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生活中的优化问题举例
【教材分析】
本节课是人教版高中数学选修2-2第一章第四节“生活中的优化问题举例”第一课时，主要内容是用导数求生活中面积、体积的最值问题。生活中的优化问题是在导数的概念、运算，用导数求极值、最值等内容的基础上教学的，它既是对导数知识的复习巩固，也是导数知识在实际生活中的应用。本节课以生活实例为题材，培养学生的阅读能力和建模意识。学习过程中的认知冲突，不同思维的碰撞，易激发学生思维的积极性，有助于创新能力的培养。
【学情分析】
学生刚学完导数的概念、运算、用导数求极值、最值等知识，为用导数解决实际生活中的问题创造了条件。高二年级的学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，并有相应的认知基础，乐于探索、敢于探究。但逻辑思维能力还属于经验型，运算能力不强，数学建模方法的运用还不够熟练，有待进一步加强训练。
【教学目标】
知识与技能：掌握利用函数思想、导数方法求有关面积、体积的最值问题。
过程与方法：以日常生活、生产实践中典型的问题为载体，探讨利用函数思想、导数方法求面积和体积问题的应用。
情感态度与价值观：学生分享将实际问题转化为数学问题的学习乐趣，感受数学与生活的密切联系。
【教学重点】
从实际问题中抽象出函数模型，用导数方法求解函数最值问题的程序化步骤。
【教学难点】
从实际问题中抽象出函数模型，对最值、最值与极值概念的区别与联系的理解。
授课人：永安一中罗薇 授课时间：12月1日 授课地点：永安市十二中
教学环节
教学活动
设计意图
学情预设
小试牛刀，知识复习
问题一
1.求函数导数的常用方法有哪些？
（1）定义法
（2）公式法
（3）运算法则
学生对于问题二如何求解应用题，学生可能存在较多遗忘。
（4）复合函数法
2.请写出以下函数的导数公式
（为常数）
问题二
应用题的解题步骤是什么？
审题—建模—求解—还原实际
问题一的引入目的在于帮助学生简单回顾一些常用函数的导数公式以及如何利用导数工具求解函数单调区间、最值。问题二的目的在于帮助学生回顾求解应用题的步骤，这为后续课题的研究作铺垫。其中问题二又可进一步帮组学生回顾数学建模的本质即数学语言的相互转译。
创设情境，引入问题
以一中学生参加话剧比赛的图片引入问题，学生就海报设计和活动后海报的再利用进行了如下课题探究活动。
探究一
以学生实际经历的活动为背景引入课题，激起学生的学习兴趣，让学生感受数学无处不在。同时，
如果海报为如下图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为，上、下两边各空，左、右两边各空。若海报版心高为。
1.求四周空白面积关于的函数解析式；
2.求四周空白面积最小值。
解法一：设版心的高为，则版心的宽为,
此时四周空白面积为
求导数，得
令，
解得舍去）。
于是宽为
16
—
0
+
单调递减
极小值
单调递增
因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为，宽为时，能使四周空白面积最小，最小为。
选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。
探究一的解法一是在学生刚刚学习完导数的基础上进行讲解，因此学生不难理解，但学生可能对如何列出函数解析式存在一定困难。
答：当版心高为，宽为时，能使四周空白面积最小，最小为。
解法二：
探究二
若海报材料用的是的正方形硬纸板，活动结束后，学校准备将海报做成废品收集箱进行再利用。如下图所示，从正方形纸板的 4 个角上分别切去面积相等的正方形，再把纸板的边沿虚线折起，用胶粘好，做成一个无盖的长方底箱子，问箱底的边长是多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解：设箱底边长为，箱子高为，则。
箱子容积
令
对于解法二用基本不等式法求解最值来说，学生可能存在较多的遗忘。
解得
20
+
0
—
单调递增
极大值
单调递减
因此，是函数的极大值，也是最大值点，此时。
答：当箱底边长为，容积最大，为。
对于解法二的提出，目的在于帮助学生回顾基本不等式的解法，同时也指出求解最优化问题的方法不唯一。
探究二目的在于让学生感受导数在解决容积的最值问题的应用。
学生可能对于如何设未知数，列出容积表达式存在一定困难。
知识小结，提升能力
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.
1.解决优化问题的基本思路
（1）生活中的优化问题转化为数学问题
（2）利用函数表示数学问题（注意定义域）
（3）用导数解决数学问题
（4）回到优化问题解决实际应用
2.求函数最值的常用方法有哪些？
3.本节课所涉及的数学思想方法有哪些？
（1）函数与方程思想
（2）数形结合思想
使学生进一步明确如何解决优化问题。
问题二帮助学生总结求解函数的最值方法，使学生对知识形成系统化认识。
问题三帮助学生总结数学思想方法。
学生在总结优化问题的基本思路方法中可能不够全面，特别是容易忽略函数定义域限制。
对于函数最值常用方法的总结，学生可能存在较多的遗忘。
对于问题三学生可能在平时的学习过程中不够重视对思想方法的总结，可能存在无法回答的情况。
备选练习
1.建一个面积为512平方米的矩形堆料场，为充分利用已有资源，可以利用原有的墙壁作为一边，其他三边需要砌新的墙壁，要使新砌墙壁所用的材料最省，则长宽分别为多少米？
两道备选例题的目的是进一步巩固求解优化问题的步骤。
2.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量为吨，且每吨产品的价格为元，生产吨的成本为元，该工厂每月生产多少吨该产品才能使利润最大？并求出最大利润。
作业布置
完成学案
教学反思:
生活中实际问题的背景往往比较复杂，需要结合实际图形，抽象出数学模型(利用导数)，然后根据数学知识解决问题，从而根据所得数据去解决问题。从头到尾，学生在本节课深切感受了数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而让学生感受到学习数学的兴趣和取得成功的快乐体验。教师在教学过程中只是引导者、组织者，学生能说的，教师绝不说。学生能做的教师绝不包办代替，教师引导学生体会数学在生活中的内在美、自然美，在潜移默化中培养学生的创造力带着学生走向知识，而不是带着知识走向学生，鼓励 每一位学生动手、动口、动脑积极参与，使学生在活动中不断收获，不断成才，这不正是我们教书育人的初衷和新课改的要求吗?
当然，本节课亦有不足之处，缺乏一个动态演示，当海报版心面积不变时，所需面积的变化演示，失去了课堂应有的生动性、直观性，同时在教学过程中，我也深深体会到以下几方面也是非常重要的。
1、学生持续、高涨的学习热情，需要教师花大力气精心设计问题来不断的强化和巩固，以使达到最佳效果。
2、学生的动手操作能力较弱，需不断地创设实际情景加以巩固提高。
3、教师热情洋溢的肯定性评价，对维系学生的创新能力起着很重要的作用。
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