第八章 二元一次方程组
1.了解二元一次方程(组)的有关概念.
2.掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组.
3.能解简单的三元一次方程组.
4.在具体的情境中,能从数学的角度发现、提出和解决问题.
1.了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元思想”,初步理解化未知为已知和化复杂问题为简单问题的化归思想.
2.注重“消元”和“化归”这两种重要的数学思想的渗透.
经历从实际问题中抽象出二元一次方程(组)的过程,体会方程的模型思想,发展灵活运用有关知识解决实际问题的能力,培养良好的数学应用意识.
本章通过实际问题引入了二元一次方程(组),又引导学生通过观察、思考、探究等活动,体会解二元一次方程组的基本方法——代入法和加减法,然后顺理成章地给出现实问题的解答.在此基础上,学习了简单的三元一次方程组及其解法.
二元一次方程组是继学生学习了一元一次方程之后所研究的一类最简单的线性方程组,其代入消元和加减消元的思想和方法,不仅是解二元一次方程组的最基本的方法,也是解三元一次方程组和二元二次方程组的基本方法.同时,也是学习其他数学知识乃至物理、化学等学科知识的重要基础.
【重点】
1.利用消元法解二元一次方程组.
2.利用建立方程的数学模型解决实际问题.
【难点】
1.二元一次方程解的不定性.
2.方程组解的意义.
3.列方程组解应用题.
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1.强化二元一次方程组概念的形成和应用过程.在学生已有的解一元一次方程经验的基础上,通过认识实际问题中的两个未知量应同时适合两个方程,从而理解需将这两个方程联立,这样便很自然地建立起二元一次方程组的概念.借助于问题情境,引导学生理解实际问题,探究实际问题中各种数量的意义和相互关系,能用恰当的式子表示这种关系,正确地列出二元一次方程组并解决问题.
2.注重转化思想的渗透.代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的基本方法,教师在教学过程中应注意引导学生分析这两种方法的目的都是消元,即通过消去一个未知数,把“二元”转化为“一元”,并鼓励学生用自己的语言概括解方程组的主要步骤.
8.1 二元一次方程组
1课时
8.2 消元——解二元一次方程组
4课时
8.3 实际问题与二元一次方程组
3课时
8.4 三元一次方程组的解法
1课时
单元概括整合
1课时
8.1 二元一次方程组
理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.
学会用类比的方法迁移知识;体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性.
通过学习,感受数学与生活的联系,感受学习数学的乐趣.
【重点】 二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义.
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【难点】 二元一次方程组解的含义.
【教师准备】 教学导入过程的情境图片.
【学生准备】 复习一元一次方程的相关知识.
导入一:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.
你能用哪些方法解决这个问题呢?如果设两个未知数,能解决这个问题吗?
[设计意图] 通过古代数学经典习题,可以提升学生对中华传统文化成就的自豪感.学生会用多种方法解决问题,提出设两个未知数解决问题,对于学生来说还是新的方法,这就为引入二元一次方程的学习做好了过渡的衔接.
导入二:
每块饼干的质量是x克,每颗糖果的质量是y克,小明拿了一个等臂天平,在左边秤盘里放两块饼干,右边秤盘里放三颗糖果,结果天平两臂平衡,当在左边秤盘里又放了三块饼干,右边秤盘里又放了四颗糖果时,天平并没有平衡,只好在右边秤盘里又加了1克的砝码才使得天平平衡.
上面的例子中,可以得到两个方程是2x=3y和5x=7y+1,怎样看待这两个方程呢?它们的解有什么实际意义?
[设计意图] 学生对方程的理解暂时还是“一元一次”的程度,提出与“一元一次”性质不同的方程,能够唤起学生的好奇心,激起学生解决问题的欲望.
导入三:
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜、负场数分别是多少?
在上面的问题中,要求的是两个未知数.如果用一元一次方程来解决,列方程时,要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数,使列方程变得容易呢?我们从这个想法出发,开始本章的学习.
[设计意图] 借助于教材情境直接提出用含有两个未知数的方程解决问题,为直接引入二元一次方程的概念做了铺垫.也让学生感受到要提高解决生活中的数学问题的能力,必须持续地进行学习.
一、二元一次方程
思路一
[过渡语] (针对导入三)前面提到的两个未知数的方程是什么方程呢?与我们学过的一元一次方程有什么不同呢?
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问题
(1)情境中包含哪两个等量关系?
(2)如果设胜的场数是x,负的场数是y,你能用方程把这些条件表示出来吗?
(3)你能把上述等量关系整理在下面的表格中吗?
胜
负
合计
场数
积分
方程:
(4)新列出的方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同?
(5)你能总结什么是二元一次方程吗?
〔解析〕 情境中包含这样两个等量关系:胜的场数+负的场数=总场数,胜场积分+负场积分=总积分.列表如下:
胜
负
合计
场数
x
y
10
积分
2x
y
16
方程:2x+y=16
x+y=10
认识新列出的两个方程的特点,可以从未知数的数量和未知数的次数两个方面进行分析.方程x+y=10与2x+y=16都含有两个未知数x和y,并且含有未知数的项的次数都是1.这两个方程中都含有两个未知数,而一元一次方程中只含有一个未知数.
[处理方式] 学生讨论交流后共同总结以上五个问题的答案.
定义:上面两个方程中,每个方程都含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
(补充)下列方程中,是二元一次方程的是 ( )
A.7x+3y=2 B.xy=9
C.x+2y2=11 D.=2
〔解析〕 本题考查二元一次方程的定义,B选项的次数为2,C选项的最高次数为2,D选项不是整式方程,故都不是二元一次方程.故选A.
[解题策略] 从以下三个方面整体理解二元一次方程的定义:(1)有两个未知数;(2)含有未知数的项的次数为1;(3)是整式方程.
[知识拓展] 1.二元一次方程还可以定义为:在方程中有两个未知数,未知数与未知数之间没有乘法、除法运算,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
2.理解二元一次方程的概念要特别注意对次数的要求是“含有未知数的项的次数为1”,不能理解为“每个未知数的次数都是1”,如xy+2=0就不是一个二元一次方程.
思路二
[过渡语] (针对导入一)同学们想一想,怎样求出有多少只鸡和多少只兔子呢?
[处理方式] 学生用各自的方法计算,然后讨论交流.
算法展示:
(1)算数方法:把兔子和鸡的脚数看成“相等”,则多出94- 35×2=24只脚,每只兔子比鸡多出两只脚,由此可先求出兔子有24÷2=12(只),随后可算出鸡有35- 12=23(只).
类似地也可以先求鸡的数量:35×4- 94=46(只),46÷2=23(只).
(2)列一元一次方程:
设有x只鸡,则有(35- x)只兔子.
根据题意,得2x+4(35- x)=94.
解方程可求出x=23.35- 23=12(只).
所以有23只鸡,12只兔子.
[过渡语] 刚才同学们用了不同的方法解决了古代的数学问题.我们还有没有其他的解决办法呢?
如果我们设有x只鸡,有y只兔子,依题意得这样两个方程:
x+y=35,2x+4y=94.
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同学们比较这两个方程与前面学过的一元一次方程,有什么不同呢?
(老师提示学生从未知数数量和未知数的次数进行比较.)
结合学生的回答,教师板书定义:
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.
二、二元一次方程组
[过渡语] 如果把上面的两个方程放在一起,我们怎么称呼这样的方程呢?
上面的问题中包含两个必须同时满足的条件,也就是未知数x,y必须同时满足方程:
x+y=10,①
2x+y=16.②
把这两个方程合在一起,写成就组成了一个方程组.这个方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.
[知识拓展] 二元一次方程组的概念是一个描述性定义,两个未知数不是两个方程中每个方程都含有两个未知数,可以是一个方程中含有一个未知数,也可以是两个方程中含有不同的两个未知数.
(补充)下列方程组中,属于二元一次方程组的是 ( )
A. B.
C. D.
〔解析〕 本题主要考查二元一次方程组的定义.A选项共含有三个未知数;B选项中的未知数的最高次数是2;D选项中不全是整式方程,故都不是二元一次方程组.故选C.
三、二元一次方程组的解
[过渡语] 同学们知道一元一次方程解的定义,那么二元一次方程组的解和一元一次方程的解之间是否存在着一定的联系呢?
问题1
下面哪些解既适合方程x+y=10,又符合问题的实际意义?
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
〔解析〕 由上表可知x=0,y=10;x=1,y=9;…;x=10,y=0使方程x+y=10两边的值相等,它们都是方程x+y=10的解.如果不考虑方程x+y=10与上面实际问题的联系,那么x=- 1,y=11;x=0.5,y=9.5;…也都是这个方程的解.这说明二元一次方程除非有实际意义的限制或者特别的限制,否则这种方程有无数个解.
问题2
写出方程2x+y=16的几个解?
〔解析〕 例如x=0,y=16;x=1,y=14;x=5,y=6……都是2x+y=16的解.
问题3
上述表格中的解,哪些或哪个是方程2x+y=16的解?
〔解析〕 x=6,y=4.
问题4
什么是二元一次方程组的解?
〔解析〕 一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.我们还发现,x=6,y=4既满足方程①,又满足方程②,也就是说,x=6,y=4是方程①与方程②的公共解,我们把x=6,y=4叫做二元一次方程组的解.这个解通常记作一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
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[设计意图] 问题1和问题2是在学生已掌握的一元一次方程解的知识基础上,深化对二元一次方程解的认识.问题3和问题4则引导学生发现和总结二元一次方程组解的特点.
[知识拓展] 二元一次方程组的解是一对数,要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检验,这对数只有满足方程组中的每一个方程,才能是这个方程组的解,而一元一次方程的解是一个数,这是它们之间的区别.
1.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程,叫做二元一次方程.
2.一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
3.一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
1.下列方程中,是二元一次方程的是 ( )
A.3x- 2y=1 B.xy+y=9
C.x- 3=4y2 D.x+x=2
解析:本题考查二元一次方程的定义.B选项的未知数的最高次数为2,C选项的未知数的最高次数为2,D选项不含有两个未知数,因此它们都不是二元一次方程.故选A.
2.下列各组数中,不是方程x+y=7的解的是 ( )
A. B.
C. D.
解析:将四个选项分别代入方程,能使方程成立的即是方程的解.反之,则不是方程的解.A.3+4=7,C.1+6=7,D.10+(- 3)=7,均是方程的解,不符合选择要求;B.12+(- 1)=11≠7,不是方程的解,符合选择要求.故选B.
3.方程ax- y=3的解是则a的值是 ( )
A.5 B.- 5 C.2 D.1
解析:把代入方程ax- y=3,得a- 2=3,解得a=5.故选A.
4.请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解:
(1) (2)
解:(1)把代入方程组,发现不满足2x- 3y=4,所以不是原方程组的解. (2)把代入方程组,发现适合每一个方程,所以是原方程组的解.
8.1 二元一次方程组
1.二元一次方程
2.二元一次方程组
3.二元一次方程组的解
一、教材作业
【必做题】
教材第89页练习.
【选做题】
教材第90页习题8.1第5题.
二、课后作业
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【基础巩固】
1.下列方程中,是二元一次方程的是 ( )
A.xy=1 B.y=5x- 2
C.x+x2=4 D.x+y+z=1
2.下列说法中正确的是 ( )
A.二元一次方程只有一个解
B.二元一次方程组有无数个解
C.二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的公共解
D.判断一组数是否为二元一次方程组的解,只需代入其中的一个二元一次方程即可
3.以为解的二元一次方程组是 ( )
A. B.
C. D.
4.母亲节那天,很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒.从图中信息可知,若设鲜花x元/束,礼盒y元/个,则可列方程组为 .
5.若是方程组的解,求m2- n的值.
【能力提升】
6.若3x3m- 2- 2yn- 4=12是关于x,y的二元一次方程,则m和n的值分别是 ( )
A.m=0,n=0 B.m=1,n=4
C.m=1,n=5 D.m=,n=4
7.二元一次方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
8.方程■x- 2y=x+5是二元一次方程,■是被污染的x的系数,请你推断■的值属于下列情况中的 ( )
A.不可能是- 1 B.不可能是- 2
C.不可能是1 D.不可能是2
9.若关于x,y的方程组的解是则|m- n|为 ( )
A.1 B.3 C.5 D.2
10.根据下列语句,设适当的未知数,列出二元一次方程(组):
(1)甲数的2倍与乙数的的差等于48的;
(2)林山学校七年级共招收学生292人,其中男生人数比女生人数多35人.
【拓展探究】
11.小明在做家庭作业时,发现练习册上一道解方程组的题目被墨水污染了:“□”是被污染的内容.他很着急,翻开后面的答案,发现这道题的解是你能帮小明补上“□”的内容吗?说出你的方法.
12.根据下列问题,列出关于x,y的二元一次方程组.
(1)一个两位数的个位数字与十位数字之和为11,把它的个位数字与十位数字对调,所得的数比原数大63,设原两位数的个位数字为x,十位数字为y.
(2)七(2)班买了35张电影票,共用250元,其中甲种票每张8元,乙种票每张6元,则甲、乙两种票各买了多少张?设甲种票买了x张,乙种票买了y张.
【答案与解析】
1.B(解析:二元一次方程只含有两个未知数,且含未知数的项的次数为1,满足条件的是y=5x- 2.故选B.)
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2.C(解析:A.二元一次方程有无数个解,故本选项错误;B.当两个方程不同时,有一个解,当两个方程相同时,有无数个解,故本选项错误;C.二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的公共解,故本选项正确;D.判断一组数是否为二元一次方程组的解,需代入两个二元一次方程,故本选项错误.故选C.)
3.C(解析:将代入各个方程组,可知满足条件.故选C.)
4.
5.解:把代入方程2x+3y=m得:2×(- 1)+3×2=- 2+6=4=m,把代入方程5x+2y=n得:5×(- 1)+2×2=- 5+4=- 1=n.所以m2- n=42- (- 1)=16+1=17.
6.C(解析:本题主要考查二元一次方程与一元一次方程的综合应用.因为3x3m- 2- 2yn- 4=12是关于x,y的二元一次方程,所以3m- 2=1,n- 4=1,解得m=1,n=5.故选C.)
7.D(解析:将各选项代入即可.)
8.C(解析:如果被污染的x的系数是1,那么这个方程就是x- 2y=x+5,即- 2y=5.与题意:二元一次方程矛盾,所以被污染的x的系数不可能是1.)
9.D(解析:把代入方程2y+m=n,得2+m=n,所以|m- n|=2.故选D.)
10.解:(1)设甲数为x,乙数为y,根据题意得2x- y=48×. (2)设男生为x人,女生为y人,根据题意得
11.解:把代入方程组,得2x- y=2×1- (- 2)=4,3x+4y=3×1+4×(- 2)=- 5.所以被污染的数字是4和- 5.
12.解:(1)等量关系:①个位数字与十位数字之和为11;②把它的个位数字与十位数字对调,所得的数比原数大63.由题意可列方程组为 (2)等量关系:①共买了35张电影票;②共用250元.由题意可列方程组为
本课时在设计理念上围绕着类比的思路展开,充分借助于学生已掌握的一元一次方程知识,通过与一元一次方程的比较,引入二元一次方程的定义.通过类比一元一次方程的解,延伸到二元一次方程组的解.在这种设计理念的指导下,顺利地实现了本课时的教学目标.
