教学设计
2．3.1 直线与平面垂直的判定
作者：倪晓熠，湖州一中教师，本教学设计获浙江省教学设计大赛三等奖
整体设计
设计思想
学生的学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．
高中立体几何课程历来以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力为目标．新教材在内容安排及处理方式上，加强了引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论的过程，把合情推理作为学习过程中一个重要的推理方式．
本设计以多媒体辅助教学，通过“观察——实验——猜想——确认”的认识过程展开，以适时适量的质疑反思引导主动的思维活动，以例题练习的精心设置促成良好的学习效果．力求使学生有效掌握知识，提高数学能力，形成良好的数学素质．
教材分析
1．《课程标准》对本节内容的要求
(1)通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理．
(2)能运用直线与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．
2．组成成分及地位作用
由直线与平面垂直的定义，直线与平面垂直的判定定理，直线与平面所成的角三部分组成．
空间直线和平面的位置关系是立体几何的基础知识，学好这一部分知识对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形这一飞跃是非常重要的一步．直线和平面垂直，是直线和平面相交的一种非常重要的情况，它是在学生学习了直线和直线垂直，直线和平面平行的基础上学习的，也是研究线面角，面面垂直，面面角的基础．同时本节判定定理的发现过程，对学生观察能力、动手操作能力的培养，逻辑思维和探索精神的培养方面有着十分重要的意义．
3．与旧人教版相关内容之比较
(1)旧版在定理证明上需要花费大量时间，而且相当繁琐．新版采用了“直观感受——操作确认”的方式让学生亲自感受知识的发现过程，自然流畅且符合学生的思维发展过程．
(2)新版十分注重学生对直观模型的观察感知，有助于空间想象能力的形成．旧版较缺乏．
(3)新版的编排较系统，但容量较大，对学生的能力要求更高．
学情分析
1．已有的认知水平
理解了空间点、线、面的位置关系，掌握了相应的定义、定理和公理，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解了空间中线面平行、面面平行的性质和判定．
2．学习中的困难和学习策略
空间问题平面化的思想比较薄弱，逻辑思维能力、空间想象能力仍有待提高．
学生可能会比较依赖于老师，缺乏探索的自信心，缺乏思维的主动性．在应用中学生的证明过程会凭借直观感觉，缺乏严密性与逻辑性．
教学目标
1．知识与技能
(1)理解并掌握直线和平面垂直的定义，直线和平面垂直的判定定理，直线和平面所成的角．
(2)培养空间问题平面化的思想在解决问题中的应用．
2．过程与方法
(1)指导学生合情推理
通过学生实验操作确认定理，让学生主动地获取知识、发现问题，其间教师予以指导，帮助学生合情推理、澄清概念，加深认识，正确应用．提高学生动手操作，验证确认的科学探究能力．
(2)引导发现法
适时适量地质疑反思，质疑在知识前，反思在知识尾．以问题引导学生的思维活动，使学生在问题的带动下进行更加主动的思维活动．把发现创造的机会还给学生，把成功的喜悦留给学生．
3．情感态度与价值观
(1)让学生亲历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，培养勇于探索的精神．
(2)利用所学知识解释生活现象(作业中的“想一想”)，激发学生学习数学的积极性．体会数学的应用价值．
重点难点
重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．
难点：直线和平面垂直的判定定理的探究，准确找出直线和平面所成的角．合理应用空间问题平面化的数学思想．
教学策略：采用多媒体辅助教学和探究型的学习方式．适时适量质疑反思，配置一例一练．
课前准备
1．教师课件制作；
2．学生自备一三角形纸片．
教学过程
一、线面垂直定义的建构
1．创设情境，感知概念
教师：多媒体图片展示生活中直线与平面垂直的实例．
设计意图：通过实例感知概念，有助于空间想象能力的形成．
2．观察归纳，形成概念
问题：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？
师生活动：引导学生从实际背景“观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子”出发分析、归纳：旗杆AB与地面内任意一条过点B的直线的关系怎样？旗杆AB与地面内任意一条不过点B的直线的关系怎样？
图1
师生活动：共同归纳定义：如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.
