第二十九章 投影与视图
本章的主要内容包括：
1．投影的基础知识，包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概念以及正投影的成像规律．
2．视图、三视图等概念，三视图的位置和度量规定，一些基本几何体的三视图，简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化．
全章共包括三节：29.1投影；29.2三视图；29.3课题学习 制作立体模型．
第一节首先从物体在日光或灯光下的影子说起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念；然后讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规律；最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同的位置关系时的正投影．可以发现，整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的．
第二节讨论的重点是三视图，其中包括三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定、一些基本几何体的三视图等，最后通过例题讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化．这一节是全章的重点内容，它不仅包括了有关三视图的基本概念和规律，而且包括了反映立体图形和平面图形的联系与转化的内容，与培养空间想象能力有直接的关系．
第三节安排了观察、想象、制作相结合的实践活动——“课题学习 制作立体模型”，这是结合实际，动脑与动手并重的学习内容，进行这个课题学习既可以采用独立完成的形式，也可以采用合作学习的方式．应该把这个课题学习看作是对前面学习的内容是否切实理解并掌握以及能否灵活运用的一次联系实际的检验．
本章内容与其他章有较为明显的区别，它与直观图形的关系密切，需要在图形形状方面进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图、制作模型等类型的问题，而很少涉及定量的计算．
1．以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质．
2．通过讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化使学生经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力．
3．通过制作立体模型的课题学习，在实际动手的过程中进一步加深对投影和视图知识的认识，加强在实践活动中手脑结合的能力．
本章教学约需5课时，具体分配如下：
29．1 投影2课时
29．2 三视图2课时
29．3 课题学习 制作立体模型1课时
29．1 投影
第1课时 投影(1)
知识与技能
1．经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念．
2．了解平行投影和中心投影的区别．
过程与方法
使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识．
情感、态度与价值观
理解现实生活中影子的现象，学会用数学知识解答．
重点
理解平行投影和中心投影的特征．
难点
在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影．
一、问题引入
你看过皮影戏吗？皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲，表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．你知道皮影戏所用的原理吗？
二、新课教授
问题1.如图所示的图片是物体在生活中的几个图片，请同学们考虑它们是怎样得到的．
教师出示图片，引导学生观察图片的形成，让学生感受在日常生活中的一些投影现象．
师生共同总结，一起感受．物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子，它既与物体的形状有关，也与光线的照射方式有关．
问题2.通过观察和自己的认识，你是怎样理解图片的含义的？
师生共同总结：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
问题3.请同学们观察下图的投影过程，它们的投影过程有什么不同？
师生活动：
教师引导学生从两个方面考虑，第一，观察光线的特点；第二，观察照射的方式．
结论：图(1)中的投影线集中于一点，由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．例如，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影．
图(2)、(3)中，投影线是互相平行的射线，由平行光线形成的投影是平行投影．例如，物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影．
问题4.请观察问题3中的图，说说平行投影和中心投影有什么相同点与不同点？
教师出示表格，要求学生完成．
平行投影与中心投影的区别与联系：
区别
光线
物体与投影面
平行时的投影
联系
平行
投影
平行的
投影线
全等
中心
投影
从一点发出
的投影线
放大
都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子．(即都是投影)
三、例题讲解
例 (1)地面上直立一根标杆AB，如图，杆长为2 cm.
①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？画出投影示意图．
(2)一个正方形纸板ABCD和投影面平行(如图)，投影线和投影面垂直，点C在投影面的对应点为C′，请画出正方形纸板的投影示意图．
(3)下面两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影，请在图中画出形成投影的光线．它们是平行投影还是中心投影？说明理由．
解：(1)①一点 ②线段(图略)
(2)图略
(3)分别连接标杆的顶端与投影上的对应点，很明显，图(1)的投影线互相平行，是平行投影．图(2)的投影线相交于一点，是中心投影．
四、巩固练习
1．圆形的物体在太阳光的投影下是( )
A．圆形
B．椭圆形
C．线段
D．以上都有可能
答案 D
2．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下( )
A．小明的影子比小强的影子长
B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
答案 D
五、课堂小结
1．物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影．
2．由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．
3．太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
4．物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变．
本节课我让学生通过实践、观察、探索了解平行投影、中心投影的含义，学会辨别光源是太阳光线还是灯光光线，学会进行中心投影条件下的物体与其投影之间的相互转化，感悟灯光与影子在现实生活中的应用价值．
第2课时 投影(2)
知识与技能
了解正投影的概念；能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影．
过程与方法
培养动手实践能力及空间想象能力．
情感、态度与价值观
学会观察，理解原理，增强自信心．
重点
理解正投影的含义并能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影．
难点
归纳出正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．
一、复习引入
1．回忆复习平行投影、中心投影的概念．
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影；太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
2．下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影，其中哪个是平行投影，哪个是中心投影？
图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)、(3)中，投影线互相平行，形成平行投影．
二、新课教授
问题1.图(2)、(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别？
教师出示图片，引导学生观察图片的特征．
结论：图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)．
指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影；如果投射线不垂直于投影面，那么这种投影就称为斜投影．
问题2.通过学习，我们对投影应如何分类？
物体投影
探究1.
如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同的位置：
(1)铁丝平行于投影面；
(2)铁丝倾斜于投影面；
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点)．
三种情形下，铁丝的正投影各是什么形状？
通过观察，我们可以发现：
(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB＝A1B1；
(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB>A2B2；
(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3.
探究2.
如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置：
(1)纸板平行于投影面；
(2)纸板倾斜于投影面；
(3)纸板垂直于投影面．
结论：
(1)当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小一样；
(2)当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小发生变化；
(3)当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为一条线段．
归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
三、例题讲解
例 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．
(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P，如图(1)；
(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P，如图(2)．
解：(1)如图，正方体的正投影为正方形A′B′C′D′，它与正方体的一个面是全等关系；
(2)如图，正方体的正投影为矩形F′G′C′D′，这个矩形的长等于正方体的底面对角线的长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、下两边中点的连线A′B′是正方体侧棱即它所对的另一条侧棱AB的投影．
四、巩固练习
1．(1)在一天中，从早晨到傍晚物体的影子由正西向________、________、________和正东方向移动；
(2)如图是小明在学校时上午、下午看到的学校操场上的旗杆的影子的俯视图，将它们按时间顺序进行排列为________．
答案 (1)西北 正北 东北 (2)C，D，B，A
2．如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )
答案 D
五、课堂小结
1．在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影；如果投射线不垂直于投影面，那么这种投影就称为斜投影．
2．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
3．投影的分类：
物体投影
本节课首先探究正投影的概念，然后以铁丝和正方形纸板的影子为例，讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规律．最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同位置关系时的正投影．可以发现，整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的.
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