本课时的教学重点和难点集中在二元一次方程组的解的问题上,在处理这个问题时,除了强调一般的检验方法外,没有特别强调需要对方程组中两个方程分别去验证.
由于本课时的三个概念,即二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解都是描述性的概念,因此可以让学生通过对知识的理解,自己去总结和描述相关定义.
练习(教材第89页)
解:设第一道工序安排x人,第二道工序安排y人,则有 由②得…将这些解分别代入①,可得是该方程组的解.答:第一道工序安排4人,第二道工序安排3人.
习题8.1(教材第90页)
1.解:
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x
- 2
0
0.4
2
2
y
11
5
3.8
- 1
- 0.5
- 1
0
3
2.C(解析:把各选项分别代入方程组验证.)
3.解:(1)x,y满足的关系式为x+2y=180. (2)当x=90时,y==45. (3)当y=60时,x=180- 2×60=60.
4.解:设有鸡x只,兔y只,根据题意,得 由①得…把这些解代入②,得答:有鸡23只,兔12只.
5.解:设截2 m长的钢管x段,1 m长的钢管y段,根据题意,得2x+y=7.∵题中要求不浪费,且x,y为正整数,∴当x=1时,y=5;当x=2时,y=3;当x=3时,y=1.∴共有三种不同的截法:①2 m长的1段,1 m长的5段;②2 m长的2段,1 m长的3段;③2 m长的3段,1 m长的1段.
已知方程4xm- 1+2y1- 2n=10是关于x,y的二元一次方程,求m,n的值.
〔解析〕 本题考查的是二元一次方程的定义,根据二元一次方程的定义:含未知数的项的次数为1,系数不等于0,求得m,n的值.
解:由二次一元方程的定义可得m- 1=1,1- 2n=1.由此可得m=2,n=0.
已知方程(m- 3)x|n|- 1+=0是关于x,y的二元一次方程,求m,n的值.
解:由题意得|n|- 1=1,m≠3,m2- 8=1,n≠- 2,解得n=2,m=- 3.
已知二元一次方程组 下面说法正确的是 ( )
A.同时适合方程①和方程②的x,y的值是方程组的解
B.适合方程①的x,y的值是方程组的解
C.适合方程②的x,y的值是方程组的解
D.适合方程①或方程②的x,y的值一定是方程组的解
〔解析〕 方程组的解必须是同时满足两个方程的解.故选A.
检验是不是方程组 的解.
〔错解〕 把代入①中,左边=2×1- (- 5)=7,右边=7.∵左边=右边,∴是方程组的解.
[易错辨析] 二元一次方程组的解应满足方程组中全部方程,因此在检验方程组的解时应该对每一个方程都进行检验.若只满足其中部分方程,将不能作为方程组的解.初学者往往受一元一次方程的解的检验的习惯的影响,只对一个方程进行检验,而忽略对另外的方程进行检验.错解的主要原因是没有将代入方程②进行检验,因为二元一次方程组的解是其中所有方程的公共解.
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〔正解〕 把代入①中,左边=2×1- (- 5)=7,右边=7.∵左边=右边,∴是方程①的解.再把代入②中,左边=1+2×(- 5)=- 9,右边=- 4.∵左边≠右边,∴不是方程②的解,∴不是方程组的解.
8.2 消元——解二元一次方程组
掌握代入法和消元法两种基本的解二元一次方程组的方法.
通过类比、转化的思想帮助学生领会解方程组的基本思路.
培养学生通过探索尝试解决问题的意识.
【重点】 代入法、加减法解二元一次方程组.
【难点】 选用灵活的方法解二元一次方程组.
第课时
用代入消元法解二元一次方程组.
理解代入消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法.
向学生渗透转化的数学思想,培养勇于克服困难的思想意识.
67
【重点】 用代入消元法解二元一次方程组.
【难点】 代入消元法的基本思想.
【教师准备】 例题演示的详细板书.
【学生准备】 复习二元一次方程组解的概念.
导入一:
体育节要到了.拔河是七年级(1)班的优势项目.为了取得好名次,他们想在全部22场比赛中得到40分.已知每场比赛都要分出胜负,胜队得2分,负队得1分.那么七年级(1)班应该胜、负各几场?
你会用二元一次方程组解决这个问题吗?
根据问题中的等量关系设胜x场,负y场,可以更容易地列出方程组 那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢?
[设计意图] 导入情境是学生喜闻乐见的体育活动,可以增强学生的求知欲,使学生对所学知识产生亲切感.
导入二:
在8.1节中我们已经看到,直接设两个未知数:胜x场、负y场,可以列方程组表示本章引言问题中的数量关系.如果只设一个未知数:胜x场,那么这个问题也可以用一元一次方程2x+(10- x)=16来解.
思路
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?
[设计意图] 比较方程2x+(10- x)=16和方程组之间的关系,是引入代入法的关键所在.
一、代入法
[过渡语] (针对导入二)建立二元一次方程组求未知数,目的是求适合两个方程的未知数,也就是说两个方程的未知数取值是一样的.我们从这个认识出发,探究怎样解二元一次方程组?
(1)消元思想.
问题1
能否借助于一元一次方程解二元一次方程组?
〔解析〕 我们发现,二元一次方程组中第一个方程x+y=10可以写为y=10- x.由于两个方程中的y都表示负的场数,因此我们把第二个方程2x+y=16中的y换为10- x,这个方程就化为一元一次方程2x+(10- x)=16.解这个方程,得x=6.把x=6代入y=10- x,得y=4.从而得到这个方程组的解.
问题2
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在上面的方程组中,第一个方程x+y=10是否可以写为x =10- y,然后再把x=10- y代入到方程2x+y=16中?
〔解析〕 从思路上讲,问题1和问题2的思路是一样的,只是选择哪个字母代入的问题.
总结:二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数,然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.
(2)代入法.
问题3
在上述的消元过程中,是怎样实现消元的?这种消元的方法叫什么?
总结:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
二、例题讲解
用代入法解方程组
〔解析〕 方程①中x的系数是1,用含y的式子表示x,比较简便.
解:由①,得x=y+3③,把③代入②,得3(y+3)- 8y=14.解这个方程,得y=- 1.把y=- 1代入③,得x=2.所以这个方程组的解是
追问1:把③代入①可以吗?试试看.
提示:不可以,因为方程③是由方程①变形而来的,把③代入①后,只能得到一个恒等式.
追问2:把y =- 1代入①或②都可以吗?
提示:可以.二元一次方程组消元后化为一元一次方程,求出一个未知数的解,代入方程①、方程②或方程③都可以求出另一个未知数的值,但代入变形后的方程③更简便一些.
[知识拓展] 1.当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时,用代入法比较简单.
2.若方程组中未知数的系数为1(或- 1),选择系数为1(或- 1)的方程进行变形,用代入法也比较简便.
3.如果未知数系数的绝对值不是1,一般选择未知数系数的绝对值最小的方程变形.
(补充)用代入消元法解方程组
〔解析〕 求方程组的解的过程叫做解方程组.由方程组的解的概念,可知解方程组就是要求出同时满足此方程组中的两个方程的x和y的值.
解:由①得x=y- 5.③ 把③代入②,得3(y- 5)+2y=10,解这个一元一次方程,得y=5,把y=5代入③,得x=0,所以原方程组的解为
[知识拓展] 用代入消元法解二元一次方程组时,一般用含一个未知数的代数式表示另一个未知数,但并非绝对.如解方程组由①得2x- 3y=2③,将③代入②得+2y=9,解得y=4,再将y=4代入③得2x- 3×4=2,解得x=7,故方程组的解为这种整体代入的方法显然比常规方法简单很多,但无论是用哪一种方法进行代入消元,都应该达到同一个目的——消元.
67
代入法解二元一次方程组的一般步骤为:
(1)从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数,例如y,用含x的式子表示出来,也就是化成y=ax+b的形式;
(2)将y=ax+b代入方程组中的另一个方程中,消去y,得到关于x的一元一次方程;
(3)解这个一元一次方程,求出x的值;
(4)把求得的x值代入方程y=ax+b中(或方程组中的任意一个方程中),求出y的值,再写成方程组解的形式;
(5)检验得到的解是不是原方程组的解.
1.把方程2x- 4y=1改写成用含x的式子表示y的形式是 .
解析:用含x的式子表示y,相当于把y看成未知数,把x看成已知数,解关于y的一元一次方程,结果为y=.故填y=.
2.方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
解析:将方程y=2x代入3y+2x=8得x=1,将x=1代入y=2x得y=2.故选B.
3.用代入法解方程组代入后化简比较容易的变形是 ( )
A.由①得x=
B.由①得y=
C.由②得x=
D.由②得y=5x- 2
解析:根据代入法解方程组的方法结合方程组的特征即可作出判断.由题意得代入后化简比较容易的变形是由②得y=5x- 2.故选D.
4.用代入法解下列方程组:
(1) (2)
解:(1) 把①代入②得3x- 2(2x- 3)=8,解得x=- 2.把x=- 2代入①得y=2×(- 2)- 3=- 7.所以原方程组的解为
(2) 由①得x=y+3③,把③代入②得3(y+3)- 8y=14,解得y=- 1,把y=- 1代入③得x=2.所以原方程组的解为
第1课时
1.代入法
(1)消元思想
(2)代入法
2.例题讲解
例1
例2
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一、教材作业
【必做题】
教材第93页练习第1,2题.
【选做题】
教材第97页习题8.2第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.用代入法解方程组 时,将方程①代入②中,所得的方程正确的是 ( )
A.3x+4y- 3=8 B.3x+4x- 6=8
C.3x- 2x- 3=8 D.3x+2x- 6=8
2.方程2x- y=3与3x+2y=1的公共解是 ( )
A. B.
C. D.
3.若5x2ym与4xn+m- 1y是同类项,则m2- n的值为 ( )
A.1 B.- 1
C.- 3 D.以上都不对
4.已知方程3x- 5y=2,用含x的代数式表示y,则y= .
5.解方程组.
【能力提升】
6.方程组的解为 ( )
A. B.
C. D.
7.用代入法解方程组 以下各式中代入正确的是 ( )
A.3a=2×b+1 B.3a=2×a+1
C.3a=2×a+1 D.3a=2a×6a+1
8.关于x,y的方程组的解是则|m- n|的值是 ( )
A.5 B.3 C.2 D.1
9.用代入法解方程组.
(1) (2)
【拓展探究】
10.已知关于x,y的方程组求出x与y的关系式.
【答案与解析】
1.D(解析: 把①代入②得:3x+2(x- 3)=8,去括号得:3x+2x- 6=8.故选D.)
67
2.B(解析:联立方程2x- y=3与3x+2y=1,求得二元一次方程组的解为故选B.)
3.B(解析:由题意得解得则m2- n=12- 2=- 1.故选B.)
4.y=(解析:移项,得- 5y=2- 3x,系数化1,得y=.)
5.解:把①代入②得5x- 3×3=1,解得x=2.把x=2代入①得y=1.因此原方程组的解是 (2)由①得x+3=3y,即x=3y- 3.③ 由②得2x- y=4.④ 把③代入④得y=2,把y=2代入③得x=3.因此原方程组的解为
6.D(解析: 由①得x=y+1,③ 把③代入②得y=2,把y=2代入③得x=3,∴原方程组的解为故选D.)
7.C(解析:由四个选项的特点可知,方程①变形代入②中,①可变形为b=,代入②得3a=2×+1.故选C.)
8.D(解析:把代入得解得所以|m- n|=|- 1|=1.或把代入方程组中的第二个方程x+my=n,解得m- n=- 1,所以|m- n|=1.故选D.)
9.解:(1) 由①得s=t③,把③代入②得t=,解得t=2,把t=2代入③得s=3.所以方程组的解为 (2) 由②得x=- 4y- 15③.把③代入①得3(- 4y- 15)- 5y=6,解得y=- 3,把y=- 3代入③得x=- 4×(- 3)- 15=- 3.所以方程组的解为
10.解:由x+m=6得m=6- x,将m=6- x代入方程y- 3=m即可消去m,得到关于x,y的关系式为x+y=9.
本课时首先利用较多的时间帮助学生领会消元的思想,为学生学习解方程组做好思路的指导,加上例题的详细解题过程的演示,较好地实现了本课时的学习目标.
在用哪种方法进行代入的问题上,没有注意提示学生代入的方法是多种的,也没有注意比较各种代入方法中有简繁之分.
加强对学生解题过程的指导,示范学生在解题过程中要有明确的思路.补充的例题可以让学生与上一个例题进行比较,在比较的过程中发现解题的要领和共同之处.
用代入消元法解方程组
67
〔解析〕 先对第一个二元一次方程进行变形,用含x的代数式表示y,然后把此关系式代入第二个二元一次方程,把y用含x的代数式换掉,得到一个关于x的一元一次方程,解一元一次方程求得x的值,最后把x的值代入关于y的关系式中,求得y的值.
解: 由①可得y=3x- 7③,把③代入②得5x+2(3x- 7)=8,解得x=2,把x=2代入③得y=- 1,由此可得二元一次方程组的解是
下列解方程组的步骤是否有错误?如果有,请指出来,并改正.
解方程组
解:由①得y=- 1- x.③ A
把③代入①,得x+(- x- 1)=- 1. B
x- x- 1=- 1,0·x=0, C
所以x是任意实数. D
同理,y也是任意实数.
所以这个方程组有无数个解. E
解:解方程组的步骤是有错误的.错误开始于步骤B.因为利用代入消元法解二元一次方程组时,把其中一个系数较简单的方程变形为用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式,再代入到这个方程组中的另一个方程中去,而不能代入到变形前的那一个方程中去,例如本题中③是由①变形而来的,因此需把③代入②中,而非①中.改正如下:由①得y=- 1- x.③ 把③代入②,得2x- 3(- 1- x)=8,解得x=1.把x=1代入③,得y=- 2.所以原方程组的解为
第课时
在熟练掌握用代入法解二元一次方程组的基础上,初步体验用方程组解决实际问题.
通过情境问题使学生进一步理解代入消元法所体现的化归意识.
体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
【重点】 学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组.
【难点】 进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现的化归意识.
67
【教师准备】 结合例题呈现的解方程组过程框图.
【学生准备】 回顾总结代入法解二元一次方程组的步骤.
导入一:
解方程组
通过观察,发现方程①中y的系数为- 1,因此,可先将方程①变形,用含x的代数式表示y,再代入方程②求解.除了这种方法之外,还有别的方法吗?
[设计意图] 这个方程组是用代入法解方程组中比较复杂的一种情形,意在引导学生在先前探索的基础上,尝试解比较复杂的二元一次方程组,进而总结解方程组的一般过程.
导入二:
解方程组:
一位同学的解法是:由①得x=.③ 把③代入②,….
这种方法计算量较大,容易出错.
提出疑问:是否还有更好的解答方法?
[设计意图] 这个方程组意在引导学生在解方程组前要仔细分析方程的特点,选取简捷有效的方法.对本题而言,把6y看作一个整体,代入消元,则会使解方程组变得简单许多.
[过渡语] 当方程组的未知数的系数不为1的时候,如何运用代入法解二元一次方程组呢?
一、例题讲解
思路一
(教材P92例2)根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t,这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶?
