专题10 统计知识初步
聚焦考点☆温习理解
一、平均数
1、平均数的概念
（1）平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。
（2）加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。
2、平均数的计算方法
（1）定义法
当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：
（2）加权平均数法：
当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。
（3）新数据法：
当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）。
二、统计学中的几个基本概念
1、总体
所有考察对象的全体叫做总体。
17
2、个体
总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量
样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、总体平均数
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
三、众数、中位数
1、众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
四、方差
1、方差的概念
在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即
2、方差的计算
（1）基本公式：
（2）简化计算公式（Ⅰ）：
也可写成
17
此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
（3）简化计算公式（Ⅱ）：
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，，…，，那么，
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
（4）新数据法：
原数据的方差与新数据，，…，的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得的方差就等于原数据的方差。
3、标准差
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
名师点睛☆典例分类
考点典例一、平均数
【例1】（2016广西桂林第3题）一组数据7，8，10，12，13的平均数是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【答案】C.
【解析】
考点：算术平均数．
【点睛】所给数据比较分散，选用定义公式：求解即可.
【举一反三】
（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第8题）从一组数据中取出a个x1，b个x2，c个x3，组成一个样本，那么这个样本的平均数是（ ）
17
A. B. C. D.
【答案】B．
【解析】
考点：算术平均数．
考点典例二、众数、中位数
【例2】（2016山东济宁第8题）在学校开展的“争做最优秀中学生”的一次演讲比赛中，编号1，2，3，4，5的五位同学最后成绩如下表所示：
参赛者编号
1
2
3
4
5
成绩/分
96
88
86
93
86
那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是（ ）
A．96，88， B．86，86 C．88，86 D．86，88
【答案】D.
【解析】
试题分析：这五位同学演讲成绩为96，88，86，93，86，按照从小到大的顺序排列为86，86，88，93，96，86出现两次，次数最多，是众数，中位数是中间的数为88，故答案选D.
考点：中位数；众数.
【点晴】将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数（或中间两个数的平均数）是中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．解决这类问题根据定义即可解决.
【举一反三】
1.（2016山东威海第9题）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．19，20，14 B．19，20，20 C．18.4，20，20 D．18.4，25，20
17
【答案】C．
【解析】
考点：平均数；中位数；众数.
2.（2016湖南怀化第2题）某校进行书法比赛，有39名同学参加预赛，只能有19名同学参加决赛，他们预赛的成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进入决赛，不仅要了解自己的预赛成绩，还要了解这39名同学预赛成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】B.
【解析】
试题分析：39个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之前的共有19个数，所以只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了．故答案选B．
考点：中位数.
3.（2016湖南长沙第10题）已知一组数据75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（ ）
A．75，80 B．80，85 C．80，90 D．80，80
【答案】D.
【解析】
试题分析：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：75，80，80，85，90，最中间的数是80,所以中位数是80；在这组数据中出现次数最多的是80，所以众数是80；故答案选D．
考点：中位数；众数.
考点典例三、方差
【例3】（2016河南第7题）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
17
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择【 】
（A） 甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁
【答案】A.
【解析】
试题分析：在平均数一样的情况下，方差越小，数据的波动越小，由此可得应该选择甲，故答案选A.
考点：方差.
【点睛】方差反映了一组数据的稳定程度，方差越小，数据波动越小．
【举一反三】
1.（2016四川达州第13题）已知一组数据0，1，2，2，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是 ．
【答案】.
【解析】
考点：平均数；方差.
2.(2016湖北襄阳第6题)一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是( )
A．3，3，0.4 B．2，3，2 C．3，2，0.4 D．3，3，2
【答案】A.
【解析】
试题分析：依题意得：，解得：x＝3，把原数据由小到大排列为：2，3，3，3，4，所以中位数为3，众数为3，方差为：（1＋0＋1＋0＋0）＝0.4，故答案选A.
考点：中位数；众数；方差.
