第九章 不等式与不等式组
1.了解不等式的概念,会从实际问题中建立不等式的数学模型.
2.经历探究的过程,掌握不等式的性质,会运用它进行简单的不等式变形.
3.经历问题的建模过程,感受不等式是刻画现实世界的有效模型.
4.理解不等式(组)的解及解集的含义,会解简单的一元一次不等式(组),能在数轴上表示一元一次不等式(组)的解集,并能求一元一次不等式(组)的特殊解,初步体会数形结合思想.
5.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式(组),解决简单的实际问题.
1.通过学生自己动手、动脑去体验、发现、归纳、概括不等式的性质.
2.通过类比一元一次方程(组)学习一元一次不等式(组),充分利用知识的类比进行学习、探索.
3.把不等式(组)的解集在数轴上直观地表示出来,加深学生对不等式(组)解集的理解,使学生形象地认识不等式解集的几何意义和它的无限性.
通过对不等式、不等式的解与解集的探究,培养学生的实践能力、概括能力、类比推理能力,也培养学生的合作交流意识和探索精神.
单元开始从一个实际问题引入,体现了现实生活中的不等关系,从认识不等式开始入手,在一元一次方程的基础上,依次介绍了不等式及其解的意义,不等式的性质,一元一次不等式(组)的解法和一元一次不等式(组)在实际问题中的应用与探索等问题,体现了类比、化归思想在数学中的应用.
【重点】 一元一次不等式的解法、不等式的性质和不等式(组)的应用.
【难点】
1.不等式的解和不等式组的解.
2.应用不等式(组)解决实际问题.
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1.在单元学习的过程中注意贯彻类比思想,借助于等式、一元一次方程帮助、指导学生学习一元一次不等式(组)的相关知识.
2.在数轴上表示不等式的解集是数形结合的具体体现,要结合教学对学生进行数形结合思想、方法的指导.
3.在利用不等式(组)解决实际问题时,注意对一些关键词语的理解,同时要注意挖掘题目中所隐含的不等关系,利用建模思想,将不等关系与实际问题结合起来,并注意不等式(组)解的特殊性.
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集(1课时)
9.1.2 不等式的性质(2课时)
3课时
9.2 一元一次不等式
2课时
9.3 一元一次不等式组
2课时
单元概括整合
1课时
9.1 不等式
1.了解不等式、不等式的解、不等式解集的概念.
2.理解不等式的性质.
3.运用不等式的性质解简单的不等式.
4.能在数轴上表示不等式的解集.
通过类比思想,借助于等式的概念和性质,学习和掌握不等式的性质及其解法.
培养学生积极寻求研究问题方法的意识,培养学生细心探索和善于合作的精神.
【重点】 利用不等式的性质解简单的不等式.
【难点】
1.利用数轴表示不等式的解集.
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2.根据实际意义确定不等式的解集.
9.1.1 不等式及其解集
感受生活中不等关系的存在,了解不等式的意义,能把不等式的解集正确地表示在数轴上.
经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程,体会数形结合思想.
培养学生的合作交流意识和探索精神.
【重点】 理解不等式、不等式的解与解集的意义,能把不等式的解集正确地表示在数轴上.
【难点】 把不等式的解集正确地表示在数轴上.
【教师准备】 课堂教学讨论问题的投影.
【学生准备】 复习方程的有关定义.
导入一:
如图所示,小明与小丽比身高,小丽身高为q cm,小明身高为p cm,小丽站在20 cm高的箱子上还没有小明高,则q+20与p哪个大?
[设计意图] 通过生活情境引导学生从不等的角度思考问题,初步感受不等的数量关系.
导入二:
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天平是物理课上常用的一种仪器,如图(1)所示的天平两边托盘上的物体一样重,此时天平平衡,若天平两边托盘上的物体不一样重,就会出现如图(2)(3)所示的情形,此时两天平不平衡.
【问题思考】 我们应如何表示物体A的质量呢?
[设计意图] 通过“天平”暗示方程与不等式的关系,暗示等式和不等式之间的联系.
导入三:
如图所示,小明和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸的体重为72千克,坐在跷跷板的一端;体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时,爸爸坐的一端仍然着地,后来小明借来一个质量为6千克的哑铃,加在他和妈妈坐的一端,结果爸爸被翘起.