教师：借助图形说明“垂足”、“垂线”、“垂面”及其画法．
设计意图：从实际背景出发，引导学生用“平面化”的思想来思考问题．
3．反思辨析，深化概念
反思1：如果一条直线l和一个平面内的无数条直线都垂直，则l⊥α吗？
师生活动：把书看成平面，每一行字看成直线，用笔作为平面外一直线，进行操作，进一步辨析．明确“无数不代表所有”．
图2
反思2：命题a⊥α，b⊂α⇒a⊥b是否成立？
师生活动：得到“线面垂直⇒线线垂直”．
设计意图：通过反思辨析，引导学生进一步理解概念，深化概念，把握概念中的关键词．
二、线面垂直判定定理的探究
1．动手操作，发现定理
问题：用定义判定线面垂直方便易行么？能否尝试用有限的“线线垂直”得到“线面垂直”呢？
学生实验：
(1)实验内容及操作步骤：
学生准备一任意三角形纸片ABC，过三角形ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸竖起放置在桌面上(BD，DC在桌面内)．
图3
(2)实验目的：如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？
(3)引导学生发现结论：
①学生发现：折痕AD为BC边上的高的时候，折痕AD所在的直线与桌面所在的平面垂直．
图4
②教师引导：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系AD⊥CD，AD⊥BD发生变化了么？
设计意图：此处学生很有可能不会注意：直线CD与BD相交于点D这一条件，也意识不到这一条件的重要性．当然，这里就为老师的下一步发挥创造了可能．
2．质疑反思，确认定理
反思1：有人说，直线l和平面α内一条直线垂直，就可判定l⊥α，你同意他的说法么？
反思2：直线l和平面α内两条平行直线垂直，则l⊥α吗？
师生活动：引导学生归纳线面垂直的判定定理：一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
设计意图：通过动手操作引导学生独立发现定理，实践了新课标的思想，体现了学生的主体地位．质疑反思为学生明确定理指明方向．
三、线面垂直判定的应用Ⅰ
教师：方法引导：线线垂直线面垂直．
[例1] 如图5，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
师生活动：教师引导学生将思路集中在如何在平面α内找到两条与直线b垂直的相交直线．
图5
教师：本例给出的是一常用命题：⇒b⊥α.
[练习1] 如图6，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：①AC⊥面BDD1B1，②EF⊥OB1.
图6
设计意图：练习1不仅训练了学生对线面垂直的定义及判定定理的应用能力，更适时地引用了例1的命题，恰到好处地巩固所学知识．
四、直线与平面所成的角——线面垂直判定的应用Ⅱ
1．线面角的引入
过平面α外一点P作直线PA，它与平面α相交但不垂直，称其为平面的斜线，点A称为斜足．过点P作PO⊥α，过垂足O与斜足A的直线AO叫斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角．特别地，直线垂直于平面，则所成角为直角，直线在平面内
图7
或与平面平行，则所成角为0°的角．
[练习巩固] 如图，分别指出正方体中对角线A1C与面A1C1，面AB1，面BC1所成的角．
图8
师生活动：教师引导：分析解决此类问题的关键点——找垂线，得射影．学生尝试：画图分析，进一步理解概念．
设计意图：线面角作为第二个空间角，历来是学生较为薄弱的项目．新教材中缩短了线面角的篇幅，对学生的能力要求较高．线面角的入门关键在找角．为了尽快入门，在介绍概念的同时，适时辅以练习强化十分必要．正方体是找线面角的常见模型，此处设置亦能先入为主．
2．线面角的应用
[例2] 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求直线A1B与平面A1B1CD所成的角．
师生活动：教师引导学生如何过点B作平面A1B1CD的垂线．因为BC1垂直于B1C，所以尝试连接BC1.通过前面多个正方体模型的应用，学生可尝试独立证明BC1⊥平面A1B1CD.
