专题16 直角三角形
聚焦考点☆温习理解
一、直角三角形
1.定义
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
2.性质
（1）直角三角形两锐角互余.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3.判定
（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
二、勾股定理及逆定理
1. 勾股定理：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
三、直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
四、互逆命题、互逆定理
1.互逆命题
如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.互逆定理
若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、直角三角形的判定
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【例1】（2016湖北鄂州第15题）如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点。当△APB为直角三角形时，AP＝ .
【答案】3或3或3.
【解析】
考点：分类讨论思想.
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【举一反三】
下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A．4,5,6 B．1.5,2，2.5 C．2,3,4 D．1， ，3
【答案】B．
【解析】
考点：勾股定理的逆定理．
考点典例二、直角三角形的性质
【例2】（2016湖北随州第13题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．
【答案】3．
【解析】
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考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．
【举一反三】
1.（2016贵州铜仁第9题）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（ ）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 8
【答案】B．
【解析】
试题分析：过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE=PD．
∵PC∥OB，∴∠POD=∠OPC，∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°，∴PE=PC=2，∴PD=2．故选B．
考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
考点典例三、直角三角形斜边上的中线
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【例3】（2016辽宁葫芦岛第9题）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
【答案】D．
【解析】
考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是据图找出规律．
【举一反三】
（2016四川达州第9题）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B.
【解析】
考点：直角三角形斜边上的中线；平行线的判定；相似三角形的判定与性质．
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考点典例四、命题
【例4】（2016年福建龙岩第4题）下列命题是假命题的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根
【答案】A.
【解析】
试题分析：选项A：若a=1，b=-1，则|a|=|b|，但a≠b，此命题为假命题；选项B：两直线平行，同位角相等是真命题；选项C：对顶角相等是真命题；选项D：若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根是真命题.故选A.
考点：命题与定理.
【点睛】本题考查了命题与定理的有关问题，对于假命题举出反例证明即可.．
【举一反三】
（2016内蒙古包头第10题）已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则（a﹣1）0=1；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D．
【解析】
试题分析：①当a=0，b=﹣1时，a2＜b2，所以命题“若a＞b，则a2＞b2”为假命题，其逆命题为若a2＞b2；，则a＞b“，此逆命题也是假命题，如a=﹣2，b=﹣1；②若a＞1，则（a﹣1）0=1，此命题为真命题，它的逆命题为：若（a﹣1）0=1，则a＞1，此逆命题为假命题，因为（a﹣1）0=1，则a≠1；③两个全等的三角形的④面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题；四条边相等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命题为真命题．故答案选D．
考点：命题与定理．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. （2016贵州铜仁第6题）下列命题为真命题的是（ ）
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A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．多项式因式分解的结果是
C．
D．一元二次方程无实数根
【答案】D．
【解析】
考点：命题与定理．
2. （2016湖南岳阳第7题）下列说法错误的是（ ）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．菱形的对角线相等
D．平行四边形是中心对称图形
【答案】C.
【解析】
考点：中心对称图形；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的性质．
3. （2016黑龙江绥化第6题）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）
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A．250米 B．米 C．米 D．米
【答案】A．
【解析】
试题分析：由题意∠AOB=90°﹣60°=30°，OA=500，∵AB⊥OB，∴∠ABO=90°，∴AB=AO=250米．故选A．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
4. （2016四川南充第7题）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．1+
【答案】A．
【解析】
试题分析：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵点D、E分别是AC．BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=AB=1．故选A．
考点：三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．
5. （2016广东广州第7题）如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线，DE交AB于D，连接CD，CD＝( )
A、3 B、4 C、4.8 D、5
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【答案】D.
【解析】
考点：勾股定理及逆定理;中位线定理;中垂线的性质.
二、填空题
6. （2016黑龙江哈尔滨第17题）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为 ．
【答案】或.
【解析】
试题分析：①如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PB=BC=1，∴CP=2，∴，
②如图2，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PC=BC=1，∴，AP的长为或.
考点：1分类思想；2等腰直角三角形.
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7. （2016湖北武汉第16题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．
【答案】2.
【解析】
考点：相似三角形判定及性质；勾股定理.
8.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===，故答案为：．
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考点：1．含30度角的直角三角形；2．勾股定理．
9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 ．
【答案】．
【解析】
考点：1. 折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用.
10. （2016福建莆田第16题） 魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”，证明了勾股定理．若图中BF＝1，CF＝2，则AE的长为__________．
【答案】．
【解析】
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考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质．
11. （2016福建泉州第14题）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE= ．
【答案】5．
【解析】
试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AB=5.
考点：直角三角形斜边上的中线．
三、解答题
12. （2016贵州贵阳第18题）（10分）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）△CEF是直角三角形．
【解析】
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考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
13. (2016湖北襄阳第19题)(本小题满分6分)
如图，在△ABC中．AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
(1)求证：AB=AC；
(2)若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．
【答案】（1）详见解析；（2）4.
【解析】
试题分析：(1)根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据HL证明；根据全等三角形的性质可得，即可证得AB=AC；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，在Rt∆ADC中，AD=2，∠DAC=30°，即可求得AC的长．
试题解析：(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF
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在Rt∆ADC中，
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质；直角三角形的性质.
14.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长.
【答案】（1）30°；（2）4.
【解析】
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2.
∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．
考点：1.等边三角形的判定与性质；2.平行的性质；3.含30度角的直角三角形的性质．
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