随机事件)的概念,使学生在教师的指导下自主地发现问题、探究问题,获得结论,感受数学和实际生活的联系,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
1.通过试验让学生理解当试验次数较大时,试验频率稳定在某一常数附近,并据此能估计出某一事件发生的频率.
2.在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力,发展学生的辩证思维能力.
通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值.进一步体会“数学就在我们身边”,发展学生应用数学的能力.
【重点】 通过试验让学生理解当试验次数较大时,试验的频率具有稳定性,并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小.
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【难点】 大量重复试验得到频率的稳定值的分析.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P140~141.
导入一:
[过渡语] 同学们,我国彩民通过购买彩票几乎每天都会产出一个或几个百万富翁,想知道他们是怎样选号的吗?每当你路过彩票中心是不是会看到一群人聚精会神盯着大奖的走势图呢?他们究竟在找什么呢?
课件展示:
其实通过观察,我们能够发现数字的出现机会是稳定的,所以彩民朋友常常会通过观察其走势寻找可能出现的号码,然后通过组合找到自己想买的号,由于得大奖机会非常小,所以只会有少数人比较幸运.
有人统计,在福彩30选7中,数字2在30天中出现的次数是6次,在60天中出现的次数是13次,在100天中出现的次数是19次,在一年中出现的次数是75次,由此可知,随着天数的增加数字2出现的机会约为五分之一,其他数字也一样,出现的频率也是稳定的.
下面我们来做个试验探究一下吧.请拿出你们准备的图钉.
[处理方式] 以学生比较熟悉的彩票为背景,结合抛图钉游戏展开交流,引出钉尖朝上和钉尖朝下的可能性不同的猜测,进而产生通过试验验证的想法.
[设计意图] 培养学生猜测游戏结果的能力,并从中初步体会试验结果可能性有可能不同.让学生体会猜测结果,这是很重要的一步,我们所学到的很多知识,都是先猜测,再经过多次的试验得出来的.而且由此引出的猜测需要通过大量的试验来验证.这就是我们本节课要来研究的问题.
导入二:
[过渡语] 生活中我们经常遇到不确定事件,它们发生的可能性大小不同,通过做试验可以判断事件发生可能性的大小,这节课我们就来学习频率的稳定性.
小军和小凡在玩掷图钉的游戏,掷一枚图钉,落地后,通常会出现几种情况?它们是等可能的吗?那么你认为钉尖朝上和钉尖朝下的可能性一样大吗?如果不一样,你认为哪种的可能性大?
[处理方式] 同学们进行了大胆的猜测,并且有些同学还对自己的见解进行了解释.引出钉尖朝上和钉尖朝下的可能性不同的猜测,进而产生通过试验验证的想法.
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[设计意图] 学生对生活中存在的问题进行猜测,并体会试验结果的可能性有可能不同,开始体会事件发生的可能性有大有小,需要通过大量试验来验证,这就为下一环节用试验估算事件发生频率打好基础.
探究活动1 频率的试验1
从一定高度落下的图钉,落地后可能钉尖朝上,也可能是钉尖朝下.你估计哪种事件发生的可能性大.
(1)现在两人一组做20次掷图钉游戏,并将数据记录在下表中:
试验总次数
钉尖朝上的次数
钉尖朝下的次数
钉尖朝上的频率
钉尖朝下的频率
注意事项:
1.做试验一定要注意安全,不要受伤.
2.①图钉必须从同一高度自由落下,保证着地时的随机性和试验的可重复操作性;
②两人一组要进行适当的分工.
[处理方式] 引导学生明确钉尖朝上和钉尖朝下的频率大小,领会数学是来源于生活,进一步了解不确定事件的特点,发展随机观念,培养求真意识;在动手操作的过程中认识到频率的稳定性.
[设计意图] 通过分组试验让学生体验不确定事件发生的可能性的发现过程,验证之前的猜想.当试验次数较少时,规律不明显,甚至与开始的猜测有矛盾,让学生动脑得出造成这种结果的原因是试验的次数不够,培养学生发现问题、解决问题的能力.
介绍频率的定义:在n次重复试验中,不确定事件A发生了m次,则比值称为事件A发生的频率.
(2)累计全班同学的试验结果,并将试验数据汇总填入下表:
试验总
次数n
20
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
钉尖朝上
的次数m
钉尖朝上
的频率
[处理方式] 分小组试验,小组内成员要明确自己的分工任务,教师适时加以指导.试验结束要及时汇总试验数据,对试验结果加以统计.
[设计意图] 学生经过试验对这一不确定事件发生的频率有了全面地认识,通过试验进一步使学生明确钉尖朝上和钉尖朝下的频率大小,在动手操作的过程中认识到频率的稳定性,也培养了学生的小组合作能力,动手能力和思维水平.
探究活动2 频率的试验2
(3)请同学们根据已填的表格,完成下面的折线统计图.
79
出示准备好的折线统计图与学生所作的折线统计图进行比较.
(4)小明共做了400次掷图钉游戏,并记录了游戏的结果,绘制了下面的折线统计图,观察图象,钉尖朝上的频率的变化有什么规律?
【问题】 从折线统计图的绘制过程中,你发现了什么规律?
[处理方式] 引导学生思考、观察.学生可能会得出在试验次数很大时,钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动,即钉尖朝上的频率具有稳定性这样的结论.此时教师可以在此基础上强调并总结:在试验次数很大时,钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动,即钉尖朝上的频率具有稳定性.
议一议
问题1
通过上面的试验,你认为钉尖朝上和钉尖朝下的可能性一样大吗?你是怎么想的?
问题2
小军和小凡一起做了1000次掷图钉的试验,其中有640次钉尖朝上,据此,他们认为钉尖朝上的可能性大.你同意他们的说法吗?
[处理方式] 学生通过小组之间的合作、交流,绘制折线统计图,使学生学会独立处理数据.通过观察图象分析,产生初步判断,再通过观察折线图进一步验证猜想.在议一议中,学生通过小组讨论交流后得出结论.