课时作业☆能力提升
一．选择题
17
1.（2016浙江宁波第7题）某班10名学生校服尺寸与对应人数如下表所示：
尺寸（cm）
160
165
170
175
180
学生人数（人）
1
3
2
2
2
则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为
A. 165cm，165cm B. 165cm，170cm C. 170cm，165cm D. 170cm，170cm
【答案】B.
【解析】
考点：中位数；众数.
2．（2016浙江宁波第7题）某班10名学生校服尺寸与对应人数如下表所示：
尺寸（cm）
160
165
170
175
180
学生人数（人）
1
3
2
2
2
则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为
A. 165cm，165cm B. 165cm，170cm C. 170cm，165cm D. 170cm，170cm
【答案】B.
【解析】
试题分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数是165；把数据按从小到大顺序排列，可得中位数=（170+170）÷2=170,故答案选B.
考点：中位数；众数.
3.（2016山东淄博第5题）下列特征量不能反映一组数据集中趋势的是（ ）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数
【答案】C.
【解析】
试题分析：平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数．故答案选C．
考点：统计量的选择.
4.（2016湖北鄂州第5题）下列说法正确的是（ ）
A. 了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查
17
B. 一组数据3，6，6，7，9的中位数是6
C. 从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000
D. 一组数据1，2，3，4，5的方差是10
【答案】B．
【解析】
考点：抽样调查、中位数、样本容量、方差.
5.（2016湖南怀化第2题）某校进行书法比赛，有39名同学参加预赛，只能有19名同学参加决赛，他们预赛的成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进入决赛，不仅要了解自己的预赛成绩，还要了解这39名同学预赛成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】B.
【解析】
试题分析：39个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之前的共有19个数，所以只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了．故答案选B．
考点：中位数.
6.（2016新疆生产建设兵团第6题）某小组同学在一周内参加家务劳动时间与人数情况如表所示：
劳动时间（小时）
2
3
4
人数
3
2
1
下列关于“劳动时间”这组数据叙述正确的是（ ）
A． 中位数是2 B．众数是2 C．平均数是3 D．方差是0
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据众数的定义可知，这组数据的众数是2，故答案选B.
考点：众数；中位数；平均数；方差.
17
7..（2016湖南永州第6题）在“爱我永州”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：
甲：8、7、9、8、8
乙：7、9、6、9、9
则下列说法中错误的是（ ）
A．甲、乙得分的平均数都是8
B．甲得分的众数是8，乙得分的众数是9
C．甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6
D．甲得分的方差比乙得分的方差小
【答案】C.
【解析】
考点：算术平均数；中位数；众数；方差．
8.（2016湖南娄底第7题）11名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A． 平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B.
【解析】
试题分析：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，知道中位数即可．故答案选B．
考点：中位数.
9.（2016湖南株洲第3题）
17
甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵ =9.7，，∴选择丙．故选C．
考点：方差．
10.2016年福建龙岩第6题）在2016年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）
A．平均数为160 B．中位数为158 C．众数为158 D．方差为20.3
【答案】D.
【解析】
考点：1平均数；2中位数；3众数；4方差.
二．填空题
11.（2016海南省第4题）某班7名女生的体重（单位：kg）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组数据的众数是（ ）
A．74 B．44 C．42 D．40
【答案】C
【解析】
试题分析：众数是这组数据中出现次数最多的数据，在这组数据中42出现次数最多，故选C.
17
考点：众数.
12．（2016黑龙江大庆第13题）甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
【答案】甲.
【解析】
考点：方差.
