专题41 简单事件的概率
聚焦考点☆温习理解
一、确定事件和随机事件
1、确定事件
必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：
在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。
二、频率与概率
1. 概率的概念
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
2. 频率与概率的关系
当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.
三、概率的计算
1. 公式法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝
2. 列表法
当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
3. 画树状图
当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.
4. 几何概型
一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝
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,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.
5. 游戏公平性
判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、事件的分类
【例1】（2016辽宁沈阳第5题）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
【答案】D．
考点：随机事件．
【点睛】该题考查的是对必然事件，随机事件，不可能事件的概念的理解．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【举一反三】
1. （2016湖北武汉第4题）不透明的袋子中装有性状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球
【答案】A.
【解析】
试题分析：已知袋子中有4个黑球，2个白球，可知摸出的黑球个数不能大于4个，摸出白球的个数不能大于2个，A选项摸出的白球的个数是3个，超过2个，是不可能事件。故答案选A
考点：不可能事件的概率.
2. （聊城）下列说法中不正确的是（ ）
A． 抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
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B． 把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件
C． 任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件
D． 一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6
【答案】C．
考点：1.随机事件；2.概率公式.
考点典例二、利用列表法或画树状图求概率
【例2】（2016湖南长沙第18题）若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：由题意作出树状图如下：
一共有36种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”有30种，所以，P=．
考点：列表法与树状图法.
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【举一反三】
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1. （2016河北第23题）（本小题满分9分）
如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4.
图1 图2
第23题图
如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长.
如：若从图A起跳，第一次掷得３，就顺时针连续跳３个边长，落到圈D；若第二次掷得２，就从D开始顺时针连续跳２个边长，落到圈B；……
设游戏者从圈A起跳.
（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；
（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
【答案】(1);(2)详见解析.
（2） 列表如下，
1
2
3
4
1
（1,1）
（2,1）
（3,1）
（4,1）
2
（1,2）
（2,2）
（3,2）
（4,2）
3
（1,3）
（2,3）
（3,3）
（4,3）
4
（1,4）
（2.4）
（3,4）
（4，4）
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所有等可能的结果共有16种，当两次掷得的数字和为4的倍数，即（1,3），（2,2），（3,1），（4,4）时，才可落回A圈，共4种，
∴.
∴一样.
考点：列表法与树形图法.
2. （2016山东威海第21题）一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．
（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
（2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．
【答案】（1）；（2）游戏对甲、乙两人是公平的，理由见解析.
如图所示，共有36种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种，
摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种，
∴P（甲）==，P（乙）==，
∴这个游戏对甲、乙两人是公平的．
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考点：概率公式；游戏的公平性.
考点典例三、计算简单事件的概率
【例3】（2016湖南怀化第20题）甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
（2）求出现平局的概率．
【答案】.
∴出现平局的概率为：．
考点：列表法与树状图法．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【举一反三】
1.（2016浙江宁波第6题）一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外都相同。从中任意摸出一个球，是红球的概率为
A. B. C. D.
【答案】C.
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【解析】
试题分析：根据概率公式可得，摸到红球的概率为，故答案选C.
考点：概率公式.
2.（柳州）如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是（ ）
A． 0.25 B．0.5 C． 0.75 D． 0.95
【答案】C.
考点：列表法与树状图法．
考点典例四、计算等可能事件的概率
【例4】（漳州）如图，有以下3个条件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D.
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考点：列表法与树状图法；平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；命题与定理．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，平行线的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，以及命题与定理，弄清题意是解本题的关键．
【举一反三】
（2016四川达州第6题）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】
试题分析：从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为．故答案选D．
考点：勾股定理的应用；概率.
考点典例五、概率与统计综合题
【例5】（2016湖北十堰第20题）为了提高科技创新意识，我市某中学在“2016年科技节”活动中举行科技比赛，包括“航模”、“机器人”、“环保”、“建模”四个类别（每个学生只能参加一个类别的比赛），各类别参赛人数统计如图：
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请根据以上信息，解答下列问题：
（1）全体参赛的学生共有 人，“建模”在扇形统计图中的圆心角是 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在比赛结果中，获得“环保”类一等奖的学生为1名男生和2名女生，获得“建模”类一等奖的学生为1名男生和1名女生，现从这两类获得一等奖的学生中各随机选取1名学生参加市级“环保建模”考察活动，问选取的两人中恰为1男生1女生的概率是多少？
【答案】（1）60，72；（2）详见解析；（3）.
