教学设计
3．1.1 倾斜角与斜率
教学设计（一）
作者：陈佩玉，浙江省景宁中学教师，本教学设计获浙江省教学设计大赛三等奖
设计思想
根据新一轮课程改革的要求，新授课的教学设计必须用现代建构主义理念作指导，其核心意义在于不仅要突出学生对数学知识的掌握和数学能力的培养，还要关心和改善学生的学习方式，更要重视学生对数学的情感、态度等非智力因素的发展，如对创新起至关作用的“兴趣和好奇心”“问题意识”“毅力”等，从本质上体现素质教育的要求．本设计注重了探究过程的展开，使学生进一步理解、渗透数形结合、分类讨论的数学思想方法；同时，本设计还注重培养学生对数学知识的理解能力、应用能力以及转化能力．
教材分析
直线的倾斜角和斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识．它不仅在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，如神六的发射、建筑的设计有关计算等等，而且通过本节课的学习，能够培养学生观察、分析、猜想、抽象概括等数学基本思维方法．而这些又都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．
学情分析
教学对象是刚接触解析几何的学生，虽然具有一定的观察和分析问题的能力，抽象概括能力也已初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻与辩证，从而导致思维的片面、不够严谨，同时学生又很容易把本节内容与立体几何中所学的研究方法进行类比，但其在认知上有明显的不利因素：解析几何所用的研究方法与欧氏几何不同，前者是在直角坐标系的基础上，而后者所用的研究方法是以公理为基础，容易有思维的负迁移．
教学目标
1．知识与技能目标
(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
(2)理解直线的倾斜角的唯一性．
(3)理解直线的斜率的存在性．
(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
设计意图：这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课程标准的要求．
2．过程与方法目标
通过过两点的直线斜率公式及其应用，培养学生对数学知识的理解能力，应用能力及其转化能力；通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维．
设计意图：因为数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到有效、持续地发展．
3．情感、态度与价值观
(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生的观察、探索能力，运用数学语言的表达能力、数学交流与评价能力．
(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
重点难点分析
本节课的重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式．难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式．
设计意图：这样确定重点，既能夯实“双基”，又培养学生观察、探索能力、运用数学语言表达能力、数学交流与评价能力．帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
教学策略与手段
以问激学、以景激情、师生共同探讨，这样既能尊重学生的主体地位，又能充分发挥教师的主导作用，让学生亲历数学的发现过程，能充分调动学生学习的积极性与主动性．
课前准备
1．学生的学习准备：复习初中一次函数的图象及相关的性质，预习本节新课知识．
2．教师的教学准备：了解学生原有的直线储备知识的基础上备课，制作课件．
3．教学环境的设计与布置：在提前一周内，用黑板报及图片方式宣传创立解析几何的两位数学家笛卡儿和费马的相关历史，以及在几何方面有突出贡献(实现机器证明)的我国数学家吴文俊．
4．教学用具的设计和准备：多媒体、三角板．
教学过程
创设情境，提出问题
一次函数的图象有什么特点？
提出问题
在直角坐标系中棳过 一个定点P的直线位置确定吗?
问题：它对x轴的相对位置有几种情形，请画出来？
(学生总结概括)引入倾斜角的概念来刻画直线的倾斜程度．
设计意图：这样，学生可以在对比、观察、思维的基础上提升自己的思维，使新旧知识
之间尽可能产生自然的联系，而不是人为地告诉其正确的结果，把经验、结论强加给学生．尊重学生，首先要接纳学生的认知基础，并加以诱导，使不同层次的学生都得到发展，这也正是“双自主”实验所倡导的．
由楼梯坡度的启发，引入直线的斜率
图1 图2
提问：日常生活中，我们还有没有表示倾斜程度的量呢？学生可以自主回答，教师根据学生的回答利用多媒体演示不同坡度的楼梯，并说明“坡度”实际就是“倾斜角α的正切”．从而得出斜率的概念．这样我们就得出一个是从“形”的方面刻画直线相对x轴的倾斜程度——倾斜角，一个是从“数”的方面刻画直线相对x轴的倾斜程度——斜率，同时强调倾斜角是90°的直线没有斜率．引入斜率的定义及表示法
k＝tanα(α≠90°)．
设计意图：以日常生活中的斜面为例，引入斜率的概念，然后通过多媒体师生互动探讨，加深对斜率的理解，也有助于培养学生的观察分析，抽象概括能力．生活中的实例以及多彩的多媒体图片可激发学生的学习兴趣，充分引导学生主动参与的意识．
在明白直线的倾斜角与斜率都是用来刻画倾斜程度的基础上，进一步提出问题：斜率为正或负时，倾斜角是怎样变化的？直线具有 怎样的位置？
学生思考，探究，可借助多媒体(教师演示或让学生亲自操作动画过程)．
如图3：拖动点P，改变直线的倾斜角α，可以观察到什么？然后由学生发现与总结．
图3
设计意图：充分利用现代化教学手段，引进数学实验，呈现直观、形象的数学，让问题的设计更具有开放性，更能激发学生的学习兴趣；把数学的学术形态转化为学生易于接受的教学形态，化解学生的认知疑难．
探究：直线斜率与直线上两点有关吗？
提出问题
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义tanα求出直线的斜率；如果给定直线上的两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎样求出直线的斜率呢？即已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求直线P1P2的斜率(见教材中图)．
首先实验、演示，观察、猜想．利用几何画板课件演示：学生观察①两点坐标的变化；②观察斜率与坐标比值的关系，探索猜测k＝.
