高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3直线与平面垂直的性质教案新人教A版必修2.doc

‎2.3.3‎‎ 直线与平面垂直的性质 教学目标 ‎ 1.知识与技能：‎ ‎（1）理解并掌握直线与平面垂直的定义和性质定理；能对定义与性质定理进行简单应用 ；‎ ‎（2）通过对定义和性质定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力；‎ ‎（3）通过对探究过程的引导，努力提高学生学习数学的热情,培养学生主动探究的习惯.‎ ‎ 2.过程与方法：经历位置关系判断的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足直线和平面垂直的性质定理，培养学生分析问题、解决问题的能力 ‎3.情感态度价值观：‎ ‎（1）空间教学的核心问题是让学生了解平面的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；‎ ‎（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想 重点难点 ‎ 1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面的定义和性质定理的过程及初步应用；‎ ‎ 2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面的定义和性质定理的过程.‎ 教学过程：‎ 复习 ‎ 直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：‎ 图1‎ 如图1，表示方法为：a⊥α.‎ 由直线与平面垂直的定义不难得出：b⊥a.‎ 导入新课 - 6 -‎ 如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？‎ 图2‎ 提出问题 ‎①回忆空间两直线平行的定义.‎ ‎②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？‎ ‎③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系.‎ ‎④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.‎ ‎⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？‎ 讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.‎ ‎②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.‎ 图3‎ ‎③如图4，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？‎ ‎ ‎ 图4 图5‎ 棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间互相平行.‎ ‎④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：‎ 垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.‎ 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：b∥a.‎ 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.‎ - 6 -‎ ‎⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系.‎ 应用示例 例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行.‎ 解:已知a⊥α,b⊥α.‎ 求证：a∥b.‎ 图6‎ 证明：（反证法）如图6，假定a与b不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O∈b′,a∥b′.‎ 直线b′与直线b确定平面β，设α∩β=c,则O∈c.‎ ‎∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.‎ ‎∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β,‎ a∥b′显然不可能，因此b∥a.‎ 例2 如图7，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,aα,a⊥AB.‎ 求证:a∥l.‎ 图7‎ 证明：l⊥平面EAB.‎ 又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA.‎ 又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.‎ ‎∴a∥l.‎ 例2 如图8,已知直线a⊥b，b⊥α，aα.‎ 求证：a∥α.‎ - 6 -‎ 图8‎ 证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作平面β，设α∩β=a′,‎ ‎∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b,‎ ‎∴b′⊥α.‎ 又∵a′α,∴b′⊥a′.‎ 由a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.‎ 例3 如图9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.‎ ‎（1）求证：MN⊥CD；‎ ‎（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.‎ 图9‎ 证明：(1)取PD中点E,又N为PC中点,连接NE,则NE∥CD,NE=CD.‎ 又∵AM∥CD,AM=CD,‎ ‎∴AMNE.‎ ‎∴四边形AMNE为平行四边形.‎ ‎∴MN∥AE.‎ ‎∵CD⊥AE.‎ ‎(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形,‎ 则AE⊥PD.又MN∥AE,‎ ‎∴MN⊥PD,PD∩CD=D.‎ ‎∴MN⊥平面PCD.‎ - 6 -‎ 变式训练 ‎ 已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交，并且和a、b、c三条直线成等角.求证：l⊥α.‎ 证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，‎ ‎∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，‎ ‎∴△POA≌△POB≌△POC.‎ ‎∴PA=PB=PC.取AB的中点D,‎ 连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB.‎ ‎∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.‎ ‎∵PO平面POD,∴PO⊥AB.‎ 同理,可证PO⊥BC.‎ ‎∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.‎ 若l不经过点O时，可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，‎ ‎∴l⊥α.‎ 课堂练习：‎ ‎1．若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是 （ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2．已知与是两条不同的直线，若直线平面，①若直线，则；②若，则；③若，则；④，则。上述判断正确的是 （ ）‎ ‎①②③ ②③④ ①③④ ②④‎ ‎3．在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）‎ ‎4、如图，直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，‎ - 6 -‎ 求证：平面 课堂小结 知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.‎ 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.‎ 作业 课本习题2.3 B 组1、2.‎ - 6 -‎