2017年中考数学黄金知识点系列专题25三角形20170309125.doc

专题25 三角形 聚焦考点☆温习理解 一、三角形 ‎ ‎1、三角形中的主要线段 ‎（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。‎ ‎（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。‎ ‎（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。‎ ‎2、三角形的三边关系定理及推论 ‎（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。‎ 推论：三角形的两边之差小于第三边。‎ ‎（2）三角形三边关系定理及推论的作用：‎ ‎①判断三条已知线段能否组成三角形 ‎②当已知两边时，可确定第三边的范围。‎ ‎③证明线段不等关系。‎ ‎3、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。‎ 推论：‎ ‎①直角三角形的两个锐角互余。‎ ‎②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。‎ ‎③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。‎ 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。‎ 二、全等三角形 ‎ ‎1、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：‎ ‎（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）‎ ‎（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）‎ 18‎ ‎（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。‎ 直角三角形全等的判定：‎ 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）‎ ‎2.全等三角形的性质：‎ 三、等腰三角形 ‎1、等腰三角形的性质定理及推论：‎ 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）‎ 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。‎ 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。‎ ‎2、等腰三角形的判定定理及推论：‎ 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。‎ 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。‎ 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。‎ ‎3、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。‎ 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。‎ 名师点睛☆典例分类 考点典例一、三角形中位线 ‎【例2】（2016广西来宾第9题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（　　）‎ A．5　　　　　　B．7　　　　　　C．8　　　　　　D．10‎ 18‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 考点：三角形中位线定理．‎ ‎【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．‎ ‎【举一反三】‎ ‎（2016辽宁葫芦岛第9题）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　）‎ A．4 B．8 C．2 D．4‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在RT△ABF中，∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，利用直角三角形斜边中线性质可得AB=2DF=8，再由AD=DB，AE=EC，可得DE∥BC，∠ADE=∠ABF=30°，所以AF=AB=4，由勾股定理可得BF=4．故选D．‎ 考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．‎ 考点典例二、等腰三角形 ‎【例2】已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（　　）‎ ‎　 A． 7 B． 8 C． 6或8 D． 7或8‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为等腰三角形的两边分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．‎ 试题解析：当2为底时，三角形的三边为3，2、3可以构成三角形，周长为8；‎ 当3为底时，三角形的三边为3，2、2可以构成三角形，周长为7．‎ 18‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．‎ ‎【举一反三】‎ ‎（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（　　）‎ A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对 ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．‎ 考点典例三、全等三角形 ‎【例3】（2016新疆生产建设兵团第4题）如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（　　）‎ A． ‎∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由∠B=∠DEF，AB=DE，添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；故答案选D．‎ 考点：全等三角形的判定.‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．‎ ‎【举一反三】‎ ‎（2016河北第21题）（本小题满分9分）‎ 18‎ 如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.‎ ‎（1）求证：△ABC≌△DEF；‎ ‎（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.‎ 第21题图 ‎【答案】(1)详见解析；（2）∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎ AB∥DE,AC∥DF,理由如下，‎ ‎∵△ABC≌△DEF，‎ ‎∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,‎ ‎∴AB∥DE,AC∥DF.‎ 考点：全等三角形的判定及性质；平行线的判定. ‎ 考点典例四、相似三角形 ‎【例4】（2016新疆生产建设兵团第7题）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（　　）‎ 18‎ A．DE=BC B． C．△ADE∽△ABC D．S△ADE：S△ABC=1：2‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 考点：相似三角形的判定及性质.‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．‎ ‎【举一反三】‎ ‎（2016内蒙古巴彦淖尔第7题）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（　　）‎ A．30　　　　　　B．27　　　　　　C．14　　　　　　D．32‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 18‎ 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．‎ 考点典例五、位似三角形 ‎【例5】（2016湖北十堰第5题）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（　　）‎ A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由OB=3OB′，可得OB′：OB=1:3，已知以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，即可得△A′B′C′∽△ABC，，所以,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得△A′B′C′与△ABC的面积比为1:9，故答案选D.‎ 考点：位似变换．‎ ‎【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．