〔解析〕 本题中含有两个未知量,一个是分装的大瓶数,另一个是分装的小瓶数.以这两个未知数为数量关系,可以建立起相关的两个等式,即:大瓶数∶小瓶数=2∶5,大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量.在此基础上通过列二元一次方程组可求解.
解:设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.根据大、小瓶数的比,以及消毒液分装量与总生产量的数量关系,得 由①,得y=x.③ 把③代入②,得500x+250×x=22500000.解这个方程,得x=20000.把x=20000代入③,得y=50000.所以这个方程组的解是答:这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.
追问:在解这个方程组的时候,可以先消去x吗?
提示:可以.解法如下: 由①,得x=y.③ 把③代入②,得500×y+250y=22500000,解得y=50000.把y=50000代入③,得x=20000,所以这个方程组的解为
67
二、过程框图总结
读图指导:
(1)结合解方程组的过程,首先按照实线箭头的顺序观察框图.
(2)实线箭头指向完成后按照虚线箭头的指向,这个过程就是求出一个未知数的值之后,再求另一个未知数的值,也就是求方程组解的过程.
(3)如果换一种带入方式,这个框图的基本流程仍然适用.
思路二
出示教材P92例2
(1)列方程组.
提示:本题包含的两个等量关系是什么?
[处理方式] 学生独立分析,列出方程组,全班交流,这一过程中教师要注意引导学生如何从题意入手列出方程组.展示本题所列的方程组.
解:设这些消毒液应分装x大瓶、y小瓶,则
[设计意图] 寻找两个等量关系是列方程组解决实际问题的前提,所以这里就此单独提出问题让学生思考.
(2)解方程组.
问题思考:
问题1
此方程组与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别?
(两个方程里的两个未知数系数的绝对值均不为1.)
问题2
能用代入法来解吗?
(可以.因为方程组中的未知数的取值是一致的,所以可以用一个未知数表示另一个未知数.)
问题3
选择哪个方程进行变形?消去哪个未知数?
(单从代入的方法看,本方程组可有四种代入方法,但在代入的过程中,简繁的程度不一样,所以需要我们考虑的是哪种代入方法更简便.)
在师生对话交流中,完成本题的板书示范.
[知识拓展] 在利用代入法解方程组时,不一定都需要将一个未知数系数化为1,可以根据整体带入的思想灵活地进行,最终达到消元转化为一元一次方程的目的.
(1)列二元一次方程组解应用题的关键是:找出两个等量关系.
(2)列二元一次方程组解应用题的一般步骤为:审、设、列、解、检、答.
1.方程组的解为 ( )
67
A. B.
C. D.
解析: 由②得x=y,③ 把③代入①得y=- .把y=- 代入③得x=- .所以原方程组的解为故选D.
2.已知s=v0t+at2,当t=1时,s=13;当t=2时,s=42.则当t=3时,s等于 ( )
A.106.5 B.87 C.70.5 D.69
解析:根据已知条件:当t=1时,s=13;当t=2时,s=42组成关于v0和a的二元一次方程组,解方程组求出v0和a的值,再代回原来的等式,求出当t=3时,s的值.由题意得解得当t=3时,s=v0t+at2=5t+8t2=87.故选B.
3.甲、乙两车从相距60千米的A,B两地同时出发,相向而行,1小时后相遇,已知甲车比乙车每小时多行20千米,求甲、乙两车的平均速度.
解:设甲车的平均速度为x千米/时,乙车的平均速度为y千米/时,根据题意得解这个方程组,得答:甲、乙两车的平均速度分别是40千米/时,20千米/时.
4.为了贯彻落实国家教育部制订均衡教育规划,某校计划拆除部分旧校舍建设新校舍,使得校舍面积增加30%.已知建设新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍,现有校舍面积为20000 m2,求应拆除多少平方米旧校舍,新建校舍为多少平方米?
解:设拆除旧校舍为x m2,新建校舍为y m2,由题意得解得答:拆除旧校舍为2000 m2,新建校舍为8000 m2.
第2课时
1.例题讲解
例题
2.过程框图总结
一、教材作业
【必做题】
教材第93页练习第1题.
【选做题】
教材第93页练习第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若方程组的解x与y相等,则a的值等于 ( )
A.4 B.10 C.11 D.12
2.学校举行“大家唱大家跳”文艺汇演,设置了歌唱与舞蹈两类节目,全校师生一共表演了30个节目,其中歌唱类节目比舞蹈类节目的3倍少2个,则全校师生表演的歌唱类节目有 个.
3.为了响应开展城乡清洁工程,构建和谐新钦州的号召,某中学团委从八年级学生中派出160人参加街道清洁工作,除八年级团员全部参加外,还派出一些非团员参加.已知派出的非团员人数比团员人数的还多10人.请你算一算,参加清洁工作的团员和非团员各有多少人?
4.超市里某种罐头比解渴饮料贵1元,小彬同学买了3瓶罐头和2听解渴饮料一共用了16元,你能求出罐头和解渴饮料的单价各是多少元吗?
67
【能力提升】
5.方程组的解为 ( )
A. B.
C. D.
6.商店里把塑料凳整齐地叠放在一起,根据下图的信息,当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是 cm.
7.儿童节期间,文具商店搞促销活动.同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠,能比标价省13.2元.已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元,那么书包的标价是 元,文具盒的标价格是 元.
8.某小学在6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览,趵突泉公园规定:成人票价每位40元,学生票价每位20元.该学校购票共花费2400元,在这次游览活动中,教师和学生各有多少人?
9.李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?
【拓展探究】
10.某校七年级二班在召开期末总结表彰会前,班主任安排班长张华去商店买奖品,下面是张华与售货员的对话:
张华:“阿姨,您好!”
售货员:“同学,您好,想买点什么?”
张华:“我只有150元,请帮我安排买16支钢笔和22本笔记本.”
售货员:“好,每支钢笔比每个笔记本贵2元,退你4元,请点好,再见.”
根据这段对话,你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少元吗?
11.某校九年级甲、乙两班学生共103人,其中甲班人数不少于30人且不多于50人,某天两班学生一起去某热带植物园参加社会实践活动,植物园门票价格如下表,若两班都以班为单位分别购票,则共付460元(注:带队教师免票).
购票人数(人)
1~50
51~100
100以上
票价(元/人)
5
4
3.5
(1)若两班合在一起统一购票,则最多可以节省多少元?
(2)求甲、乙两班各有多少名学生.
【答案与解析】
1.C(解析:原方程组化为解得故选C.)
2.22(解析:设歌唱类节目有x个,舞蹈类节目有y个,由等量关系:共表演了30个节目及歌唱类节目比舞蹈类节目的3倍少2个,可得解得即歌唱类节目有22个.故填22.)
3.解:设参加清洁工作的团员有x人,非团员有y人.依题意得解这个方程组得答:参加清洁工作的团员有135人,非团员有25人.
4.解:设罐头的单价为x元,解渴饮料的单价为y元.根据题意,得解得答:罐头和解渴饮料的单价分别是3.6元和2.6元.
5.C(解析:对于形式复杂的二元一次方程组,往往难以直接消元,因此在求解时,一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化整等,把它化成形式简单的方程组,然后再用代入消元法求解.原方程组可化为解得)
67
6.50(解析:根据题意得解得则10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20+3×10=50(cm).)
7.48 18(解析:设书包的标价为x元,文具盒的标价为y元,根据题意得 解得答:书包的标价为48元,文具盒的标价为18元.)
8.解:设在这次游览活动中,教师有x人,学生有y人,由题意得解得 答:在这次游览活动中,教师有10人,学生有100人.
9.解:设甲、乙两种蔬菜各种植了x亩,y亩,依题意得解得答:李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩.
10.解:设钢笔的单价是x元,笔记本的单价是y元,根据题意得解得答:钢笔和笔记本的单价分别是5元、3元.
11.解:(1)最多可以节省:460- 103×3.5=99.5(元). (2)设甲、乙两班分别有学生x名,y名.因为甲班人数不少于30人且不多于50人,所以依题意,得解这个方程组,得∴甲、乙两班分别有学生48名,55名.
本课时是代入法解二元一次方程组的进一步深化.在上一个课时学习的基础上,本课时主要采取的策略是学生讨论老师指导的教学策略,既发挥了学生的主体作用,也让学生增强了学习的信心,面对新的学习问题不畏惧退缩,而是积极地去探索尝试.
在列方程组的过程中分析过少,过于把主要精力放在解方程组上,忽略了照应后面的列方程组解决实际问题的教学.
在解答例题的过程中,可以让学生根据自己的喜好选择不同的解题方法.在读解方程组过程的框图时,可以让学生根据自己的解答方法,再重新制作一个解方程组过程的框图.
练习(教材第93页)
1.解:(1)y=2x- 3. (2)y=1- 3x.
2.解:(1) 把①代入②,得3x+4x- 6=8,解得x=2,把x=2代入①,得y=1,所以原方程组的解为 (2) 由①,得y=2x- 5③,将③代入②,得3x+4(2x- 5)=2,解得x=2.把x=2代入③,得y=2×2- 5=- 1.所以原方程组的解为
3.解:设篮球、排球队分别有x支,y支参赛,由题意得解得答:篮球、排球队分别有28支、20支参赛.
4.解:设他骑车与步行分别用x小时,y小时,由题意得解得答:他骑车与步行分别用了小时、小时.
67
为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总质量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总质量为240克,则1号电池和5号电池每节分别重多少克?
〔解析〕 若1号电池和5号电池每节分别重x克,y克,则4节1号电池和5节5号电池的总质量为(4x+5y)克,2节1号电池和3节5号电池的总质量为(2x+3y)克.
解:设1号电池每节重x克,5号电池每节重y克,根据题意可得解得答:1号电池每节重90克,5号电池每节重20克.
第课时
掌握用加减法解二元一次方程组.
使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.
体验学习数学的乐趣,在探索过程中品尝成功的喜悦,树立学好数学的信心.
【重点】 用加减法解二元一次方程组.
【难点】 学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等,且不成整数倍的二元一次方程组.
【教师准备】 教材例题板书展示.
【学生准备】 回顾总结代入法解二元一次方程组的过程.
导入一:
王阿姨在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元,李阿姨以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元,梨每千克的售价是多少?比一比看谁求得快.
67
[设计意图] 学生可能会有多种办法解决此问题,各种方法中比较简单的是:抵消掉相同部分,王阿姨比李阿姨多买了1千克梨,多花了2元,故梨每千克的售价为2元.问题解决过程中蕴含了加减消元思想.
导入二:
解方程组:
[设计意图] 学生在解上述方程组的过程中,首先会想到先前学习的“代入法”,领悟能力比较强的同学可能用“6y”整体代入的方式比较简单地解方程组,但这仍然是“代入法”的范畴.在学生做完这个习题后,老师可根据学生的解题情况,提出一种新的解方程组的思路.
[过渡语] 除了代入法之外,还有没有别的解方程组的方法呢?接下来我们就学习一种新的解方程组的方法——加减消元法.
思路一
一、加减消元法
(1)提出问题:
不用代入法,怎样解下面的方程组?
(2)分析问题:
在这个方程组中,两个方程中y的系数都是1,可以依据等式的性质,通过②- ①消去未知数y,得x=6.随后把x=6代入方程①或②,进而求出方程组的解.
(3)问题延伸:
①- ②也能消去未知数y,求得x吗?
提示:仍然能求出x,但比前面的做法略麻烦.①- ②得- x=- 6.所以x=6.把x=6代入①,得y=4.所以原方程组的解为
(4)方法思考:
联系上面的解法想一想怎样解方程组
解:①+②得18x=10.8,解得x=,把x=代入②,得y=,所以原方程组的解为
(5)方法总结:
从上面两个方程组的解法可以看出:当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简称加减法.
二、例题讲解
(教材P95例3)用加减法解方程组
〔解析〕 这两个方程中没有同一个未知数的系数互为相反数或相等,直接加减这两个方程不能消元.我们对方程变形,使得这两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等.本题的相同未知数系数没有成整数倍数的关系,这就需要采取方程两边同时乘以一个数的办法,转化为同一未知数系数互为相反数或相等的方程组.
解:①×3,得9x+12y=48.③ ②×2,得10x- 12y=66.④ ③+④,得19x=114,x=6.把x=6代入①,得3×6+4y=16,4y=- 2,y=- .所以这个方程组的解是
追问(1):在上面的解方程组的过程中,把x=6代入②可以解得y吗?
提示:可以.解法如下:把x=6代入②,得5×6- 6y=33,解得y=- .所以这个方程组的解是
追问(2):如果用加减法消去x应如何解?解得的结果一样吗?
67
提示:一样.解法如下:①×5,得15x+20y=80.③ ②×3,得15x- 18y=99.④ ③- ④,得38y=- 19,即y=- .把y=- 代入①,得3x- 2=16,即x=6,所以原方程组的解是可见,所解得的结果是一样的.
[知识拓展] 1.当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相等或互为相反数时,用加减消元法来解比较简便.
2.若两个方程中同一个未知数的系数成整数倍数关系,则可利用等式的性质将其转化,选择加减消元法求解.
3.若两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值都不相等,则应选一组系数(一般选绝对值的最小公倍数较小的一组系数),求出其绝对值的最小公倍数,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等,再用加减消元法求解.
思路二
解方程组
1.代入法解方程组.
[设计意图] 学生已经学习了这种解法,交给学生自己完成,帮助学生复习旧知识,领悟代入法解方程组的实质,提高解题的熟练程度.
展示与评价:
解法1:由①得x=,把x=代入方程②,消去x……
解法2:把2x看作一个整体,由①得2x=- 1- 3y,把2x=- 1- 3y代入方程②,消去2x……
解法2整体代入更简便,准确率更高.
2.加减法解方程组.
[过渡语] 有没有更简洁的解法呢?
(1)初步领悟.
问题1
观察上述方程组,未知数x的系数有什么特点?
(相等.)
问题2
除了代入消元,你还有别的办法消去x吗?
(两个方程的两边分别对应相减,即可消去x,得到一个一元一次方程.)
[设计意图] 使学生进一步巩固用“代入法”解二元一次方程组,并在体会“代入法”存在不足的同时,感受用“加减法”解二元一次方程组的优越性,并掌握“加减法”.
解法3:①- ②得8y=- 8,所以y=- 1,把y=- 1代入①或②,得x=1.所以原方程组的解为
(2)加法解方程组.
解方程组
问题1
观察上述方程组,未知数x的系数有什么特点?
(互为相反数.)
问题2
除了代入消元,你还有别的办法消去x吗?
(两个方程的两边分别对应相加,即可消去x,得到一个一元一次方程.)
(3)减法解方程组.
解方程组
问题1
这两个方程直接相加减能消去未知数吗?为什么?
问题2
怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢?
67
[处理方式] 启发学生仔细观察方程组的结构特点,发现x的系数成整数倍数关系.因此:②×2,得4x- 10y=14③.由①- ③即可消去x,从而使问题得解.从上面的解答过程来看,对于某些二元一次方程组,可通过两个方程两边分别相加或相减消去其中一个未知数,得到一个一元一次方程,从而求出它的解.这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.
1.当二元一次方程组的两个方程中(包括转化后)同一未知数的系数互为相反数或相等时,把两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法.
