专题08 分式及分式方程
聚焦考点☆温习理解
一、分式
1、分式的概念
一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则
二、分式方程
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法
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换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、分式的值
【例1】（2016江苏苏州第12题）当x= 时，分式的值为0．
【答案】2.
【解析】
试题分析：∵的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2.
考点：分式.
【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件.
【举一反三】
1.（2016四川甘孜州第2题）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1
【答案】A．
考点：分式有意义的条件．
2.若分式的值为0，则＝
【答案】1
【解析】
试题分析：根据题意可知这是分式方程， ＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.
答案为1.
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考点：分式方程的解法
考点典例二、分式的化简
【例2】（2016黑龙江绥化第9题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：原式==，故选A．
考点：分式的加减法．
【点睛】观察所给式子，能够发现是异分母的分式减法。利用异分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【举一反三】
1.（2016湖南永州第17题）化简：÷= ．
【答案】.
【解析】
试题分析：原式=.
考点：分式的化简.
2.（2016新疆生产建设兵团第11题）计算： = ．
【答案】.
【解析】
试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可，即原式=.
考点：分式的运算.
3.（2016新疆生产建设兵团第11题）计算： = ．
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【答案】.
【解析】
试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可，即原式=.
考点：分式的运算.
考点典例三、分式方程
【例3】（2016贵州铜仁第13题）方程的解为 ．
【答案】x=﹣3．
考点：解分式方程．
【点睛】先去掉分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。
【举一反三】
1.（2016广东广州第14题）方程的解是 .
【答案】x=-1.
【解析】
试题分析：方程两边同乘以2x（x-3）得，x-3=4x，解得x=-1，经检验x=-1是原方程的解.
考点：解分式方程.
2.（2016湖北十堰第7题）用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（ ）
A．y=﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0
【答案】B．
【解析】
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试题分析：∵设=y，则=，原方程可转化为：y﹣=3，即y﹣﹣3=0．故答案选B．
考点：换元法解分式方程．
考点典例四、分式方程的应用
【例5】（2016青海第18题）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B．
【解析】
考点：由实际问题抽象出分式方程．
【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.
【举一反三】
1.（2016辽宁葫芦岛第8题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A．
【解析】
考点：由实际问题抽象出分式方程．
2.（2016河北第12题）在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据题意，3X的倒数比8X的倒数大5，故答案选B.
考点：倒数.
课时作业☆能力提升
一．选择题
1．（2016河北第4题）下列运算结果为x-1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：选项A，原式=；选项B，原式=x-1；选项C，原式=；选项D，原式=x+1，故答案选B.
考点：分式的计算.
2.（2016山东滨州第4题）下列分式中，最简分式是（ ）
【答案】A.
【解析】
考点：最简分式.
3.（2016广东广州第5题）下列计算正确的是（ ）
A、 B、
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C、 D、
【答案】D.
【解析】
试题分析：选项A错误； 选项B，，错误;选项C， ,由于与不是同类二次根式，不能进行加减法，错误；选项D、根据幂的乘方运算法则就可以得出答案，正确，故答案选D.
考点：代数式的运算.
4.(2016山东潍坊第10题)若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＜且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣
【答案】B.
【解析】
考点：分式方程的解．
5.（2016四川南充第6题）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据题意可得：
．故选B．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
二．填空题
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6.（2016江苏盐城第10题）当x= 时，分式的值为0．
【答案】1．
【解析】
试题分析：当x﹣1=0时，x=1，此时分式的值为0．故答案为：1．
考点：分式的值为零的条件．
7.（2016江苏盐城第15题）方程的正根为 ．
【答案】x=2．
【解析】
考点：分式方程的解．
8.分式方程的解是__________．
【答案】x= -3
【解析】
试题分析：因为x2-1=（x+1）（x-1），所以可确定最简公分母（x+1）（x-1），然后方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验．
试题解析：方程两边同乘（x+1）（x-1），
得x+1+2=0，
解得x=-3．
经检验x=-3是分式方程的根．
考点：解分式方程.
9.若分式方程﹣=2有增根，则这个增根是 ．
【答案】x=1．
【解析】
试题分析：因为分式方程有增根，所以x﹣1=0，即x=1，故方程的增根为x=1．
故答案是x=1．
考点：分式方程的增根．
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10.分式方程的解为 ．
【答案】x=4
【解析】
考点：分式方程的解法．
三、解答题
11.（2016山东滨州第19题）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．
【答案】原式=（a﹣2）2，当a=，原式=（﹣2）2=6﹣4
【解析】
试题分析：先把括号内通分化简后把乘除化为乘法，再进行约分，化为最简分式后代入计算即可．
试题解析：原式=÷[﹣]
=÷
=•
=（a﹣2）2，
∵a=，
∴原式=（﹣2）2=6﹣4
考点：分式的化简求值．
12.（2016湖南长沙第20题）先化简，再求值：（﹣）+，其中a=2，b=．
【答案】原式=，当a=2，b=时，原式=6．
【解析】
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考点：分式的化简求值.
13.（2016山东枣庄第19题）(本题满分8分)
先化简，再求值：，其中a是方程的解.
【答案】原式=, 由，得 ， 又 ∴．原式=．
【解析】
试题分析：先把分式化简后，再解方程确定a的值，最后代入求值即可.
试题解析：原式===
由，得 ，
又 ∴．
∴原式=．
考点：分式的化简求值；一元二次方程的解法.
14. （2016湖北黄石第18题）（本小题满分7分）先化简，再求值：，其中
【答案】原式==2016+1=2017
【解析】
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考点：分式的化简求值.
15.（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第19题）解方程：．
【答案】x=0．
【解析】
试题分析：观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．
试题解析：方程的两边同乘（x﹣1）（x+1），得
3x+3﹣x﹣3=0，
解得x=0．
检验：把x=0代入（x﹣1）（x+1）=﹣1≠0．
∴原方程的解为：x=0．
考点：解分式方程．
16.（2016广西来宾第24题）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
【答案】（1）100；（2）1190元．
【解析】
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考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
17.（2016湖南岳阳第20题）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
【答案】3.
【解析】
试题分析：设学生步行的平均速度是每小时x千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．
试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x千米．
服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，
根据题意：，
解得：x=3，
经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．
答：学生步行的平均速度是每小时3千米．
考点：分式方程的应用.
18.（2016山东威海第20题）某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．
【答案】乙班的达标率为90%．
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【解析】
考点：分式方程的应用.
19.（2016新疆生产建设兵团第17题）某学校为绿化环境，计划种植600棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多20%，结果提前2小时完成任务，求原计划每小时种植多少棵树？
【答案】原计划每小时种植50棵树．
【解析】
试题分析：设原计划每小时种植x棵树，则实际劳动中每小时植树的数量是120%x棵，根据“结果提前2小时完成任务”列出方程并求解．
试题解析：设原计划每小时种植x棵树，
依题意得：，
解得x=50．
经检验x=50是所列方程的根，并符合题意．
答：原计划每小时种植50棵树．
考点：分式方程的应用.
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