专题31 图形的变换
聚焦考点☆温习理解
一、平移
1、定义
把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2、性质
（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动
（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。
二、轴对称
1、定义
把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2、性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3、判定
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4、轴对称图形
把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
三、旋转
1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
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（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
四、中心对称
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
考点五、坐标系中对称点的特征
1、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）
2、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（x，-y）
3、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（-x，y）
名师点睛☆典例分类
考点典例一、轴对称变换（含折叠）问题
【例1】（2016山东威海第12题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
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A. B． C． D．
【答案】D．
【解析】
考点：翻折变换；矩形的性质；勾股定理.
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．
【举一反三】
（2016四川南充第8题）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C．
【解析】
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考点：翻折变换（折叠问题）．
考点典例二、点的对称
【例2】（2016湖北武汉第6题）已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（ ）
A．a＝5，b＝1 B．a＝－5，b＝1
C．a＝5，b＝－1 D．a＝－5，b＝－1
【答案】D.
【解析】
试题分析：已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数可得a＝－5，b＝－1，故答案选D．
考点：关于原点对称的点的坐标．
【点睛】关于原点对称的点的坐标特征是横纵坐标互为相反数.
考点典例三、平移
【例3】（2016浙江台州第12题）如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：∵把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，∴三角板向右平移了5个单位，∴顶点C平移的距离CC′=5．故答案为：5．
考点：平移的性质．
【点睛】根据平移的基本性质，①平移不改变图形的形状和大小；②
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经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；即可求出答案.
【举一反三】
如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，则线段A′B与线段AC的关系是（ ）
A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直[来
【答案】D．
【解析】
考点典例四、旋转变换（含中心对称）问题
【例4】（2016新疆生产建设兵团第5题）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（ ）
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A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，可得旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故答案选D．
考点：旋转的性质.
【点睛】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可得结论．
【举一反三】
（2016辽宁大连第11题）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：．
考点：旋转的性质；勾股定理.
课时作业☆能力提升
1. （2016海南省第10题）在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据题意可知B1与B关于原点中心对称，而关于原点中心对称点的横纵坐标互为相反数，因此B1
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的坐标为（-2，-1），故选D.
考点：坐标与图形变化.
2. （2016江苏苏州第17题）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为 ．
【答案】2.
【解析】
考点：1轴对称；2等边三角形.
3. （2016四川甘孜州第10题）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径的长为（ ）
A．π B．2π C．4π D．8π
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【答案】B．
【解析】
考点：弧长的计算；旋转的性质．
4. （2016贵州铜仁第10题）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，∴DE=2，EC=4，∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵AB=AF，AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°，所以①正确；
设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，∵，∴，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；
∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；
∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；
过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：=，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×
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3）=3.6，所以⑤正确．
故正确的有①②③④⑤，故选D．
考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
5.（2016湖南长沙第8题）若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，0）
【答案】C.
【解析】
考点：坐标与图形变化﹣平移.
6.（2016河南第8题）如图，已知菱形OABC的顶点O（0,0），B（2,2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为【 】
（A）（1，-1） （B）（-1，-1）
（C）（，0） （D）（0，-）
【答案】B.
【解析】
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考点：规律探究题.
7. （2016湖北武汉第14题）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．
【答案】36°.
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD，＝∠DAE＝20°，∠AED，＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．
考点：平行四边形的性质；折叠的性质.
8. （2016四川达州第15题）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为 ．
【答案】24+9．
【解析】
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考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．
7. （2016湖南怀化第12题）旋转不改变图形的 和 ．
【答案】形状，大小．
【解析】
试题分析：根据旋转的性质可得旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置.
考点：旋转的性质.
9. （2016湖南株洲第4题）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．
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由旋转的性质可知：BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故选B．
考点：旋转的性质．
10.（2016广西来宾第11题）下列3个图形中，能通过旋转得到右侧图形的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B．
【解析】
考点：利用旋转设计图案．
11.（2016福建莆田第8题）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
【答案】C．
【解析】
试题分析：A．正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；
B．正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；
C．正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；
D．正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；
故选C．
考点：旋转对称图形．
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12.（2016福建莆田第9题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
考点：翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．
13.（2016广西河池第10题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），将线段OA绕原点O逆时针旋转30°，得到线段OB，则点B的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（1，﹣） D．（﹣1，）
【答案】A．
【解析】
试题分析：作AC⊥x轴于点C，∵点A的坐标为（1，），∴OC=1，AC=，则OA==2，tan∠AOC==，∴∠AOC=60°，∴将线段OA绕原点O逆时针旋转30°，得到线段OB，则点B的坐标是（0，2），故选A．
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考点：坐标与图形变化-旋转．
14.（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第12题）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】C．
【解析】
考点：翻折变换（折叠问题）．
15. （2016年福建龙岩第22题）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）
（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；
（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）
【答案】（1）9.7；（2）图形见解析.
【解析】
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考点：1勾股定理；2利用轴对称，平移，中心对称作图.
16.如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是 ．
【答案】作图见解析，90°．
【解析】
试题分析：分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，根据线段垂直平分线的性质和正方形的判定，AC，CE的中点M，N和O，C构成正方形OMCN，所以旋转角∠MON=90°．
试题解析：作图如答图所示：旋转角度是90°．
考点：1.作图（旋转变换）；2.线段垂直平分线的性质；3.正方形的判定和性质．
17.在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．
（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
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（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；
（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析.
【解析】
（2）如答图所示，A（0，1），C（﹣3，1）；
（3）△A2B2C2如答图所示，B2（3，﹣5），C2（3，﹣1）．
考点：1.网格问题；2. 作图（旋转变换）
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