图9
例2变式：求直线AC与平面A1B1CD所成的角．
反思：①两直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？
②两平行直线和一个平面所成的角相等吗？
设计意图：例2与变式中，两条不同的直线与平面A1B1CD所成的角相等，这样的设计自然而然地引出反思．一者可使学生进一步深化理解概念，
图10
二者为课后习题的有效解决做好铺垫．
五、课堂练习，检验效果
[练习] 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，
(1)四面体PABC中有几个直角三角形？(2)若PA＝1，AB＝，PC＝2，求PB与平面ABC所成的角，PC与平面PAB所成的角．
设计意图：两个问题分别考查了线面垂直的定义、判定定理和线面角．涵盖较全面，难度适中．(1)问是开放性设问，其中“BC⊥PB”这一结论的发现能有效地培养学生的思维能力与解题水平．
六、总结反思，提高认识
引导学生自行总结：
(1)通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线和平面垂直的方法？
(2)找直线和平面所成角的关键在何处？
七、作业设计
1．课本本节练习1,2.
2．想一想：给你绳子和卷尺，你有什么方法去断定飞英塔与地面垂直？
知识结构
直线和平面垂直的判定方法
直线和平面垂直的判定的应用
问题探讨
1．《直线和平面垂直的判定》一节中，知识的容量很大，按照《课程标准》的要求只安排了一个课时，整节课势必非常紧凑．旧教材中“直线和平面所成的角”是单独作为一节内容编写的，新教材中把它放在《直线和平面垂直的判定》一节中，而且篇幅减少，可以理解为线面角作为线面垂直判定的一个应用．所以本节课笔者是这样处理的，但是课堂教学中对学生的能力要求较高，希望借鉴更好的处理办法．
2．教材本节的探究题梯度过大，在直线与平面判定定理的应用起始阶段设置该题，对学生的能力要求过高，感觉是跳一跳，可能摘不到．所以在本设计中没有去探究，但作为课后的思考题，或者复习题，这个开放性的问题是不错的选择．
附：
2．3.1 直线与平面垂直的判定
第1课时
教学设计(一)
作者：李建标，浙江省余姚中学教师，本教学设计获浙江省教学设计大赛二等奖
教学内容解析
本节主要内容是直线和平面垂直的概念发现、直线和平面垂直的判定定理的探索过程，是在学习了空间的点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的空间的另一种重要位置关系的学习．垂直是立体几何的核心概念之一．直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是直线与平面位置关系的深化，又是研究面面垂直、线面角、面面角的基础，在教材中起到了承上启下的作用，具有相当重要的地位．
新课标要求立体几何的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．故对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，能进一步培养学生的空间想象能力，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，体会“平面化”思想和“降维”思想．同时体验新课程倡导的自主探索、动手实践、合作交流等理念．
教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．
教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．
教学目标解析
知识与技能：
1．经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
2
．通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．
过程与方法：
1．类比空间的平行关系，提高提出问题、分析问题的能力．
2．在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．
3．尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．
情感、态度与价值观：
经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．
教学过程设计
(一)类比平行探索空间的垂直关系
问题1：第二章已学习了空间的哪些平行关系？体现了哪些重要的数学思想？其中线面平行的定义是什么？
问题2：对于空间的另一种重要的位置关系(垂直)已学习了什么？你还打算学习什么？
设计意图：回顾空间的平行(线线、线面、面面)关系，进一步体会转化的思想方法，类比平行发现研究空间的另两种垂直(线面垂直、面面垂直)的必要性．提高提出问题、分析问题的能力．
师生活动：引导学生从平行的相互关系中体会线面转化为线线，面面转化为线面、线线的思想方法．用文字语言概括出线面平行定义的实质是平面外的一条直线与平面内的任一条直线平行或异面．指出线面垂直与面面垂直正是第三节所要研究的内容．
(二)观察感知线面垂直的概念
1．创设情境——感知概念
唐代诗人王维在他的诗《使至塞上》中写下千古绝句：“大漠孤烟直，长河落日圆．”前一句大漠孤烟直中的意境：荒凉的大漠中，一缕青烟从烽火台上冲天而起，给荒凉的大漠带来了一丝活力，这其中体现了空间的哪一种垂直关系？
观察下面两幅图片，寻找出其中线面垂直的关系．
