教学设计
1．1.1 柱、锥、台、球的结构特征
整体设计
一、教学目标
1．知识与技能
(1)通过实物操作，增强学生的直观感知．
(2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类．
(3)会用语言概括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征．
(4)会表示柱、锥、台的分类．
2．过程与方法
(1)让学生通过直观感知空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的结构特征．
(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识．
3．情感、态度与价值观
(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．
(2)培养学生的空间想象能力和抽象概括能力．
二、教学重点、难点
重点：让学生通过感知空间实物及模型，概括出柱、锥、台、球的结构特征．
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括．
三、教学方法
提出问题，让学生观察空间实物及模型，先独立思考空间几何体的结构特征，再相互讨论、交流，最后得出完整结论.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
1.小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间上研究过哪些？
2．你能根据某种标准对下列几何体进行分类吗？(展示具有柱、锥、台、球结构的空间物体)
1.学生回忆，相互交流，教师及时对学生给予评价．
2．教师对学生分类进行整理．分类一按多面体和旋转体分类；分类二按柱、锥、台、球分类.
以旧导新
续表
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
棱柱的结
观察教材中图(2)、(5)、(7)、
在归纳的过程中，可
从分析具体棱柱的特
构特征
(9)，它们各自的特点是什么？
引导学生从围成几何体的面的特征去观察，从而得出棱柱的主要结构特征．
1．有两个面互相平行；
2．其余各面都是平行四边形；
3．每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
引出棱柱概念之前，应注意对具体的棱柱的特点进行充分分析，让学生能够经历共同特点的概括过程．在得到棱柱的结构特征后师生共同归纳棱柱定义，并结合图形认识棱柱的有关概念.
点出发，通过概括共同特点得出棱柱的结构特征．
【例1】 如图，过BC的截面截去长方形的一角，所得的几何体是不是棱柱？
解析：以A′ABB′和D′DCC′为底即知所得几何体是棱柱．
【例2】 观察螺杆头部模型，有多少对平行的平面？能作为棱柱底面的有几对？
解析：略
教师投影例1并读题．
有的学生可能会认为不是棱柱，因为如果选择上下两平面为底，则不符合棱柱结构特征的第二条．
引导学生讨论：如何判定一个几何体是不是棱柱？
教学时应当把学生的注意力引导到用概念进行判断上来，即看所给的几何体是否符合棱柱定义的三个条件．
教师投影例2并读题．
教师引导学生分析得出，平行平面共有四对，但能
通过改变棱柱放置的位置(变式)，引导学生应用概念判别几何体．加深对棱柱结构特征的认识.
作为棱柱底面的只有一对，即上下两个平行平面．
引导学生探究：棱柱的哪些平行的面能作为底面，此时侧面是什么？哪些平行的平面不能作为底面？
棱锥的结构特征
1.观察教材中图(14)、(15)，它们有什么共同特征？
2．请类比棱柱、得出相关概念，分类及表示方法.
学生进行观察、讨论、然后归纳，教师注意引导，整理．得出棱锥的结构特征，有关概念、分类及表示方法．
棱锥的结构特征：
1．有一个面是多边形．
2．其余各面都是有一个公共点的三角形.
从分析具体棱锥出发，通过概括棱锥的共同特点，得出棱锥的结构特征.
续表
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
棱台的结构特征
1.观察教材中图(13)、(16)，思考它们可以怎样得到？有什么共同特征？
2．请仿照棱锥中关于侧面、侧棱、顶点的定义，给棱台相关概念下定义.
教师在学生讨论中可引导学生思考棱台可以怎样得到，从而得出棱台的结构特征．
用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分.
突出棱台的形成过程，把握棱台的结构特征．
圆柱的结构特征
观察图中的几何体及得到该几何体的方法，思考它与棱柱的共同特点，给它定个名称并下定义．
教师演示，学生观察，然后学生给出圆柱的名称及定义，教师给出侧面、底面、轴的定义．
突出圆柱的形成过程，把握圆柱的结构特征．
以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．
圆柱和棱柱统称为柱体.
圆锥的结构特征
1.观察下面的几何体及得到该几何体的方法，思考它与棱锥的共同特点，给它定个名称并下定义．
2．能否将轴改为斜边？
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．
圆锥与棱锥统称为锥体.