2.用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等,且不成整数倍数关系的二元一次方程组时,把一个(或两个)方程的两边同时乘以适当的数,使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等,从而求解.
1.二元一次方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
解析:先将两个方程相加(减)消去一个未知数转化为一元一次方程,求出这个一元一次方程的解,再将这个解代入方程组中的一个方程求出另一个未知数的值.也可以根据方程组解的定义去检验.经解或检验知选项B正确.故选B.
2.(2014·襄阳中考)若方程mx+ny=6的两个解是和则m,n的值为 ( )
A.4,2 B.2,4
C.- 4,- 2 D.- 2,- 4
解析:将分别代入mx+ny=6中,得①+②得:3m=12,即m=4,将m=4代入①得:n=2.故选A.
3.解方程组:
解:①+②,得x=5,②- ①×3,得y=1.原方程组的解为
第3课时
1.加减消元法
2.例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第98页习题8.2第3题(1)和(2).
【选做题】
教材第98页习题8.2第3题(3)和(4).
二、课后作业
【基础巩固】
1.方程组的解是 ( )
A. B.
67
C. D.
2.方程组:由②- ①,得正确的方程是 ( )
A.3x=10 B.x=5
C.3x=- 5 D.x=- 5
3.已知方程组则x+y的值为 ( )
A.- 1 B.0 C.2 D.3
4.(2014·泉州中考)方程组的解是 .
5.(2015·东营中考)解方程组
【能力提升】
6.二元一次方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
7.用加减法解方程组下列解法不正确的是 ( )
A.①×3- ②×2,消去x
B.①×2- ②×3,消去y
C.①×(- 3)+②×2,消去x
D.①×2- ②×(- 3),消去y
8.已知二元一次方程组则m+n的值是 ( )
A.1 B.0 C.- 2 D.- 1
9.(2014·杭州中考)设实数x,y满足方程组则x+y= .
10.用加减法解方程组.
(1) (2)
【拓展探究】
11.(2014·贺州中考)已知关于x,y的方程组的解为求m,n的值.
【答案与解析】
1.A(解析:本题y的系数的绝对值相等,符号相反,可直接让第一个方程与第二个方程相加,得3x=9,x=3.把x=3代入第一个方程,得y=2.故选A.)
2.B(解析:②- ①的过程其实是合并同类项的过程,依据合并同类项法则解答即可.由②- ①,得x=5.故选B.)
3.D(解析:两方程相加得3x+3y=9,x+y=3.故选D.)
4.(解析: ①+②得:3x=6,即x=2,将x=2代入①得:y=2,则方程组的解为故填)
5.解: ①+②得3x=15,∴x=5.
把x=5代人①,得5+y=6,∴y=1.∴方程组的解为
6.D(解析:在本题中,y的系数正好互为相反数,所以用加减消元法比较简单.①+②,得4x=12,所以x=3.将x=3代入②,得3+2y=5,所以y=1.因此原方程组的解为故选D.)
7.D(解析:用加减法解二元一次方程组时,必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数.如果系数相等,那么相减消元;如果系数互为相反数,那么相加消元.A.①×3- ②×2,可消去x,故不合题意;B.①×2- ②×3,可消去y,故不合题意;C.①×(- 3)+②×2,可消去x,故不合题意;D.①×2- ②×(- 3),得13x- 12y=31,不能消去y,符合题意.故选D.)
8.D(解析:此题求的是m+n的值,根据方程组可以解出m,n的值,进一步求得m+n的值或两个方程整体相减求得m+n的值.两个方程相减,得- m- n=1,∴m+n=- 1.故选D.)
9.8(解析:①+②得:x=6,即x=9,①- ②得:- 2y=2,即y=- 1,∴方程组的解为则x+y=9- 1=8.故填8.)
67
10.解:(1)①- ②×2得3t=9,t=3.把t=3代入②得3s=18- 4×3,解得s=2.所以方程组的解为 (2)原方程组可变形为①×3- ②×4得:25y=100,y=4.把y=4代入②得:3x- 16=- 7,解得x=3.所以方程组的解为
11.解:将代入方程组得②- ①得n=4,即n=1,将n=1代入②得m=1.则m=1,n=1.
本课时是代入法解方程组之后学习的另一种重要的解方程组的方法.学生对方程组的变形、未知数的代换等有了一定的经验,本课时在学生探索的基础上,给出了加减法的概念,并对这种解方程组的方法进行了细致的总结和指导.
对于两种不同的解方程组的方法的各自特点没有进行比较,不利于学生从总体上理解解方程组的消元思想.
对两种解方程组的基本方法的特点进行比较,增加例题的数量,帮助学生灵活选用适当的方法解方程组.
解方程组
〔解析〕 方程组中未知数的系数既不为±1,也没有整数倍数关系,若用代入法会很繁琐,应考虑用加减法,并选择系数较简单的未知数消元,且尽量采用加法而不用减法消元.
解:①×5+②×2得:15x+10y+8x- 10y=100+38,即23x=138,∴x=6.将x=6代入①得:3×6+2y=20,∴y=1.∴原方程组的解为
解方程组
〔解析〕 方程组中未知数的系数都很大,不宜直接用常规的代入法或加减法.但它有一个特点:未知数的系数差都是1,因此针对这种特点,可采用巧妙的方法求解.
解:由①- ②得:x- y=1.③ ③×1996- ②得:y=1,③×1999- ①得:x=2,∴原方程组的解为
第课时
67
1.进一步熟练掌握加减消元法.
2.能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组.
通过分析实际问题中的数量关系,建立方程组解决问题,进一步认识方程组模型的重要性.
培养学生不畏困难、勇于探索的精神.
【重点】 能建立方程组并根据方程组的特点选择合适的方法解方程组.
【难点】 理清复杂的数量关系建立方程组.
【教师准备】 教材例4的板书演示和解方程组过程框图.
【学生准备】 总结加减消元法解方程组的要领.
导入一:
已知方程组①+②得2x=8,解得x=4,①- ②得2y=4,解得y=2,所以原方程组的解为这种解法是通过将两个方程 或 消去一个未知数,将二元一次方程组转化为 来解的,这种解法叫做 ,简称 .
〔解析〕 此题考查对加减消元法的理解,方程①②中x的系数是相等的,相减可消去x,这样二元一次方程组就转化为一元一次方程了,方程①②中y的系数互为相反数,相加可消去y,这样二元一次方程组就转化为一元一次方程了.
[设计意图] 通过对知识的复习,帮助学生领会和总结解方程组最基本的思想就是消元转化.
导入二:
儿童节期间,文具商店搞促销活动,同时购买一个书包和一个文具盒可以打5折优惠,能比标价省13.2元.已知书包标价比文具盒标价的2倍少6元,那么书包和文具盒的标价各是多少元?
〔解析〕 根据购买一个书包和一个文具盒可以打5折优惠,能比标价省13.2元,书包标价比文具盒标价的2倍少6元,分别列方程,再解方程组即可.
解:设书包和文具盒的标价分别为x元和y元,
根据题意,得
怎样去解这个方程组呢?
[设计意图] 此题考查的知识点是二元一次方程组的应用,解题的关键是由已知找出两个相等关系,列方程组求解.通过列方程组和解方程组的过程,一方面使学生熟练掌握解方程组的技能,另一方面也为下课时方程组的应用作准备.
67
[过渡语] 我们学习了解方程组的基本方法,在此基础上我们可以通过列方程组、解方程组来解决生活中的一些实际问题.
(教材P95例4)2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2,3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?
思路一
〔解析〕 如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2,那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1 h共收割小麦hm2,3台大收割机和2台小收割机同时工作1 h共收割小麦 hm2,由此考虑两种情况下的工作量.
思路二
问题1
列二元一次方程组解应用题的关键是什么?
提示:找出两个等量关系.
问题2
你能找出本题的等量关系吗?
提示:2台大收割机2小时的工作量+5台小收割机2小时的工作量=3.6.3台大收割机5小时的工作量+2台小收割机5小时的工作量=8.
问题3
怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢?
提示:设1台大收割机1小时收割小麦x hm2,则2台大收割机1小时收割小麦 hm2,2台大收割机2小时收割小麦 hm2.现在你能列出方程组吗?
解:设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2.根据两种工作方式中的相等关系,得方程组
去括号,得
②- ①,得11x=4.4.
解这个方程,得x=0.4.
把x=0.4代入①,得y=0.2.
因此,这个方程组的解是
答:1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2.
方法总结:解方程组过程框图:
读图提示:
1.按照实线箭头、虚线箭头的先后顺序读图.
2.②- ①这个环节是解方程组过程的核心.
3.虚线箭头所指示的是最后求得方程组解的过程.
67
[知识拓展] 1.对于比较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母、去括号、移项、合并同类项等),通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式.
2.当方程组比较复杂时,应通过去分母、去括号、移项、合并同类项等,使之化为的形式(同类项对齐),为加减消元创造有利条件.
3.用加减法解二元一次方程组适合于同一未知数的系数成整数倍数的情形,如果不成整数倍,那么可以将两个方程都乘一个适当的数,便于加减,另外,如果系数是分数的形式,那么要整理成的形式,再选择适当的方法求解.
代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法,它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程,只是消元的方法不同.我们应根据方程组的具体情况,选择适合它的解法.
1.已知方程组的解为则2a- 3b的值为 ( )
A.4 B.6 C.- 6 D.- 4
解析:把代入原方程组,得用加减消元法解得2a- 3b=2×- 3×(- 1)=6.故选B.
2.解以下两个方程组,较为简便的是 ( )
(1) (2)
A.(1)(2)均用代入法
B.(1)(2)均用加减法
C.(1)用代入法,(2)用加减法
D.(1)用加减法,(2)用代入法
解析:(1)中的第一个方程是用x表示y的形式,用代入法解答合适;(2)中的未知数t的系数互为相反数,用加减法比较合适.故选C.
3.解方程组
解:原方程组可化为①×2+②得11x=22,∴x=2,把x=2代入①得y=3.∴方程组的解为
4.王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,总支出44000元.其中种茄子每亩支出1700元,每亩获纯利2400元;种西红柿每亩支出1800元,每亩获纯利2600元.王大伯一共获纯利多少元?
解:设王大伯种了x亩茄子,y亩西红柿,根据题意得解得一共获纯利:2400×10+2600×15=63000(元).答:王大伯一共获纯利63000元.
第4课时
例题
解方程组过程框图
一、教材作业
【必做题】
教材第98页习题8.2第8题.
【选做题】
教材第98页习题8.2第9题.
67
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知a,b满足方程组则3a+b的值为 ( )
A.8 B.4 C.- 4 D.- 8
2.用加减消元法解方程组的最佳策略是 ( )
A.②- ①×3,消去x
B.①×9- ②×3,消去x
C.①×2+②×7,消去y
D.①×(- 2)- ②×7,消去y
3.用加减法解方程组时,要使两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数,有以下四种变形的结果:
① ②
③ ④
其中变形正确的是 ( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
4.解方程组
5.某企业开发的一种罐装饮料有大、小件两种包装,3大件4小件共装120罐,2大件3小件共装84罐.每大件与每小件各装多少罐?
【能力提升】
6.已知是二元一次方程组的解,求a- b的值.
7.小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错,求得的解为小文把方程②抄错,求得的解为你能根据提供的信息写出原方程组吗?
8.某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营,先以60 km/h的速度走平路,后又以30 km/h的速度爬坡,共用了6.5 h;原路返回时,汽车以40 km/h的速度下坡,又以50 km/h的速度走平路,共用了6 h.平路和坡路各有多远?
【拓展探究】
9.已知方程组的解是则方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
10.某校的一间阶梯教室,第1排的座位数为a,从第2排开始,每一排都比前一排增加b个座位.
(1)请你在下表的空格里填写一个适当的代数式:
第1排的
座位数
第2排的
座位数
第3排的
座位数
第4排的
座位数
…
a
a+b
a+2b
…
(2)已知第4排有18个座位,第15排座位数是第5排座位数的2倍,求第21排有多少个座位.
【答案与解析】
1.A(解析:根据方程组的特点,两个方程相加即可得出答案,无需求解后再计算.)
2.A(解析:∵②中x的系数为①中x系数的整数倍,∴把①进行变形先消去x较简单.∴②- ①×3,消去x较简单.故选A.)
3.B(解析:①第一个方程右边的1漏乘了3,第二个方程右边的8漏乘了2,故变形不正确;②第一个方程右边的1漏乘了2,第二个方程右边的8漏乘了3,故变形不正确;③是利用等式的性质把x的系数化为了互为相反数的数,变形正确;④是利用等式的性质把y的系数化为了互为相反数的数,变形正确.故选B.)
4.解:①- ②,得- y=- 3+2y,所以y=1.把y=1代入①,得x=1.所以原方程组的解为
67
5.解:设每大件装x罐,每小件装y罐,依题意得解这个方程组得答:每大件装24罐,每小件装12罐.
6.解:把代入方程组得到关于a,b的二元一次方程组 ①+②得4a=8,a=2,将a=2代入①得2×2+b=7,b=3,故原方程组的解为所以a- b=2- 3=- 1.
7.解:由题意得解得原方程组应为
8.解:设平路x km,坡路y km,根据题意,得即解得
答:平路150 km,坡路120 km.
9.C(解析:在方程组中,设x+2=a,y- 1=b,则方程组变形为由题知所以解得故选C.)
10.解:(1)a+3b. (2)依题意得解得∴第21排应有座位数:a+(21- 1)b=12+20×2=52.答:第21排有52个座位.
本课时是在深化认识加减法解方程组的基础上,对二元一次方程组的解法进行了一次简要的总结.本课时在教学设计的时候,充分把握了课时的这一特点,不仅侧重知识的讲解,同时也关注知识的复习和技能的指导,取得了较好的课堂教学效果.
例题的解答过程可以让学生独立完成,在教学的过程中是老师细致演示的,虽然对学生规范解题有一定的指导作用,但在一定程度上限制了学生学习积极性的发挥.
针对教材中练习题的设置,增加一道与行程有关的例题,并针对教材中的“思考”组织学生讨论,这样既能帮助学生整合知识,又能帮助学生提高学习数学的兴趣.
练习(教材第96页)
1.解:(1) (2) (3) (4)
2.解:设轮船在静水中的速度为每小时x km,水的流速为每小时y km,由题意得解得答:轮船在静水中的速度为每小时18 km,水的流速为每小时2 km.
3.解:设每节火车车厢平均装x吨化肥,每辆汽车平均装y吨化肥,由题意得解得答:每节火车车厢平均装50吨化肥,每辆汽车平均装4吨化肥.
习题8.2(教材第97页)
1.解:(1)y=. (2)y=. (3)y=x. (4)y=.
2.解:(1) (2) (3) (4)
3.解:(1) (2) (3) (4)
4.解:设甲种票买了x张,乙种票买了y张,根据题意,得解得答:甲种票买了20张,乙种票买了15张.
5.解:(1) (2)
67
6.解:设到花果岭的有x人,到云水洞的有y人,根据题意,得解得答:到花果岭的人数为133人,到云水洞的人数为67人.
7.解:设小方的平均速度为x km/h,小程的平均速度为y km/h,根据题意,得解得答:小方的平均速度为4 km/h,小程的平均速度为2 km/h.
8.解:设大盒每盒装x瓶,小盒每盒装y瓶,根据题意,得解得答:大盒每盒装20瓶,小盒每盒装12瓶.
