专题46 图形的相似
聚焦考点☆温习理解
1、比和比例的有关概念：
（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.
（2）第四比例项：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例项.
（3）比例中项：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中项.
（4）黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=AB·BC，AC=；一条线段的黄金分割点有两个.
2.比例的基本性质及定理
（1）
（2）
（3）
3.平行线分线段成比例定理
(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；
(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
4.相似三角形.
相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形
相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
5．相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
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(2)两角对应相等，两三角形相似；
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
(4)三边对应成比例，两三角形相似；
(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
6．相似三角形性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
7．相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
8．位似图形
(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、比例的基本性质、黄金分割
【例1】已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
故选D．
考点：比例的性质．
【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．
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【举一反三】
若4y-3x=0，则
【答案】.
考点：比例的性质．
考点典例二、三角形相似的性质及判定
【例2】（2016湖南怀化第21题）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
【答案】（1）详见解析；（2）正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．
【解析】
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考点：相似三角形的判定与性质．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
【举一反三】
（2016湖北武汉第23题）（本题10分）在△ABC中，P为边AB上一点．
(1) 如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；
(2) 若M为CP的中点，AC＝2，
① 如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；
② 如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．
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【答案】（1）详见解析；（2）①BP＝；②.
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∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，
∴△AP0C∽△MPB，∴，
∴MP∙ P0C＝AP0 ∙BP＝x（－1＋x），
解得x＝
∴BP＝－1＋＝．
考点典例三、相似三角形综合问题
【例3】（2016湖北十堰第24题）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC=3，BC=4，求CE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）.
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（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，
∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴tan∠CFE=tan45°=1．
②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，
由勾股定理得AB=5，
∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，
∴△DCA∽△DBC，
∴，设DC=3k，DB=4k，
∵CD2=DA•DB，
∴9k2=（4k﹣5）•4k，
∴k=，
∴CD=，DB=，
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考点：切线的性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理.
【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用．
【举一反三】
（2016湖北鄂州第22题）（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AO是△ABC的角平分线。以O为圆心，OC为半径作⊙O。
（1）（3分）求证：AB是⊙O的切线。
（2）（3分）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D， tanD＝，求的值。
（3）（4分）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长。
【答案】(1)详见解析；（2）；（3）.
【解析】
试题分析：（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；（2）
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连接CE，证明△ACE∽△ADC可得 = tanD＝；（3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△B0F∽△BAC，得，设BO=y ，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题.
试题解析：⑴证明：作OF⊥AB于F
∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90º
∴OC=OF
∴AB是⊙O的切线
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易证Rt△B0F∽Rt△BAC
得，
设BO=y BF=z
即4z=9＋3y，4y=12＋3z
解得z= y=
∴AB=＋4=
考点：圆的综合题.
考点典例四、相似多边形与位似图形
【例4】（2016辽宁营口第15题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ．
【答案】（4，2）或（﹣4，﹣2）．
考点：作图-位似变换．
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【点睛】本题考查了位似的作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
【举一反三】
（2016湖北十堰第5题）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
【答案】D.
考点：位似变换．
课时作业☆能力提升
1. （2016黑龙江哈尔滨第9题）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】
试题分析： ∵DE∥BC，∴（平行线分线段成比例）.故选A.
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考点：平行线分线段成比例.
2. （2016山东东营第8题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．（―1，2） B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2）
【答案】D.
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考点：位似变换.
3. （2016湖南湘西州第17题）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】D．
考点：相似三角形的判定与性质．
4. （2016河北第15题）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
第15题图
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【答案】C.
【解析】
试题分析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。选项Ｃ项不能判定两个三角形相似，故答案选C.
考点：相似三角形的判定.
5. （2016新疆生产建设兵团第7题）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（ ）
A．DE=BC B． C．△ADE∽△ABC D．S△ADE：S△ABC=1：2
【答案】D.
考点：相似三角形的判定及性质.
6. （2016湖北随州第7题）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
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A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【答案】B.
【解析】
试题分析：由DE∥AC可得△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，根据相似三角形的性质可得DE:AC=BE:BC=1:5,所以BE:EC=1:4,即S△BDE与S△CDE的比是1：4，故答案选B．
考点：相似三角形的判定与性质．
7. （2016湖南湘西州第17题）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】D．
考点：相似三角形的判定与性质．
8. （2016湖南衡阳第16题）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为 ．
【答案】5：4．
【解析】
试题分析：已知△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，可得△ABC与△DEF的相似比为5：4；即可得△ABC与△DEF的周长之比为5：4．
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考点：相似三角形的性质.
9. （2016辽宁沈阳第16题）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是 ．
【答案】或．
考点：三角形综合题.
10. .（2016新疆第13题）如图所示，△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，且满足==，则△AEF与△ABC的面积比是 ．
【答案】1：9.
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【解析】
试题分析：∵==，∴==.又∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的面积比是1：9.
考点：相似三角形的判定与性质.
11. （2016湖南娄底第14题）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【答案】∠B=∠DEF（答案不唯一，符合要求即可）
【解析】
试题分析：已知∠A=∠D，当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，因为AB∥DE时，∠B=∠DEF，添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
考点：相似三角形的判定．
12. （2016内蒙古巴彦淖尔第7题）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（ ）
A．30 B．27 C．14 D．32
【答案】A．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
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13.（凉山州）在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB= ．
【答案】或．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．
14.（辽宁沈阳）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB：DE= ．
【答案】2：3．
【解析】
试题分析：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF面积==，∴AB：DE=2：3，故答案为：2：3．
考点：位似变换．
15.（2016福建南平第21题）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥
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AB，垂足为E，求线段DE的长．
【答案】4．
考点：相似三角形的判定与性质．
16. （2016福建莆田第25题）若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，各边上的高分别记为，，，各边上的内接正方形的边长分别记为，，．
（1）模拟探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形，求证：；
（2）特殊应用：若∠BAC=90°，==2，求的值；
（3）拓展延伸：若△ABC为锐角三角形，b＜c，请判断与的大小，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）＞．
【解析】
试题分析：（1）先根据EH∥FG，判定△AEH∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例，列出比例式变形即可得到；
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（2）先根据（1）中的结论得出，再将=c和=2代入变形，即可求得的值；
考点：三角形综合题；相似三角形的判定与性质；探究型；和差倍分；压轴题．
17．（山东泰安，第27题）（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
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【答案】（1）证明见试题解析；（2）．
【解析】
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．综合题．
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