[设计意图] 通过绘制折线统计图,进一步对数据进行处理,进而得出结论,也就突出了本节课的重点.并且也认识到频率的稳定性.在议一议环节,学生进行分组讨论,进一步加深对频率稳定性的认识,初步体会用频率可以估计事件发生的可能性的大小.
探究活动3 即时训练,发展思维
[过渡语] 通过本节课的学习,同学们都有了一定的收获!收获的效果如何?让我们一起检测一下.
【活动内容】
某射击运动员在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击总次数n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心
的次数m
9
16
41
88
168
429
861
击中靶心
的频率
(1)完成上表;
(2)根据上表,画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图;
(3)观察画出的折线统计图,击中靶心的频率的变化有什么规律?
[处理方式] 学生做题时教师检查,及时给个别学困生辅导,鼓励学生进行小组合作交流,做完的学生教师当堂批改,指出对错.最后小组进行自我评价,然后互评,对表现突出的小组进行表扬.
79
[设计意图] 本题主要是衔接本节课的探索试验题,难度不大,可以独立完成.使学生形成分析数据、计算频率、绘制图象、归纳总结的数学思维,同时进一步体会频率的稳定性.
[知识拓展] 不确定事件发生的可能性是有大小的,抛掷图钉落地后钉尖朝上和朝下的可能性不同,结果只能通过做大量的重复试验才能得到.
1.在n次重复试验中,不确定事件A发生了m次,则比值称为事件A发生的频率.
2.在试验次数很大时,钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动,即钉尖朝上的频率具有稳定性.
1.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,那么可以推算出n大约是 ( )
A.6 B.10 C.18 D.20
解析:根据题意得=30%,解得n=20,所以这个不透明的盒子里大约有20个除颜色外其他完全相同的小球.故选D.
2.掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是 ( )
A.每两次必有1次正面向上
B.可能有5次正面向上
C.必有5次正面向上
D.不可能有10次正面向上
解析:因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面,所以不管抛多少次,硬币正面朝上的可能性都是,所以掷一枚质地均匀的硬币10次,可能有5次正面向上.故选B.
3.在科学课外活动中,小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的试验,结果如下表所示:
种子数(个)
100
200
300
400
发芽种子数(个)
94
187
282
376
由此估计这种作物种子的发芽率约为 .(精确到1%)
解析:=0.939≈94%.故填94%.
4.某商场为了吸引顾客,举行抽奖活动,并规定:顾客每购买100元的商品,就可以随机抽取一张奖券,抽得奖券“紫气东来”“花开富贵”“吉星高照”,就可以分别获得100元、50元、20元的购物券,抽得“谢谢惠顾”不赠购物券;如果顾客不愿意抽奖,可以直接获得购物券10元.小明购买了100元的商品,他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下:
奖券
种类
紫气
东来
花开
富贵
吉星
高照
谢谢
惠顾
出现张数(张)
500
1000
2000
6500
(1)求“紫气东来”奖券出现的频率;
(2)请你帮助小明判断,抽奖和直接获得购物券,哪种方式更合算?说明理由.
解:(1)=或5%.
(2)平均每张奖券获得的购物券金额为100×+50×+20×+0×=14(元).
因为14>10,所以选择抽奖更合算.
79
第1课时
探究活动1 频率的试验1
探究活动2 频率的试验2
探究活动3 即时训练,发展思维
一、教材作业
【必做题】
教材第142页习题6.2知识技能第1题.
【选做题】
教材第142页习题6.2数学理解第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.某种彩票的中奖机会是1%,下列说法正确的是 ( )
A.买一张这种彩票一定不会中奖
B.买一张这种彩票一定会中奖
C.买100张这种彩票一定会中奖
D.当购买彩票的数量很大时,中奖的频率稳定在1%
2.在做图钉落地的试验中,正确的是 ( )
A.甲做了4000次,得出钉尖触地的机会约为46%,于是他断定在做第4001次时,钉尖肯定不会触地
B.乙认为一次一次做,速度太慢,他拿来了大把材料,形状及大小都完全一样的图钉,随意朝上轻轻抛出,然后统计钉尖触地的次数,这样大大提高了速度
C.老师安排每位同学回家做试验,图钉自由选取
D.老师安排同学回家做试验,图钉统一发(完全一样的图钉).同学交来的结果,老师挑选他满意的进行统计,他不满意的就不要
3.在地面上有一组平行线,相邻两条平行线的距离都是5 cm,将长为3 cm的针任意投向这组平行线,下表是九年级某班同学合作完成投针试验后统计的数据.
投针次数
100
600
1000
2500
3500
5000
针与线相
交的次数
48
281
454
861
1372
1901
相交的频率
(1)分别求出表格中各相交频率的大小;
(2)在试验次数很大时,频率应稳定于 ;
(3)根据表格中试验频率的变化,说明在题设的情况下,针与平行线相交与不相交的可能性.
【能力提升】
4.在一个不透明的袋子中,红色、黑色、白色的玻璃球共有60个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同.小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%,则口袋中白色的球的个数很可能是 个.
【拓展探究】
5.一粒木质中国象棋棋子“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字,反面是平的.将它从一定的高度掷下,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,因此某试验小组做了棋子下掷试验,试验结果如下表:
试验次数(n)
20
40
60
80
100
120
140
160
79
“兵”字面朝上的次数(m)
14
38
47
52
66
78
相应的频
率
0.7
0.45
0.59
0.52
0.56
0.55
(1)请将数据表补充完整;
(2)根据上表画出“兵”字面朝上的频率分布折线统计图;
(3)试验继续进行下去,根据上表的数据,这个试验的频率将趋于稳定,这个稳定值是多少?
【答案与解析】
1.D(解析:A.因为中奖机会是1%,可能性较小,但也有可能发生,故本选项错误;B.买1张这种彩票中奖机会是1%,即买1张这种彩票中奖的机会很小,故本选项错误;C.买100张这种彩票不一定会中奖,故本选项错误;D.当购买彩票的数量很大时,中奖的频率稳定在1%,故本选项正确.故选D.)
