专题27 与圆有关的概念
聚焦考点☆温习理解
1、圆的定义
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
3.直径
经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD）
直径等于半径的2倍。
4.半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
5.弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
5、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
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（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
7、弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、垂径定理
【例1】（2016湖北黄石第8题）如图所示，⊙的半径为13，弦的长度是24，，垂足为，则（ ）
A.5 B.7 C.9 D. 11
第8题图
【答案】A.
【解析】
考点：垂径定理；勾股定理.
【点睛】根据“两条辅助线（半径和边心距），一个直角三角形，两个定理（垂径定理、勾股定理）”解决即可。
【举一反三】
（2016湖南长沙第16题）如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为 ．
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【答案】．
【解析】
试题分析：已知弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，根据垂径定理可得AC=BC=3，∠ACO=90°，由勾股定理可求得OA=．
考点：垂径定理；勾股定理.
考点典例二、求边心距
【例2】（2016贵州贵阳第8题）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】B．
【解析】
考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．
【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．
【举一反三】
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如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD. 已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于( )
A. B. C. 4 D. 3
【答案】D．
考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理.
【分析】如答图，过点A作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，
考点典例三、最短路线问题
【例3】如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
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A． B．1 C． 2 D． 2
【答案】A.
【解析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON=∠AON=×60°=30°，
由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′=OA=×1=，
即PA+PB的最小值=．
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．
【举一反三】
（2016浙江台州第10题）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）
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A． 6 B． C． 9 D．
【答案】C．
【解析】
考点：切线的性质；最值问题．
课时作业☆能力提升
一．选择题
1．（2016福建南平第6题）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A．
【解析】
考点：正多边形和圆．
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2. （2016内蒙古巴彦淖尔第3题）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（ ）
A．40°，80° B．50°，100° C．50°，80° D．40°，100°
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∵∠CAB=40°，∴∠C=50°，∴∠ABD=∠C=50°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB=50°，∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°，故选B．
考点：圆周角定理；垂径定理．
3.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C．
【解析】
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考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用．
4.已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为【 】
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
5. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，则PA+PB的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．2
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【答案】D.
【解析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=，
∴A′B=2．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．
故选D．
二．填空题
6. （2016贵州贵阳第14题）如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA的值是 ．
【答案】．
【解析】
考点：垂径定理；解直角三角形．
7. （2016黑龙江绥化第16题）如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若
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OM=6cm，则AB的长为 cm．
【答案】16．
【解析】
试题分析：连接OA，∵⊙O的直径CD=20cm，∴OA=10cm，在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM==8cm，∴由垂径定理得：AB=2AM=16cm．故答案为：16．
考点：垂径定理．
8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE= cm．
【答案】4.
【解析】
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
9.如图， AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O到弦CD的距离为 ．
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【答案】3.
【解析】连接OC，由AB=10得出OC的长，再根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出OE即可．
试题解析：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB=10，
∴OC=5，
∵CD⊥AB，CD=8，
∴CE=4，
∴OE=．
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
10.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O到弦CD的距离为 ．
【答案】3.
【解析】
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考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
11.⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为 ．
【答案】1或3
【解析】
试题分析：如图所示：
∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴BD=BC=，
在Rt△OBD中，
∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，
∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；
当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．
故答案为：1或3．
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考点：1、垂径定理；2、勾股定理．
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