9.解:设长方形的长为x cm,宽为y cm,根据题意,得解得答:这个长方形的长为8 cm,宽为1 cm.
某同学在A,B两家超市发现他看中的随身听的单价相同,书包的单价也相同,随身听和书包的单价和是452元,且随身听的单价比书包单价的4倍少8元,那么书包和随身听的单价各是多少元?
〔解析〕 根据购买一个书包和一个随身听需452元,随身听的单价比书包单价的4倍少8元,分别列方程,再解方程组即可.
解:设书包和随身听的单价分别为x元和y元,
根据题意,得解得
答:书包和随身听的单价分别为92元和360元.
[解题策略] 此题考查的知识点是二元一次方程组的应用,解题的关键是由已知找出两个相等关系,列方程组求解.
8.3 实际问题与二元一次方程组
通过列方程组解决实际问题.
体会列方程组解决含有多个未知数问题的优越性.
增强对数学应用价值的认识,培养学生热爱思考、勇于探索的习惯.
【重点】 列方程组解决实际问题.
【难点】 根据实际意义确定方程组的解.
67
第课时
1.能根据实际问题中的数量关系列出方程组.
2.能够列方程组解决一些生活中的实际问题.
经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型.
培养分析、解决问题的能力,体会二元一次方程组的应用价值.
【重点】 以方程组为工具,分析、解决含有多个未知数的实际问题,特别是行程问题.
【难点】 确定解题策略,比较估算与精确计算.
【教师准备】 探究1的问题和解答的投影图片.
【学生准备】 复习总结二元一次方程组的解法.
导入一:
已知一铁路桥长1000米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到车身完全通过桥共用1分钟,整列火车完全在桥上的时间为40秒.
【问题】 怎样才能求出火车的行驶速度及车身的长度呢?解决这个问题,同学们肯定会想到用一元一次方程去解决.我们能不能通过直接设两个未知数,即通过二元一次方程组解决问题呢?
[设计意图] 通过问题情境,直接过渡到列方程组解决问题,绕开了其他解决问题的方法,节省了课堂讨论时间.
导入二:
前面我们讨论了二元一次方程组的解法,并用二元一次方程组解决了一些实际问题.本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题.同学们可以先独立分析问题中的数量关系,列出方程组,得出问题的答案,然后再互相交流.
[设计意图] 学生有了一定的列方程组解决问题的经验,通过导语简明介绍了继续探究用方程组解决问题的方法,便于学生开展自学和总结方法.
67
[过渡语] 我们学会了解二元一次方程组的方法,不仅是学会了一种计算方法,而且我们还可以通过解方程组解决生活中的一些实际问题.
(探究1)
养牛场原有30头大牛和15头小牛,1天约用饲料675 kg;一周后又购进12头大牛和5头小牛,这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20 kg,每头小牛1天约需饲料7~8 kg.你能通过计算检验他的估计吗?
(解析:设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg.)
思路一
1.分析数量关系.
设每头大牛1天约用饲料x kg,每头小牛1天约用饲料y kg,根据两种情况的饲料用量,找出相等关系:
(1)30x+15y=675(kg);
(2)12x+5y=940- 675(kg).
2.列、解方程组.
解这个方程组,得
3.解答问题.
从方程组的解可以看出,每头大牛1天约需饲料20 kg,每头小牛1天约需饲料5 kg.因此,饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确,对小牛的食量估计偏多.
思路二
问题1
判断李大叔的估计是否准确有哪些方法,哪种方法更为准确?
方法1:根据李大叔的估计的结果及问题中给定的数量关系来检验.
方法2:根据问题中给定的数量关系求出平均每头大牛和每头小牛1天各约用的饲料量.根据计算的结果判断李大叔的估计情况.
(提示:由于李大叔估计的两个数值之间有一定的波动,因此采用估测计算的方法比较难准确地判断结果的准确程度.)
问题2
列方程组求解判断.
(1)探究思路指导:
首先分析问题中的数量关系,其次列出方程组,最后得出问题的答案.
(2)列、解方程组:
解:设平均每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg.根据题意得
解这个方程组,得
(3)回归问题:
方程组的解为这就是说,平均每头大牛和每头小牛1天各约用饲料20 kg和5 kg.饲养员李大叔对大牛的食量估计准确,对小牛的食量估计不准确.
[知识拓展] 1.列方程组解应用题的关键是准确找出题目中的相等关系,正确地列出方程组.
2.列方程组时应注意方程两边表示的是同类量,同类量的单位要统一.
3.作答时,要根据实际问题的意义,判断求得的结果是否合理,不合理的解应该舍去.
利用列方程组解决实际问题的关键是弄清题中蕴含着的等量关系.根据等量关系设出未知数,列方程组求解,注意实际问题的解要进行检验.
67
1.小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张,单价分别是1元与2元.设购买1元的贺卡为x张,2元的贺卡为y张,那么x,y所适合的一个方程组是 ( )
A. B.
C. D.
解析:此题的等量关系为:①1元的贺卡张数+2元的贺卡张数=8张;②1元的贺卡钱数+2元的贺卡钱数=10元.根据1元的贺卡张数+2元的贺卡张数=8张,得方程x+y=8;根据1元的贺卡钱数+2元的贺卡钱数=10元,得方程为x+2y=10.列方程组为故选D.
2.有大、小两种船,1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名,2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人.某船家有3艘大船与6艘小船,一次可以载乘客的人数为 ( )
A.129 B.120 C.108 D.96
解析:应先算出1艘大船的载客量及1艘小船的载客量.等量关系为:1艘大船的载客量+4×1艘小船的载客量=46;2×1艘大船的载客量+3×1艘小船的载客量=57.设1艘大船的载客量为x人,1艘小船的载客量为y人.则解得∴3x+6y=96.∴1艘大船与6艘小船一次可以载乘客的人数为96人.故选D.
3.学校文艺部组织部分文艺积极分子看演出,共购得8张甲票,4张乙票,总共用了112元.已知每张甲票比乙票贵2元,则甲票、乙票的票价分别是 ( )
A.甲票10元/张,乙票8元/张
B.甲票8元/张,乙票10元/张
C.甲票12元/张,乙票10元/张
D.甲票10元/张,乙票12元/张
解析:用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系.本题中2个等量关系为:购买甲票钱数+购买乙票钱数=112元,甲票单价- 乙票单价=2元.设甲票、乙票的单价分别是x元,y元,则解得故甲票10元/张,乙票8元/张.故选A.
4.王阿姨和李奶奶一起去超市买菜,王阿姨买西红柿、茄子、青椒各1 kg,共花12.8元;李奶奶买西红柿2 kg、茄子1.5 kg,共花15元.已知青椒每千克4.2元,请你求出每千克西红柿、茄子各多少元.
解:设每千克西红柿x元,每千克茄子y元.根据题意得解得答:每千克西红柿4.2元,每千克茄子4.4元.
第1课时
探究1
列方程组解决实际问题的主要思路:
实际问题
一、教材作业
【必做题】
教材第101页习题8.3第2题.
【选做题】
教材第101页习题8.3第3题.
67
二、课后作业
【基础巩固】
1.把一根长100 cm的木棍锯成两段,使其中一段的长比另一段长的2倍少5 cm,则锯出的木棍的长不可能为 ( )
A.70 cm B.65 cm
C.35 cm D.35 cm或65 cm
2.(2014·温州中考)20位同学在植树节这天共种了52棵树苗,其中男生每人种3棵,女生每人种2棵.设男生有x人,女生有y人,根据题意,列方程组正确的是 ( )
A. B.
C. D.
3.某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动员,花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件,其中甲种奖品每件16元,乙种奖品每件12元,求甲、乙两种奖品各买多少件.该问题中,若设购买甲种奖品x件,乙种奖品y件,则列方程组正确的是 ( )
A. B.
C. D.
4.(2014·济南中考)2014年世界杯足球赛在巴西举行,小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张,总价为5800元.其中小组赛球票每张550元,淘汰赛球票每张700元,小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张?
5.为净化空气,美化环境,某市冷水滩区在许多街道和居民小区都种上了玉兰树和樟树,冷水滩区新建的某住宅区内,计划投资1.8万元种玉兰树和樟树共80棵,已知某苗圃负责种活以上两种树苗的价格分别为:玉兰树300元/棵,樟树200元/棵,可种玉兰树和樟树各多少棵?
【能力提升】
6.某蔬菜公司收购某种蔬菜140吨,准备加工上市销售.该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天精加工,几天粗加工?设安排x天精加工,y天粗加工.为解决这个问题,所列方程组正确的是 ( )
A. B.
C. D.
7.在早餐店里,王伯伯买5个馒头,3个包子,老板少拿2元,只要50元.李太太买了11个馒头,5个包子,老板以售价的九折优待,只要90元.若馒头每个x元,包子每个y元,则可表示题目中的数量关系的方程组为 ( )
A. B.
C. D.
8.某通信运营商的短信收费标准如下:发送网内短信0.1元/条,发送网际短信0.15元/条.该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150条,依照该收费标准共支出短信费用19元.小王该月发送网内、网际短信各多少条?
9.体育文化用品商店购进篮球和排球共20个,进价和售价如下表,全部销售完后共获利润260元.
篮球
排球
进价(元/个)
80
50
售价(元/个)
95
60
(1)购进篮球和排球各多少个?
(2)销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等?
【拓展探究】
10.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试,同时开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供1680名学生就餐;同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐.
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐;
67
(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校的5300名学生就餐?请说明理由.
【答案与解析】
1.A(解析:不妨设其中一段的长为x,另一段的长为y,根据题意得解这个二元一次方程组得因为这两段没有顺序,所以锯出的木棍的长可能为65 cm或35 cm,不可能为70 cm.故选A.)
2.D(解析:根据男、女生人数为20,共种了52棵树苗,列出方程组)
3.B(解析:购买甲种奖品x件,乙种奖品y件,甲、乙两种奖品共30件,所以x+y=30.因为甲种奖品每件16元,乙种奖品每件12元,买奖品共花了400元,所以16x+12y=400,综上可得方程组:故选B.)
4.解:设小李预订了小组赛球票x张,淘汰赛球票y张,由题意得解得答:小李预定了小组赛球票8张,淘汰赛球票2张.
5.解:设种玉兰树x棵,樟树y棵,则解得答:可种玉兰树20棵,樟树60棵.
6.D(解析:两个定量为:加工天数,蔬菜吨数.等量关系为:精加工天数+粗加工天数=15;6×精加工天数+16×粗加工天数=140.根据安排x天精加工,y天粗加工,可列方程组故选D.)
7.B(解析:馒头每个x元,包子每个y元,王伯伯买5个馒头,3个包子,老板少拿2元,只要50元,可列式为5x+3y=50+2,李太太买了11个馒头,5个包子,老板以售价的九折优待,只要90元,可列式为0.9(11x+5y)=90,故可列方程组为故选B.)
8.解:设小王该月发送网内短信x条,网际短信y条.
根据题意得解这个方程组得答:小王该月发送网内短信70条,网际短信80条.
9.解:(1)设购进篮球x个,排球y个,由题意得解得 答:购进篮球12个,排球8个. (2)6×(60- 50)÷(95- 80)=4(个).
10.解:(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐,1个小餐厅可供y名学生就餐,根据题意,得解这个方程组,得答:1个大餐厅可供960名学生就餐,1个小餐厅可供360名学生就餐. (2)因为960×5+360×2=5520>5300,所以7个餐厅同时开放,能供全校的5300名学生就餐.
本课时的学习重点是探究列方程组解应用问题的一般过程.从学情看,学生有了一定的解方程组技能,对列方程组解决实际问题也有了一定的体会,在这种认识的基础上,本课时的教学以学生的自主探索为主,让学生真正感受到数学在生活中的应用价值.
本课时的难点是方程组解的意义和实际意义之间的关系.对方程组解的意义和实际意义之间的区别没有做特别的强调,会造成以后学生忽略方程组解的实际意义的情况,可能出现解题的疏漏.
在本课时的最后,师生共同总结列方程组解决实际问题的基本步骤.再选择一个类型题作为例题的补充.
67
某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,他开车如果以每小时50千米的速度行驶,就会迟到24分钟;如果以每小时75千米的速度行驶,那么可提前24分钟到达乙地.求从甲地到乙地的路程.
〔错解1〕 设从甲地到乙地的路程为s千米,从甲地到乙地的规定时间是t小时,根据题意,得解得答:从甲地到乙地的路程是7200千米.
〔错解2〕 设从甲地到乙地的路程为s千米,从甲地到乙地的规定时间是t小时,根据题意,得
解得(舍去)
[易错辨析] 错解1的解题过程错在方程两边的单位不统一,其中和t的时间单位是小时,而24的单位是分钟.错解2是错误地理解了题目中的等量关系,迟到24分钟说明所用时间多,应为t+;提前24分钟说明所有时间少,应为t- .
〔正解〕 设从甲地到乙地的路程为s千米,从甲地到乙地的规定时间为t小时,根据题意,得解得答:从甲地到乙地的路程为120千米.
第课时
1.能够找出实际问题中的数量关系列出方程组.
2.会列方程组解决有关设计问题.
经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
体会开放性地寻求设计方案,培养分析、解决问题的能力.
【重点】 经历和体验用方程组解决实际问题的过程.
【难点】 在寻求解决问题的过程中建立适当的方程组模型.
【教师准备】 探究2问题及分析过程板书演示图片.
【学生准备】 总结用方程组解决实际问题的一般过程.
67
导入一:
某中学组织七年级学生春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.已知45座客车日租金为每辆220元,60座客车日租金为每辆300元.
(1)七年级学生人数是多少?原计划租用45座客车多少辆?
(2)若租用同一种车,要使每位同学都有座位,则怎样租用更合算?
〔解析〕 此题中有两个未知量——七年级学生人数和原计划租用45座客车的辆数.题中有两个等量关系:(1)45×原计划租用45座客车的辆数+15=七年级学生人数;(2)60×(原计划租用45座客车的辆数- 1)=七年级学生人数.
根据上述分析,你能列出方程组解决这个问题吗?
[设计意图] 通过这个解方程组事例,帮助学生体验方案决策中数学计算的重要性.
导入二:
(探究2)据统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地,分为两块小长方形土地,分别种植这两种作物.怎样划分这块土地,使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4?
[设计意图] 以学生身边的实际问题展开学习,突出数学与现实的联系,培养学生运用数学的意识.
[过渡语] (针对探究2)怎样划分这块土地,首先要明确甲、乙两种作物应该占多大的面积.
如图所示,根据划分两块土地的要求,首先要明确两种作物的面积应该各是多少.因为这块土地的形状是一个长方形,所以只需要确定种植甲、乙两种作物区域的边长,就可以按照要求划分出相应的两块土地.
1.确定方案.
依据土地的长划分:甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.此时设AE=x m,BE=y m,根据要求求得x,y的值,就可以作为划分种植甲、乙两种作物区域的依据.
2.列方程组求解.
设把长方形土地的长分为x m和y m两部分,分别种植甲、乙两种作物,根据题意列方程组得解这个方程组,得
3.划分地块.
根据上述方程组的解,过长方形土地的长边上离一端120 m(或80 m)处,作这条边的垂线,把这块土地分为两块长方形土地.较大一块土地种甲种作物,较小一块土地种乙种作物.