2.B(解析:A.在做第4001次时,钉尖可能触地,也可能不触地,故错误,不符合题意;B.符合模拟试验的条件,正确,符合题意;C.应选择相同的图钉,再类似的条件下试验,故错误,不符合题意;D.所有的试验结果都有可能发生,也有可能不发生,故错误,不符合题意.故选B.)
3.解:(1)自左向右依次填写:0.48,0.468,0.454,0.344,0.392,0.38. (2)0.40 (3)针与平行线相交的可能性为0.4,不相交的可能性为0.6.
4.24(解析:因为小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%,所以口袋中白色球的个数很可能是60×(1- 15%- 45%)=24(个).)
5.解:(1)从左向右依次填:18 0.63 0.55 88 (2)折线图如图所示. (3)根据表中数据,试验频率分别为0.7,0.45,0.63,0.59,0.52,0.55,0.56,0.55,稳定在0.55左右,故这个稳定值为0.55.
1.精心选择素材,合理进行拓展应用.
本节课教材中的试验为学生体会随机事件发生的频率具有稳定性提供了充足的依据,所以设计本节课件时选用了教材中的例子,更能体现本节的教学重点.在教学中引导学生进行猜想、试验、分析、交流、发现、应用,学生在操作、思考、交流中不断地发现问题,解决问题,特别是学生的学习活动采取多样化的形式,激发了学生的合作意识、动手操作意识.
2.以学生活动为主体,开展合作交流活动,创设高效课堂.
相信学生,并为学生提供充分展示自己的机会,在教师的组织引导下,以自主探究、合作交流的形式让学生思考问题,培养学生动手、动脑、动口能力,结合生活中的问题开发学生潜在智力因素,使学生真正成为学习的主体.
3.学生在试验中发现规律,总结规律,应用规律.
学生通过试验学会了应用试验的方法去收集数据、分析数据、整理数据,最后得到结论,真正体会和感受了事件的不确定性以及频率的稳定性.
79
在小组交流时没有关注到后进生,造成一些后进生没有参加到小组的讨论与交流,过于放任了,以后要注意关注全体.
在小组做出猜测之前,应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组合作给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对学习困难的学生帮助等,使小组合作学习更具实效性.教师应注意激发学生的内在动机,通过学生的发现给他们带来满意和内在的激励.
随堂练习(教材第142页)
解:(1)自左向右填表:0.9,0.8,0.82,0.88,0.84,0.858,0.861. (2)图略. (3)由折线统计图可知,击中靶心的频率在0.86附近摆动,具有稳定性.
习题6.2(教材第142页)
知识技能
1.解:(1)表格从左往右依次填:0.9,0.95,0.94,0.93,0.935,0.934,0.935. (2)如图所示. (3)随着试验次数的增加,产品的合格率稳定在0.935附近.
数学理解
2.提示:不一样大.可以通过大量的重复试验进行验证(盖口向上的可能性要大于盖口向下的可能性).
教法:通过具体的现实情境,从学生已有的生活经验出发,通过“猜想→试验和收集试验数据→分析试验结果→验证试验结果→交流→发现→应用”,经历自主探索、分组试验、合作交流等活动形式,以学生为主体,教师创设和谐、愉悦的环境,辅以适当的引导.
学法:学生在教师指导下进行“猜想→试验和收集试验数据→分析试验结果→验证试验结果”的一系列活动,积极思考,独立探索,自己发现并掌握相应的规律.
第课时
79
1.经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等过程,体会数据的随机性.
2.理解不确定事件(随机事件)的概念,能区分确定事件和不确定事件,使学生在教师的指导下自主地发现问题、探究问题,获得结论,感受数学和实际生活的联系,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
1.通过试验让学生理解当试验次数较大时,试验频率稳定在某一常数附近,并据此估计出某一事件发生的频率.
2.在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力,发展学生的辩证思维能力.
通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值;进一步体会“数学就在我们身边”,发展学生应用数学的能力.
【重点】 通过试验让学生理解当试验次数较大时,试验的频率具有稳定性,并据此初步估计出某一事件发生的可能性大小.
【难点】 大量重复试验得到频率的稳定值的分析.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P143~144.
导入一:
[过渡语] 同学们,回顾一下我们已经学过的三类事件分别是什么?
接着让学生抛掷一枚质地均匀的硬币,硬币落下后,会出现正面朝上、正面朝下两种情况,你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗?(让学生体验数学来源于生活)
[处理方式] 复习提问由学生回答完成,接着学生在一个开放的环境下对生活中存在的问题进行猜测,而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争,使猜测的结果更加准确.通过这一活动使学生能很快进入课堂角色,并由掷硬币游戏培养学生猜测游戏结果的能力,并从中初步体会猜测事件的可能性.
[设计意图] 本活动的设计意在通过问题情境,让学生在回顾过程中积极思考,使学生回顾学过的三类事件.事实上,学生对游戏发生的可能性进行猜测的过程,就已经开始体会事件发生的可能性,这就为下一环节用试验验证事件发生的可能性打好基础.
导入二:
[过渡语] 同学们,结合实例想一想学过的三类事件是什么?
1.(1)举例说明什么是必然事件.
(2)举例说明什么是不可能事件.
(3)举例说明什么是不确定事件.
79
2.结合图形完成下面问题.
(1)明天会下雨是什么事件?可能性多大?
(2)太阳从东方升起是什么事件?可能性大吗?
(3)如果随机抛出一枚骰子,抛出的点数会是7吗?这是什么事件?可能性大吗?
[处理方式] 学生回顾学过的三类事件,对生活中熟悉的事件的可能性做出直接的猜测和判断,教师不予评价,让学生自己省悟,从而对这节内容产生浓厚兴趣,激发学生学习热情.
[设计意图] 使学生回顾学过的三类事件,让学生体验数学来源于生活,既复习了之前所学习的知识,也为本节课知识的展开做好了铺垫.