突出圆锥的形成过程，把握圆锥的结构特征．
圆台的结构特征
下面的几何体称为圆台，请思考圆台可以用什么办法得到？请在教材图1.19上标上圆台的轴、底面、侧面、母线．
学生1：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．
学生2：以直角梯形，垂直于底面的腰为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体．(教师演示)
师：棱台与圆台统称为台体.
开放性设计，学生推理与教师演示结合，培养学生思维发散性与灵活性，加深学生对概念的理解.
续表
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
球的结构特征
观察球的模型，思考球可以用什么办法得到？球上的点有什么共同特点．
学生1：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．(教师演示)
学生2：球上的点到球心的距离等于定长．
开放性设计，学生推理与教师演示结合，培养学生思维发散性与灵活性，加深学生对概念的理解．
教师讲解球的球心、半径、直径、表示方法.
归纳总结
简单几何体的结构特征及有关概念.
学生总结，然后教师补充.
回顾反思、归纳知识、提升学生分析、整合能力．
课后作业
习题1.1
学生独立完成
巩固知识
提升能力
备用例题
1下列命题中错误的是( )
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
解析：圆锥的母线长相等，设为l，若圆锥截面三角形顶角为α，圆锥轴截面三角形顶角为θ，则0＜α≤θ.当θ≤90°时，截面面积S＝l2sin α≤l2sin θ.当90°＜α≤θ＜180°时．截面面积S≥l2·sin θ，故选B.
答案：B
2根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．
(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；
(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形．
分析：要判断几何体的类型，首先应熟练掌握各类几何体的结构特征．
解：(1)如图1，该几何体满足有两个面平行，其余六个面都是矩形，可使每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．
图1 图2
(2)如图2，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台．
点评：
对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要对原平面图形作适当的分割，再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断．
3把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长是10 cm，求圆锥的母线长．
分析：画出圆锥的轴截面，转化为平面问题求解．
解：设圆锥的母线长为y cm，圆台上、下底面半径分别是x cm、4x cm.
作圆锥的轴截面如图．在Rt△SOA中，O′A′∥OA，
∴SA′∶SA＝O′A′∶OA，即(y－10)∶y＝x∶4x.∴y＝13.
∴圆锥的母线长为13 cm.
点评：圆柱、圆锥、圆台可以看作是分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体，其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面．
附：
1．1.1 柱、锥、台、球的结构特征
第1课时
作者：陈伟丽，路桥中学教师，本教学设计获浙江省教学设计大赛一等奖
整体设计
设计思想
立体几何初步是几何学的重要组成部分，也是新课程改动较大的内容之一．《空间几何体的结构》是新课程立体几何部分的起始课程，是立体几何课程的重要内容，根据新课程的要求，这一部分的教学，就是加强几何直观的教学，适当进行思辨论证，引入合情推理．基于这样的要求，《空间几何体的结构》一课的设计，笔者以培养学生的几何直观能力，抽象概括，合情推理能力，空间想象能力为指导思想，运用建构主义教学原理，用观察实物抽象出空间图形——用文字描述空间图形——用数学语言定义空间图形这三部曲来构建课堂主框架．每一个概念的得出都与实物相结合，让学生经历观察、归纳、分类、抽象、概括这一过程．整个设计从增强学生参与数学学习的意愿入手，在学生明确学习任务的基础上，在有序列地解决问题中展开学习，运用激活、展示、应用和整合策略，以师、生、文本三者间的多维对话