4.追问思考.
还有别的划分方法吗?
提示:还可以把长方形的宽分为两部分,成为两个长方形,使较大一块土地种甲种作物,较小一块土地种乙种作物.
[知识拓展] 列二元一次方程组解应用题的一般步骤如下:(1)审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系;(2)设:可直接设未知数,也可间接设未知数,
67
特别要注意隐含的未知量;(3)列:一般根据能够表达题意的两个相等关系列出方程组;(4)解:解所列方程组,求出未知数的值;(5)验:检验所求未知数的值是不是所列方程组的解,是否符合题意;(6)答:写出答案(包括单位名称).
方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具,用方程组解决问题时,要根据问题中的数量关系列出方程组,求出方程组的解后,应进一步考虑它是否符合问题的实际意义.
1.某校春季运动会比赛中,八年级(1)班、(5)班的竞技实力相当,关于比赛结果,甲同学说:“(1)班与(5)班得分之比为6∶5.”乙同学说:“(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分.”若设(1)班得x分,(5)班得y分,根据题意所列的方程组应为 ( )
A. B.
C. D.
解析:根据(1)班与(5)班得分之比为6∶5,有x∶y=6∶5,得5x=6y;根据(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分,有x=2y- 40.可列方程组为故选D.
2.我国古代数学巨著《孙子算经》中的“鸡兔同笼”题为:“今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问雉兔各几何”.正确答案是 ( )
A.鸡24只,兔11只 B.鸡23只,兔12只
C.鸡11只,兔24只 D.鸡12只,兔23只
解析:设鸡有x只,兔有y只,根据题意得解得即有鸡23只,兔12只.故选B.
3.用白铁皮做水桶,每张铁皮能做1个桶身或8个桶底,而1个桶身1个桶底正好配套做1个水桶,现在有63张这样的铁皮,则需要用多少张做桶身,多少张做桶底正好配套?
解:设用x张铁皮做桶身,y张铁皮做桶底,根据题意得解得答:需要用56张铁皮做桶身,7张铁皮做桶底正好配套.
第2课时
探究2
建立方程组
方程组的解为
一、教材作业
【必做题】
教材第106页习题8.4第5题.
【选做题】
教材第106页习题8.4第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个长方形的周长是10,长比宽的2倍少1.若设这个长方形的长为x、宽为y,则根据题意列出方程组正确的是 ( )
A. B.
C. D.
67
2.足球比赛的记分规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.一支青年足球队参加15场比赛,负4场,共得29分,则这支球队胜了 ( )
A.2场 B.5场 C.7场 D.9场
3.由8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,如图所示.每块小长方形地砖的面积是cm2.
4.如图所示,在东北大秧歌的踩高跷表演中,已知演员身高是高跷长度的2倍,高跷与腿重合部分的长度为28 cm,演员踩在高跷上时,头顶距离地面的高度为224 cm.求演员身高及高跷的长度.
5.某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成.每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个,现有工人16名,应怎样安排人力,才能使每天加工的A部件和B部件配套?
【能力提升】
6.七年级(1)班学生组织栽树,若每人栽5棵,还剩20棵树苗没有栽;若每人栽6棵,还缺20棵树苗,则这班学生数和树苗数分别为 ( )
A.60人,280棵 B.50人,270棵
C.50人,240棵 D.40人,220棵
7.某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方体盒子的长比宽多4 cm,求这种药品包装盒的体积.
8.某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间,大宿舍每间可住8人,小宿舍每间可住6人,该校360名住宿生恰好住满这50间宿舍.求大、小宿舍各有多少间.
9.在课外活动期间,小英、小丽和小华在操场上画出A,B两个区域,一起玩投沙包游戏.沙包落在A区域所得分值与落在B区域所得分值不同.当每人各投沙包四次时,其落点和四次总分如图所示.请求出小华的四次总分.
67
【拓展探究】
10.某商场计划从厂家购进一批电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为:甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元,若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你设计一下商场的进货方案.
【答案与解析】
1.C(解析:根据周长是10可知长与宽的和为5.于是得到方程组故选C.)
2.D(解析:设这支球队胜了x场,平了y场,依题意,得解得故选D.)
3.300(解析:设每块小长方形地砖的长为x cm,宽为y cm,由题意可得即解得所以每块小长方形地砖的面积是300 cm2.)
4.解:设演员的身高为x cm,高跷的长度为y cm,根据题意得解得答:演员的身高为168 cm,高跷的长度为84 cm.
5.解:设安排x人加工A部件,安排y人加工B部件,由题意,得解得答:安排6人加工A部件,安排10人加工B部件,才能使每天加工的A部件和B部件配套.
6.D(解析:设这班学生数和树苗数分别为x人,y棵.根据题意,得解得故选D.)
7.解:设这种药品包装盒的宽为x cm,高为y cm,则长为(x+4)cm.根据题意,得解得故长为9 cm,宽为5 cm,高为2 cm,所以体积V=9×5×2=90(cm3).答:这种药品包装盒的体积为90 cm3.
8.解:设大宿舍有x间,小宿舍有y间,由题意,得解得答:大宿舍有30间,小宿舍有20间.
9.解:设沙包落在A区域得x分,落在B区域得y分,根据题意,得解得∴x+3y=9+3×7=30.答:小华的四次总分为30分.
10.解:设购进甲、乙、丙三种型号的电视机分别为x台,y台,z台.(1)若选甲、乙,则有:解得(2)若选甲、丙,则有:解得(3)若选乙、丙,则有:解得(舍去)答:有两种进货方案:(1)购进甲种25台,乙种25台.(2)购进甲种35台,丙种15台.
本课时的探究问题,从难度上要高于探究1,在处理这个探究问题时,注重指导学生利用几何知识和图形进行思考,提出不同的划分方案让学生进行思考,帮助学生体验解决问题途径的多样性和解决问题中方程组的巨大作用.
探究2以“一个思路列方程,两种不同划分方法”为特点,在处理时只详细分析了其中一种划分方法,对另外一种划分方法的处理过于简单.
67
在探究用图上,不借助于教材的图形,在师生一起分析解决问题的方向后,让学生根据自己的理解,在这块土地的长和宽上去思考怎样划分相应的地块.这样也为学生的交流合作搭建了一个平台.
某城市为了缓解缺水状况,实施了一项引水工程,就是把200 km以外的一条大河的水引到城市中来.把这个工程交给了甲、乙两个施工队,工期为50天.甲、乙两队合作了30天后,乙队因另外有任务需要离开10天,于是甲队加快速度,每天多修0.6 km,10天后乙队回来,为了保证工期,甲队保持现在的速度不变,乙队每天比原来多修0.4 km,结果如期完成,则甲、乙两队原计划每天各修多少千米?
〔解析〕 本题是一道工程问题,等量关系有两个:(1)两施工队的原来速度和=总工程量÷总时间;(2)甲、乙两施工队的总工程量为200.由此可列方程组求解.
解:设甲队原计划每天修x km,乙队原计划每天修y km,由题意得
解得答:甲队原计划每天修2.4 km,乙队原计划每天修1.6 km.
[规律方法] (1)工程类问题中相等关系一般比较明显,常见的一组相等关系是:两个或几个效率不同的对象完成的工作量等于总工作量.(2)在工程类问题中,如果没有工作总量,一般情况下把工作总设为单位“1”.
第课时
1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系,列出二元一次方程组.
2.培养分析问题、解决问题的能力,进一步体会二元一次方程组的应用价值.
进一步经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
培养学生勤于思考、勇于探索的精神.
【重点】 用列表的方式分析题目中的各个量的关系.
67
【难点】 借助于列表分析问题中所蕴含的数量关系.
【教师准备】 探究3问题及解题过程演示图片.
【学生准备】 回顾总结列方程组解决问题的基本过程.
导入一:
“水是生命之源”,某市自来水供水公司为鼓励企业节约用水,按下表规定收取水费:某企业12月份共缴水费128元,这个企业12月份用水多少吨?
用水量
单价(元/吨)
不超过40吨的部分
1.8
超过40吨的部分
2.2
另:每吨用水加收0.2元的城市污水处理费
师:通过这种表格,我们可以理清一些数量关系.我们在学习列一元一次方程的时候,采用了列表的方法帮助建立方程.在列二元一次方程组的时候,我们是否可以继续借鉴这种方法呢?
[设计意图] 帮助学生回忆先前解决问题用过的办法,认识表格在分析数量关系中的重要作用.
导入二:
电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度.一般白天的用电比较集中、用电功率比较大,而夜里人们休息,用电比较少,所以通常白天的用电称为高峰用电,即8:00~22:00,深夜的用电是低谷用电,即22:00~次日8:00.某地的高峰电价为每千瓦时0.56元;低谷电价为每千瓦时0.28元.八月份小彬家的总用电量为125千瓦时,总电费为49元,你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗?
师:通过下面的表格,你能列二元一次方程组解决问题吗?
数量
电价
电费
高峰用电
49元
低谷用电
电量
125千瓦时
[设计意图] 直接提出解决问题的要求,明确本课时所要研究的解决问题的主要方法.
(探究3)
长青化工厂与A,B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(t·km),铁路运价为1.2元/(t·km),且这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
问题1
67
怎样设未知数?
(解析:销售款与产品数量有关,原料费与原料数量有关,而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关.因此设制成产品x t,购买原料y t.)
问题2
如何确定题中的数量关系?
(解析:列表如下:)
产品x t
原料y t
合计
公路运费(元)
1.5×20x
1.5×10y
15000
铁路运费(元)
1.2×110x
1.2×120y
97200
价值(元)
问题3
列方程组解答.
由上表可列方程组
解这个方程组,得
所以这批产品的销售款比原料费与运输费的和多8000×300- 1000×400- 15000- 97200=1887800(元).
[设计意图] 本例所涉及的数据较多,数量关系较为复杂,具有一定的挑战性,能激发学生探索的热情.
[知识拓展] 列二元一次方程组的关键是寻找等量关系.找等量关系常用的方法:(1)直接列式法:根据题目中的一些重要语句列出代数式,从而列出方程组的一种方法,这种方法适用于关系量较少,结构不太复杂的题目.(2)列表法:把有关数量及其变化情况填写在设计好的表格中,其优点在于对题目能够分步分层分析,以便迅速地列出方程组.(3)图形示意法:如果题目中的关系量较多或题目结构复杂,一时找不到等量关系,可采用此法,它一般分为直线型示意法和圆形型示意法.
方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具.用方程组解决问题时,可以先设计表格,通过填表对有关数量进行整理,发现等量关系,列出方程组,求出方程组的解后,应进一步考虑它是否符合问题的实际意义.
1.某校初一(1)班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表:
捐款(元)
1
2
3
4
人数
6
7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚,若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组 ( )
A. B.
C. D.
解析:根据题意列方程组为即故选A.
2.一个两位数的十位数字与个位数字的和是8,把这个两位数加上18,结果恰好成为数字对调后组成的两位数,求原两位数.设原两位数的个位数字为x,十位数字为y,所列方程组正确的是 ( )
A. B.
C. D.
67
解析:原两位数的个位数字为x,十位数字为y,则原两位数可表示为10y+x,对调后的两位数为10x+y,根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组故选B.
3.某船顺流航行36 km用3 h,逆流航行24 km用3 h,则水流速度为 ,船在静水中的速度为 .
解析:设船在静水中的速度为x km/h,水流速度为y km/h,则顺流航行速度为(x+y) km/h,逆流航行的速度为(x- y) km/h,然后根据速度公式列方程组解得
答案:2 km/h 10 km/h
第3课时
探究3
列表分析等量关系
方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具
一、教材作业
【必做题】
教材第102页习题8.3第7题.
【选做题】
教材第102页习题8.3第8题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.李明同学早上骑自行车上学,中途因道路施工步行一段路,到学校共用15分钟.他骑自行车的平均速度是250米/分,步行的平均速度是80米/分.他家到学校的距离是2900米.设他骑自行车和步行的时间分别为x分,y分,列出的方程组是 ( )
A. B.
C. D.
2.某高速公路于2012年4月29日正式通车,A地到B地全长420千米,一辆小汽车和一辆客车同时从A,B两地相向开出,经过2.5小时相遇,相遇时,小汽车比客车多行驶70千米,设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/时和y千米/时,则下列方程组正确的是 ( )
A. B.
C. D.
3.两人练习跑步,如果乙先跑16米,那么甲8秒可追上乙,如果乙先跑2秒钟,那么甲4秒可追上乙,求甲、乙二人每秒各跑多少米.若设甲每秒跑x米,乙每秒跑y米,则所列方程组应该是 ( )
A. B.
C. D.
4.一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大9,如果交换十位上的数与各位上的数,那么所得两位数比原两位数大27,原两位数为 .
【能力提升】
5.今年哥哥的年龄是妹妹的2倍,2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍,求2年前哥哥和妹妹的年龄.设2年前哥哥x岁,妹妹y岁,依题意,得到的方程组是 ( )
A. B.
C. D.
67
6.某体育场的环形跑道长400米,甲、乙同时从同一起点分别以一定的速度练习长跑.如果反向而行,那么他们每隔30秒相遇一次.如果同向而行,那么每隔80秒乙就追上甲一次.甲、乙的速度分别是多少?设甲的速度是x米/秒,乙的速度是y米/秒.则列出的方程组是 .
7.甲、乙二人在一环形跑道上从A点同时同向匀速跑步,甲的速度是乙的2.5倍,4分钟两人首次相遇,此时乙还需要跑300米才跑完第一圈,求甲、乙二人的速度及环形跑道的周长.
【拓展探究】
8.一辆汽车从A地驶往B地,前路段为普通公路,其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的平均速度为60 km/h,在高速公路上行驶的平均速度为100 km/h,汽车从A地到B地一共行驶了2.2 h.请你根据以上信息,就该汽车行驶的“路程”或“时间”,提出一个用二元一次方程组解决的问题,并写出解答过程.
【答案与解析】
1.D(解析:找出题目中的相等关系:共用15分钟,行程2900米.用方程组表示出题目中的两个相等关系为:故选D.)
2.D(解析:小汽车和客车的平均速度分别为x千米/时和y千米/时,根据相遇时,小汽车比客车多行驶70千米可列方程2.5x- 2.5y=70,再根据经过2.5小时相遇,A地到B地全长420千米可列方程2.5x+2.5y=420,联立所列的两个方程即可得到方程组:故选D.)
3.A(解析:本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.等量关系:(1)如果乙先跑16米,那么甲跑8秒可追上乙;(2)如果乙先跑2秒,那么甲跑4秒可追上乙.∵甲、乙二人每秒分别跑x米,y米,∴由题意得故选A.)
4.14(解析:设原两位数十位上的数为x,个位上的数为y,则这个两位数为y+10x,交换两个数后为10y+x,根据题意,可得解得所以原两位数是14.)
5.C(解析:由题意得故选C.)
6.(解析:①根据反向而行,得方程为30(x+y)=400;②根据同向而行,得方程为80(y- x)=400.综上可列方程组为)
7.解:设乙的速度为x米/分,则甲的速度为2.5x米/分,环形跑道的周长为y米.由题意得解得∴2.5x=2.5×150=375.答:甲、乙二人的速度分别为375米/分、150米/分,环形跑道的周长为900米.