探究活动1 概率
思路一
你认为一枚硬币抛出之后会怎么样?那么这几种情况哪种情况的可能性更大一些呢?
[处理方式] 学生议论,老师适时引导会出现正面或者反面.出现正面或者反面的可能性应一样大.学生在一个开放的环境下对生活中存在的问题进行猜测,而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争,气氛热烈,使猜测的结果更加准确.
活动内容参照教材提供的任意掷一枚均匀的硬币,出现正面朝上和正面朝下两种结果,让同学猜想正面朝上和正面朝下的可能性是否相同的情境,让学生来做做试验.每掷一次,完成表格填写并作出相应的折线图.
[处理方式] (大屏幕出示)由掷硬币游戏培养学生猜测游戏结果的能力,并从中初步体会猜测事件发生的可能性.让学生体会猜测结果,这是很重要的一步,我们所学到的很多知识,都是先猜测,再经过多次的试验得出来的.由此引出猜测是需通过大量的试验来验证的.
(1)同桌两人做20次掷硬币的游戏,并将数据记录在下表中:
试验总次数
正面朝上的次数
正面朝下的次数
正面朝上的频率
正面朝下的频率
79
(2)累计全班同学的试验结果,并将试验数据汇总填入下表:
试验总
次数
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
正面朝上
的次数
正面朝上
的频率
正面朝下
的次数
正面朝下
的频率
(学生分组搜集数据,组长负责统计数据.组长汇报,填写上表)
(3)根据上表,完成下面的折线统计图.
(4)观察上面的折线统计图,你发现了什么规律?
(当试验次数很大时,正面朝上的频率折线差不多稳定在“0.5水平直线”上)
[设计意图] 一是通过试验让学生体验等可能性事件发生的可能性的发现过程,二是培养学生的合作精神,通过试验和收集试验数据的过程使学生之间增进感情,并明白团队精神的重要性.
【活动内容】
通过填表画图你有哪些收获?
[处理方式] 无论是出现正面的频率还是出现反面的频率,当试验的次数较少时,折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度较大,随着试验的次数的增加,折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度会逐渐变小.
200个数据是不是太少了,能说明问题吗?你的疑问很有针对性,我们所做的试验不能说是大量的.但是有些人的确做了很多次.(大屏幕显示)
试验者
试验总
次数n
正面朝上
的次数m
正面朝上
的频率
布丰
4040
2048
0.5069
德·摩根
4092
2048
0.5005
费勒
10000
4979
0.4979
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
79
维尼
30000
14994
0.4998
罗曼诺
夫斯基
80640
39699
0.4923
(5)表中的数据支持你发现的规律吗?
提示:上表中正面出现的频率都接近0.5,这说明当抛硬币的次数足够多的时候,抛硬币正面和反面朝上的频率基本是一样的.
新知总结:由于事件A发生的频率表示该事件发生的频繁程度,频率越大,事件A发生越频繁,这就意味着事件A发生的可能性也越大,因而,我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性的大小.我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值,称为事件A发生的概率(probability),记为P(A).
一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件A发生的概率.
[设计意图] 学生通过小组之间的合作、交流,用对不确定事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.再通过对历史上数学家所做掷硬币试验数据的讨论,学生的思维变得更加活跃,为回答接下来的新知应用做好准备.
思路二
【活动内容1】
试验操作,分析问题.
请同学们拿出准备好的硬币,同桌两人做20次掷硬币的游戏,并将数据填在下表中:
试验总次数
20
正面朝上的次数
正面朝下的次数
正面朝上的频率
正面朝下的频率
(提示:硬币是均匀硬币,要从同一高度任意掷出)
[处理方式] 学生动手试验并收集数据,很快会发现问题(因为试验次数不多,事件发生的频率不稳定).培养学生发现问题、解决问题的能力.两个同学把各自的试验结果相加,看看有什么共同之处或不同之处.
[设计意图] 通过掷硬币试验,发现在试验次数很少时,事件发生的频率不具有稳定性.可迅速吸引学生的注意力和调动学生探究问题的欲望,对接下来该如何验证问题得到结论,产生了思考,是继续试验更多的次数,还是……使学生树立在学习过程中找最佳解决办法的思想.
【活动内容2】
小组合作,探究问题.
各组分工合作,分别累计进行到20,40,60,80,100,120,140,160,180,200次正面朝上的次数,并完成下表:(也可以继续追加表格)
试验总
次数
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
正面朝
上的次数
正面朝上
的频率
正面朝下
79
的次数
正面朝下
的频率
[处理方式] 学生自发地把小组试验的结果都统计出来,学会进行试验和收集试验数据的方法.
[设计意图] 通过试验和搜集数据,培养学生的合作精神,通过试验和收集试验数据的过程使学生之间增进感情,并明白团队精神的重要性.
【活动内容3】
归纳总结,解决问题.
请同学们根据已填的表格,完成下面的折线统计图.
[处理方式] 学生通过描点、连线,独立完成统计图.同时教师追问:
观察上面的折线统计图,你发现了什么规律?
[处理方式] 通过观察,分析统计图,总结自己的发现.在试验次数较小时,折线上下摆动的幅度较大;在试验次数很大时,正面朝上和正面朝下的频率会在0.5附近,可能性相同.
[设计意图] 激发学生大胆发言.通过观察数据与图形,锻炼分析数据的能力和验证猜想的做法.
【活动内容4】
阅读材料.
下表列出了一些历史上的数学家所作的掷硬币试验的数据:
试验者
试验总
次数n
正面朝上
的次数m
正面朝上
的频率
布丰
4040
2048
0.5069
德·摩根
4092
2048
0.5005
费勒
10000
4979
0.4979
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
维尼
30000
14994
0.4998
罗曼诺
夫斯基
80640
39699
0.4923
表中的数据支持你发现的规律吗?
[设计意图] 通过对历史上数学家所做掷硬币试验数据的讨论,学生的思维变得更加活跃,为回答接下来的新知应用做好准备.
