专题34 因式分解
聚焦考点☆温习理解
1．因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算．
2．基本方法
(1)提取公因式法：
ma＋mb－mc=m(a+b-c)
(2)公式法：
运用平方差公式：a2－b2=(a+b)(a-b)；
运用完全平方公式：a2±2ab＋b2=(a±b)2.
3.因式分解的一般步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；
（3）分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；
（4）注意因式分解中的范围，如x4-4=（x2+2）（x2-2）在实数范围内分解因式，继续进行分解：x4-4=（x2+2）（x2-2）=（x2+2）（x+）(x-),题目不作说明，表明是在有理数范围内因式分解.
（5）分解要彻底。作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应写成幂的形式．这些统称分解彻底．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、因式分解的意义
【例1】下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
【答案】B
【解析】
试题分析：根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
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试题解析：A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解；
B、是完全平方公式的形式，故B能分解因式；
故选：B．
考点：因式分解的意义．
【点睛】 因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．
【举一反三】
(2016山东潍坊第8题)将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【答案】C.
【解析】
考点：因式分解.
考点典例二、提取公因式法分解因式
【例2】（2016内蒙古巴彦淖尔第11题）分解因式：=_____________．
【答案】．
【解析】
试题分析：==．故答案为：．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
【点睛】(1)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(3)公因式也可以是多项式．
【举一反三】
1. （2016黑龙江哈尔滨第14题）把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是 ．
【答案】a（x+a）2.
【解析】
试题分析：ax2+2a2x+a3=a（x2+2ax+a2）= a（x+a）2.
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考点：因式分解.
2.分解因式：x2+3x（x-3）-9=
【答案】（x-3）（4x+3）
【解析】
考点：提取公因式法分解因式
考点典例三、运用公式法分解因式
【例3】①（2016辽宁沈阳第11题）分解因式：2x2﹣4x+2= ．
【答案】2（x﹣1）2．
【解析】
试题分析：先提取公因式2，再利用完全平方公式进行二次分解即2x2﹣4x+2=2（x2﹣2x+1）=2（x﹣1）2．
考点：分解因式.
②将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是 ．
【答案】n（m-1）2．
【解析】
试题分析：先提取公因式n，再根据完全平方公式进行二次分解．
试题解析：m2n-2mn+n，
=n（m2-2m+1），
=n（m-1）2．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
【点睛】 (1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．
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【举一反三】
① (2a＋1)2－a2= ；
【答案】（3a+1）（a+1）
【解析】
试题分析：直接利用平方差公式进行分解即可．
试题解析：原式=（2a+1+a）（2a+1-a）=（3a+1）（a+1）
考点：因式分解-运用公式法．
②8(a2＋1)－16a=
【答案】8（a-1）2．
【解析】
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
考点典例四、综合运用多种方法分解因式
【例4】（2016山东东营第12题）分解因式：a3－16a＝_____________.
【答案】a(a＋4)(a－4).
【解析】
试题分析：先提取公因式a，再运用平方差公式分解即可，即a3－16a＝a(a2－16)＝a(a＋4)(a－4).
考点：分解因式.
【点睛】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底．
【举一反三】
1. （2016福建南平第13题）分解因式：= ．
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【答案】．
【解析】
试题分析：原式==．故答案为：．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
考点：零指数幂．
2.分解因式：x3-6x2+9x=
【答案】x（x-3）2
【解析】
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
考点典例四、因式分解的应用
【例5】计算：852－152=( )
A．70 B．700 C．4900 D．7000
【答案】D．
【解析】
试题分析：直接利用平方差进行分解，再计算即可．
试题解析：原式=（85+15）（85-15）
=100×70
=7000．
故选：D．
考点：因式分解-运用公式法．
【点睛】(1)利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；(2)一个问题有两个未知数，只有一个条件，根据已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解．
【举一反三】
1.若ab=2，a－b=－1，则代数式a2b－ab2的值等于 ．
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【答案】-2.
