教学设计
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
作者：张合森
整体设计
教学分析
空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点．空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系．本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系．
三维目标
1．结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系．
2．进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换．
3．进一步培养学生的空间想象能力．
重点难点
正确判定直线与平面的位置关系．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)
一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面，可能有几个交点？可能有几种位置关系？
思路2.(事例导入)
观察长方体(图1)，你能发现长方体ABCDA′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCDA′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？
图1
推进新课
新知探究
提出问题
①什么叫做直线在平面内？
②什么叫做直线与平面相交？
③什么叫做直线与平面平行？
④直线在平面外包括哪几种情况？
⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系。
活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬．
讨论结果：①直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内．
②直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交．
③直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行．
④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
⑤
直线在平面内
a⊂α
直线与平面相交
a∩α＝A
直线与平面平行
a∥α
应用示例
思路1
1 下列命题中正确的个数是………………………………………………..( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
A．0 B．1 C．2 D．3
分析：如图2，
图2
我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1
所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；
A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；
A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD，所以命题③不正确；
l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题④正确．
答案：B
变式训练
请讨论下列问题：
若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系．
图3
解：直线l与平面α的位置关系有两种情况(如图3)，直线与平面平行或直线与平面相交．
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.
2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．
已知直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：l与a、b、c共面．
图4
证明：如图4，∵a∥b，
∴a、b确定一个平面，设为α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴AB⊂α，即l⊂α.
同理b、c确定一个平面β，l⊂β，
∴平面α与β都过两相交直线b与l.
∵两条相交直线确定一个平面，
∴α与β重合．故l与a、b、c共面．
变式训练
已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，
求证：PQ⊂α.
证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.
∴P∈β，a⊂β，P∉a.又P∈α，a⊂α，P∉a，
由推论1：过P、a有且只有一个平面，
∴α、β重合．∴PQ⊂α.
点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.
思路2
1 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系．
解：如图5，另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交．
图5
用符号语言表示为：若a∩b＝A，b⊂α，则a⊂α或a∩α＝A.
变式训练
若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系．
分析：如图6，另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交．
图6
用符号语言表示为：若a与b异面，a⊂α，则b∥α或b∩α＝A.
点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.
2 若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线与a异面
B．α内的直线与a都相交
C．α内存在唯一的直线与a平行
D．α内不存在与a平行的直线
分析：若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交．
如图7，例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与
A′B平行的直线，所以应选D.
图7
答案：D
变式训练
不在同一条直线上的三点A、B、C到
平面α的距离相等，且A∉α，给出以下三个命题：
①△ABC中至少有一条边平行于α；②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交．
其中真命题是__________．
分析：如图8，三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，
图8
其中真命题是①.
答案：①
变式训练
若直线a⊄α，则下列结论中成立的个数是( )
(1)α内的所有直线与a异面 (2)α内的直线与a都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a平行的直线
A．0 B．1
C．2 D．3
分析：∵直线a⊄α，
∴a∥α或a∩α＝A.
如图9，显然(1)(2)(3)(4)都有反例，所以应选A.
图9
答案：A
点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型(长方体是常用空间模型)，另外考虑问题要全面即注意发散思维.
知能训练
已知α∩β＝l，a⊂α且a⊄β，b⊂β且b⊄α，又a∩b＝P.
求证：a与β相交，b与α相交．
证明：如图10，∵a∩b＝P，
图10
∴P∈a，P∈b.
又b⊂β，∴P∈β.
∴a与β有公共点P，即a与β相交．
同理可证，b与α相交．
拓展提升
过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？
解：(1)如图11，
C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行．
如图12，
图11 图12 图13
显然，平面PQ是符合要求的平面．
(2)如图13，
当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行．
点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型(长方体是常用空间模型)，另外考虑问题要全面即注意发散思维．
课堂小结
本节主要学习直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：
①直线在平面内——有无数个公共点，
②直线与平面相交——有且只有一个公共点，
③直线与平面平行——没有公共点．
另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点．
作业
课本习题2.1 A组7、8.
设计感想
本节内容较少，教材没有讨论线面平行的判定和性质，只介绍了直线与平面的位置关系，因此认为本节空洞无物，那就错了．直线与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们空间想象能力和发散思维能力；本节的设计充分利用空间模型展现直线与平面的位置关系，提出了一些具有挑战性的问题以激发学生的空间想象能力和发散思维能力．
备课交资料
备用习题
1．a、b两直线平行于平面α，那么a、b的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．可能平行、可能相交、可能异面
答案：D
2．直线m与平面α平行的充分条件是( )
A．n⊂α、m∥n B．m⊄α、n⊂α、m∥n
C．n⊂α，l∥α，m∥n、m∥l D．n⊂α，M∈m、P∈m、N∈n、Q∈n且MN＝PQ
答案：B
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