【问题】 掷硬币和掷图钉有什么相同点和不同点?
[处理方式] 学生畅所欲言,教师把发现的结论板书,并纠错修改成最简洁的语言.
[设计意图] 总结不确定事件频率的特点,在试验次数很大时事件发生的频率会在一个常数附近摆动.这个性质称为:频率的稳定性.
探究活动2 频率与概率的区别与联系
【问题】 频率与概率有什么区别与联系?
79
[处理方式] (学生交流)从定义可以得到二者的联系,可用大量重复试验中事件发生的频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近,说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.通过定义可以看出事件A发生的概率P(A)的取值范围是0≤P(A)≤1.
(大屏幕显示)
必然事件发生的概率为 ,不可能事件发生的概率为 ,不确定事件发生的概率P(A)为 与 之间的一个常数.
必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,不确定事件发生的概率P(A)为0与1之间的一个常数.
我们可以用线段表示事件发生可能性的大小.
[设计意图] 突出本节课的重点,通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率,并掌握三类事件的概率值.
探究活动3 即时讲练
[过渡语] 通过本节课的学习,同学们都有了一定的收获!收获的效果如何?让我们一起检测一下.
我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值,称为事件A的概率,记为P(A).
一般地,大量重复的试验中,我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率.
问题1
事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么?必然事件发生的概率是多少?不可能事件发生的概率又是多少?
[处理方式] 小组讨论探讨,通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率,并掌握三类事件的概率值.
[设计意图] 学生通过小组之间的合作、交流,理解用不确定事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.由上节课知道频率是,所以P(A)可以近似地等于的值.必然事件发生的概率为P(A)==1;不可能事件发生的概率为P(A)==0;不确定事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数.
问题2
由上面的试验,请你估计抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上和正面朝下的概率分别是多少?它们相等吗?
[设计意图] 体会在“掷硬币”的试验中正面朝上和正面朝下的频率,可以估计正面朝上和正面朝下的概率相同,为后面的古典概率做准备.
[知识拓展] 频率与概率的区别与联系.
1.联系:当试验次数很大时,事件发生的频率稳定在相应概率的附近,即试验频率稳定于理论概率,因此可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
2.区别:某随机事件发生的概率是一个常数,是客观存在的,与试验次数无关.而频率是随机的,试验前无法确定.概率的统计定义是用频率表示的,但它又不同于频率的定义,只用频率来估计概率.频率是试验值,有不确定性,而概率是稳定值.
79
1.在试验次数很大时,事件发生的频率,都会在一个常数附近摆动,这个性质称为:频率的稳定性.
2.我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值,称为事件A的概率,记为P(A).
3.一般地,大量重复的试验中,我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率.
4.必然事件发生的概率为1;不可能事件发生的概率为0;不确定事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数.
1.口袋中有9个球,其中4个红球,3个蓝球,2个白球,在下列事件中,发生的可能性为1的是 ( )
A.从口袋中拿一个球恰为红球
B.从口袋中拿出2个球都是白球
C.拿出6个球中至少有一个球是红球
D.从口袋中拿出的球恰为3红2白
解析:因为口袋中有9个球,其中4个红球,3个蓝球,2个白球,所以拿出6个球中至少有一个球是红球.故选C.
2.一副扑克牌共54张,其中,红桃、黑桃、方块、梅花各13张,还有大、小王各一张.任意抽取其中一张,则P(抽到红桃)= ,P(抽到黑桃)= ,P(抽到小王)= ,P(抽到大王)= .
解析:因为一副扑克牌共54张,其中红桃、黑桃、方块、梅花各13张,还有大、小王各一张,任意抽取其中一张,所以P(抽到红桃)=;P(抽到黑桃)=;P(抽到小王)=;P(抽到大王)=.
答案:
3.小明抛掷一枚均匀的硬币,正面朝上的概率为,那么,抛掷100次硬币,你能保证恰好50次正面朝上吗?
解:因为频率即每个对象出现的次数与总次数的比值,它估计可能性的大小,所以抛硬币时,前一次试验对后一次试验结果没有影响.所以不能保证恰好50次正面朝上.
第2课时
探究活动1 概率
探究活动2 频率与概率的区别与联系
探究活动3 即时讲练
一、教材作业
【必做题】
教材第146页习题6.3知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第146页习题6.3数学理解第3题.
二、课后作业
79
【基础巩固】
1.下列事件发生的可能性为0的是 ( )
A.掷两枚骰子,同时出现数字“6”朝上
B.小明从家里到学校用了10分钟,从学校回到家里却用了15分钟
C.今天是星期天,昨天必定是星期六
D.小明步行的速度是每小时80千米
2.把标有号码1,2,3,…,10的10个乒乓球放在一个箱子中,摇匀后,从中任意取一个,号码为小于7的奇数的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.某事件发生的可能性如下,请选择:
(1)发生的可能性极大;( )
(2)发生与不发生的可能性一样;( )
(3)发生的可能性极小;( )
(4)不可能发生.( )
A.0.1% B.50%
C.0 D.99.99%
【能力提升】
4.小颖有20张大小相同的卡片,上面写有1~20这20个数字,她把卡片放在一个盒子中搅匀,每次从盒中抽出一张卡片,记录结果如下:
试验
次数
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
3的倍数
的频数
5
13
17
26
32
40
43
50
56
62
3的倍数
的频率
(1)完成上表;
(2)频率随着试验次数的增加,稳定于数值 左右;
(3)从试验数据看,从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是 ;
(4)根据推理计算可知,从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是 .
【拓展探究】
5.掷一枚质地均匀的骰子.
(1)会出现哪些可能的结果?
(2)掷出点数为1与掷出点数为2的可能性相同吗?掷出点数为1与掷出点数为3的可能性相同吗?
(3)每种结果出现的可能性相同吗?你是怎样做的?
【答案与解析】
1.D(解析:A.掷两枚骰子,同时出现数字“6”朝上,可能性不为0;B.小明从家里到学校用了10分钟,从学校回到家里却用了15分钟,可能性不为0;C.今天是星期天,昨天必定是星期六,可能性为1;D.小明步行的速度是每小时80千米,可能性为0.故选D.)