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考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
【点睛】本题考查了折线统计图、扇形统计图和列表法与树状图法，解决本题的关键是从两种统计图中整理出解题的有关信息，在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【举一反三】
（2016新疆生产建设兵团第18题）某校在民族团结宣传活动中，采用了四种宣传形式：A唱歌，B舞蹈，C朗诵，D器乐．全校的每名学生都选择了一种宣传形式参与了活动，小明对同学们选用的宣传形式，进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了如图两种不完整的统计图表：
选项
方式
百分比
A
唱歌
35%
B
舞蹈
a
C
朗诵
25%
20
D
器乐
30%
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次调查的学生共 人，a= ，并将条形统计图补充完整；
（2）如果该校学生有2000人，请你估计该校喜欢“唱歌”这种宣传形式的学生约有多少人？
（3）学校采用调查方式让每班在A、B、C、D四种宣传形式中，随机抽取两种进行展示，请用树状图或列表法，求某班抽到的两种形式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率．
【答案】（1）300，10%，统计图见解析；（2）700；（3）.
答：估计该校喜欢“唱歌”这种宣传形式的学生约有700人；
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（3）列表如下：
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
AB
BC
BD
C
AC
BC
CD
D
AD
BD
CD
由表格可知，在A、B、C、D四种宣传形式中，随机抽取两种进行展示共有12种等可能结果，其中恰好是“唱歌”和“舞蹈”的有2种，
∴某班抽到的两种形式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率为．
考点：条形统计图；用样本估计总体；列表法与树状图法．
课时作业☆能力提升
1. （梅州）下列事件中是必然事件是( )
A、明天太阳从西边升起 B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中
C、实心铁球投入水中会沉入水底 D、抛出一枚硬币，落地后正面向上
【答案】C.
考点：必然事件.
2. （2016湖南湘西州第15题）在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A.
【解析】
试题分析：先求出总的球的个数，再出摸到红球的概率．
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已知袋中装有6个红球，2个绿球，可得共有8个球，根据概率公式可得摸到红球的概率为；故答案选A.
考点：概率公式.
3. （2016海南省第11题）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
考点：列举法求概率.
4.（2016黑龙江大庆第5题）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，∴取到的是一个红球、一个白球的概率为.故选C.
考点：列表法或树状图求概率.
5. （2016湖北宜昌第6题）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
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【答案】D.
【解析】
试题分析：大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．故答案选D．
考点：事件概率的估计值.
6. （2016内蒙古包头第6题）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
考点：列表法与树状图法．
7.（2016辽宁大连第6题）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：画树状图得：
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由树状图可得共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号的积小于4的有4种情况，所以两次摸出的小球标号的积小于4的概率是．故答案选C．
考点：列表法与树状图法．
8.（2016山东东营第6题）东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】
试题分析：共有20道试题，其中创新能力试题4道，所以从中任选一道试题，选中创新能力试题的概率是＝. 故答案选A.
考点：概率公式.
9. （2016湖南常德第5题）下列说法正确的是（ ）
A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨
C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖
D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
【答案】D．
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奖，也可能不中奖，本选项错误；选项D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，本选项正确．故答案选D．
考点：概率的意义
10.(江苏盐城)一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示的方格地面上，每个小方格形状完全相同，则小鸟落在阴影方格地面上的概率是 ．
【答案】.
考点：几何概率.
11．（2016广西桂林第15题）把一副普通扑克牌中的数字2，3，4，5，6，7，8，9，10的9张牌洗均匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数恰为3的倍数的概率是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：已知数字为3的倍数的扑克牌一共有3张，且共有9张扑克牌，根据概率公式可得抽出的牌上的数恰为3的倍数的概率P==．
考点：概率公式.
11.(2016湖北襄阳第13题)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．通过大量重复摸球试验后,发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 个．
【答案】8.
【解析】
20
试题分析：设红球有x个，根据概率公式可得，解得：x＝8.
考点：概率.
12.（2016湖南娄底第16题）从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个圆形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ．
【答案】.
考点：概率公式.
13.（2016河南第12题）在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，则该班小明和小亮被分在同一组的概率是_________.
【答案】.
【解析】
试题分析：小明和小亮所有分组的情况共16种，小明和小亮被分在同一组的情况有4种，所以小明和小亮被分在同一组的概率为.
考点：概率.
14.（2016辽宁沈阳第18题）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A，B，C依次表示这三个诵读材料），将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．
（1）小明诵读《论语》的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
20
考点:概率.
15. (2016山东潍坊第20题)今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．
评估成绩n（分）
评定等级
频数
90≤n≤100
A
2
80≤n＜90
B
70≤n＜80
C
15
n＜70
D
6
根据以上信息解答下列问题：
（1）求m的值；
（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）
（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．
20
【答案】（1）25；（2）8°48′；（3）．
考点：频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．
16.（2016湖北宜昌第20题）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能）
（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
【答案】(1)不可能事件；（2）.
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考点：列表法与树状图法．
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