在上面的例子中,如果设小明的体重为x千克,那么妈妈的体重为2x千克,当爸爸所坐的一端着地时,(x+2x)千克小于72千克;当爸爸被翘起时,(x+2x+6)千克大于72千克.怎样用数学式子表示上述不等关系呢?
[设计意图] 借助于生活情境,帮助学生体会未知数的数量关系,为引入不等式解决问题作认知的准备.
一、不等式
[过渡语] 生活中不仅有等量关系还有不等量关系,从本课时开始,我们学习新的数量关系:不等量关系.
一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50 km,要在12:00之前驶过A地,车速应满足什么条件?
问题1
如果把原题变为:要在12:00正好到达A地,车速应该是多少?
[设计意图] 通过时间和路程的关系,学生很容易算出车速.以这个车速为依据,帮助学生进行下一步的思考.
问题2
如果设车速为x km/h,从时间上看, h和 h是什么关系?
板书总结:50.②
问题4
根据上面的式子,你能总结什么是不等式吗?
总结:像①和②这样用符号“”表示大小关系的式子,叫做不等式.像a+2≠a- 2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.有些不等式中不含未知数,例如3- 2.有些不等式中含有未知数,例如①和②式中字母x表示未知数.
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(补充)下列各式:①- 30;③x=3;④x2+2x+y2;⑤x≠2;⑥x+2>2x+3.其中属于不等式的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〔解析〕 本题直接考查不等式的定义.③是等式;④是一个代数式.③④均不是不等式.只有用不等号连接,表示不等关系的式子才是不等式.故选D.
[设计意图] 在鉴别不等式的过程中,加深对不等式意义的理解.培养学生主动参与、合作交流的意识,同时体会在现实生活中,不等关系要比相等关系多得多.
[知识拓展] 1.不等式的定义也可以叙述成“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”.
2.常见的不等号有:①“>”读作“大于”;②“50;当x=78时,x>50.这就是说,当x取某些值(如80,78)时,不等式x>50成立.
问题2
以不等式②为例,你能说出几个使不等式不成立的数值吗?
例如:当x=72时,x50不成立.
问题3
你能借助方程的解,总结什么是不等式的解吗?
总结:与方程的解类似,我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
思路二
问题1
要使汽车在12:00之前驶过A地,你认为车速应该为多少呢?
问题2
车速可以是每小时85千米吗?每小时82千米呢?每小时75.1千米呢?每小时74千米呢?
问题3
以下各数中哪些能够使不等式x>50成立?
76,73,79,80,74.9,75.1,90,60.
问题4
“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”,那么什么是不等式的解呢?
讨论后得出:当x为76,79,80,75.1,90时,也就是当x>75时,不等式x>50成立;同理可得,当x50不成立.
总结:我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
三、不等式的解集
[过渡语] 除了80和78,不等式x>50还有其他解吗?如果有,这些解应满足什么条件?
〔解析〕 当x>75时,不等式x>50总成立;而当x50不成立.这就是说,任何一个大于75的数都是不等式x>50的解,这样的解有无数个;
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任何一个小于或等于75的数都不是不等式x>50的解.因此,x>75表示能使不等式x>50成立的x的取值范围,它可以在数轴上表示,如下图所示.
由上可知,在前面问题中,汽车要在12:00之前驶过A地,车速必须大于75 km/h.
问题1
怎样表示不等式的所有解呢?
问题2
什么叫解方程呢?
问题3
什么叫解不等式呢?
总结:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.求方程解的过程叫做解方程.求不等式的解集的过程叫做解不等式.
[设计意图] 在数轴上表示不等式的解集,是让学生感受数形结合的思想.让学生充分发表意见,并通过计算、动手验证、动脑思考,初步体会不等式的解集的意义以及不等式的解集与方程的解的不同之处.有意识、有计划、有条理地设计一些引人入胜的问题,可让学生始终处在积极的思考状态,不知不觉中接受了新知识.