为手段，最终达到提高学生参与数学学习能力的目标，取得教学的实效性．过程中让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生合作学习的意识．
教材分析
空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用．与传统的立体几何体系相比，人教A版对立体几何的体系结构作了重大改革．以往立体几何先研究点、直线、平面，再研究由它们构成的几何体，新课程则从对空间几何体的整体观察入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面．这种安排降低了立体几何学习入门难的门槛，强调几何直观，淡化几何论证，可以激发学生学习立体几何的兴趣．
本节课《空间几何体的结构》选自普通高中课程标准实验教科书《数学》人教A版必修2第一章的第一节，课标对空间几何体的结构的教学要求为：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，发展几何直观能力．教材首先让学生观察现实世界中实物的图片，引导学生将观察到的实物进行归纳、分类、抽象、概括，得出柱体、锥体、台体的结构特征，在此基础上给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征．《省学科教学指导意见》将这一节内容安排为两课时，笔者设计的是第一课时，本节内容在义务教育数学课程“空间与图形”已有所涉及，但要求不同，素材更为丰富，即区别在于学习的深度和概括程度．笔者认为教学时，不能认为这部分的要求是降低了，讲课时一带而过，要领会新课标的意图，加强几何直观的训练，在引导学生直观感受空间几何体结构特征的同时，学会类比，学会推理，学会说理．
学情分析
学生在义务教育阶段学习“空间与图形”时，已经认识了一些具体的棱柱(如正方体、长方体等)，对圆柱、圆锥和球的认识也比较具体，能从具体的物体抽象出相应的几何体模型，但没有学习柱体、锥体的定义，只停留在“看”的层面．本节课对它们的研究更为深入，给出了它们的结构特征．同时，还学习了棱台的有关知识，比义务教育阶段数学课程“空间与图形”部分呈现的组合体多，复杂程度也加大．学生在学习本课时，通过观察实物抽象出空间图形是容易的，但要上升到用数学语言定义空间图形就比较困难．所以笔者让学生在课前先做一些柱体、锥体、台体的模型，教学过程中，每一个空间图形的定义，都通过学生观察他们自己所做的模型，结合教师、教材提供的图片，再讨论得出．
教学目标
1．知识目标：由学生对棱柱、棱锥、棱台的图片及实物进行观察、比较、分析，使学生理解并能归纳出棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2．能力目标：在棱柱、棱锥、棱台的概念形成的过程中，培养学生的观察、分析、抽象概括能力，几何直观能力，合情推理能力，及类比的思想方法，逐步培养探索问题的精神，善于思考的习惯．
3．情感目标：通过创造情境激发学生学习数学的兴趣和热情，鼓励合作交流、互助交流，培养创新意识．
重点难点
1．教学重点：感受大量空间实物及模型，概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2．教学难点：如何让学生概括棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
教学方法与手段
1．教学方法：启发式教学法、对话式教学法．
2．教学手段：多媒体，实物模型．
课前准备
1．学生的学习准备：课前学生预习过本节课的内容，自制柱、锥、台的几何模型教具．
2．教师的教学准备：较多的物体模型，本节课的教学课件．
教学过程
1．创设情境，激趣入题
(1)利用多媒体出示大量的世界经典建筑物的图片(包括章头图)，引导学生领悟章头图和章引言的重要性，并明确几何学研究的内容，几何学在数学研究和数学应用中的地位和作用，本章要学习的内容，及如何去学习本章的内容．
(2)给出大量的生活中常见的物体的图片，结合这些幻灯片给出空间几何体的概念：如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．并指出：本节课主要从结构特征方面认识一些最基本的空间几何体．
设计意图：作为一章的起始课，重视编者精心打造的章头图和章引言，充分发挥它的价值，荷兰数学教育家弗莱登塔尔曾经说过；“数学是现实的，学生应从现实生活中学数学，再把学到的数学用到现实中去”．希望通过这一环节的设计，让学生有一种放眼世界的胸怀，体会到数学与生活是密不可分的，并能激起学习的兴趣和热情．
2．提出问题，探索新知
问题1：同学们能否将图1中的16个物体进行分类？(要求从物体的结构特征方面考虑)
图1