‎ ‎【举一反三】‎ ‎ 如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 ‎ ‎【答案】12．‎ 18‎ ‎【解析】‎ ‎∵△ABC与△A1B1C1为位似图形， ∴△ABC∽△A1B1C1， ∵位似比是1：2， ∴相似比是1：2， ∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4， ∵△ABC的面积为3， ∴△A1B1C1的面积是：3×4=12．‎ 考点典例六：直角三角形 ‎【例6】（2016辽宁沈阳第9题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　）‎ A． ‎ B．4 C．8 D．4‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 考点：解直角三角形.‎ ‎【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边．‎ ‎【举一反三】‎ ‎（2016浙江宁波第16题）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）‎ 18‎ ‎【答案】10+1.‎ ‎【解析】‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ 课时作业☆能力提升 一、选择题 ‎1. （2016河南第6题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10. DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为【 】‎ ‎（A）6 （B）5 （C）4 （D）3‎ 18‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 考点：勾股定理；三角形的中位线定理. ‎ ‎2. （2016河北第15题）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）‎ 第15题图 ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。选项Ｃ项不能判定两个三角形相似，故答案选C.‎ 考点：相似三角形的判定.‎ 18‎ ‎3. （2016山东滨州第6题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（　　）‎ A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．‎ ‎4. （2016山东枣庄第4题）如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于 A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°‎ 第4题图 ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°，所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°，根据角平分线的性质可得∠DBC=37.5°，∠ACD=52.5°，即可得∠BCD=127.5°，根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-37.5°-127.5°=15°，故答案选A.‎ 考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.‎ ‎5. （2016湖南怀化第10题）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（　　）‎ A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm ‎【答案】C．‎ 18‎ ‎【解析】‎ 试题分析：已知sinA==，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．‎ 考点：解直角三角形．‎ ‎6. （2016湖南永州第9题）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）‎ A． ‎∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 考点：全等三角形的判定.‎ 二、填空题 ‎7. （2016山东枣庄第14题）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为　 　米 ‎（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41，=1.73）．‎ 第14题图 ‎【答案】2.9.‎ ‎【解析】‎ 18‎ 试题分析：在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，可得MD=4米；在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，可求得MC=4米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.‎ 考点：解直角三角形.‎ ‎8. （2016山东济宁第12题）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：　　　　　　，使△AEH≌△CEB．‎ ‎【答案】AH=CB或EH=EB或AE=CE．(添加其中任意一个即可)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．‎ 考点：全等三角形的判定.‎ ‎9. （2016湖南娄底第14题）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是　　　　　　．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）‎ ‎【答案】∠B=∠DEF（答案不唯一，符合要求即可）‎ ‎【解析】‎ 考点：相似三角形的判定．‎ ‎10.（2016福建泉州第11题）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=　　　　　　．‎ 18‎ ‎【答案】4．‎ 考点：三角形中位线定理．‎ ‎11.（2016福建泉州第14题）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=　　　　　　．‎ ‎【答案】5．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AB=5.‎ 考点：直角三角形斜边上的中线．‎ 三．解答题 ‎12. （2016山东淄博第22题）（8分）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．‎ ‎（1）求证：AE=AF；‎ ‎（2）求证：BE=（AB+AC）．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据角平分线的性质及平行线的性质易∠AEF=∠AFE，即可得AE=AF；（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G，已知AC=AG，根据三角形中位线定理的推论证明BE=EG，再利用三角形的中位线定理即可证得结论．‎ 18‎ ‎ ‎ 考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．‎ ‎13. （2016湖南怀化第17题）如图，已知AD=BC，AC=BD．‎ ‎（1）求证：△ADB≌△BCA；‎ ‎（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．‎ 18‎ ‎【答案】(1)详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.‎ ‎【解析】‎ 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．‎ ‎14. （2016湖南怀化第21题）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．‎ ‎（1）求证：△AEH∽△ABC；‎ ‎（2）求这个正方形的边长与面积．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据EH∥BC即可证明△AEH∽△ABC；（2）如图设AD与EH交于点M，易证四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，由（1）知△AEH∽△ABC，根据相似三角形的性质可得得，代入数据列出方程即可解决问题．‎ 18‎ 考点：相似三角形的判定与性质．‎ ‎15. (2016湖北襄阳第19题)(本小题满分6分)‎ 如图，在△ABC中．AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．‎ ‎(1)求证：AB=AC； ‎ ‎(2)若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．‎ 18‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）4.‎ ‎【解析】‎ 考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质；直角三角形的性质.‎ 18‎