【解析】
考点：因式分解-提公因式法．
2.若ab=3，a-2b=5，则a2b-2ab2的值是
【答案】
【解析】
试题分析：直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
试题解析：∵ab=3，a-2b=5，
则a2b-2ab2=ab（a-2b）=3×5=15．
考点：因式分解-提公因式法．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1．下列因式分解中正确的个数为( )
①x3＋2xy＋x=x(x2＋2y)；
②x2＋4x＋4=(x＋2)2；
③－x2＋y2=(x＋y)(x－y)．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C．
【解析】
试题分析：直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．
试题解析：解：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；
②x2+4x+4=（x+2）2；正确；
③-x2+y2=（x+y）（y-x），故原题错误；
故正确的有1个．
故选：C．
考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
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2. （2016湖北宜昌第14题）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．宜晶游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌
【答案】C．
【解析】
试题分析：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），因为x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C．
考点：因式分解.
3.下列四个选项中，哪一个为多项式8x2－10x＋2的因式( )
A．2x－2 B．2x＋2
C．4x＋1 D．4x＋2
【答案】A．
【解析】
考点：因式分解的意义．
4. （2016山东滨州第3题）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据多项式乘以多项式的法则可得（x+1）（x﹣3）=x•x﹣x•3+1•x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3，对比系数可以得到a=﹣2，b=﹣3．故答案选B．
考点：整式的乘法.
5.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（ ）
A．4 B．-4 C．±2 D．±4
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【答案】D．
【解析】
考点：因式分解-运用公式法．
6. 若分解因式x2+mx-15=（x+3）（x-5），则m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-5 D．5
【答案】A．
【解析】
试题分析：先把等式的右边化为x2-2x-15的形式，再求出m的值即可．
试题解析：∵（x+3）（x-5）=x2-2x-15，
∴m=-2．
故选A．
考点：因式分解的意义．
7. （昌平区一模）把x2y-4y分解因式，结果正确的是（ ）
A．y（x2-4） B．y（x+2）（x-2） C．y（x+2）2 D．y（x-2）2
【答案】B．
【解析】
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
8.把x3-xy2分解因式，正确的结果是（ ）
A．（x+xy）（x-xy） B．x（x2-y2） C．x（x-y）2 D．x（x-y）（x+y）
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【答案】D．
【解析】
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
二、填空题
9.分解因式：ab-2a=
【答案】a（b-2）．
【解析】
试题分析：观察原式，公因式为a，然后提取公因式即可．
试题解析：ab-2a=a（b-2）．（提取公因式）
考点：因式分解-提公因式法．
10. （2016山东威海第15题）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ．
【答案】3（a+b）（a﹣b）．
【解析】
试题分析：直接利用平方差公式分解可得：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．
考点：分解因式.
11. （2016黑龙江哈尔滨第14题）把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是 ．
【答案】a（x+a）2.
【解析】
试题分析：ax2+2a2x+a3=a（x2+2ax+a2）= a（x+a）2.
考点：因式分解．
12. （2016年福建龙岩第11题）因式分解：a2﹣6a+9= ．
【答案】（a-3）2.
【解析】
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试题分析：直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=（a-3）2.
考点：因式分解.
13. （2016山东东营第12题）分解因式：a3－16a＝_____________.
【答案】a(a＋4)(a－4).
【解析】
试题分析：先提取公因式a，再运用平方差公式分解即可，即a3－16a＝a(a2－16)＝a(a＋4)(a－4).
考点：分解因式.
三、解答题
14. （北京二模）分解因式：ax4-81a．
【答案】a（x2+9）（x+3）（x-3）．
【解析】
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
15. （白云区一模）分解因式：x2y-4xy+4y．
【答案】y（x-2）2．
【解析】
试题分析：首先提取公因式y，再把余下的式子用完全平方公式：（a2-2ab+b2）=（a-b）2进行二次分解即可．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
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