考虑到学生对结构和特征的概念比较模糊，教师给出汉语词典中结构与特征的描述，并结合图片中的图(1)和图(2)进行解释，学生在经过提示后，较快、较好地解决了问题．在此基础上引领学生概括出共性的结论，从而得出多面体和旋转体的定义，并一起得出相关的概念．其中对于旋转体的分析，借助于多媒体，进行动画演示，以使学生对概念理解得更透彻．
设计意图：借助具体的实物图及实物，引导学生主动地对图形及实物进行观察、分析、比较，并由图形的特点进行分类，根据不同类别图形的特点，抽象概括出多面体和旋转体的定义，培养学生的观察、分类、概括的能力．
教师：刚才我们将这张图片中的物体形状较粗地进行了分类，我们知道分类越细，事物就具有更明显一致的共性，几何的研究这样，整个数学的研究也如此，接下来我们再对刚才图片中总结出的多面体进行研究，探索，分类．
问题2：请同学们观察图2四个多面体，再结合你们自制的模型，发现它们有何特征呢？
图2
经过学生的观察、讨论，得出它们具有三个特征：①有两个面互相平行，②其余各面都是四边形，③每相邻两个四边形的公共边都互相平行，教师指出具有这三个特征的多面体叫做棱柱．得出定义后，师生共同研究棱柱的相关定义：棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点，棱柱的表示，棱柱的分类．(教师板演这块内容)
设计意图：通过对实物的观察、比较、分析，进一步感知多面体的定义，通过对棱柱定义的抽象概括，结构特征的分析，掌握分类的原则，从中培养几何直观能力，分析、解决问题的能力．
3．设计问题，深化概念
问题1：如图3，一个长方体，你能说出它的底面吗？
教师：同一个几何体由于所选平行平面的不同，得出的结论也不同．定义中有两个面平行中“有”的含义：存在，不一定唯一．
图3
问题2：如图4，长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中FG∥A′D′，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？
图4
你能说出它们的名称吗？
一部分学生回答不是棱柱，但在另一部分学生的提示下，得出了正确答案：分别是五棱柱和三棱柱．
教师：判定一个几何体是否为棱柱的思路：选定一组平行平面后，按定义考查其他条件．若条件满足，可下肯定结论；若不满足，不要急于否定结论，可再选另一组平行平面，按定义再次验证．
总之，观察问题一定要周到、仔细、全面．
问题3：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？
此题较难，学生不易想到，在他们思索一会儿，举不出反例的情况下，教师给出图5的反例，让学生讨论．
图5
设计意图：考虑到学生的基础较好，设计了三个问题让学生深入理解棱柱的概念，在培养合情推理能力的同时，适当进行思辨论证．
4．类比学法，合作交流
在对棱柱的定义有了较为深刻的认识后，教师提供图片和实物，将棱锥、棱台的结构特征这部分的内容放手给学生自行完成，让学生类比棱柱结构特征的研究，通过合作学习，自主探索出棱锥和棱台的结构名称、分类标准及表示方法，培养学学生自主学习、合作交流的能力．经过一定时间的观察、分析、讨论、交流，学生作探讨后的汇报，教师及时点评，得出棱锥和棱台的结构名称、分类标准及表示方法，并将内容进行板演．
之后教师给出以下两名人对类比的描述，强调类比思想的重要性．
开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密．”
波利亚曾指出：“类比是一个伟人的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”
【设计意图】通过学生对图片和实物的观察、分析、比较，类比棱柱的联系与区别，得出棱锥和棱台的结构特征，培养学生的自主学习能力，独立思考的习惯，通过比较学习，便于知识的建构．借助名人名言，适当渗透人文主义精神．
5．应用整合，强化新知
1下面图形中，为棱锥的是__________．
图6
教师：判断的标准是定义．
2判断下列几何体是不是棱台，并说明为什么．
图7
教师：由棱台的定义我们可以得到：①棱台的下底面>上底面；②棱台的所有侧棱延长后交于一点．③树立“还台为锥”的意识．
设计意图：深化棱锥、棱台的概念．
6．设置探究、感悟哲学
探究：棱台与棱柱、棱锥都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？
经过学生的讨论，得结论：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，从相互联系的观点看：棱台的上底面扩大，使上下底面全等，就得到棱柱；棱台的上底面缩小为一个点，就得到棱锥．
图8