图1 图2 图3
设计意图：
从古诗和实际背景出发，渗透数学的文化元素，直观感知直线和平面垂直的位置关系，使学生在头脑中产生直线与平面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备．
师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书本的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题．
2．观察归纳—形成概念
问题3：对线面垂直的概念有了一定的了解之后，如何画一个线面垂直的图形？
考虑为了使所画的直线和平面有较直观垂直的形象，对所画的直线有什么要求？
设计意图：使学生在头脑中对线面垂直的这种朦胧藏匿的感觉跃然于纸上，激发学习兴趣点．
图4
师生活动：共同操作，严格规范用直尺画一个线面垂直的图形，指出为了使画的线和面垂直，要求所画直线要画成和表示平面的平行四边形的一条边垂直．如图．
思考：你心目中的线面垂直到底指的是什么？如何定义一条直线与一个平面垂直呢？
我们已经学过直线和平面平行的定义，知道直线和平面平行即直线和平面内任意一条直线平行或异面，即直线和平面内任意一条直线都不相交，那么直线和平面垂直的问题是否同样可以转化为考查一条直线和一个平面内直线的位置关系，并加以解决呢？
问题4：(1)如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC(正所谓“立杆见影”)，杆所在的直线与影子所在直线的位置关系如何？
(2)旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是如何？
图5
设计意图：引导学生用“空间问题平面化”的思想方法来思考问题，通过观察概括出直线与平面垂直的本质属性．
师生活动：教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，引导学生得出旗杆所在直线与地面内的直线都垂直的结论．
3．抽象概括——提炼概念
问题5：通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
4．辨析讨论——深化概念
辨析：下列命题是否正确，为什么？
(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直．
(2)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线．
设计意图：通过问题辨析，加深概念的理解，掌握概念的本质属性．由(1)使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，定义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直．由(2)使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化．
师生活动：命题(1)引导学生用铁丝表示直线，用三角板两直角边表示两垂直直线，桌面表示平面举出反例．教师利用三角板和教鞭进行演示，将一块大直角三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线(即三角板与桌面的交线AC)垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．在此基础上在讲台上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但它不一定和讲台桌面垂直，最后教师用多媒体课件展示反例的直观图，如图6.
图6
由命题(2)给出下列常用命题：⇒a⊥b.
(三)探索发现线与面垂直的判定
思考：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？
能否把定义中的无限条转化为有限条？类比线面平行的判定定理你的猜想是什么？
1．分析实例——猜想定理
问题6：观察跨栏、简易木架等实物，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？
图7 图8
设计意图：通过问题思考与实例分析，寻找具有可操作性的判定方法，体验有限与无限之间的辩证关系．
师生活动：引导学生观察思考，给出猜想：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
2．动手操作——确认定理
问题7：请同学们拿出准备好的一块(任意)三角形的纸片，我们一起来做一个试验：任意翻折三角形纸片，将翻折后的纸片竖起放置在水平桌面上，观察并思考：
(1)折痕与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？
(2)由图9：折痕AD⊥BC，翻折之后AD与CD，AD与BD的垂直关系发生变化吗？
或图10：ED⊥BC，翻折之后ED与CD，ED与BD的垂直关系发生变化吗？由此你能得到什么结论？
图9 图10
设计意图：通过试验，引导学生独立发现直线与平面垂直的条件，培养学生的动手操作能力和几何直观能力．让学生在观察、对比和反思中，较快地对数学定理有一个感性的认识．
师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因．学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD(或ED)是BC边上的高，即AD⊥BC(或ED⊥BC)，翻折后折痕就与桌面垂直，再利用多媒体演示，改变所折纸片张角的大小，发现折痕与桌面内任一条过垂足的直线都垂直，即折痕与桌面内任一条直线都垂直，确认线面垂直的判定定理．整个过程，由于几何直观性强，通俗易懂．