设计意图：多媒体课件的引入可以增强课堂的趣味性，能够在动态演示中化解教学难点，有效的解决教学重点．
(学生思考，自主探究，合作交流)
其次利用多媒体演示探究过程，最后请同学们用已学知识给出证明．
(1)引导图形的4种可能情形．
(2)把α转化到直角三角形中．
(3)然后用数形结合的思想求出倾斜角的正切值．
设计意图：利用多媒体演示探究过程，课堂上的探究成果，犹如磁铁一般吸引着学生．带着强烈的好奇心，学生的自主探究便扬帆起航了，更关键的是有如弗赖登塔尔指出的那样，有利于学生亲自参加“数学再创造”的历程．学生通过同化和顺应等心理活动，自主构建数学知识，不断完善数学认知结构，并有充分的机会表达自己对问题的理解和认识，从而获得成就感，改变那种“灌输——接受”的落后学习方式，让学生真正成为数学学习的主体．让他们感受到数学探索的价值和魅力．
纠错题：根据学生对概念的理解，请同学们思考以下几个问题．
(1)不论倾斜角α是锐角还是钝角，斜率表示式是否一样？
(2)当直线倾斜角α确定后，k值与点A，B的顺序是否有关？
(3)当直线AB与x轴平行或重合时，公式还成立吗？
(4)当直线AB与y轴平行或重合时，公式还成立吗？
教师结合学生的回答，强调公式的适用条件(让学生了解分类讨论的思想方法)并熟记公式，以便以后的应用．
设计意图：不仅完善了斜率的公式，也有助于培养学生的质疑意识，养成勤于动脑的良好思维习惯．有助于帮助学生自主学习，学会学习．
例题教学
1如图4，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．(由形定数)例1是简单的应用，可略讲．
图4
2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2和－3的直线．(由数定形)例2可用启发式教学：
问1：已知斜率和原点，能不能迅速画出对应的直线？
问2：通过斜率能找到倾斜角吗？
问3：还可以选用什么方法找呢？(两点确定一条直线)最后师生共同利用斜率公式找出直线上除原点的另一点，并利用多媒体画出对应的直线．
设计意图：通过教科书例1和例2，巩固对倾斜角与斜率概念的理解及应用，并且培养学生自主探究、解决问题的能力．
课堂练习
一组辨析概念的是非题．教科书本节练习中第1、2、3、4题，其中1、2题以对答案的方式，3、4题可借助计算机直接生成图象，使学生获得直接映象．
设计意图：使学生进一步熟练对倾斜角、斜率的定义及斜率公式的理解．从而体验到学习的成功和快乐．
课堂小结
(1)今天学到了什么？
(2)体验了哪些数学思想？
(3)对今天的问题你还有什么困惑吗？
设计意图：在这节课的最后由学生进行反思与评价；由学生谈学习本节课的最大收获，可以是知识上的，也可以是方法能力上的．
知结构和板书设计
附：板书设计
直线的倾斜角的定义
例1的板演
斜率的点坐标公式探究过程的板演
直线的倾斜角的范围
直线的斜率k＝tanα
直线的斜率k＝
作业设计
1．必做题：课本习题3.1 A组1、2、3、4、5题．
2．备选练习：
(1)直线l的斜率为k，倾斜角为α，若－1
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