第20讲:直角三角形与勾股定理
一、复习目标
（1）掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质。
（2）掌握角平分线性质的逆定理。
（3）掌握勾股定理及其逆定理。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形全等的判定及其应用。
四、教学过程
（一）知识梳理
直角三角形的概念、性质与判定
定义
有一个角是________的三角形叫做直角三角形
性质
(1)直角三角形的两个锐角互余
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于___________
(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于________________
判定
(1)两个内角互余的三角形是直角三角形
(2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形
拓展
(1)SRt△ABC＝ch＝ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；(2)Rt△ABC内切圆半径r＝，外接圆半径R＝，即等于斜边的一半
勾股定理及逆定理
勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方．即：________
6
勾股定理 的逆定理
逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系： ________ ，那么这个三角形是直角三角形
用途
(1)判断某三角形是否为直角三角形；
(2)证明两条线段垂直；
(3)解决生活实际问题
互逆命题
互逆命题
如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫做______，那么另一个叫做它的______
互逆定理
若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这个定理的________，称这两个定理为互逆定理
命题、定义、定理、公理
定义
在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义
命题
定义
判断一件事情的句子叫做命题
分类
正确的命题称为________
错误的命题称为________
组成
每个命题都由______和______两个部分组成
公理
公认的真命题称为________
定理
除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理的过程称为________．经过证明的真命题称为________
（二）题型、技巧归纳
考点一：利用勾股定理求线段的长度
技巧归纳：
6
勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．
考点2实际问题中勾股定理的应用
技巧归纳：利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．
考点3勾股定理逆定理的应用
技巧归纳：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
考点4定义、命题、定理、反证法
技巧归纳：只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．
（三）典例精讲
例1 将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图21－1，则三角板的最大边的长为( )
A、3CM B、6CM
C、CM D、CM
[解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝AB＝6(cm)．
例2 一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
(3)求点B1到最短路径的距离．
6
解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和．
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.
(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是l1＝＝.
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝＝.
l1>l2，最短路径的长是l2＝.
(3)作B1E⊥AC1于E，则B1E＝·AA1＝·5＝
例3 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( )
A．② B．①② C．①③ D．②③
[解析] 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
①∵22＋32＝13≠42，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；
②∵32＋42＝52 ，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；
③∵12＋(√3)2＝22，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．
故构成直角三角形的有②③.
故选D.
例4 下列命题为假命题的是( )
6
A．三角形三个内角的和等于180°
B．三角形两边之和大于第三边
C．三角形两边的平方和等于第三边的平方
D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半
[解析] 选项A和B中的命题分别为三角形的内角和定理与三角形三边关系定理，均为真命题；对于选项C，只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而其他三角形的三边都不具有这一关系，因此是假命题；选项D中的命题是三角形的面积计算公式，也是真命题，故应选C.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质、掌握角平分线性质的逆定理、掌握勾股定理及其逆定理。
（五）随堂检测
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )
A. B. C. D.
2、下列命题中，其逆命题是真命题的是________．(只填写序号)
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
3、如图以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．
4、已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为________．
6
五、板书设计
判定直角三角形全等的条件
直角三角形的性质
角平分线性质的逆定理
勾股定理及其逆定理。
六、作业布置
直角三角形与勾股定理课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
6
微信/支付宝扫码支付