专题39 尺规作图
聚焦考点☆温习理解
1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺
2．基本作图
(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差；
(2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差；
(3)作角的平分线；
(4)作线段的垂直平分线；
(5)过一点作已知直线的垂线．
3．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
4．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型
6．作图的一般步骤
尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；
(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；
(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，
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问题有一个解、多个解或者没有解；
(6)结论：对所作图形下结论．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、画三角形
【例1】(鞍山)如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B.(在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法)
【答案】作图见解析
考点：作图—复杂作图．
【点睛】(1)作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形；
(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．
【举一反三】
已知：线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）．
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【答案】作图见解析.
考点：作图—基本作图．
考点典例二、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图
【例2】(2014·怀化)两个城镇A，B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．
【答案】作图见解析.
【解析】
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考点：作图—应用与设计作图．
【点睛】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．
【举一反三】
（2016河北第10题）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧，将弧于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是（ ）
第10题图
A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC·AH D．AB=AD
【答案】A.
【解析】
试题分析：由作法可得BH为线段AD的垂直平分线，故答案选A.
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考点：线段垂直平分线的性质.
考点典例三、通过画图确定圆心
【例3】如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A，D两点作⊙O(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)
【答案】
考点：作图—复杂作图．
【点睛】本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆．
【举一反三】
(2016湖北襄阳第7题)如图，在□ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是( )
A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH
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【答案】D.
【解析】
试题分析：由角平分线的作法，依题意可知AG平分∠DAB，A正确；∠DAH＝∠BAH，又AB∥DC，所以∠BAH＝∠ADH，所以，∠DAH＝∠ADH，所以，AD＝DH，又AD＝BC，所以，DH＝BC，B、C正确，故答案选D.
考点：平行四边形的性质；平行线的性质.
课时作业☆能力提升
1. （2016浙江台州第7题）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
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考点：勾股定理；实数与数轴．
2.（2016辽宁营口第8题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（ ）
A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB
【答案】D．
考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
3.（2016黑龙江绥化第5题）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
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考点：剪纸问题；操作型．
4.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( )
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B.
【解析】
试题分析：我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
试题解析：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
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∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．
答案：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
5（2016湖北宜昌第12题）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．△EGH为等腰三角形 B．△EGF为等边三角形
C．四边形EGFH为菱形 D．△EHF为等腰三角形
【答案】B．
考点：线段垂直平分线的性质．
6．如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑)，并直接写出旋转角度是 ．
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【答案】90°．
考点：作图-旋转变换．
7.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为
【答案】105°．
【解析】
试题分析：首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．
试题解析：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵∠B=25°，
∴∠DCB=∠B=25°，
∴∠ADC=50°，
∵CD=AC，
∴∠A=∠ADC=50°，
∴∠ACD=80°，
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∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°
考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：
（1）∠ADE= ；
（2）AE EC；（填“=”“＞”或“＜”）
（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=
【答案】（1）90°；（2）=；（3）7.
考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．
9.（2016四川达州第20题）如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．
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（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．
【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形．
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考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.
10.（2016广东广州第21题）如图，利用尺规，在的边上方做，在射线上截取，连接，并证明：
（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
【答案】详见解析.
考点：尺规作图；平行四边形的判定及性质.
11.（2016湖南怀化第19题）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
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（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）详见解析；（2）BC与⊙P相切，理由见解析.
考点：直线与圆的位置关系；尺规作图.
12.（2016广西河池第21题）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C．
（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于D，（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．
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【答案】（1）作图见解解析；（2）AB=AD=BC．
考点：作图—基本作图；作图题．
13.（2016贵州贵阳第23题）（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=8．
（1）利用尺规，作∠CAB的平分线，交⊙O于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CD，OD，若AC=CD，求∠B的度数；
（3）在（2）的条件下，OD交BC于点E．求出由线段ED，BE，所围成区域的面积．（其中表示劣弧，结果保留π和根号）
【答案】（1）作图见解析；（2）30°；（3）．
【解析】
试题分析：（1）作AP平分∠CAB交⊙O于D；
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考点：作图—基本作图；圆周角定理；扇形面积的计算；作图题．
14.（2016江苏盐城第23题）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°．
（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）
①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；
③连接DA、DC．
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【答案】（1）作图见解析；（2）四边形ABCD是矩形．
【解析】
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考点：作图—基本作图；矩形的判定．
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