2.A(解析:因为所有机会均等的可能共有10种,而号码小于7的奇数有1,3,5,共3种,所以抽到号码为小于7的奇数的概率是.故选A.)
3.(1)D (2)B (3)A (4)C
4.解:(1)0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.33,0.31,0.31,0.31,0.31. (2)0.31 (3)0.31 (4)0.3
5.解:(1)投掷一枚质地均匀的骰子,向上的面的点数可能是1,2,3,4,5,6,这6种结果. (2)掷出点数为1与掷出点数为2的可能性相同;掷出点数为1与掷出点数为3的可能性相同. (3)每种结果出现的可能性相同;通过大量的试验进行验证.
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本节课通过课堂上小组合作掷硬币试验,并展示试验结果的过程,为学生提供展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解,以及思维的误区,以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度.
引导学生进行“猜想——试验——分析——交流——发现——应用”,学生在操作、思考、交流中不断地发现问题、解决问题,极大地调动了学生的学习积极性,让学生尝到了成功的喜悦,激发了学生的发散思维的火花,培养了学生独立探究和解决问题的能力.
由于分组不够均匀,个别小组基础较差,理解较慢,因此参与度不高,是今后教学要特别注意的地方.
要精心设计自己的教学语言,数学的语言表达应该是简洁的,如果在上课之前从来没有考虑过,一个概念该如何表达才能使学生听明白,而是对着课件把概念重复一下,解释的时候又显得十分啰嗦,学生要花很多时间去理解老师的话,要是有一个环节没有跟上老师的思路,把本来有点懂的学生都讲糊涂了,所以现在我能理解为什么有些学生讲,老师你说话能够直接点吗?有些问题我本来懂,被你一讲我又糊涂了.
现在有了多媒体,很多老师上课就是对着电脑讲,连板书都省略了,结果一堂课上完的时候,让学生总结时,学生对着老师无语,或是绞尽脑汁去回忆老师讲的内容,结果只能回忆其中的某些细节,而不能把完整的过程讲出来.如果教师能够精心设计板书的话,学生就能从你的板书中看到这节课的来龙去脉了.
随堂练习(教材第145页)
1.解:不同意,再多做几次试验,结果会不同.应该是正面朝上和正面朝下的概率均为0.5.
2.提示:抛100次硬币,不能保证恰好50次正面朝上.
习题6.3(教材第146页)
知识技能
1.解:(1)表格从左往右依次填:0.94,0.955,0.946,0.954,0.953,0.9496. (2)图略. (3)麦粒发芽的概率大约是0.95.
2.解:(1)从左往右依次为0.7,0.8,0.86,0.81,0.82,0.828,0.825. (2)0.82. (3)不一定一样,试验次数越多,频率越稳定在0.82左右,再取1000个做试验,数据也会在0.82左右波动,但是每组数据都可能会有偏差.
数学理解
3.解:(1)结果有6种:点数为1,2,3,4,5,6. (2)掷出点数为1和点数为2以及掷出点数为1和点数为3的可能性都相同. (3)每一个结果出现的可能性都一样.可通过多次掷骰子,用试验结果来验证.
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小云从装有除颜色外其他都相同的若干个红球和黑球的暗箱中连续摸出了5个红球,则暗箱中的红球与黑球 ( )
A.一样多 B.红球多
C.黑球多 D.无法确定
〔错解〕 B
〔正解〕 D
〔易错辨析〕 小云从暗箱中连续摸出5个球,具有随机性,这是一个不确定事件.连续摸出5个红球并不能作为判断出暗箱中红球与黑球个数多少的依据.
3 等可能事件的概率
1.能在摸球游戏中体会概率的意义.
2.了解计算一类事件发生的概率的方法.
3.计算简单事件发生的概率.
4.会设计符合条件的简单事件概率模型.
从摸球游戏出发,运用前面所学知识来判断摸到白球或红球的可能性,及在事件的频率理解基础上引导学生分析用分数来表示事件发生的概率,然后在概率意义的基础上学习如何计算事件发生的概率.
在学习过程中体会数学与日常生活的密切联系,了解数学的应用价值,增强学习数学的兴趣.
【重点】 计算简单事件发生的概率.
【难点】 从摸球游戏中体会概率的意义;设计符合条件的简单事件概率模型.
第课时
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1.通过摸球游戏,了解计算一类事件发生可能性的方法,体会概率的意义,根据已知的概率设计游戏方案.
2.掌握古典概型的概率计算方法,初步体会概率是描述不确定现象的数学模型.
通过本节课的学习,感受数学与现实生活的联系,体验数学在解决实际问题中的作用,培养实事求是的态度及合作交流的能力.
通过环环相扣、层层深入的问题设置以及分组游戏的设置,培养自主、合作、探究的能力,培养学习数学的兴趣.
【重点】 概率的意义及其计算方法的理解与应用以及根据已知的概率设计游戏方案.
【难点】 灵活应用概率的计算方法解决各种类型的实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P147~148.
导入一:
[过渡语] 同学们喜欢足球运动吗?足球运动是世界上最精彩、最富有激情的运动之一.2014~2015赛季欧冠半决赛中皇马主场战平尤文图斯,总比分2比3无缘决赛,斑马军团第8次打进冠军杯决赛.以下是比赛截取视频,请同学们欣赏.
【思考】 足球比赛前裁判通过抛硬币让双方的队长猜正反来选场地,只抛了一次,而双方的队长都没有异议,为什么?
[处理方式] 学生认真观看视频后,教师简单介绍足球比赛前选场地的规则,让学生了解一些课外知识.小组合作解决提出的问题,得出结论.硬币正面朝上和反面朝上的概率相等,同时教师强调抛硬币的随机性.
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[设计意图] 利用学生感兴趣的足球比赛视频激发学生学习的热情,让学生理解比赛抛硬币选场地的公平性.同时让学生体会数学来源于生活,并为下面古典概型的学习做铺垫.
