26．2 实际问题与反比例函数
知识与技能
1．能灵活运用反比例函数解决一些实际问题．
2．分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
过程与方法
会用反比例函数知识分析、解决实际问题．
情感、态度与价值观
渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力．
重点
会用反比例函数知识分析、解决实际问题．
难点
分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式．
一、复习导入，教授新课
问题：
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下挖进多深？
(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15 m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要？(保留两位小数)
我们知道圆柱的容积是底面积×高，而现在容积一定为104 m3，所以S·d＝104.
变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系式，即S＝，所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数．
根据函数S＝，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，知道S的一个值，也可求出d的值．
根据S＝，得500＝，解得d＝20，即施工队施工时应该向下挖进20米．
根据S＝，把d＝15代入此式，得
S＝≈666.67(m2)．
当储存室的深为15 m时，储存室的底面积应改为666. 67 m2才能满足需要．
二、例题讲解
例1 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．
(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得
k＝30×8＝240，
所以v关于t的函数解析式为
v＝.
(2)把t＝5代入v＝，得
v＝＝48(吨)．
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨．对于函数v＝，当t>0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．
例2 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m.
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
解：(1)根据“杠杆原理”，得
Fl＝1 200×0.5，
所以F关于l的函数解析式为
F＝.
当l＝1.5 m时，
F＝＝400(N)．
对于函数F＝，当l＝1.5 m时，F＝400 N，此时杠杆平衡，因此，撬动石头至少需要400 N的力．
(2)对于函数F＝，F随l的增大而减小．因此，只要求出F＝200 N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．
当F＝400×＝200时，由200＝得
l＝＝3(m)，
3－1.5＝1.5(m)．
对于函数F＝，当l>0时，l越大，F越小．因此，若想用力不超过400 N的一半，则动力臂至少要加长1.5 m.
例3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110 Ω～220 Ω.已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示．
(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？
(2)这个用电器功率的范围是多少？
解：(1)根据电学知识，当U＝220时，得
P＝. ①
(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．把电阻的最小值R＝110代入①式，得到功率的最大值
P＝＝440(W)；
把电阻的最大值R＝220代入①式，得到功率的最小值
P＝＝220(W)．
因此用电器功率的范围为220W～440W.
三、巩固练习
1．京沈高速公路全长658 km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为________．
答案 t＝
2．一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数．当V＝10 m3时，ρ＝1.43 kg/m3.(1)求ρ与V的函数关系式；(2)求当V＝2 m3时氧气的密度ρ.
答案 (1)ρ＝，当V＝10 m3时，ρ＝1.43 kg/m3，所以m＝ρV＝10×1.4＝14.3，所以ρ＝；(2)当V＝2 m3时，ρ＝＝7.15(kg/m3)．
四、课堂小结
本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，抽象出数学模型，逐步形成解决实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象帮助分析问题，渗透数形结合的思想．
本节体现了反比例函数是解决实际问题的有效的数学模型的思想．创设问题情境，激发学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性，让学生经历“问题情境→建立模型→拓展应用”的过程，培养学生善于发现问题、积极参与学习的能力，培养学生的数学应用意识，充分激发学生的潜能．
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