专题04 因式分解
聚焦考点☆温习理解
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法
（1）提公因式法：
（2）运用公式法：
（3）分组分解法：
（4）十字相乘法：
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、提取公因式
【例1】2016湖南长沙第13题）分解因式：x2y﹣4y= ．
【答案】y（x+2）（x﹣2）．
【解析】
试题分析：提取公因式y，后再利用平方差公式分解，即x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x+2）（x﹣2）．
考点：分解因式.
【点睛】
9
将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，直接提取公因式m即可.
【举一反三】
1.（2016四川达州第11题）分解因式：a3﹣4a= ．
【答案】a（a+2）（a﹣2）.
考点：分解因式.
2.（2016湖南岳阳第10题）因式分解：6x2﹣3x= ．
【答案】3x（2x﹣1）．
【解析】
试题分析：直接提公因式分解即可，即可6x2﹣3x=3x（2x﹣1），
考点：因式分解.
考点典例二、公式法
【例2】2016湖北黄石第11题）因式分解：_______________.
【答案】（x+6）（x-6）.
【解析】
试题分析：利用平方差公式直接分解即可，原式=（x+6）（x-6）.
考点：因式分解.
【点睛】根据所给多项式可以看出是两个数的平方差，因此利用平方差公式进行分解即可.
【举一反三】
1．（2016山东威海第15题）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ．
【答案】3（a+b）（a﹣b）．
【解析】
试题分析：直接利用平方差公式分解可得：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．
考点：分解因式.
2.已知，，则的值为 ．
【答案】 -3
【解析】
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考点： 因式分解；整体代入思想
3.分解因式：= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：原式==．故答案为：．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
考点典例三、提取公因式与公式法综合运用
【例3】(2016湖北襄阳第11题)分解因式：2a2-2= ．
【答案】.
【解析】
试题分析：原式＝2＝.
考点：分解因式.
【点睛】首先提取公因式2，剩下的因式又是两个数的平方差，进而利用平方差公式进行分解即可．
【举一反三】
1．（2016福建南平第13题）分解因式：= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：原式==．故答案为：．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
2.（2016新疆生产建设兵团第10题）分解因式：x3﹣4x= ．
【答案】x（x+2）（x﹣2）．
【解析】
9
考点：因式分解.
2.（2016内蒙古巴彦淖尔第11题）分解因式：=_____________．
【答案】．
【解析】
试题分析：==．故答案为：．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
考点典例四、分解因式的应用
【例5】若，则代数式的值为 ．
【答案】1.
【解析】
试题分析：∵，
∴.
【点睛】利用因式分解可以求代数式的值，先将代数式a2-b2-2b进行因式分解含有（a-b）的因式，再进行整体代入即可求出答案.
【举一反三】
1（2016湖北宜昌第14题）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．宜晶游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌
【答案】C．
【解析】
试题分析：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），因为x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C．
考点：因式分解.
2.如图边长为a、b的矩形的周长为14，面积为10，则a²b+ab²的值为
A.140 B.70 C.35 D.24
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【答案】
【解析】
试题分析：由题意可得a+b=7,ab=10,所以=7×10=70.故选B.
考点：分解因式；求代数式的值
课时作业☆能力提升
一．选择题
1.（2016河北第18题）若mn=m+3，则2mn+3m-5nm+10=_____.
【答案】1.
【解析】
试题分析：由mn=m+3可得mn-m=3，所以2mn+3m-5nm+10=3m-3mn+10=3(m-mn)+10=10-9=1.
考点：整体思想；求代数式的值.
2.(2016山东潍坊第8题)将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【答案】C.
【解析】
考点：因式分解.
3.下面的多项式在实数范围内能因式分解的是( )
A．x2+y2 B．x2﹣y C．x2+x+1 D．x2﹣2x+1
【答案】D．
【解析】
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考点：实数范围内因式分解．
4.（2016山东滨州第3题）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据多项式乘以多项式的法则可得（x+1）（x﹣3）=x•x﹣x•3+1•x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3，对比系数可以得到a=﹣2，b=﹣3．故答案选B．
考点：整式的乘法.
5.因式分解a2b﹣b的正确结果是（ ）
A． b（a+1）（a ﹣1） B． a（b+1）（b﹣1） C． b（a2﹣1） D． b（a﹣1）2
【答案】A．
【解析】
试题分析：先提取公因式b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
a2b﹣b
=b（a2﹣1）
=b（a+1）（a﹣1）．
故选A．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
6.下列因式分解正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A．
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【解析】
考点：1.因式分解和因式分解的意义；2.完全平方公式.
二．填空题
7.（2016湖南张家界第9题）因式分解：x2﹣4= ．
【答案】（x+2）（x-2）.
【解析】
试题分析： 直接利用平方差公式进行分解因式. x2﹣4=（x+2）（x-2）.
考点：因式分解.
8．（2016黑龙江哈尔滨第14题）把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是 ．
【答案】a（x+a）2.
【解析】
试题分析：ax2+2a2x+a3=a（x2+2ax+a2）= a（x+a）2.
考点：因式分解.
9.（2016辽宁沈阳第11题）分解因式：2x2﹣4x+2= ．
【答案】2（x﹣1）2．
【解析】
试题分析：先提取公因式2，再利用完全平方公式进行二次分解即2x2﹣4x+2=2（x2﹣2x+1）=2（x﹣1）2．
考点：分解因式.
10.（2016山东东营第12题）分解因式：a3－16a＝_____________.
【答案】a(a＋4)(a－4).
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考点：分解因式.
11.（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第13题）因式分解：xy2﹣4xy+4x= ．
【答案】x（y﹣2）2．
【解析】
试题分析：先提取公因式x，再根据完全平方公式进行二次分解，即xy2﹣4xy+4x=x（y2﹣4y+4）=x（y﹣2）2．
考点：因式分解．
12.分解因式： ．
【答案】.
【解析】
试题分析：.
考点：应用公式法因式分解.
13.分解因式：= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：==．故答案为：．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
14.（2016江苏常州第11题）分解因式：= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：==．故答案为：．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
15.分解因式：= .
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【答案】.
【解析】
试题分析：.
考点：提公因式法和十字相乘法因式分解.
16（2016青海第2题）分解因式：2a2b﹣8b= ，计算：8x6÷4x2= ．
【答案】2b（a+2）（a﹣2）；2x4．
【解析】
试题分析：2a2b﹣8b=2b（a+2）（a﹣2）；8x6÷4x2=2x4．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；整式的除法．
17.已知实数a，b满足ab=3，a﹣b=2，则a2b﹣ab2的值是 ．
【答案】6．
【解析】
考点：1.求代数式的值；2. 提公因式法因式分解；3.整体思想的应用．
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