13.(2016山东潍坊第15题)超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩（分数）
70
80
92
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分．
【答案】77.4．
【解析】
试题分析：根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值可得该应聘者的总成绩是：70×+80×+92×=77.4分．
考点：加权平均数．
14.（2016内蒙古巴彦淖尔第14题）两组数据3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是8，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的众数为_____________，中位数为_____________．
【答案】12，6．
【解析】
17
考点：众数；算术平均数；中位数．
15.（2016福建南平第11题）甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是=0.2，=0.5，则设两人中成绩更稳定的是 （填“甲”或“乙”）
【答案】甲．
【解析】
试题分析：∵=0.2，=0.5，则＜，可见较稳定的是甲．故答案为：甲．
考点：方差；算术平均数．
三．解答题
16. （2015绵阳）（11分）阳泉同学参加周末社会实践活动，到“富乐花乡”蔬菜大棚中收集到20株西红柿秧上小西红柿的个数：32 39 45 55 60 54 60 28 56 41
51 36 44 46 40 53 37 47 45 46
（1）前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
（2）若对这20个数按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图
（3）通过频数分布直方图试分析此大棚中西红柿的长势．
【答案】（1）47；49.5；60；（2）5，7，4，作图见试题解析；（3）①此大棚的西红柿长势普遍较好，最少都有28个；②西红柿个数最集中的株数在第三组，共有7株；③西红柿的个数分布合理，中间多，两端少．（3条信息任答一条即可）．
【解析】
17
（2）根据题意填表如下：
补图如下：
故答案为：5，7，4；
（3）此大棚的西红柿长势普遍较好，最少都有28个；西红柿个数最集中的株数在第三组，共7株；西红柿的个数分布合理，中间多，两端少．（3条信息任答一条即可）．
考点：1．频数（率）分布直方图；2．频数（率）分布表；3．加权平均数；4．中位数；5．众数．
16.（2016广东广州第19题）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小组各项得分如下表：
小组
研究报告
小组展示
答辩
甲
91
80
78
乙
81
74
85
丙
79
83
90
（1） 计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序：
（2） 如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%，计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？
【答案】(1)丙、甲、乙;(2)甲组的成绩最高.
17
【解析】
考点：平均数；加权平均数.
17．（2016黑龙江大庆第23题）为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）：
（1）根据以上信息回答下列问题：
①求m值．
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数．
③补全条形统计图．
（2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数．
【答案】（1）①60，②30度，③图形见解析；（2）众数：3小时，中位数：3小时，平均数：2.92小时.
【解析】
17
（2）众数为：3小时；中位数为：3小时；平均数为：（小时）.
考点：1统计图；2频率与频数；3众数；4中位数；5平均数.
18.（2016湖北武汉第19题）（本题8分）某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图：
请你根据以上的信息，回答下列问题：
(1) 本次共调查了_____名学生，其中最喜爱戏曲的有_____人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是______；
17
(2) 根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．
【答案】(1)50，3，72°；(2)160人.
【解析】
（2）2000×8%＝160（人）．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图.
19.（2016辽宁大连第20题）为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分
分组
家庭用水量x/吨
家庭数/户
A
0≤x≤4.0
4
B
4.0＜x≤6.5
13
C
6.5＜x≤9.0
D
9.0＜x≤11.5
E
11.5＜x≤14.0
6
F
x＞4.0
3
根据以上信息，解答下列问题
（1）家庭用水量在4.0＜x≤6.5范围内的家庭有 户，在6.5＜x≤9.0范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是 %；
（2）本次调查的家庭数为 户，家庭用水量在9.0＜x≤11.5范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是 %；
（3）家庭用水量的中位数落在 组；
17
（4）若该小区共有200户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数．
【答案】（1）13，30；（2）50，18；（3）C；(4)128户．
【解析】
（2）调查的家庭数为：13÷26%=50，
6.5＜x≤9.0 的家庭数为：50×30%=15，
D组9.0＜x≤11.5 的家庭数为：50﹣4﹣13﹣6﹣3﹣15=9，
9.0＜x≤11.5 的百分比是：9÷50×100%=18%；
（3）调查的家庭数为50户，则中位数为第25、26户的平均数，从表格观察都落在C组；
（4）调查家庭中不超过9.0吨的户数有：4+13+15=32，
=128（户），
答：该月用水量不超过9.0吨的家庭数为128户．
考点：扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．
17
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