(补充)如果对于不等式x1的解
B.x=3是不等式2x>1的唯一解
C.x=3不是不等式2x>1的解
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D.x=3是不等式2x>1的解集
解析:x=3能使2x>1成立,则x=3是不等式2x>1的所有解中的一个解.故选A.
3.在数轴上表示不等式x1.
9.1.1 不等式及其解集
1.不等式
例1
2.不等式的解
3.不等式的解集
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第115页练习第1题.
【选做题】
教材第116页练习第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在下列式子中,不是不等式的是 ( )
A.2x0 D.a=3
2.下列说法中,错误的是 ( )
A.不等式x- 5的负整数解有有限个
C.不等式2x>- 8的解集是x2的解集
B.不等式4x2;- 6- (- 4)- 8的解集是x>- 4,错误;D.不等式2x1成立的有3个.故选C.)
4.4x+2115.
12.解:因为要刻录x张电脑光盘,所以到电脑公司刻录需8x元,自刻需(120+4x)元.(1)8x120+4x. (3)8x=120+4x.
本课时在教学设计时遵从学生的生活经验,从生活情境中抽象出不等量关系的数学问题,帮助学生进一步感受数学与生活的联系,让学生在生活情境体验中进行学习.借助于一元一次方程知识的学习,通过类比思想引导学生学习了不等式、不等式的解及解集等相关定义,使学生在正确理念和恰当方法的指导下进行学习.
在用数轴表示不等式解集的时候,忽略了对空心圆圈表示的含义的强调.补设的例题可以让学生独立去完成,老师没必要详细讲解和示范.
从学生的生活经验看,对教材中情境材料的不等量关系不存在理解困难,因此在教学的过程中,可以淡化不等量关系的计算过程,把重点放在不等式定义的总结、不等式的解和不等式解集的含义上.
练习(教材第115页)
1.解:(1)a>0. (2)a8. (6)6的解,- 4,- 2.5,0,1,2.5,3不是不等式x+3>6的解.
3.解:(1)x>3. (2)x2.
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下列各数中,哪些是不等式x+1b,c2b+1;(2)因为- y- 8;(3)因为a0,将不等式两边都乘c,由不等式性质2,得acac;④ab>ac.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〔解析〕 由数轴上a,b,c对应点的位置可知a>0,b>0,cb>c.①因为b>c,所以不等式两边都减去c,不等号方向不变,所以b- c>0,正确;②因为b>c,
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所以不等式两边都加a,不等号方向不变,所以a+b>a+c,正确;③因为bc,a>0,不等式两边同乘a,不等号方向不变,所以ab>ac,正确.故选D.
[知识拓展] 不等式的概念和性质与等式的概念和性质的相同点和不同点.
相同点:不论是等式还是不等式,都可以在它的两边加或减同一个数或代数式,乘或除以同一个正数,而保持符号不变.
不同点:(1)对于等式,在它的两边乘或除以同一个正数或同一个负数,情况是一样的,等式仍然成立;但对于不等式,在它的两边乘或除以同一个正数或同一个负数却大不一样:当两边乘或除以的是正数时,不等号的方向不变,而当两边乘或除以的是负数时,不等号的方向要改变.这是等式没有的性质,它是不等式特有的,在运用不等式的性质时要特别注意这一点.(2)由于不等号“>”或“b,则a- b>0,其根据是 ( )
A.不等式的性质1 B.不等式的性质2
C.不等式的性质3 D.以上选项均不对
解析:根据不等式的性质1,不等式两边都减去b,得a- b>0.故选A.
2.若x>y,则下列式子错误的是 ( )
A.x- 3>y- 3 B.- 3x>- 3y
C.x+3>y+3 D.>
解析:由不等式的性质1,2可知把不等式x>y两边分别减3,加3,除以3,不等号的方向均不变,所以选项A,C,D正确,而由不等式的性质3可知把不等式x>y两边同时乘- 3,不等号方向应改变,所以选项B错误.故选B.
