3.2.3 一元二次不等式的解法的应用（二）
项目
内容
课题
3.2.3 一元二次不等式的解法的应用(二)
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能
1.巩固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系;
2.通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式.对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;
3.使学生掌握解含有字母参数不等式（组）的解法，初步掌握分类讨论的思想方法及技巧.
二、过程与方法
1.使学生掌握在解含有字母参数的不等式（组）时知道是否要分类讨论，讨论的依据是什么，分类的标准是什么，通过师生的共同探索，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力;
2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学;
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
1.进一步提高学生的运算能力和思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力；
2.培养学生探索问题的积极性、主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时，培养学生思考问题的周到缜密性，养成严谨的学习态度和思想作风；
3.通过教师与学生、学生与学生的共同合作，加强师生感情交流与沟通，培养良好的师生关系及相互合作的团队精神.
教学重、
难点
教学重点
1.熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;
2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.
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教学难点
1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系;
2.正确地对参数分区间讨论，由于字母较多又要讨论，所以容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.
教学
准备
多媒体及课件
教学过程
导入新课
师 上节课我们已经知道，不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式的解法.分式不等式的解法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式.解分式不等式，切忌去分母.
生 板演：
1.解不等式：-x2+5x＞6({x|2＜x＜3}).
2.解不等式：x2-4x+4＞0({x|x∈R,x≠2}).
3.解不等式：x2+2x+3＜0(Δ=-8＜0,x∈).
4.解不等式：（{x|-13＜x＜-5}）.
师 写解集时考虑二次项的系数正负、不等式中不等号的方向、对应的一元二次方程有无实数根及有实数根时两个实数根的大小.
推进新课
师 思考一下如何解下面这个不等式：解关于x的不等式a(x-ab)＞b(x+ab).
生 将原不等式展开，整理得(a-b)x＞ab(a+b).
讨论：当a＞b时，,∴x∈(,+∞).
当a=b时，若a=b≥0时x∈；若a=b＜0时x∈R.
当a＜b时，,∴x∈(-∞, ).
师 【例1】 解关于x的不等式x2-x-a(a-1)＞0.
生 原不等式可以化为(x+a-1)(x-a)＞0，
若a＞-(a-1),即a＞,则x＞a或a＜1-a.∴x∈(-∞,1-a)∪(a,+∞).
若a=-(a-1),即a=,则(x-12)2＞0.∴x∈{x|x≠,x∈R}.
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若a＜-(a-1),即a＜,则x＜a或x＞1-a.∴x∈(-∞,a)∪(1-a,+∞).
师 引申：解关于x的不等式(x-x 2+12)(x+a)＜0.
生 ①将二次项系数化“+”为(x2-x-12)(x+a)＞0.
②相应方程的根为-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？
③讨论：
（ⅰ）当-a＞4，即a＜-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜4或x＞-a}.
（ⅱ）当-3＜-a＜4，即-4＜a＜3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜-a或x＞4}.
（ⅲ）当-a＜-3，即a＞3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x|-a＜x＜-3或x＞4}.
（ⅳ）当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x|x＞-3}.
(ⅴ)当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x|x＞4}.
师 变题：解关于x的不等式2x2+kx-k≤0.
师 此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.
生 Δ=k2+8k=k(k+8).
(1)当Δ＞0,即k＜-8或k＞0时，方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根.
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是
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{x|};
(2)当Δ=0，即k=-8或k=0时，方程2x2+kx-k=0有两个相等的实根，
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是{}，即{0,2}；
(3)当Δ＜0,即-8＜k＜0时，方程2x2+kx-k=0无实根，
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集为.
练习 解不等式：mx 2-2x+1＞0.
师 本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论m与0的大小，又由Δ=4-4m=4(1-m),故又要讨论m与1的大小.我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏.
解：∵Δ=4-4m=4(1-m),
∴当m＜0时,Δ＞0,此时.
∴解集为{ }.
当m＝0时，方程为-2x+1＞0,解集为{x|x＜},
当0＜m＜1时,Δ＞0，此时,
∴解集为{}.当m＝1时,不等式为(x-1)2＞0,
∴其解集为{x|x≠1};
当m＞1时,此时Δ＜0,故其解集为R.
师 小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况.
［教师精讲］
对应的一元二次方程有实数根1-a和a,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.