导入二:
【活动内容1】
知识链接.
1.概率:我们把刻画事件A发生的 的数值,称为事件A发生的概率,记为 .一般地,大量重复的试验中,我们常用不确定事件A发生的 来估计事件A发生的概率.
2.事件A发生的概率P(A)的取值范围为 .
必然事件发生的概率为 ;
不可能事件发生的概率为 ;
不确定事件A发生的概率P(A)为 .
【活动内容2】
情境导入.
一些球类比赛中裁判用抛硬币的方法来决定哪个队先开球,这样做公平吗?你能说说理由吗?
[处理方式] 学生通过回忆或课本先复习上节课初步认识的概率的概念,并解决活动内容2,讨论公平的理由,初步体会试验结果的等可能性.
[设计意图] 本节课的内容是概率计算的方法,本环节设计两个活动内容,第一个“知识链接”主要复习上节课所学,诊断学情,并为本节课学习做铺垫;第二个“情境导入”目的有两个:(1)结合生活实例,使学生体会到数学在生活中的应用;(2)复习有关简单掷硬币正面朝上的概率,使学生体会试验结果的等可能性,为学习理论概率打下基础.
[过渡语] 你们在前面的课堂活动中做过不少游戏,这些游戏对双方公平吗?
探究活动1 抽卡片游戏
思路一
1.让学生拿出准备好的五张卡片,卡片上分别标有数字1,2,3,4,5,这五张卡片除了所标的数字不同外,大小和颜色完全相同,把卡片反面朝上搅匀后从中任意抽出一张.
(1)会抽到什么号码的卡片?一共有几种结果?
(2)每种结果出现的可能性相同吗?猜一猜它们的概率分别是多少?
2.任意抛一枚质地均匀的硬币,会出现几种情况?每种结果出现的可能性相同吗?
3.任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数有几种情况?每种结果出现的可能性相同吗?
4.以上的试验结果有什么共同的特点?
[处理方式] 以小组为单位,利用准备好的卡片按要求做第1题的试验,并通过试验的结果回答所提出的问题,然后讨论第2,3题的答案,学生之间互相补充.教师适时点评,加以强调.最后老师引导学生根据试验结果进行总结:
(1)试验的所有可能的结果是有限的;
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(2)设一个试验的所有可能的结果有n种,每次试验有且只有其中的一种结果出现.如果每种结果出现的可能性相同,那么我们就称这个试验的结果是等可能的.
(3)概率的计算方法:一般地,如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=.
[设计意图] 本活动从具体的抽卡片游戏出发,让学生了解古典概型的特点,在此基础上给出概率的计算公式,这样便于学生理解计算公式,为下一步的应用作准备.由于问题简单,教师应注重给学生更多的展示自己才能的机会,让学生根据自己的试验充分发表意见,调动学生的学习热情,培养学生多动脑的好习惯,从而轻松掌握求在等可能试验中事件A发生的概率公式.
思路二
【活动内容1】
(多媒体出示)
一个袋中有5个球,分别标有1,2,3,4,5这5个号码,这些球除号码外都相同,搅匀后任意摸出一个球.
1.会出现哪些可能的结果?
2.每个结果出现的可能性相同吗?猜一猜它们的概率分别是多少?
[处理方式] 教师利用自制球箱,找学生摸球,展示结果:有5种等可能结果,即摸到1号球、摸到2号球、摸到3号球、摸到4号球、摸到5号球,学生畅所欲言,表述自己发现的结论,准确说出所有结果.每个结果出现的可能性相同,它们的概率都是.
[设计意图] 通过摸球活动,让学生感受古典概型的特点,使本节课顺利地进入到下一个环节,同时培养学生准确表达自己的思维结果的能力.
【活动内容2】
抛硬币、掷骰子和前面的摸球游戏有什么共同点?和我们学过的掷图钉试验一样吗?
[处理方式]
1.通过小组合作交流讨论,教师引导,学生能够准确理解等可能事件的特点:(1)所有可能的结果是有限的;(2)每种结果出现的可能性相同.
2.掷图钉不符合每种结果出现的可能性相同,所以它不是等可能事件.此处教师还可以举例发芽试验中的发芽与不发芽,射击试验中的中靶与脱靶,让学生感受它们为什么不是等可能试验.
3.教师出示想一想:你能找一些结果是等可能的试验吗?
比如:抓阄,摸牌等.让学生说明理由.
4.师生共同合作得出求等可能试验中事件A发生的概率公式.教师应注重给学生更多的展示自己观点的机会.
一般地,如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=.
[设计意图] 让学生能够理解等可能事件的两个基本特点,并掌握古典概型的概率公式,注重培养学生与他人合作的能力.
探究活动2 例题讲解
任意掷一枚质地均匀的骰子.
(1)掷出的点数大于4的概率是多少?
(2)掷出的点数是偶数的概率是多少?
解:任意掷一枚质地均匀的骰子,所有可能的结果有6种:掷出的点数分别是1,2,3,4,5,6,因为骰子是质地均匀的,所以每种结果出现的可能性相等.
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(1)掷出的点数大于4的结果只有2种:掷出的点数分别是5,6,所以P(掷出的点数大于4)==.
(2)掷出的点数是偶数的结果有3种:掷出的点数分别是2,4,6,所以P(掷出的点数是偶数)==.
把标有1,2,3,…,10共10个号码的乒乓球放在一个布袋里,任意取出一个,取得号码为奇数且不超过7的乒乓球的概率是多少?
解:共有10个球,所以每次摸出一个球有10种情况,而标有数字不超过7的奇数的球有4个,即1,3,5,7,故有4种情况,所以P(不超过7的奇数)=.
[处理方式] 引导学生认真读题,可以用以下问题提示学生:(1)一共有多少种不同的结果?(2)每种结果出现的可能性是否相同?(3)其中要求的事件的结果有几种情况?(4)套用公式计算概率.在学生分析完题目后,可以让学生尝试板演解题过程,并由学生互相补充,完善解题过程.