问题8：根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？当直线不过相交直线的交点时如何处理？
设计意图：引导学生根据直观感知及已有知识经验，进行合情推理，获得线面垂直判定定理．
师生活动：教师引导学生回忆出“两条相交直线确定一个平面”，以及在直观过程中获得的感知，将“与平面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相交直线垂直”，进而归纳出直线与平面垂直的判定定理．同时指出要判断一条直线与一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有无公共点是无关紧要的．定理充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想．
图11
定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
用符号语言表示为：
⇒l⊥α
问题9：分析定义和定理的联系与区别．
设计意图：提高归纳概括，反思建构能力．
师生活动：
师生共同概括出联系：都体现了转化的思想方法，把线面的垂直转化为线线垂直．区别：定义需与平面的任意一条直线垂直，而定理只需两条就行．类比刘禹锡在《陋室铭》中名句：山不在高，有仙则名，水不在深，有龙则灵．引导学生归纳出定理：“线不在多，相交就行”．再说明因为定理的严格证明需用到后续的空间向量知识．故本节课暂不证明．
3．质疑反思——深化定理
辨析：如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面吗？
设计意图：通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件．
师生活动：学生思考作答，教师再次强调“相交”条件．
(四)初步应用线面垂直的判定
例1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，
(1)列举与平面ABCD垂直的直线．
(2)列举与直线AA1垂直的平面．
(3)找出一条与对角面A1ACC1垂直的直线．考虑直线BD1与A1C1的关系．
图12
探究：如图，把正方体中底面正方形ABCD改为任意四边形(这种侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱)，此时底面四边形满足什么条件时，A1C1⊥BD1?
图13
设计意图：通过例1的铺垫，能从探究题中合理寻找到平面证线面垂直，从而得出线线垂直，体会转化思想在证题中的作用．
师生活动：学生思考讨论，请一位同学用投影仪展示并分析其思路，教师参与讨论．
图14
例2：如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.并用文字语言对其进行描述．
设计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，体会转化思想在证题中的作用，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力．同时进一步提高数学语言之间的相互转化能力．
师生活动：
教师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定理证，提示辅助线的添法，将思路集中在如何在平面α内找到两条与直线b垂直的相交直线上．另外，再引导学生在将已知条件具体化的过程中，逐步明确根据异面直线所成角的概念解决问题．学生在练习本上完成，同时教师给出详细的证明过程，给学生以示范．同时指出：本例结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理，这个命题体现了平行关系与垂直关系的联系，它是判断线线垂直的常用方法．
思考：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？
设计意图：回归猜想定理的思考题，突出定理的应用性．
师生活动：根据学生的回答，可用直角三角板紧贴地面与旗杆加以检验．
(五)练习巩固与升华
练习：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，判断下列结论是否正确：①AC⊥面CDD1C1；②EF⊥面BDD1B1；③AC⊥BD1.
(六)总结反思——提高认识
(1)通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
(2)上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？
设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括．
师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的方法，指出本节课中用到的类比推理、转化化归的思想方法．
(七)布置作业——自主探究
1．如图15，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA＝PC，PB＝PD.求证：PO⊥平面ABCD.
