教学设计
1．3.2 球的体积和表面积
作者：赵冠名
整体设计
教学分析
本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用．值得注意的是教学的重点应放在关于球的组合体的有关计算上，这是高考的重点．
三维目标
掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养学生转化与化归的数学思想方法．
重点难点
教学重点：球的表面积和体积公式的应用．
教学难点：关于球的组合体的计算．
课时安排
约1课时
教学过程
导入新课
思路1.位于青岛栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑．由香港好世界饮食服务(中国)有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点．酒店的总建筑面积11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？
思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积．
推进新课
新知探究
球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．事实上，如果球的半径为R，那么S＝4πR2，V＝πR3.
注意：球的体积和表面积公式以后证明．
应用示例
思路1
1如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
图1
(1)球的体积等于圆柱体积的；
(2)球的表面积等于圆柱的侧面积．
活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象．教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形．
证明：(1)设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
则有V球＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，所以V球＝V圆柱．
(2)因为S球＝4πR2，S圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2，所以S球＝S圆柱侧．
点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算．解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.
变式训练
1．如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．
图2
解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a，则轴截面如图2(2)，所以AA′＝14，AC＝a，又∵4πR2＝324π，∴R＝9.
∴AC＝＝8.∴a＝8.
∴S表＝64×2＋32×14＝576，即这个正四棱柱的表面积为576.
2有一种空心钢球，质量为142 g，测得外径(直径)等于5 cm，求它的内径(钢的密度为7.9 g/cm3，精确到0.1 cm)．
解：设空心球内径(直径)为2x cm，则钢球质量为
7．9×[×()3－x3]＝142，
∴x3＝()3－≈11.3.∴x≈2.24.∴直径2x≈4.5.
答：空心钢球的内径约为4.5 cm.
2如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)?
图3
活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数．鲜花的朵数等于此几何体的表面积(不含下底面)与每平方米需要的鲜花朵数的乘积．几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积．
解：圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3＝9.3(m2)，
半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×()2≈1.6(m2)，
所以S1＋S2≈9.3＋1.6＝10.9(m2).10.9×150＝1 635(朵)．
答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花．
点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.
变式训练
有一个轴截面为正三角形的圆锥形容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？
分析：转化为求水的体积．画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.
图4
解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，
圆锥底面半径r＝＝R，
圆锥母线l＝2r＝2R，圆锥高为h＝r＝3R，
∴V水＝r2h－R3＝·3R2·3R－R3＝R3，球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r＝R，设上底面半径为r′，
则高h′＝(r－r′)tan60°＝(R－r′)，
∴R3＝h′(r2＋r′2＋rr′)．∴5R3＝(R－r′)(r′2＋Rr′＋3R2)．∴5R3＝(3R3－r′3)，解得r′＝R＝R，
∴h′＝(3－)R.答：容器中水的高度为(3－)R.
思路2
1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．
活动：学生思考长方体和球的结构特征．教师可以借助于信息技术画出图形．
分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R＝，则该球的表面积为S＝4πR2＝27π.
答案：27π
点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积．球的表面积和体积都是半径R的函数．对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系．画出轴截面是正确解题的关键.
变式训练
1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π C．24π D．32π
分析：由V＝Sh，得S＝4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R＝＝，所以球的表面积为S＝4πR2＝24π.
答案：C
2．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为__________．
分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a，于是球的半径为a，V＝a3.
答案：a3
3．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为__________．
分析：长方体的对角线为＝，则球的半径为，则球的表面积为4π()2＝14π.
答案：14π
2图5是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？
图5
活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路．因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．
解：因为圆锥形铅锤的体积为×π×()2×20＝60π( cm3)，
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为π()2x＝100πx( cm3)．
所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6( cm)．
答：杯里的水下降了0.6 cm.
点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力．明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键．解实际应用题的关键是建立数学模型．本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积．明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.
变式训练
1．一个空心钢球，外直径为12 cm，壁厚0.2 cm，问它在水中能浮起来吗？(钢的密度为7.9 g/cm3)和它一样尺寸的空心铅球呢？(铅的密度为11.4 g/cm3)
分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没．
解：空心钢球的体积为V钢＝×63－×5.83＝×20.888≈87.45(cm3)，
∴钢的质量为m钢＝87.45×7.9≈690.86(g)．
∵水的体积为V水＝×63＝904.32(cm3)，
∴水的质量为m水＝904.32×1＝904.32(g)>m钢．
∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m铅＝87.45×11.4＝996.93(g)>m水．
∴同样大小的铅球会沉没．
答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没．
2．底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为 cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水__________cm3.
分析：设四个实心铁球的球心为O1、O2、O3、O4，其中O1、O2为下层两球的球心，A、B、C、D分别为四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为 cm的正方形，所以注水高为(1＋) cm.故应注水π(1＋)－4×()3＝(＋)π cm3.
答案：(＋)π
知能训练
1．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的
( )
A．1倍 B．2倍 C.倍 D.倍
分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2、16πr2、36πr2，＝(倍)．
答案：C
2．表面积为2的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为…( )
A. B. C. D.产
分析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×＝2知，a＝1，则此球的直径为.
答案：A
问题：如图6，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O，且与BC，DC分别交于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有( )
图6
A．S1S2 C．S1＝S2 D．S1，S2的大小关系不能确定
探究：如图7，连OA、OB、OC、OD，则VABEFD＝VOABD＋VOABE＋VOBEFD＋VOADF，VAEFC＝VOAFC＋VOAEC＋VOEFC，又VABEFD＝VAEFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋SBEFD＋S△ADF＝S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.
图7
答案：C
课堂小结
本节课学习了：
1．球的表面积和体积．
2．计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积．
3．空间几何体的表面积与体积的规律总结：
(1)表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开．
(2)在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：
柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；
锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；
台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高．
注意球没有高的结构特征．
(3)利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段．
(4)柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章 点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识．
(5)与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题．
作业
课本本节练习 1、2、3.
设计感想
本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积．值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题(新课标对球的截面不要求)，在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担．
备课资料
知识拓展
利用体积法求简单多面体的内切球半径
求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规则的，要作轴截面就很困难，因此这种方法用起来很繁琐．我们可以利用另一种既简便又快速的方法——体积法，即把多面体进行分割，且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥，这些棱锥的高都是内切球的半径，然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积，从而求出半径．现举例说明如下：
如图8，在三棱锥SABC中，SA＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，SA⊥面ABC，求三棱锥SABC
的内切球的半径．
图8
解：设内切球的球心为O，球的半径为r，则VSABC＝VOSAB＋VOSAC＋VOSBC＋VOABC.
又∵VOSAB、VOSAC、VOSBC、VOABC的高都是r，SA⊥面ABC，
∴VSABC＝VOSAB＋VOSAC＋VOSBC＋VOABC＝r(S△SAB＋S△SAC＋S△SBC＋S△ABC)
＝r(·1·1＋·1·1＋·2＋·1·1)＝·1·.∴r＝＝.
点评：若一个简单n面体有内切球，且简单n面体的各个面的面积分别为S1，S2，S3，…，Sn，简单n面体的体积为V，则此简单n面体的内切球的半径为r＝.
用体积法求简单多面体的内切球半径的优点是不用作轴截面，对空间想象能力要求高，但并不是意味着遇到这种类型的问题都用体积法，体积法的缺点是计算量较大，而且要考虑多面体是否是规则的，因此在解题时要注意选择方法．
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