专题43 图形的轴对称
聚焦考点☆温习理解
1．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点．
2．图形轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．对应线段、对应角相等．
3．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成．
4. 轴对称与轴对称图形
轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系；
两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、识别轴对称图形
【例1】(2016山东潍坊第2题)下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
【答案】D.
【解析】
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试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可得选项A是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项错误；选项B不是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误；选项C是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项错误；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项正确．故答案选D．
考点：轴对称图形与中心对称图形的概念.
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少1条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合．若能找到，则是轴对称图形；若找不到，则不是轴对称图形．
【举一反三】
1. （2016湖南湘西州第10题）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．等腰三角形 C．矩形 D．正方形
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念可得选项A，平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，错误；选项B，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正确．选项C，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；错误；选项D，正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，错误；故答案选B．
考点：轴对称图形的概念和中心对称图形的概念.
2. （2016广西桂林第5题）下列图形一定是轴对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．直角梯形 D．正方形
【答案】D．
考点：轴对称图形．
考点典例二、作已知图形的轴对称图形
【例2】（厦门）在平面直角坐标系中，已知点A（-3，1），B（-1，0），C（-2，-1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．
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【答案】
考点：作图-轴对称变换．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，得出对应点坐标是解题关键．画轴对称图形，关键是先作出一条对称轴，对于直线、线段、多边形等特殊图形，一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶点等的对称点，就能准确作出图形．
【举一反三】
（2016浙江宁波第20题）（本题8分）下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形。
（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：(1)根据轴对称图形的定义作图即可；(2)根据中心对称图形的定义作图即可；(3)根据轴对称图形的定义作图即可；
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试题解析：
（1）画出下列一种即可：
；
（2）画出下列一种即可：
；
（3）画出下列一种即可：
.
考点：轴对称图形；中心对称图形.
考点典例三、轴对称性质的应用
【例3】如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是
【答案】5.
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考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．
【点睛】求两条线段之和为最小，可以利用轴对称变换，使之变为求两点之间的线段，因为线段间的距离最短．本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．
【举一反三】
（2016山东枣庄第24题）(本题满分10分)
如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=，∠BAD=60°，且AB＞．
⑴求∠EPF的大小；
⑵若AP=8，求AE+AF的值；
⑶若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值.
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第24题图
D
C
E
F
A
B
P
第24题备用图
D
C
A
B
【答案】（1）120°；（2）；（3）AP的最大值为12，AP的最小值为6.
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(3) 如图，当△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动时，点P在，之间运动，易知，，
∴AP的最大值为12，AP的最小值为6.
考点：四边形综合题.
考点典例四、折叠问题
【例4】（2016山东威海第12题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
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A. B． C． D．
【答案】D．
考点：翻折变换；矩形的性质；勾股定理.
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴对称变换前后的图形是全等图形，对应边相等，对应角相等．
【举一反三】
1. （2016湖南常德第15题）如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD= ．
【答案】55°．
【解析】
试题分析：已知四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠BAD=∠C，再由折叠的性质得∠D1AE=∠C，所以∠D1AE=∠BAD，即可得∠D1AD=∠BAE=55°；
考点：平行四边形的性质；折叠的性质.
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2. （2016湖北武汉第14题）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．
【答案】36°.
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD，＝∠DAE＝20°，∠AED，＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．
考点：平行四边形的性质；折叠的性质.
课时作业☆能力提升
1. （2016浙江台州第9题）小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（ ）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【答案】B．
考点：翻折变换（折叠问题）．
2. （2016青海第14题）以下图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
【答案】D．
【解析】
试题分析：选项A有4条对称轴；选项B有6条对称轴；选项C有4条对称轴；选项D有2条对称轴．故选D．
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考点：轴对称图形．
3．（2016湖北宜昌第3题）如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是（ ）
【答案】A．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
4．（2016江苏苏州第17题）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为 ．
【答案】2.
【解析】
试题分析：过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=B′E=BE=2，DF=2,∴GD=B′F=2，∴B′G=DF=2，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，
∴AB′=2．
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考点：1轴对称；2等边三角形.
5.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 ．
【答案】（，）．
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考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．
6. （2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第12题）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】C．
考点：翻折变换（折叠问题）．
7.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF=2．
以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C.
【解析】
试题分析：先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平
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∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
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EF=，（故④正确）；
综上所述，结论正确的有①③④共3个．
故选C．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用；菱形的判定与性质．
8．（2016内蒙古通辽第7题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，折痕为MN，若AB=2，BC=4，那么线段MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
9. （2016山东济宁第9题）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B．
考点：轴对称图形的概念；概率.
10.如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD=，
在Rt△B′BG中，BG===3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
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在Rt△B′DG中，BD===．故BE+ED的最小值为．
考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题．
11.如图 ，在矩形ABCD中 ，AB=10 , BC=5 . 若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点 ，则BM+MN的最小值为（ ）
A. 10 B. 8 C. 5 D. 6
【答案】B
考点：1.矩形的性质；2.轴对称；3.相似三角形的判定与性质.
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12. （2016黑龙江哈尔滨第22题）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；
（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．
【答案】（1）作图见解析；；（2）作图见解析.
考点：1轴对称；2勾股定理.
13.（2016内蒙古包头第25题）如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．
（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；
（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．
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①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=，求的值．
【答案】（1）；（2）①四边形AEMF为菱形，理由详见解析；②；（3）．
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∴AB==5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴=（）2，即（）2=，
∴AE=；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，
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考点：三角形综合题.
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