教学设计
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
作者：邓新国
整体设计
教学分析
空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点．空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系．本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系．
三维目标
1．结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系．
2．进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换．
3．培养学生全面思考问题的能力．
重点难点
平面与平面的相交和平行．
课时安排
1课时
教学过程
复习
1．直线与直线的位置关系：相交、平行、异面．
2．直线与平面的位置关系：
①直线在平面内——有无数个公共点，
②直线与平面相交——有且只有一个公共点，
③直线与平面平行——没有公共点．
导入新课
思路1.(情境导入)
拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
思路2.(事例导入)
观察长方体(图1)，围成长方体ABCDA′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？
图1
推进新课
新知探究
提出问题
①什么叫做两个平面平行？
②两个平面平行的画法.
③回忆两个平面相交的依据.
④什么叫做两个平面相交？
⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系．
活动：先让学生思考后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．
问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义．
问题②怎样体现两个平面平行的特点．
问题③两个平面有一个公共点，两平面是否相交．
问题④回忆公理3.
问题⑤鼓励学生自我训练．
讨论结果：
①两个平面平行——没有公共点．
②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.
图2 图3
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l.
④两个平面相交——有一条公共直线．
⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β＝∅，则α∥β.如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β＝AB，则α与β相交．
两平面平行与相交的图形表示如图4.
图4
应用示例
思路1
1 已知平面α，β，直线a，b，且α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？
活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．
解：如图5，直线a与直线b的位置关系为平行或异面．
图5
2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论．
解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条，如图6.
图6
变式训练
α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )
A．α、β都平行于直线l、m
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．l、m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β
D．l、m是两条异面直线，且l∥α、m∥α、l∥β，m∥β
分析：如图7，分别是A、B、C的反例．
图7
答案：D
点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.
思路2
1 α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，试判断直线a、b的位置关系，并画图表示．
活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案．教师在学生中巡视，发现问题及时纠
正，并及时评价．
解：如图8，直线a、b的位置关系是平行、相交、异面．
图8
变式训练
α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b∩α＝P，试判断直线a、b的位置关系，并画图表示．
解：如图9，直线a、b的位置关系是相交、异面．
图9
直线a、b不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完下一节后可以证明.
点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象能力.
2 如图10，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，
图10
(1)画出l的位置；
(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长．
解：(1)平面DMN与平面AD1的交线为DM，
则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.
QN即为所求作的直线l.如图10.
(2)设QN∩A1B1＝P，
∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q＝AD＝a＝A1D1，
∴A1是QD1的中点．又A1P∥D1N，
∴A1P＝D1N＝C1D1＝a.
∴PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a.
变式训练
画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线．
解：如图11，分别连接并延长线段EF、BD，
图11
∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P.
∴连接GP交线段CD于H，分别连接EG、FH，EG、GH、FH、EF即为所作交线．
点评：利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点.
知能训练
三棱柱的各面把空间分成几部分？
解：分为21部分．
拓展提升
已知平面α∩平面β＝a，b⊂α，b∩a＝A，c⊂β且c∥a，
求证：b、c是异面直线．
证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交．
(1)若b∥c.∵a∥c，∴a∥b.
这与a∩b＝A矛盾．
(2)若b、c相交于B，则B∈β.又a∩b＝A，∴A∈β.
∴AB⊂β，即b⊂β.这与b∩β＝A矛盾．
∴b，c是异面直线．
课堂小结
本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线．
另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点．
作业
课本习题2.1 B组1、2、3.
设计感想
本节内容较少，与上一节课一样，教材没有讨论面面平行的判定和性质，只介绍了平面与平面的位置关系．平面与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维能力．
备课资料
两个平面把空间分为几部分？三个平面可以把空间分为几部分？
解：(1)如图12，两个平面把空间分为3部分或4部分．
图12
(2)如图13，三个平面把空间分为4部分或6部分或7部分或8部分．
图13
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