教师在学生分析过程中，借助几何画板动画演示，并指出：这三者之间的关系，也渗透了哲学思想：量变到质变．棱锥的上底面的慢慢变大，量慢慢在增加，增到一定程度，变成台，柱，质也发生了变化，而我们人的学习就是一个量变到质变的过程，从幼儿园，小学，初中，高中，我们的人生观，我们个人的素质随着不断学习在发生变化，数学的学习又何尝不是如此，现在有的同学觉得自己学数学没信心，要树立信心，要努力学习，不断思考，增加自己数学学习的经验，慢慢的你的成绩会上来，最关键的是你的数学素养会提升，你的思维能力会提高．
【设计意图】 一是引导学生用运动、变化、联系的观点看待我们所研究的柱体、锥体和台体，二是通过在直观感知方式的基础上，适当进行一些合情推理、思辨论证，通过对空间图形的认识，培养和发展学生的空间想象能力，三是渗透人文主义精神．
7．谈谈感受，归纳整理
让学生充分讨论并发表自己的意见，师生共同交流、总结．
1．知识方面：①多面体和旋转体的定义
②棱柱、棱锥、棱台的结构特征
③棱柱、棱锥、棱台三者的联系
2．能力方面：几何直观能力的培养，口头表达能力的培养，合情推理能力的培养，思辨论证能力的培养．
3．思维：我们从图形的逐次分类中，感受了怎么去处理事物，更清晰地形成处理事物的方法，怎么去分类，明确了事物分得越细，它们所具有的共性更一致，而且在这个过程中，我们的思维经历了几个层次的变化：从整体到局部，从具体到抽象，从形象思维到逻辑思维．
教师：数学家迪摩根说过：“数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥．”而想象力在几何上的一个表现就是直观能力，是归纳、类比的合情推理能力．这节课我们一直沉静在这些能力培养的氛围中，希望同学们在今后的学习中注重这些能力的培养．
【设计意图】 通过对本节课的小结，让学生构建自己的知识结构．
板书设计
§1.1.1空间几何体的结构(一)
1．多面体和旋转体
2．棱柱、棱台、棱锥的结构特征
名称 定义 图形 相关概念 表示 分类
棱柱 ①
②
③
棱锥
棱台
3．棱柱、棱台、棱锥的关系
作业设计
(1)习题1.1A组第1题，
(2)预习下节课内容．
教学反思
1．设计的优点：
(1)问题情景体现人文底蕴
众多建筑图片的展示是对世界文化遗产的关注，也是对科学精神的弘扬，众多生活中物体图片的展示，让学生感受到数学就在我们的身边，感受到数学与生活的密不可分，教学中穿插的德育教育，哲学思想的渗透，无不体现人文主义．
(2)多媒体的合理使用
信息技术在立体几何教学中主要有以下几方面的作用：①通过现代信息技术，如计算机、网络等展示丰富的图片，让学生感受大量的实物，抽象出空间几何体及其结构特征．②运用现代信息技术和有关软件，制作一些课件，如动态演示空间点、直线、平面之间的位置关系，以及空间中的平行与垂直关系等等．以往的立体几何的教学，是通过教师的讲解和学生的空间想象认识几何体和理解知识，造成了学生学习立体几何难．信息技术与立体几何的整合使教师通过课件带给了学生看得见的几何图形，知识的理解和接受不再是空洞无味，而是形象直观，同时也让学生走进立体几何．本节课借助于多媒体，使得学生学习空间几何体更加形象具体，学习积极性很高．
(3)突出以几何直观能力为主的各方面能力的培养
课前笔者要求学生自己制作出柱体、锥体、台体的模型，在制作过程中学生建立了较强的空间感，在知识的学习过程中学生体会到几何体的构造及生成过程，这些过程如同让学生真正地进入了立体空间，学生可以从不同的角度观察所作的几何体，在所制做出来的立体图形中穿行，这增加了学生学习立体几何的兴趣，学生自己制做立体图形，也能激发他们的成就感．教学中，笔者对于柱、锥、台的结构特征的获得一直引导学生要观察手中的模型，通过模型与图片的观察得出定义，让学生在发现中获取，在创造中学习，在成功中升华．
(4)给学生充分探索和交流的机会，促进自主、合作式学习方式的形成．
保罗·弗莱雷(P.Freire)指出：“没有了对话，就没有了交流；没有了交流，也就没有真正的教育”．在新课程背景下的课堂教学本身就是一种对话的过程，就是引导学生与客观世界对话；与他人对话；与自我对话并且通过这种对话，形成一种活动性的、合作性的、反思性的学习．本设计在具体的实践过程中，一直灌输这一思想，每一个定义的得出，每一个问题的解决，都经过生生，师生的对话．在这个过程中，强化了学生在数学学习过程中的主体地位，突出自主、合作式学习方式，如棱锥、棱台结构特征的学习，给学生留有充分的思考与交流的时间和空间，让学生经历观察、实验、猜测、验证、推理、交流、反思等活动，为改进数学学习方式提供必要的保证．
2．一点建议
教材所有图片中出现的棱柱图片都是直棱柱，这使学生对棱柱的概念的理解，容易造成误解，建议人教社放些斜棱柱的图片，以使学生对棱柱的理解更到位．
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