（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.
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（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏.
总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好.
［知识拓展］
【例2】 关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜-2或x＞}，求关于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集.
师
由题设a＜0且，，从而ax2-bx+c＞0可以变形为，即x2-x+1＜0.∴＜x＜2.∴原不等式的解集为{x|＜x＜2}.
引申：已知关于x的二次不等式ax 2+(a-1)x+a-1＜0的解集为R，求a的取值范围.
师 原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y=ax2+(a-1)x+a-1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a＜0且Δ＜0.
生 由题意知，要使原不等式的解集为R，必须
即
∴a的取值范围是a∈(-∞,).
师 本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么）
师 变题：若函数f(x)=kx2-6kx+(k+8)的定义域为R，求实数k的取值范围.
显然k=0时满足.而k＜0时不满足.
∴k的取值范围是 [0,1].
练习：不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|-＜x＜}，求a、b.()
［教师精讲］
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解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关.一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c＞0为例）常与以下因素有关：（1）a；（2）Δ；（3）两根x 1,x 2的大小.其中系数a影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1,x 2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏.
［合作探究］
【例3】 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.
生 ∵
2x2-2(k-3)x+3-k＞0(∵4x 2+6x+3恒正)，∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k＞0对x取任何实数均成立.
∴Δ= [-2(k-3)]2-8(3-k)＜0k 2-4k+3＜01＜k＜3.∴k的取值范围是（1，3）.
师 逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分.
【例4】 当m取什么实数时，方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1.
解：设方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的两根为x 1，x2.
①若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：
m∈.
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∴此时m的取值范围是，即原方程不可能有两个正根.
②若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：
m＜5.
∴此时m的取值范围是(-∞,5).
③若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：
m＜2.∴此时m的取值范围是(-∞,2).
④若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：
m∈.
∴此时m的取值范围是，即原方程不可能两根都大于1.
师 说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.
练习：
1.关于x的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是……（ ）
A. (,+∞) B.(-∞, )
C. [，+∞） D.( ,0)∪(0,+∞)
提示：由m≠0且Δ＞0，得m＜，∴选D.
答案：D
2.若不等式ax 2+5x+b＞0的解集为{x|＜x＜}，则a、b的值分别是
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__________.
提示：由
答案：-6，-1
3.若方程x 2-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.
提示：由 k≤-6.
师 变式引申：已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.
师 解：要原方程有两个负实根，必须
-2＜k＜-1或＜k＜1.
k＞23或k＜-1
∴实数k的取值范围是{k|-2＜k＜-1或＜k＜1}.
练习：已知不等式(a 2-1)x2-(a-1)x-1＜0的解集为R，求实数a的取值范围.
生 若a 2-1=0，即a=1或a=-1时，原不等式的解集为R和{x|x＜}；
若a2-1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集为R，
必须-＜a＜1.
∴实数a的取值范围是(,1)∪{1}=(,1］.
［方法引导］
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讲练结合法
通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.
上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神.
课堂小结
1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等.
2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：
（1）确定讨论的对象及其范围；
（2）确定分类讨论的标准，正确进行分类；
（3）逐类讨论，分级进行；
（4）归纳整合，作出结论.
3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况.
4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，一定的顺序进行讨论，做到不重复不遗漏.考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风.
布置作业
（1）已知不等式x2+5x+m＞0的解集为{x|x＜-7或x＞2}，求实数m的值.(答案：m=-14)
（2）已知关于x的二次不等式px 2+px-4＜0对任意实数x都成立，求实数p的范围.(由p＜0且Δ＜0，得p∈{p|-16＜p＜0})
(3)若y=ax 2+bx+c经过(0，-6)点，且当-3≤x≤1时，y≤0，求实数a,b,c的值.（答案：a=2,b=4,c=-6）
(4)已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.
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解：要使原方程有两个负实根，必须
-2＜k＜-1或＜k＜1.
∴实数k的取值范围是{k|-2＜k＜-1或＜k＜1}.
板书设计
一元二次不等式的解法的应用（二）
例3
例1、2
例4
教学反思
上节课已由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上，再辅以新的例题巩固.
整个教学过程，更深入揭示一元二次不等式解法与一元二次函数的关系本质，继续一元二次不等式解法的步骤和过程，及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.
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