图15 图16
2．课本本节练习1、2
结束语：如果有机会以后和同学们一起再学习“大漠孤烟直”的下一句“长河落日圆”，如图16(直线与圆、曲线与圆的关系)，在诗情画意中结束本课．同时把学生的思维引到课外．
教学反思：
1．人教社A版普通高中课程标准实验教科书有以下的主编寄语：①数学是有用的，②学数学能提高能力，③数学是自然的，④数学是清楚的．可以说对学生的数学学习观与教师的教学观都提出了新的要求．所以在新课程的教学过程中应注重学生的探索过程，充分向学生展示知识的发生、发展过程，而不是将知识强加给学生．知识的引入要精心创设问题情景，使教材生动、自然而亲切，让学生感到学习数学是快乐的、自然的和有意义的，我们的数学教育应该是“润物细无声”．
本节课的教学遵循新课标要求，立体几何的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质，通过大量生动翔实的生活图片，动态制作的各种flash课件，活泼有趣的数学折纸试验，使学生的感性认识逐步上升为理性认识．
2．新课程的一个重要理念是改变学生的学习方式和改变课堂教学方法，新课程提倡教学目标综合化、知识的直观化，能使学生在获得数学知识的同时，在思维能力、观察能力、情感态度与价值观等方面都得到进步和发展，为体现新的教育理念，在以下几个方面作了一些尝试：
①充分体现“生本”的原则．用激励、赞赏的语言，从类比空间的平行发现空间的垂直，从“立杆见影”的动画演示到提炼定义，从跨栏架、间易木架猜想定理，到折纸试验操作确认定理，都向学生传达一个信息：我们的课堂是生动的，有趣的，充满了民主、平等与关爱．整堂课都是以学生为中心，教师扮演的是组织者、引导者和参与者的角色，让学生真正成为了课堂的主人．
②凸现数学与生活的密切联系．从“立杆见影”的动画演示提炼定义，从检验校操场的旗杆是否与地面垂直，折纸试验操作确认定理让学生意识到数学是来源于生活，并服务于生活的，通过学习让学生感受到线面垂直在生活中是大量存在的，我们要用数学的眼光去看待生活中的现象，做一个有心人．
③体现数学的文化意境．通过不少古诗词的引入不但丰富了数学课堂的文化意涵，增加了学生的学习兴趣，更值得强调的是，它能够帮助学生克服认知上的困难．结合高中生的实际情况，笔者以为，在高中数学课堂上融入一点中国古代文学(特别是古诗词)，应该能够提高学生的认知水平．
④建构主义的思想在教学过程中得以充分运用．建构主义认为，知识的获得不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情境下，借助他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义构建的方式而获得的，因此，建构主义理论强调“情境”是学习环境中的四大要素之一．本节课始终在创设有效的“问题情境”，从课题的导入，猜想探索定理，检验旗杆是否与地面垂直，都使学生对知识进行主动建构，教师始终是课堂活动的设计者、组织者和参与者，充分发挥学生的主动性和积极性，从而使学生有效实现了对知识的构建．
教学设计(二)
教学目标
知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生理解直线与平面垂直的定义和判定定理，并能对它们进行简单的应用；
过程与方法目标：通过对定义的总结和对判定定理的探究，不断提高学生的抽象概括能力和逻辑思维能力；
情感态度与价值观目标：通过学习，使学生在认识到数学源于生活的同时，体会到数学中的严谨细致之美，简洁朴实之美，和谐自然之美，从而使学生更加热爱数学，热爱生活．
教学重点及难点
教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用．
教学难点：对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．
教学方法
教法：启发诱导式
学法：合作交流、动手试验
教具准备
计算机、多媒体课件、三角形卡片
教学过程
一、直线与平面垂直定义的构建
1．联系生活——提出问题 在复习了直线与平面的三种位置关系后，给出几幅现实生活中常见的图片，让学生思考其中旗杆与地面、竖直的墙角线与地面、大桥的桥柱与水面之间的位置关系属于这三种情况中的哪一种，它们还给我们留下了什么印象？从而提出问题：什么是直线与平面垂直？
设计意图：使学生意识到直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况并引出本节课的课题．另外这样设计也吸引了学生的注意力，激发了学生的好奇心，使其主动参与到本节课的学习中来．
2．创设情境——分析感知 播放动画，引导学生观察旗杆和它在地面上影子的位置关系，使其发现：旗杆所在直线l与地面所在平面α内经过点B的直线都是垂直的(其中点B为直线l与平面α的交点)．进而提出问题：那么直线l与平面α内不经过点B的直线垂直吗？
设计意图：在具体的情境中，让学生体会和感知直线与平面垂直的定义．
3．总结定义——形成概念 由学生总结出直线与平面垂直的定义，即如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直．引导学生用符号语言将它表示出来．然后提出问题：如果将定义中的“任意一条直线”改成“无数条直线”，结论还成立吗？