3.若ax5,则a的取值范围是 ( )
A.a0
C.a0(或a=0)
解析:两边同时除以a,不等号方向发生了改变,说明a是负数,即a”或“b,则2a 2b;
(2)若- 2yb,c (2)> (3)b,则ac>bc
C.若a>b,则ac2>bc2 D.若ac2>bc2,则a>b
2.已知实数a,b,若a>b,则下列结论正确的是 ( )
A.a- 55,则x 3,根据 ;
(2)若- xbc;选项C.当c=0时,ac2=bc2,即同样也不能根据不等式的性质确定ac2>bc2;选项D.ac2>bc2中隐含c≠0,则可以根据不等式的性质在不等式的两边除以不等于0的c2,从而确定a>b.故选D.)
2.D(解析:对A,B,C,D四个选项中的不等式逐一验证,首先看不等式两边进行了什么运算,然后再判断这个运算是否符合不等式的性质,从而得出正确的结论.不等式的性质有三条,分别是:(1)不等式两边加(或减)同一个数或式子,不等号的方向不变,由此确定选项A,B都是错误的;(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,由此确定选项C是错误的;(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,由此确定选项D是正确的.故选D.)
3.B(解析:根据不等式的性质3:不等式的两边乘或除以同一个负数,不等号的方向改变解答.因为不等式的两边乘a,不等号的方向改变,所以a5.)
5.(1)> 性质1 (2)> 性质3
6.A(解析:因为aa2y.综上,得a2x>a2y(或a2x=a2y).故选D.)
8.B(解析:本题考查了不等式的性质,掌握不等式的三个性质以及读懂数轴上的数是解题的关键.从图上可知ab,运用不等式的性质1:两边减2,得a- 2>b- 2. (2)- ab,运用不等式的性质3:两边乘- ,得- am2b.因为m≠0,所以m2>0,所以运用不等式的性质2:两边乘m2,得m2a>m2b.
11.2(解析:先根据不等式的性质,将5x+6>2x- 12变形得到x>- 6,只要在x>- 6这一范围内任取一个数即可.答案不唯一.)
12.解:他们三人的观点都不正确,因为没有全面考虑a的性质,小文、小明分别是把a看作正数、负数来考虑的,显然都不全面.小芳虽然考虑了a的正、负性,但忽略了a为0的情形.正确的观点是:(1)当a>0时,根据不等式的性质2知7a>6a;(2)当a (3)
下列变形正确的有 .
①由a- b>c- b,得a>c;
②由m>n,得m- 3>n- 2;
③由a>b,得到am>bm;
④由ma2n- 3,所以不能判断m- 3与n- 2的大小,所以不正确;第③题,因为m的取值可能是非正数,所以是错的;第④题,a2不可能等于零且为正数,所以是正确的.故填①④.
[解题策略] 利用性质1要注意:①加(或减)的数必须为同一个数.利用性质2要注意:乘(或除)的数必须为同一个正数.利用性质3要注意:①乘(或除)的数必须为同一个负数;②不等号方向要改变.
甲从一个鱼摊上买了3条鱼,平均每条a元,又从另一个鱼摊上买了2条鱼,平均每条b元,后来他又以平均每条元的价格把鱼全部卖给乙,结果他赔了钱,原因是 ( )
A.a>b B.a.这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示.
[设计意图] 上述习题的处理意图主要有三个:一是引导学生思考解不等式的依据;二是体会数形结合思想;三是加深对不等式解集的认识.
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[过渡语] 学习了不等式的性质,我们就可以利用不等式的性质求一个不等式的解集.
一、解不等式
利用不等式的性质解下列不等式:
(1)x- 7>26; (2)3x50; (4)- 4x>3.
〔解析〕 解不等式,就是要借助于不等式的性质使不等式逐步化为x>a或x26+7,x>33.
(2)根据不等式的性质1,不等式两边减2x,不等号的方向不变,所以3x- 2x75.
(4)根据不等式的性质3,不等式两边除以- 4,不等号的方向改变,所以1- 2,即x>- 1,这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示.
(2)根据不等式的性质1,不等式的两边减1,得2x+1- 1≥0- 1,即2x≥- 1,再根据不等式的性质2,不等式的两边除以2,不等号的方向不变,得x≥- .这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示.
强调:在数轴上表示不等式的解集时,对“≥”与“>”、“≤”与“0,则x是正数;(2)x0,则x大于y;(6)x- y0或>0,则x,y同号;(10)xy- 6,这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
(2)x0. (2)a- 24. (2)x2.1. (4)x>- .