8.解:(答案不唯一)问题:普通公路长和高速公路长各为多少千米?解:设普通公路长为x km,高速公路长为y km.根据题意,得解得答:普通公路长为60 km,高速公路长为120 km.
本课时的侧重点是指导学生列方程组解决实际问题.用方程组解决的问题一般都有比较复杂的数量关系,表格恰是理顺这些数量关系的有效方法.借助于例题的讲解过程,让学生根据表格总结出数量关系,再根据数量关系列出方程组并求解.比较细致全面地让学生了解了表格对列方程组的帮助作用.
67
在本课时的教学过程中,表格是直接给出的,忽略了学生根据自己的分析去建立表格的过程.
出示例题后,让学生尝试如何去列表格.在本课小结的过程中,对于列方程组解决实际问题还需要特别强调方程组解的意义和实际意义之间的区别.
习题8.3(教材第101页)
1.解:(1)原方程组可化为①- ②得4y=11,解得y=,把y=代入①得3x- =5,解得x=.∴ (2)原方程组可化为由②得x=3y- 2③,把③代入①得8(3y- 2)+9y=17,即33y=33,解得y=1.把y=1代入③,得x=3×1- 2=1.∴
2.解:设飞机无风时的平均速度为x km/h,风速为y km/h,根据题意,得解得答:飞机无风时的平均速度为765 km/h,风速为15 km/h.
3.解:设这支部队第一天行军的平均速度为x km/h,第二天行军的平均速度为y km/h,根据题意,得解这个方程组,得答:这支部队第一天行军的平均速度为12 km/h,第二天行军的平均速度为10 km/h.
4.解:设用x张制盒身,y张制盒底可以使盒身与盒底正好配套,根据题意,得解这个方程组,得答:用16张铁皮制盒身,20张铁皮制盒底可以使盒身与盒底正好配套.
5.解:设一辆大货车一次可以运货x t,一辆小货车一次可以运货y t,根据题意,得解这个方程组,得所以3x+5y=3×4+5×=24.5.答:3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5 t.
6.解:设坡路路程为x km,平路路程为y km,根据题意,得解这个方程组,得所以x+y=1.5+1.6=3.1.答:从甲地到乙地全程是3.1 km.
7.解:设需含药30%和75%的药水分别为x kg和y kg,根据题意,得解这个方程组,得答:需含药30%的药水10 kg,含药75%的药水8 kg.
8.解:设打折前A商品单价为x元,B商品单价为y元,根据题意,得解这个方程组,得所以500×16+500×4- 9600=400(元).答:比不打折少花400元.
9.解:有误.理由如下:设一支牙刷的价格为x元,一盒牙膏的价格为y元,根据题意,得39x+21y=396,即13x+7y=132,所以52x+28y=4(13x+7y)=4×132=528(元).因为518≠528,所以这个记录有误.
某年全国废水(含工业废水与城镇生活污水)排放总量约440亿吨,排放达标率约为54%,其中工业废水排放达标率约为88%,城镇生活污水排放达标率约为22%.这一年全国工业废水与城镇生活污水的排放量分别是多少亿吨(结果精确到10亿吨)?
〔解析〕 引导学生认真审题,填好下表.
排放量(亿吨)
排放达标率
达标排放量(亿吨)
工业废水
x
88%
88%x
67
城镇生活污水
y
22%
22%y
两种废水合计
440
54%
440×54%
解:设这一年全国工业废水与城镇生活污水的排放量分别是x亿吨和y亿吨.根据题意,得解这个方程组,得 ≈210(亿吨),≈230(亿吨).答:这一年全国工业废水与城镇生活污水的排放量分别约为210亿吨和230亿吨.
*8.4 三元一次方程组的解法
掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法,并能利用它解决问题.
在学习解三元一次方程组的过程中,感受消元转化的思想.
培养学生类比学习、敢于创新的精神.
【重点】 三元一次方程组的解法.
【难点】 三元一次方程组的解法的选择.
【教师准备】 教材例1、例2演示过程图片.
【学生准备】 总结二元一次方程组的解法和解应用题的步骤.
导入一:
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍,求1元、2元、5元纸币各多少张.
教师利用投影出示问题,让学生进行讨论,怎样解决这个问题.
师:怎样解决这个问题,同学们自然会想到列方程(组)的办法.老师相信大家会通过列一元一次方程、二元一次方程组来解决问题.不过老师想提出一个挑战性的问题,大家能用设三个未知数的方法解决这个问题吗?
67
[设计意图] 不在解决问题的方法上耗费时间,直接提出与本课时相关的学习内容,用提出“挑战”的方式激发学生的学习兴趣.
导入二:
某学校的篮球数比排球数的2倍少3个,足球数与排球数的比是2∶3,三种球共41个,那么这三种球各有多少个?
这里三种球的个数都是未知的,可设篮球有x个,排球有y个,足球有z个,根据等量关系,可列方程组前面学习了二元一次方程组的解法,如何把这个方程组转化成二元一次方程组,进而求解呢?
[设计意图] 通过生活情境,帮助学生感知三元一次方程组的存在.同时引导性地提出了解三元一次方程组的方法.
一、三元一次方程组的定义
[过渡语] (针对导入一)假如我们设三个未知数来解决这个问题,需要建立怎样的方程呢?
师:为解决前面的问题,如果我们设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张,可以建立哪些方程呢?
生:(思考后回答)
x+y+z=12,
x+2y+5z=22,
x=4y.
问题1
怎样才能保证各个方程中的未知数取值都一样呢?
(把三个方程组合在一起.这里暂时可以不用三元一次方程组的概念表达.)
问题2
观察上面的方程组与前面所学的二元一次方程组有何不同?
(方程组中含有三个未知数.)
[设计意图] 通过问题引入,引发学生的思考与讨论,激发学生的学习兴趣.在此基础上通过类比的方法引入三元一次方程组的概念.
问题3
什么是三元一次方程组?
含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
[知识拓展] 本节常出现的错误是对三元一次方程的概念理解不准确,其表现形式有两种:一种是把“含未知数的项的次数为1”理解为“每个未知数的次数都是1”,误认为xy+z=0也是三元一次方程,另一种是遇到含有字母系数的方程时,容易忽略“未知数的系数不等于零”这个隐含条件,如三元一次方程ax+y+z=6中,a≠0这个条件.
二、三元一次方程组的解法
(1)思路提示:
我们知道,二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么能不能用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数,把它化成二元一次方程组呢?
(2)消元过程:
让我们看前面列出的三元一次方程组:
仿照前面学过的代入法,我们可以把③分别代入①②,得到两个只含y,z的方程:
4y+y+z=12.
67
4y+2y+5x=22.
它们组成方程组:
得到二元一次方程组之后,就不难求出y和z,进而可求出x.
(3)思路总结:
从上面的分析可以看出,解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.
[设计意图] 主要引导学生用“消元”思想去解三元一次方程组.这是类比思想的再次运用,是学生顺利实现知识迁移的必要条件.
三、解方程组
解三元一次方程组:
〔解析〕 方程①只含x,z,因此,可以由②③消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程①组成一个二元一次方程组.
解:②×3+③,得11x+10z=35.④
①与④组成方程组
解这个方程组,得
把x=5,z=- 2代入②,得2×5+3y- 2=9,
所以y=.
因此,这个三元一次方程组的解为
[知识拓展] 解三元一次方程组和解二元一次方程组的方法一样,都是消元,但是有些特殊的三元一次方程组可以用一些特殊的解法,解题时要根据各方程的特点寻求比较简单的解法.
追问:你还有其他解法吗?
[设计意图] 单就例1而言,先消去哪个未知数建立新的二元一次方程组的方法是多种的,所以这个设问对启迪学生灵活解三元一次方程组是非常必要的.
[过渡语] 学会了三元一次方程组的解法,我们就可以利用三元一次方程组解决一些问题.
在等式y=ax2+bx+c中,当x=- 1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.
〔解析〕 把a,b,c看作三个未知数,分别把已知的x,y的值代入原等式,就可以得到一个三元一次方程组.
解:根据题意,得三元一次方程组:
②- ①,得a+b=1.④
③- ①,得4a+b=10.⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组,得
把代入①,得c=- 5.
因此
即a,b,c的值分别为3,- 2,- 5.
[知识拓展] (1)一般地,使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值,叫做三元一次方程的解;(2)三元一次方程组的三个方程的公共解,叫做三元一次方程组的解;(3)
67
三元一次方程组的解是三个数,要将这三个数代入方程组中的每一个方程进行检验,只有这些数满足方程组中的每一个方程,这些数才是这个方程组的解.
用消元法解三元一次方程组的步骤:
①利用消元法消去一个未知数,得到一个二元一次方程组;
②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;
③将两个未知数的值,代入原方程组中比较简单的一个方程,求得第三个未知数的值,把这三个未知数的值写在一起,就是所求三元一次方程组的解.
1.以为解建立一个三元一次方程,不正确的是 ( )
A.3x- 4y+2z=3
B.x- y+z=- 1
C.x+y- z=- 2
D.y- z=1
解析:将分别代入四个选项,只有C选项的方程两边不相等.故选C.
2.若方程x+y+m=4,x- y- 2m=- 1和x- 2m+2y=2有公共解,则x+y+m的值为 .
解析:根据题意得解得 ∴x+y+m=4.故填4.
3.如图①所示,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量;如图②所示,在第二个天平上,砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断:1个砝码A与 个砝码C的质量相等.
解析:此题可以分别设砝码A,B,C的质量是x,y,z.然后根据两个天平平衡列方程组,消去y,得到x和z之间的关系即可.设砝码A,B,C的质量是x,y,z.根据题意,得 ①+②,得2x=4z,x=2z.即1个砝码A与2个砝码C的质量相等.故填2.
4.解方程组
解:①+③,得5x+5y=25.④ ②+③×2,得5x+7y=31.⑤ ④与⑤组成方程组解这个方程组,得把x=2,y=3代入①,得3×2+2×3+z=13,z=1.∴
8.4 三元一次方程组的解法
1.三元一次方程组的定义
2.三元一次方程组的解法
3.解方程组
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
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教材第106页练习第1,2题.
【选做题】
教材第106页习题8.1第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
A. B.
C. D.
2.解方程组若要使运算简便,则消元的方法应为 ( )
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.以上说法都不对
3.如果方程组的解也是方程mx- 2y+z=0的解,那么m的值是 ( )
A. B.- C. D.-
4.已知方程组则x+y的值为 .
5.有这样一道数学题,在等式y=ax2+bx+c中,当x=- 1时,y=4;当x=2时,y=4;当x=5时,y=22.请你列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c的值.
【能力提升】
6.已知且x+y=3,则z的值为 ( )
A.9 B.- 3 C.12 D.不确定
7.为了奖励进步较大的学生,某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品,其单价分别为4元、5元、6元,购买这些钢笔需要花60元.经过协商,每种钢笔单价下降1元,结果只花了48元,那么甲种钢笔可能购买 ( )
A.11支 B.9支 C.7支 D.4支
8.如图所示,天平中放有苹果、香蕉、砝码,且两个天平都平衡,则一个苹果的质量是一个香蕉的质量的 ( )
A.倍 B.倍
C.2倍 D.3倍
9.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文x,y,z对应密文2x+3y,3x+4y,3z.例如:明文1,2,3对应密文8,11,9.当接收方收到密文12,17,27时,则解密得到的明文为 .
10.有一个三位数,其各位上的数字之和为16,十位上的数字为百位与个位上的数字之和,如果将这个三位数的个位数字和百位数字对换,那么所得到的三位数比原来的三位数大594,求这个三位数是多少.
【拓展探究】
11.某步行街摆放若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成.乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成.丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花,3750朵紫花,则黄花一共用了 朵.
12.有甲、乙、丙三种商品,若购买甲3件,乙7件,丙1件,共需5.8元;若购买甲4件,乙10件,丙1件,共需6.3元.购买甲、乙、丙各一件共需多少元?
【答案与解析】
67
1.B(解析:含有三个未知数,含有未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程的方程组叫做三元一次方程组,B选项中的第一个方程x2- 4=0中未知数的次数是2,不满足条件.故选B.)
2.D(解析:①+②可消去x,z,求出y;①+③可消去y,z,求出x;②+③可消去x,y,求出z.故选D.)
3.C(解析:方程组的解为将其代入方程mx- 2y+z=0得2m+2- 5=0,解得m=.故选C.)
4.2(解析:两个方程相加消去z得7x+7y=14,所以x+y=2.故填2.)
5.解:根据题意,得 ②- ①,得a+b=0.④ ③- ①,得4a+b=3.⑤ ④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组,得把a=1,b=- 1代入①,得c=2.所以
6.B(解析:把z当成已知数,解方程组得然后将其代入x+y=3,得2z+18+(- z- 12)=3,解得z=- 3.故选B.)
7.D(解析:设甲种钢笔购买x支,乙种钢笔购买y支,丙种钢笔购买z支,根据题意得其中x=11,x=9,x=7时都不符合题意;x=4时,y=4,z=4符合题意.故选D.)
8.B(解析:设一个苹果的质量为x,一个香蕉的质量为y,一个砝码的质量为z,由题意得解得x=2z,y=z,∴==.故选B.)
9.3,2,9(解析:根据题意列方程组得解得)
10.解:设这个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为x,y,z,根据题意,得解得答:这个三位数是187.
11.4380(解析:题中有两个等量关系:甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵,甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵.设步行街摆放甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆.由题意,得 由①得3x+2y+2z=580③,由②得x+z=150④.把④代入③得x+2y=280,∴2y=280- x,由④得z=150- x.∴4x+2y+3z=4x+(280- x)+3(150- x)=730,∴24x+12y+18z=6(4x+2y+3z)=6×730=4380.故黄花一共用了4380朵.)
12.解:设购买甲、乙、丙各一件分别需x元、y元、z元,则有把方程组变为:解得x+y+z=4.8.答:购买甲、乙、丙各一件共需4.8元.
学习三元一次方程和三元一次方程组的相关知识,是在类比二元一次方程和二元一次方程组的基础上进行的,本课时的教学活动是在类比思想的指导下进行的,把知识类比的探索活动交给学生来完成,既巩固了旧知识,又顺利地进行了新知识的学习.
由于解三元一次方程组的过程比较复杂,因此在例题的演示过程中花费的时间比较多,在这个过程中淡化了对解三元一次方程组方法的指导.
67
在学习本课时时可以采取目标教学的方法,让学生带着什么是三元一次方程、什么是三元一次方程组、怎么解三元一次方程组、三元一次方程组的简单应用等问题先进行探索,然后进行师生交流和总结.
练习(教材第106页)
1.解:(1) (2)
2.解:设甲数为x,乙数为y,丙数为z.根据题意,得三元一次方程组解这个方程组,得答:这三个数分别是10,15,10.
习题8.4(教材第106页)
1.解:(1) (2)
2.解:(1) (2)
3.解:设此三位数个位上的数字为x,十位上的数字为y,百位上的数字为z,根据题意,得解这个方程组,得答:这个三位数是275.
