专题38 弧长及扇形的面积
聚焦考点☆温习理解
1．弧长及扇形的面积
(1)半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式：l＝；
(2)半径为r，n°的圆心角所对的扇形面积公式：S＝＝lr．
2．圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.
(1)圆锥侧面积公式：S圆锥侧＝πrl；
(2)圆锥全面积公式：S圆锥全＝πrl＋πr2．
3．求阴影部分面积的几种常见方法
(1)公式法；
(2)割补法；
(3)拼凑法；
(4)等积变形构造方程法；
(5)去重法．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、弧长公式的应用
【例1】（2016湖南长沙第15题）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．（结果保留π）
【答案】2π．
【解析】
试题分析：已知扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，根据弧长公式可得扇形的弧长为=2π．
考点：弧长公式.
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【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式．
【举一反三】
（2016湖南岳阳第11题）在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 cm．
【答案】4π．
【解析】
试题分析：根据弧长公式可得半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为：=4πcm．
考点：弧长的计算．
考点典例二、扇形面积的计算
【例2】（2016山东东营第17题）如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为______________.
【答案】25.
考点：扇形的计算.
【举一反三】
（2016辽宁营口第12题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，垂足为点E，连接OD、BC，若BC=1，则扇形OBD的面积为 ．
【答案】．
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考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．
考点典例三、扇形面积公式的运用
【例3】（莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．2π C． D．4π
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA′的面积加上半圆面积再减去半圆面积，即为扇形面积即可．
试题解析：∵S阴影=S扇形ABA′+S半圆-S半圆
=S扇形ABA′
==2π，
故选：B．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质．
【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.
【举一反三】
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(2016山东枣庄第11题） 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝，则阴影部分的面积为
A．2π B．Π C. D.
第11题图
【答案】D.
考点：垂径定理；圆周角定理；扇形面积公式.
考点典例四、圆锥的侧面展开图
【例4】（2016湖北十堰第9题）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（ ）
A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm
【答案】D.
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考点：圆锥的计算．
【点睛】就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形．
【举一反三】
（2016湖南衡阳第17题）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为 ．
【答案】16．
【解析】
试题分析：设该圆锥的母线长为l，圆锥的侧面展开图为一扇形，根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长可得8π=，解得l=16，即该圆锥的母线长为16．
考点：圆锥的计算.
考点典例五、求阴影部分的面积
【例5】(2016湖北襄阳第15题)如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】.
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考点：扇形的面积计算.
【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.
【举一反三】
（2016山东威海第22题）如图，在△BCE中，点A时边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
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（2）由（1）可知∠3=∠BCO，∠1=∠2，
∵∠ECB=60°，
∴∠3=∠ECB=30°，
∴∠1=∠2=60°，
∴∠4=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
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∴AD=OD=OF，∵∠1=∠ADO，
在△ADG和△FOG中，
，
∴△ADG≌△FOG，
∴S△ADG=S△FOG，
∵AB=6，
∴⊙O的半径r=3，
∴S阴=S扇形ODF==．
考点：切线的性质和判定；扇形的面积公式；全等三角形的判定及性质.
课时作业☆能力提升
1. （2016贵州遵义第10题）如图，半圆的圆心为O，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB=30°，的长是（ ）
A．12π B．6π C．5π D．4π
【答案】D．
考点：弧长的计算．
2. （2016四川甘孜州第10题）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径的长为（ ）
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A．π B．2π C．4π D．8π
【答案】B．
考点：弧长的计算；旋转的性质．
3. （2016福建泉州第6题）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（ ）
A．3 B．6 C．3π D．6π
【答案】B．
【解析】
试题分析：已知圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，所以2πr=×2π×10，解得r=6．故选B．
考点：圆锥的计算．
4. （2016内蒙古通辽第8题）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=，则阴影部分的面积为（ ）
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A． B．π C．2π D．4π
【答案】A．
考点：扇形面积的计算．
5. （2016重庆A卷第9题）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AC=BC=，∴△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC=S△BOC，OA=AC=1，∴S阴影部分=S扇形AOC==．故选A．
考点：扇形面积的计算．
6. （2016浙江台州第13题）如图，△ABC的外接圆O的半径为2，∠C=40°，则的长是 ．
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【答案】．
【解析】
试题分析：∵∠C=40°，∴∠AOB=80°，∴的长是=．故答案为：．
考点：三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
7.（2016湖南株洲第14题）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为 ．
【答案】π．
考点：正多边形和圆；弧长的计算．
8. （2016青海第8题）如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，CO=5cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的面积为 cm2（结果保留π）．
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【答案】500π．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质．
9.（2014·南京） 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径r=2cm，扇形圆心角，则该圆锥母线长l为 ▲ cm.
【答案】6.
【解析】
试题分析：∵圆锥底面圆半径r=2cm， ∴根据圆的周长公式，得圆的周长为
∵侧面展开后所得扇形弧长等于圆的周长，∴扇形弧长.
又∵侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，
∴根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为.
考点：圆锥和扇形的计算．
10. （2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第16题）小杨用一个半径为36cm、面积为324πcm2的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为 cm．
【答案】9.
【解析】
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试题分析：已知扇形的半径为36cm，面积为324πcm2，所以扇形的弧长L==18π，即可得帽子的底面半径=9cm．
考点：圆锥的计算．
11.（2016江苏盐城第14题）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 ．
【答案】8π．
【解析】
试题分析：底面半径是2，则底面周长=4π，圆锥的侧面积=×4π×4=8π．故答案为：8π．
考点：圆锥的计算．
12.（2016贵州铜仁第24题）如图，已知AB是⊙O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA=PC，∠C=30°．
（1）求证：CP是⊙O的切线．
（2）若⊙O的直径为8，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
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考点：切线的判定；扇形面积的计算．
13.（2016辽宁葫芦岛第23题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）
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考点：切线的判定；等腰三角形的性质；扇形面积的计算．
14.（2016辽宁沈阳第21题）（2016•沈阳）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．
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【答案】（1）详见解析；（2）．
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考点：切线的性质；弧长的计算．
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