4.(1)> (2)> (3)> (4)- 1,x+3- 3>- 1- 3,x>- 4.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
(2)6x≤5x- 7,6x- 5x≤5x- 5x- 7,x≤- 7.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
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(3)- x,x>- 2.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示. (4)4x≥- 12,
≥,x≥- 3.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
6.(1)> (2)>
7.解:39.98≤L≤40.02.
8.解:设其中蛋白质的含量为x g,根据题意,得x≥300×0.6%,所以x≥1.8.答:这罐饮料中蛋白质的含量不少于1.8 g.
9.解:①10a+b>10b+a,9a- 9b>0,a- b>0,即a>b.②10a+b33.
这个解集是通过“不等式两边都加7,不等号的方向不变”而得到的,事实上,这相当于由x- 7>26得x>26+7.这就是说,解不等式时也可以“移项”,即把不等式一边的某项变号后移到另一边,而不改变不等号的方向.
思路一
解下列不等式,并在数轴上表示解集:
(1)2(1+x)1是关于x的一元一次不等式.
(1)求m的值;
(2)求出不等式的解集,并把解集表示在数轴上.
解:(1)因为3m- 2x3+2m>1是关于x的一元一次不等式,所以3+2m=1,解得m=- 1. (2)由(1)可知题目中的不等式是- 3- 2x>1,解这个不等式,得x2x+5的解集在数轴上表示正确的是 ( )
2.若|a- 3|- 3+a=0,则a的取值范围是 ( )
A.a≤3 B.a3
3.不等式- 5x≥- 13的最大整数解是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若关于x的不等式x- 55+1,合并同类项,得3x>6,系数化为1,得x>2.故选A.)
2.A(解析:若|a- 3|- 3+a=0,则a- 3≤0,解得a≤3.故选A.)
3.B(解析:解不等式- 5x≥- 13得x≤,最大整数解是2.故选B.)
4.- 3(解析:解不等式x- 236.5.
由x应为正整数,得x≥37.
答:明年空气质量良好的天数比去年至少要增加37,才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%.
追问:不等式的解集为x>36.5,为什么本题却取x≥37?这种取值说明了什么?
思路二
1.去年该市空气质量良好的天数是多少?
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2.用x表示明年比去年增加的空气质量良好的天数,则明年空气质量良好的天数是多少?
3.与x有关的哪个式子的值应超过70%?这个式子表示什么?
4.怎样解不等式>70%?
5.比较解(4)中的不等式与解方程=70%的步骤,两者有什么不同吗?
[处理方式] 在学生通过讨论达成共识后,师生共同归纳得出:解一元一次不等式与解一元一次方程类似,只是不等式两边同乘(或除以)一个非零数时,要注意不等号的方向.解一元一次方程,要根据等式的性质,将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式,则要根据不等式的性质,将不等式逐步化为x>a或x100)元.
①若到甲商场购物花费少,则:
50+0.95(x- 50)>100+0.9(x- 100).
解得x>150.
这就是说,累计购物超过150元时,到甲商场购物花费少.
②若到乙商场购物花费少,则:
50+0.95(x- 50)7,所以第7次射击至少要8环.故选C.
2.如图所示,小明和爸爸、妈妈三人玩跷跷板.三人的体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷板的一端,体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,这时爸爸那端仍然着地.那么小明的体重应小于 ( )
A.49千克 B.50千克
C.24千克 D.25千克
解析:设小明的体重为x千克,则妈妈的体重为2x千克,爸爸的体重为150- (x+2x)千克,由图可知,爸爸一端仍然偏重,所以得不等式 150- (x+2x)>x+2x,解得x90,解得x>12,因为x为整数,所以最小为13,即他至少要答对13道题.
习题9.2(教材第126页)
1.解:(1)3(2x+5)>2(4x+3),6x+15>8x+6,- 2x>- 9,x7,x>1.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
(6)≥1,2y+2- 6y+15≥12,- 4y≥- 5,y≤.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
2.解:(1)根据题意,得>0,4a+1>0,所以a>- . (2)根据题意,得3x+3,2x>4,x>2.x- 1
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