4.解:
5.解:根据题意,可列三元一次方程组解这个方程组,得
复习题8(教材第111页)
1.解:(1) 把①代入②,得2b+3=3b+20,所以b=- 17.把b=- 17代入①,得a=2×(- 17)+3=- 31,所以原方程组的解为 (2) 由①,得x=13+y,③ 把③代入②,得13+y=6y- 7,所以y=4,把y=4代入③,得x=13+4,所以x=17.所以原方程组的解为 (3)由①,得x=4+y,③ 把③代入②,得4(4+y)+2y=- 1,所以y=- ,把y=- 代入③,得x=4+=.所以原方程组的解为 (4) 由①,得y=5x- 110,③ 把③代入②,得45x- 990- x=110,所以x=25,把x=25代入③,得y=5×25- 110=15.所以原方程组的解为
2.解:(1) ①+②,得- m=22,所以m=- 22.把m=- 22代入①,得- 66+b=11,所以b=77.所以原方程组的解为
(2) ①- ②,得0.4x=- 1.2,所以x=- 3.把x=- 3代入①,得- 1.8- 0.4y=1.1,所以y=- .所以原方程组的解为 (3) ①+②,得4g=12,所以g=3.把g=3代入①,得4f+3=15,所以f=3.所以原方程组的解为 (4) ①- ②,得2y=- 8,所以y=- 4,把y=- 4代入②,得x- 4=2,所以x=12.所以原方程组的解为
3.解:(1) 原方程组可化为 ③×2+④,得11x=22,所以x=2.把x=2代入③,得8- y=5,所以y=3.所以原方程组的解为 (2) 原方程组可化为 由④得x=5y- 8,⑤把⑤代入③,得25y- 40- 11y=- 12,所以y=2.把y=2代入⑤,得x=5×2- 8=2.所以原方程组的解为
4.解:(1) (2)
5.解:设1号仓库原来存粮x t,2号仓库原来存粮y t,根据题意,得解这个方程组,得答:1号仓库原来存粮240 t,2号仓库原来存粮210 t.
6.解:设甲每分跑x圈,乙每分跑y圈,根据题意,得解这个方程组,得答:甲每分跑圈,乙每分跑圈.
7.解:设用A型钢板x块,B型钢板y块,根据题意,得解这个方程组,得.答:恰好用A型钢板4块,B型钢板7块.
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8.解:设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛,根据题意,得解这个方程组,得答:1个大桶可以盛酒斛,1个小桶可以盛酒斛.
9.解:设取1角硬币x枚,5角硬币y枚,1元硬币z枚,根据题意,得且x,y,z为不大于10的非负整数,解得答:取1角硬币5枚,5角硬币7枚,1元硬币3枚.
10.解:设购买A型电脑x台,B型电脑y台,C型电脑z台,依题意得将方程变形为∵x,y,z均为非负整数且必有一个为0,∴z≠0,当x=0时,y=7,z=29;当y=0时,z=33,x=3.∴有两种方案可供选择:方案一:B型电脑7台,C型电脑29台;方案二:A型电脑3台,C型电脑33台.
11.解:如图所示,本题有三个未知量:上坡、平路、下坡的路程.有三个等量关系:(1)上坡路程+平路路程+下坡路程=3.3 km;(2)由甲地到乙地的时间,++=;(3)由乙地到甲地的时间:++=.设从甲地到乙地时,上坡路程为x km,平路路程为y km,下坡路程为z km,则由乙地到甲地时,上坡路程为z km,平路路程为y km,下坡路程为x km,根据题意,得解这个方程组,得答:从甲地到乙地,上坡路程为1.2 km,平路路程为0.6 km,下坡路程为1.5 km.
下列方程中,是三元一次方程的是 ( )
A.xy+z=1 B.x+y+=3
C.4x+3y- 2z=5 D.2x- 5z=7
〔解析〕 本题主要考查三元一次方程的概念.A选项中,xy为二次项;B选项中,不是整式;D选项为二元一次方程.故A,B,D均不是三元一次方程.故选C.
[解题策略] 判定一个方程是否为三元一次方程应满足以下条件:①方程中共有3个未知数;②含有未知数的项的次数为1;③含未知数的项为整式.
下列方程组中,是三元一次方程组的有 ( )
① ②
③ ④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〔解析〕 本题主要考查三元一次方程组的概念.③中出现的含未知数的项有二次项,故它不是三元一次方程组.故选C.
[解题策略] 三元一次方程组中共有三个未知数,且含未知数的所有项均为一次项,且均为含未知数的整式.
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1.理解二元一次方程(组)及其解的概念.
2.选用适当的方法解二元一次方程组,会解简单的三元一次方程组.
3.建立方程组模型解决实际问题,并确定解的实际意义.
通过专题复习、整合知识、构建方程知识体系,通过实际问题的解决体会数学建模思想.
增强用数学知识解决问题的意识,在学习的过程中体验合作与分享的乐趣.
【重点】 二元一次方程组的解法及应用.
【难点】 列二元一次方程组解决实际问题.
专题一 二元一次方程与二元一次方程组的概念
【专题分析】
利用二元一次方程(组)的定义,可以求解方程中含有的未知数的指数中有关字母的取值问题.在中考中多以选择题或填空题的形式出现,分值一般在3分左右.
已知:方程3xm+3- 2y1- 2n=15是关于x,y的二元一次方程,则m= ,n= .
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〔解析〕 因为此方程是二元一次方程,所以方程左边两个未知项的次数必为一次,即m+3=1,1- 2n=1,解得m=- 2,n=0.
〔答案〕 - 2 0
【针对训练1】 若x2a- 1+3y2- 3b=5是关于x,y的二元一次方程,则a,b的值是 ( )
A.a=1,b=1 B.a=,b=
C.a=1,b= D.a=0,b=
〔解析〕 根据题意得2a- 1=1,2- 3b=1,解得a=1,b=.故选C.
[解题策略] 首先理解二元一次方程定义的几大因素,并且通过定义得到需要的等式,由等式得到最后的答案.
下列方程组中,属于二元一次方程组的是 ( )
A. B.
C. D.
〔解析〕 选项A和C都出现了未知数的二次项,选项B中共含三个未知数.故选D.
【针对训练2】 下列四个方程组中,是二元一次方程组的是 ( )
A. B.
C. D.
〔解析〕 从“二元”“一次”“整式”三方面分析,A,B中第二个方程中未知数的次数为二次,C中第二个方程不是整式方程.故选D.
专题二 二元一次方程与二元一次方程组的解
【专题分析】
利用二元一次方程(组)的概念,可以求得方程(组)中未知数以外的字母取值情况.在中考中此种考查方式较多.
若是方程组的解,则k= .
〔解析〕 由二元一次方程组的解的定义可知满足方程组中的两个方程,因此将此解代入可得:2k+3×(- 3)=- 2,解得k=3.5.故填3.5.
【针对训练3】 已知x=1,y=- 2满足(ax- 2y- 3)2+|x- by+4|=0,求a+b的值.
〔解析〕 根据平方和绝对值的非负性,可知(ax- 2y- 3)2=0,|x- by+4|=0.因为x=1,y=- 2满足(ax- 2y- 3)2+|x- by+4|=0,所以可以通过建立方程组求得a和b的值.
解:由题意可得
把x=1,y=- 2代入上述方程组可得解得则a+b=- .
【针对训练4】 已知x=1,y=2是二元一次方程组的解,求a,b的值.
〔解析〕 本题从二元一次方程组的解入手,把二元一次方程组的解代入二元一次方程组中,得到有关字母a,b的方程组,再求此方程组的解,即可求得字母a,b的值.
解:把x=1,y=2代入二元一次方程组得解得
[规律方法] 一般情况下,提到二元一次方程或二元一次方程组的解,需先把解代入二元一次方程或二元一次方程组,得到解题需要的方程(组),然后解方程(组),即可解决问题.
专题三 二元一次方程组的解法
【专题分析】
二元一次方程组的解法是中考必考内容之一,除了直接考查二元一次方程组的解法外,也经常在解决实际问题中或者结合其他知识进行综合考查.本专题知识的考查方式较多且灵活,分值一般在5分左右.
用代入法解二元一次方程组.
(1) (2)
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〔解析〕 本题主要考查用代入消元法解二元一次方程组.(1)把方程①直接代入方程②可消去y;(2)把方程①中的3y整体代入方程②中消去y.
解:(1)把①代入②得7x+2x- 8=10,
整理得9x=18,解得x=2.
把x=2代入方程①,得y=2×2- 8=- 4.
∴是原方程组的解.
(2)把①代入②得4x+8- 8x=8,
整理得- 4x=0,解得x=0.
把x=0代入方程①,得3y=8,解得y=.
∴是原方程组的解.
[解题策略] 在解方程或方程组时,一定要养成及时检验的好习惯,对于求出的方程或方程组的解,马上代回原方程或方程组检验其正确性.用代入法解方程组的关键是灵活变形和代入,以达到消元的目的,要认真体会代入的方法和技巧.
【针对训练5】 已知- 4xm+nym- n与x7- my1+n是同类项,求m,n的值.
〔解析〕 同类项是指两个单项式中的相同字母的指数相同,系数可以不同.
解:由题意可得
由①式得n=7- 2m.③
把③式代入②式得3m- 7=8- 2m,
解得m=3.
把m=3代入③式得n=1,
由此可得
用加减法解下列方程组.
(1) (2)
〔解析〕 本题考查加减法的应用,方程组(1)中未知数y的系数相等,两个方程直接相减就可以消去y;方程组(2)的方程①中y的系数的绝对值是方程②中y的系数的绝对值的3倍,把方程②的两边都乘3,得51x- 9y=222.③ 方程①与方程③相加,可以消去y.
解:(1)①- ②,得3x=- 6,解得x=- 2.
把x=- 2代入②,得2×(- 2)- 3y=7,
解得y=- .
所以原方程组的解为
(2)②×3,得51x- 9y=222.③
①+③,得59x=295,解得x=5.
把x=5代入①,得8×5+9y=73,
解得y=.
所以原方程组的解为
[解题策略] 当同一未知数的两个系数互为相反数时,两个方程相加;当同一未知数的两个系数相等时,两个方程相减.
【针对训练6】 用加减消元法解方程组
〔解析〕 观察两个二元一次方程中未知数x,y的系数,其中x的系数相同,所以两方程相减可以消去未知数x,得到关于y的一元一次方程,求得y的值,再把y的值代入方程组中的某一个方程中,求得x的值,即可解方程组.
解:化简整理得
②- ①得18=y+11,解得y=7,
把y=7代入①得3x=28- 16+3,
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解得x=5,
由此可得二元一次方程组的解为
[解题策略] 解二元一次方程组的基本思想是消元转化思想.消元的思想为:减少未知数的个数,把二元一次方程组通过消元变形成一元一次方程,解一元一次方程得到其中一个未知数的值.再选择题目中合适的二元一次方程(注意在代入消元法中不要选择刚变形的二元一次方程)代入,求得另一个未知数的值.其中代入消元法是把其中的一个未知数用另一个未知数表示出来,即将其中的一个方程写成“y=”或“x=”的形式,如果题目中已经有一个方程是这种形式,那么直接把这个关系式代入另一个方程.加减消元法是通过把两个方程两边相加(或相减)消去一个未知数,把二元一次方程组转化为一元一次方程.
专题四 二元一次方程组的实际应用
【专题分析】
方程组是描述现实世界的有效数学模型,在日常生活、工农业生产、城市规划及国防领域等方面都有广泛的应用.列方程组解决实际问题是中考的必考内容之一,单独命题考查,结合函数、几何计算等知识进行综合考查也是常见的考查方式.
A,B两地相距20千米,甲从A地向B地前进,同时乙从B地向A地前进,2小时后两人在途中相遇,相遇后,甲返回A地,乙仍向A地前进,甲回到A地时,乙离A地还有2千米,全程甲、乙两人的速度不变,求甲、乙两人的速度.
〔解析〕 本题考查行程问题,此题中有两个未知数——甲、乙两人的速度.有两个相等关系:(1)相向而行:甲2小时前进的路程+乙2小时前进的路程=20千米;(2)同向而行:甲2小时前进的路程- 乙2小时前进的路程=2千米.
解:设甲的速度是每小时x千米,乙的速度是每小时y千米,
根据题意列方程组,得
解这个方程组,得
答:甲的速度为每小时5.5千米,乙的速度为每小时4.5千米.
[解题策略] 分析题意时,要注意挖掘题目中的隐含条件,如本题中的隐含条件是相遇后,甲返回A地所用的时间也是2小时.
【针对训练7】 某汽车运输队要在规定的天数内运完一批货物,如果减少6辆汽车,那么要再运3天才能完成任务;如果增加4辆汽车,那么可提前一天完成任务.这个汽车运输队原有汽车多少辆?原规定运输的天数是多少天?
〔解析〕 遇到此类问题首先要找准等量关系,本题的等量关系有2个:一个是减少6辆汽车后运输的货物=原规定运输的货物;另一个是增加4辆汽车后运输的货物=原规定运输的货物.按照这两个关系式列出二元一次方程组即可解得此题.
解:设这个汽车运输队原有汽车x辆,原规定运输的天数为y天.
根据题意可得
化简整理得
由②可得x=4y- 4.③
把③代入①可得3(4y- 4)- 6y=18,
解得y=5.
把y=5代入③可得x=16.
由此可得
答:这个汽车运输队原有汽车16辆,原规定运输的天数为5天.
小明的妈妈在菜市场买回3千克萝卜,2千克排骨,准备做萝卜排骨汤.妈妈说:“今天买这两样菜共花了45元,上月买同样质量的这两样菜只要36元.”爸爸说:“
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报纸上说了,萝卜的单价上涨50%,排骨的单价上涨20%.”小明说:“爸爸、妈妈,我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?”
请你通过列方程(组)求这天萝卜、排骨的价格(单位:元/千克).
〔解析〕 根据小明的爸爸和妈妈的对话找到等量关系,列出方程组求解即可.
解法1:设上月萝卜的价格是x元/千克,排骨的价格是y元/千克,
根据题意得
解得
(1+50%)x=(1+50%)×2=3,(1+20%)y=(1+20%)×15=18.
答:这天萝卜的价格是3元/千克,排骨的价格是18元/千克.
解法2:设这天萝卜的价格是x元/千克,排骨的价格是y元/千克,
根据题意得
解得
答:这天萝卜的价格是3元/千克,排骨的价格是18元/千克.
【针对训练8】 某地生产一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元;经粗加工后销售,每吨利润可达4500元;经精加工后销售,每吨利润涨至7500元.当地一家农贸公司收购这种蔬菜140吨,该公司的加工厂的加工能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨;如果对蔬菜进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方法不能同时进行.受季节条件的限制,公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种加工方案,方案一:将蔬菜全部进行粗加工;方案二:尽可能多地对蔬菜进行精加工,没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售;方案三:将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好在15天之内完成.你认为选择哪种方案获利最多?为什么?(加工无损耗)
〔解析〕 本题考查利润问题,如何对蔬菜进行加工获利最多,是生产经营者一直思考的问题,本题正是基于这一点,对蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案,可供自主探索、互相交流、尝试解决,在探索和解决问题的过程中,同时体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.
解:方案一获利为4500×140=630000(元).
方案二获利为7500×(6×15)+1000×(140- 6×15)=675000+50000=725000(元).
方案三获利如下:
设将x吨蔬菜进行精加工,y吨蔬菜进行粗加工,
则根据题意,得解得
所以方案三获利为7500×60+4500×80=810000(元).
因为630000
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