教学设计
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
整体设计
教学分析
本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积．
接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识．教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展开图是由梯形组成的平面图形．这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题．
教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题．教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学．值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系．由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例．这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下．
关于体积的教学．我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积．这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题．度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和．体积相等的两个几何体叫做等积体．相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同．体积公式的推导是建立在等体积概念之上的．
柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题．虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系．教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论．
与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系．实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的．这样，在台体的体积公式中，令S′＝S，得柱体的体积公式；令S′＝0，得锥体的体积公式．
值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系．本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题．如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图．对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力．
三维目标
1．了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆)，提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣．
2．掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力．
重点难点
教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式及其应用．
教学难点：表面积和体积计算公式的应用．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？(引导学生回忆，互相交流，教师归类)几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？
思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物．在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜．胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？
推进新课
新知探究
提出问题
①在初中棳我 们已经学习了正方体和长方体的表面积棳以及它们的展开图(图1)，你
知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗?
正方体及其展开图 长方体及其展开图
(1) (2)
图1
②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？
④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′，r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？
⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？
活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式．
②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和．
③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状．
④学生思考圆台的侧面展开图的形状．
⑤提示学生用动态的观点看待这个问题．
讨论结果：
①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和．因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积．
②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和．
③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得．其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形．
我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形(图2)．如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2，侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．
图2 图3
圆锥的侧面展开图是一个扇形(图3)．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l
，那么它的表面积S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法．
④圆台的侧面展开图是一个扇环(图4)，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)．
⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：
圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体．圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：
图4
S圆柱表＝2πr(r＋l)S圆台表＝π(r1l＋r2l＋r＋r)S圆锥表＝πr(r＋l)．
从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来．
提出问题
①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗?并依次
类比出柱体的体积公式?
②比较柱体，锥体、台体的体积公式：
V柱体＝Sh(S为底面积．h为柱体的高)；
V锥体＝Sh (S为底面积，h为锥体的高)；
V台体＝(S++ S')h(S'，S分别为上、下底面积，h为台体的高)．
你能发现三者之间的关系吗?柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体?其体积公式
是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式?
活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式．
②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？
讨论结果：
①棱长为a的正方体的体积V＝a3＝a2a＝Sh；
长方体的长、宽和高分别为a，b，c，其体积为V＝abc＝(ab)c＝Sh；
底面半径为r高为h的圆柱的体积是V＝πr2h＝Sh，
可以类比，一般的柱体的体积也是V＝Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高．
圆锥的体积公式是V＝Sh(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.
棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的，即棱锥的体积V＝Sh(S为底面面积，h为高)．
由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式V＝(S′＋＋S)h，其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台(棱台)的高．
注意：不要求推导公式，也不要求记忆．
②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体．因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体．当S′＝0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式；当S′＝S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式．
柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系，如图5：
图5
应用示例
思路1
1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC(图6)，求它的表面积．
图6
活动：回顾几何体的表面积含义和求法．
分析：由于四面体SABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．
解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.
因为BC＝a，SD＝＝＝a，
所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.
因此，四面体SABC的表面积S＝4×a2＝a2.
点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.
变式训练
已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等．若圆柱的底面半径为r，圆柱的侧面积为S，求圆锥的侧面积．
解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧＝S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线(高)长为，由题意得圆锥的高为，又圆锥的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l＝，根据圆锥的侧面积公式得
S圆锥侧＝πrl＝π·r·＝.
2如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？(π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)
图7
活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题．只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量．而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积．
解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S＝π[()2＋×15＋×15]－π()2≈1 000(cm2)＝0.1(m2)．
涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100＝1 000(毫升)．
答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆．
点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用．
变式训练
1．有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到0.01秒)
解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，
∵圆柱的侧面积为S侧＝2πrl＝2π·0.1·0.5＝0.1π(m2)，
又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，
∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m2，
因此油漆工完成任务所需的时间t＝＝≈6.37(秒)．
点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题．解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积．从而使问题迎刃而解．
2．已知三棱锥O ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝4，则三棱锥体积的最大值是__________．
分析：由题意得三棱锥的体积是×xy＝x(4－x)＝－(x－2)2＋，由于x>0，则当x＝2时，三棱锥的体积取最大值.
答案：
3有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8 g/cm3)六角螺帽(图8)共重5.8 kg，已知底面是正六边形，边长为12 mm，内孔直径为10 mm，高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个？(π取3.14)
图8
活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题．六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积．
解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V＝×122×6×10－3.14×()2×10≈2 956(mm3)＝2.956(cm3)．所以螺帽的个数为5.8×1
000÷(7.8×2.956)≈252(个)．
答：这堆螺帽大约有252个．
点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.
变式训练
图9
如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．(精确到0.01秒)
解：如图10，设水面的半径为r，则EH＝r－2分米，BG＝2分米，
图10
在△ABG中，∵EH∥BG，
∴＝.∵AH＝2分米，
∴＝.∴r＝分米.
∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为
V水＝π·3[()2＋×4＋42]＝立方分米，
∴所用的时间为＝≈36.69秒．
答：所用的时间为36.69秒.
思路2
1如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )
图11
A．1 B. C. D.
活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.
分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V＝S△ABC·PA＝××1＝.
图12
答案：D
点评：本题主要考查几何体的三视图和体积．给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得．此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.
变式训练
如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为( )
A. B. C.π D.
分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为V＝×π×12×＝.
答案：A
2图13所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少？(π取3.14)
活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透．这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.
图13
解：正方体的表面积为16×6＝96( cm2)，一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28( cm2)，则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6＝133.68( cm2)．
答：几何体的表面积为133.68 cm2.
点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.
变式训练
图14
图14所示是由18个边长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积．
分析：从图14中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18－7－2＝9，所以第三层摆了9个．另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后，左、右两个面的表面积也是分别相同的．
解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为12×9＝9( cm2)，
前面的表面积为12×8＝8( cm2)，左面的表面积为12×7＝7( cm2)，
则此几何体的表面积为9×2＋8×2＋7×2＝48( cm2)．
答：此几何体的表面积为48 cm2.
知能训练
1．正方体的表面积是96，则正方体的体积是( )
A．48 B．64 C．16 D．96
分析：设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，则正方体的体积是a3＝64.
答案：B
2．如图15所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为( )
A．π B．2π C．3π D．4π
图15
分析：设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.
答案：C
3．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则这个正三棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
分析：可得正三棱锥的高h＝＝3，于是V＝××32×3＝.
答案：D
拓展提升
问题：有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________．
探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：
四棱柱有一种，就是边长为5a的边重合在一起，表面积为24a2＋28，三棱柱有两种，边长为4a的边重合在一起，表面积为24a2＋32，边长为3a的边重合在一起，表面积为24a2＋36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a2＋48，
最小的是一个四棱柱，这说明24a2＋28
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