设计意图：让学生通过思考和操作(用三角板和笔在桌面上比试)，加深对定义的认识．
二、直线与平面垂直判定定理的构建
1．类比猜想——提出问题 根据线面平行的判定定理进行类比，通过不断的猜想和分析，最终提出问题：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直吗？
设计意图：不少教师都在本环节中进行了一些有益的尝试，但考虑到学生的认知水平，我仍然决定采用类比猜想的方法，从学生已有的知识出发，进行分析．
2．动手试验——分析探究 演示试验过程：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)．
问题一：同学们看，此时的折痕AD与桌面垂直吗？
又问：为什么说此时的折痕AD与桌面不垂直？
设计意图：让学生从另一个角度来理解直线与平面垂直的定义——只要直线l与平面α内有一条直线不垂直，那么直线l就与平面α不垂直．
问题二：如何翻折才能让折痕AD与桌面所在平面α垂直呢？﹙学生分组试验﹚
设计意图：通过分组讨论增强数学学习氛围，让学生在交流中互相学习，共同进步．
问题三：通过试验，你能得到什么结论？在回答此问题时大部分学生都会直接给出结论：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．此时注意引导学生观察，直线AD还经过BD、CD的交点．请他们思考在增加了这个条件后，试验的结论更准确的说应该是什么？
又问：如果直线l与平面α内的两条相交直线m、n都垂直，但不经过它们的交点，
那么直线l还与平面α垂直吗？
设计意图：提高学生抽象概括的能力，同时也培养他们严谨细致的作风．
3．提炼定理——形成概念 给出线面垂直的判定定理，请学生用符号语言把这个定理表示出来，并由此向学生指明，判定定理的实质就是通过线线垂直来证明线面垂直，它体现了降维这种重要的数学思想．
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号语言：l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝A⇒l⊥α.
三、初步应用——深化认识
1．例题剖析：
1已知：a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.
分析过程：
(①②③表示分析的顺序)
证明：在平面α内作两条相交直线m，n.
因为直线a⊥α，
根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.
又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.
又因为m⊂α，n⊂α，m，n是两条相交直线，所以b⊥α.
设计意图：不仅让学生学会使用判定定理，而且要让他们掌握分析此类问题的方法和步骤．
本题也可以使用直线与平面垂直的定义来证明，这可以让学生在课下完成．
另外，例1向我们透露了一个非常重要的信息，这里可以请学生用文字语言将例1表示出来——如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．
2．随堂练习
练习1 如图，在三棱锥VABC中，VA＝VC，AB＝BC.
求证：VB⊥AC.
证明：取AC中点为K，连接VK、BK，
∵在△VAC中，VA＝VC，且K是AC中点，
∴VK⊥AC.
同理BK⊥AC.
又VK⊂平面VKB，BK⊂平面VKB，VK∩BK＝K，
∴AC⊥平面VKB.
∵VB⊂平面VKB，
∴VB⊥AC.
设计意图：用展台展示部分学生的答案，督促学生规范化做题．
变式引申 如图，在三棱锥VABC中，VA＝VC，AB＝BC，K是AC的中点．若E、F分别是AB、BC的中点，试判断直线EF与平面VKB的位置关系．
解：直线EF与平面VKB互相垂直．
∵在△VAC中，VA＝VC，且K是AC中点，∴VK⊥AC.
同理BK⊥AC.
又VK⊂平面VKB，BK⊂平面VKB，VK∩BK＝K，
∴AC⊥平面VKB.
又E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC.
∴EF⊥平面VKB.
设计意图：在定义和判定定理之外，例1又给出了第三种证明直线与平面垂直的方法，构造这道变式引申题的目的就是让学生在解题中将其掌握．
练习2 如图，PA垂直圆O所在平面，AC是圆O的直径，B是圆周上一点，问三棱锥PABC中有几个直角三角形？
解：在三棱锥PABC中有四个直角三角形，分别是：
△ABC、△PAB、△PAC和△PBC.
设计意图：通过练习1和练习2培养学生进行线线垂直和线面垂直之间的转化能力，从而使他们能够对定义和判定定理进行灵活应用．
四、总结回顾——提升认识
五、布置作业——巩固认识
必做题：习题2.3B组2,4.
选做题：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
探究题：课本的探究题．
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