[设计意图] 在前面学生刚刚学习了概率的计算公式的基础上,此处通过两个例题求相关概率问题,来巩固所学的计算公式,培养学生运用所学知识解决实际问题的能力.
[知识拓展] 必然事件发生的概率为1,记作P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0;如果A为不确定事件,那么0①>④>②.
3.解:如图所示.
4.(1) (2)0 (3) (4)
5.解:(1)P(“6”朝上)===. (2)数字5和数字6朝上的概率最大,都是.
数学理解
6.解:不对.由图可知P(停在红色区域)=,P(停在黄色区域)=,P(停在蓝色区域)=.
7.解:图(1)中,P(停在白格)=.图(2)中,P(停在白格)=.
8.解:P(落在阴影)=.概率为时的阴影如图所示.(答案不唯一)
9.解:分别求出各种方法中的概率如下:(1)中,P(是奇数)=,P(是偶数)=;(2)中,P(是3的倍数)=,P(不是3的倍数)=;(3)中,P(是大于6的数)==,P(不是大于6的数)==.选择第(2)种猜法,并且猜“不是3的倍数”(因为它的概率最大).
10.解:不同意.
问题解决
11.解:后天.因为后天降水的可能性较大.
13.解:(1)到区域2去找,P(区域1)= ,P(区域2)=,P(区域3)= .宝藏不一定在区域2,只是可能性更大一些. (2)埋在区域1和区域3的可能性相同. (3)一样的.
联系拓广
15.提示:(1)在所选的12个球中,使红球与白球的个数相等即可. (2)在所选的12个球中,使红、白、黑球的个数相等即可. (3)在所选的12个球中,使红球与白球的个数相等,且比黑球的个数少即可.(答案不唯一)
总复习(教材第165页)
知识技能
1.解:V土星=πR3=π(6×104)3=×3.14×216×1012≈9.0432×1014(km3).
2.(1)或 (2)- (a+b)7 (3)16a20 (4)- x3 (5)a6b2 (6)b9 (7)1 (8)a4n (9)x2 (10)106 (11)2 (12)-
3.(1)- a5b7 (2)xy4z3 (3)x2y (4)- 2a7b2 (5)- 6x3y3z+4x2y3z (6)- (7)x2- xy+y2 (8)- 7a2- 23ab- 6b2 (9)9x2+7xy- 2y2 (10)p2- pq- q2 (11)a2x2+ax (12)4r- 6h
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4.(1)4x2- 9 (2)x2- 2xy+4y2 (3)- x2+2xy- y2 (4)- 9x2+36y2 (5)8m2n2- (6)4 (7)x2+4xy+4y2- 9z2 (8)10x
5.提示:∠1=∠2=142°,∠3=38°.
6.提示:∠1=∠3=∠5,∠2=∠4=∠6,并且这两组角之间分别互补,如∠1+∠2=180°.
7.提示:△ABC≌△DCB,△ABE≌△DCE.
8.解:(1)日照时间与一年之中的第几天之间的关系;一年中的第几天是自变量,日照时间是因变量. (2)2011年12月26日(即一年中的第360天)的日照时间最短,大约为9.1 h. (3)2011年的第180天的日照时间最长,大约为15.6 h. (4)从2011年的第1天到第180天日照时间在增加,从第180天到第360天日照时间在减少. (5)略.
9.(1)解:圆柱的体积增加;圆柱的底面半径是自变量,圆柱的体积是因变量. (2)V=5πr2 (3)5π
500π
10.解:如图所示.
数学理解
11.提示:(1)(πd)m. (2)(2πr)m. (3)12740π km,(2πr)m. (4)无论开始时圆的半径为多少,如果半径增加r,那么周长一定增加2πr.因为如果设开始时圆的半径为x,那么半径增加r后,周长增加:2π(x+r)- 2πx=2πr.
12.解:直线a与直线b平行.理由如下:同旁内角互补,两直线平行.∠2=∠4.理由如下:两直线平行,同位角相等.
13.解:可以选择长度为10 cm或12 cm的木棒.
15.(1)C (2)B (3)A
17.解:如图所示.
18.解:相邻两个图案之间成轴对称关系.
19.解:答案不唯一.如:把一个转盘平均分成5份,2份红色区域,2份白色区域,1份黄色区域,自由转动这个转盘,指针停在红色区域的概率是.
20.解:答案不唯一.如:一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有2,3,4,5,6,6六个数字,掷出“6”的概率为.
问题解决
21.提示:5×1018 kg,1.2×106倍.
22.(1)1 (2)39999 (3)998001
23.提示:以b为边长的正方形面积大.大1.
24.提示:20°,70°.
25.提示:∠C=40°,∠D=80°.
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26.解:3根能搭成1种三角形,是等边三角形;4根不能搭成三角形;5根能搭成1种三角形,是等腰三角形;6根能搭成1种三角形,是等边三角形;7根能搭成2种三角形,分别是边长为3,3,1或2,2,3的等腰三角形.
27.解:能.如图所示.
28.解:等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴;等边三角形有三条对称轴;四边形可以有1条对称轴,如等腰梯形,不能有三条对称轴.
29.解:如图所示,以A为圆心,以AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD,则△ABD和△ADC就是所求作的等腰三角形.理由如下:因为AB=AD,所以△ABD是等腰三角形.因为∠B=2x,
所以∠ADB=2x.所以∠ADC=180°- 2x,因为∠DAC=180°- ∠ADC- ∠C=180°- (180°- 2x)- x=x,所以∠DAC=∠C,所以△ADC是等腰三角形.
联系拓广
30.解:(1)因为AB=a,AP=x,所以BP=a- x,所以两个正方形的面积之和=x2+(a- x)2=x2+a2- 2ax+x2=2x2- 2ax+a2. (2)当AP=a时,两个正方形的面积之和=x2+(a- x)2=a2,当AP=a时,两个正方形的面积之和=x2+(a- x)2=a2.a2
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