第15讲: 二次函数与一元二次方程
一、复习目标
1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；会判断a、b、c的符号.
2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；
3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题
二、课时安排1课时
三、复习重难点
1、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；
2、灵活运用二次函数与一元二次方程之间的关系解决实际问题
四、教学过程
（一）知识梳理
二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴
的交点个数
判别式Δ＝b2－4ac的符号
方程ax2＋bx＋c＝0有实根
的个数
2个
Δ>0
两个________实根
1个
Δ＝0
两个________实根
没有
Δ0
开口向上
a0(b与a同号)
对称轴在y轴左侧
ab0
与y轴正半轴相交
c0
与x轴有两个不同交点
b2－4ac0，即x＝1时，y>0
若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0
二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图
（二）题型、技巧归纳
考点1二次函数与一元二次方程
技巧归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
考点2二次函数的图象的平移
技巧归纳：
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1．采用由“点”带“形”的方法．图形在平移时，图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决．
2．平移的变化规律可为：
(1)上、下平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向上平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k＋m；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向下平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k－m.
(2)左、右平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向左平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h＋n)2＋k；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h－n)2＋k.
考点3二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
技巧归纳：二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．
考点4二次函数的图象与性质的综合运用
技巧归纳：
(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键．
(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式．
(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．
（三）典例精讲
例1 抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．
[解析] 把(1，0)代入y＝x2－4x＋m中，得m＝3，
所以原方程为y＝x2－4x＋3，
令y＝0，解方程x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0)．
例2 将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2
[解析] 抛物线y＝x2
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＋1的顶点为(0，1)，将点(0，1)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得到的点的坐标为(－2，－2)，所以平移后抛物线的关系式为y＝(x＋2)2－2.故选B.
例3 如图把抛物线y＝0.5x2平移得到抛物线m. 抛物线m经过点A(－6,0)和原点(0,0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝0.5x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．
[解析] 过点P作PM⊥y轴于点M.
∵抛物线平移后经过原点O和点A(－6，0)，∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝－3，得出二次函数的关系式为：y＝(x＋3)2＋h，
将(－6，0)代入，得0＝(－6＋3)2＋h，解得h＝－，
∴点P的坐标是，根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S＝3×＝.
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图15－4所示， 对称轴x＝ .下列结论中，正确的是( )
A．abc>0 B．a＋b＝0
C．2b＋c>0 D．4a＋c0,c
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