《分式方程的概念和解法》教学设计

一、内容和内容解析 1．内容 分式方程的概念和解法． 2．内容解析 分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸和发展，是人们对方程认识的一次提升． 解分式方程的基本思想是将分式方程化为整式方程，其关键步骤是去分母．去分母时可能引起方程同解性的变化．因此，检验分式方程的根是解分式方程过程中必不可少的重要环节． 利用去分母的方法将分式方程化为整式方程，并把整式方程逐步化为的形式，然后对分式方程的根进行检验，这一过程蕴含着化归思想． 基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用去分母的方法解分式方程． 二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）了解分式方程的概念； （2）会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单分式方程，体会化归思想； （3）了解需要对分式方程的解进行检验的原因． 2．目标解析 （1）学生知道分式方程的特征，能识别分式方程； （2）学生知道解分式方程要经历“去分母”“解整式方程”“检验”“得出分式方程的解”4个步骤，并能按照步骤解分式方程；知道“去分母”就是在分式方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程；“解整式方程”目前就是解一元一次方程，逐步化为的形式；“检验”就是指用代入的方法检验所求的整式方程的解是否为原分式方程的解．在解分式方程的过程中，体会化归思想和程序化思想． （3）学生知道在解分式方程时，当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于原分式方程两边同时乘0，使原方程的解发生变化，因此需要检验． 三、教学问题诊断分析 学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情境，学生对此内容的接受会有很大困难，特别是产生增根的原因，学生没有认知准备．学生在解整式方程时，往往会有一种思维定势，即所有遇到的方程都是有解的，因此对有些分式方程“无解”产生疑惑和不理解，尤其不明白产生增根的原因． 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：了解用去分母的方法解分式方程产生增根的原因． 四、教学过程设计 1．了解分式方程的概念 问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程．仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？ 师生活动：学生独立思考并回答． 【设计意图】由实际问题引出分母中还有未知数的方程，让学生了解研究分式方程的必要性． 追问1  方程，，，与上面的方程有什么共同特征？ 师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现这几个方程不同于原来熟悉的方程，其特征是分母中含有未知数．师生共同概括出分式方程的概念---分母中含有未知数的方程叫做分式方程．教师指出，我们以前学习的方程都是整式方程，他们的未知数不在分母中． 【设计意图】让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性---分母中含有未知数，同时为后续探索解分式方程的基本思路（转化为整式方程）和关键步骤（去分母）做好铺垫． 问题2  你能再写出几个分式方程吗？ 师生活动：学生思考并回答． 【设计意图】让学生进一步巩固对分式方程概念的认识． 2．初步辨析，强化认识 例1 下列式子中，属于分式方程的是        ．属于整式方程的是        （填序号）． （1）；（2）；（3）；（4）． 师生活动：学生通过独立思考和合作交流，解决问题． 【设计意图】用概念进行判断，让学生进一步理解分式方程的概念． 3．探索分式方程的解法 例2 解分式方程． 师生活动：教师提出问题，学生独立思考，并尝试解这个方程，学生代表将不同的解法展示在黑板上，学生互相交流． 【设计意图】让学生在已有知识经验基础上，尝试解分式方程． 问题3 这些解法有什么共同特点？ 师生活动：学生讨论之后，教师总结，这些解法的共同特点是先去分母将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．进而通过以下几个问题明确解分式方程的方法和依据： （1）如何将分式方程转化为整式方程？ （2）如何去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 学生思考后得出结论：对于分式方程，通过去分母就可化为整式方程了．利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子---各分母的最简公分母． 师生共同分析解法：方程两边同时乘各分母的最简公分母，得到，即．解得． 【设计意图】通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母． 追问  你得到的解一定是方程的解吗？ 师生活动：学生回答问题，相互补充． 【设计意图】让学生知道检验分式方程的解的方法──将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等；学生通过检验，发现这个整式方程的解就是元分式方程的解；说明上述解分式方程的方法是有效的，进而得知：将分式方程去分母化为整式方程是解分式方程必要和有效的步骤． 3．分析增根产生的原因 例3  解分式方程． 师生活动：教师提出问题，学生在独立思考后解此方程，得出去分母后的整式方程的解．有的学生认为是原分式方程的解，有的学生发现，当时，分式，都没有意义，但不能解释原因． 【设计意图】（1）让学生积累去分母的经验，去分母的通法是分式两边同乘最简公分母；（2）让学生感受到在去分母解分式方程的过程中已经对原分式方程进行了变形，这种变形可能会使方程的解发生变化． 追问1  整式方程的解是分式方程的解吗？如何验证？ 师生活动：学生先独立思考问题，然后相互交流．最后达成共识：是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解． 【设计意图】让学生发现问题---整式方程的解使原分式方程的分母为0，无法说明原分式方程两边的值是否相等；得出结论---这个整式方程的解不是原分式方程的解，所以原分式方程无解；获得猜想---可能存在一些分式方程，它们无解． 追问2  上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程的解是分式方程的解，而整式方程的解却不是分式方程的解呢？ 师生活动：教师针对上述两个分式方程的解答过程提出问题，学生独立思考，然后小组交流，教师适时点拨．最后达成共识：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否会引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0；对解进行检验时，主要有两种方式，其一是将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；其二是将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0． 【设计意图】让学生了解分式方程产生增根的原因---当整式方程的解使得所乘最简公分母不等于0时，相当于方程两边同时乘以非0数，方程的解不发生变化；当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于方程两边同时乘以0，方程的解发生变化，就出现了分母为0的情况． 问题4  回顾解分式方程与的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应注意什么？ 师生活动：学生回答，并相互补充，最后达成共识：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，一般步骤是“去分母”“解整式方程”“检验”，其中“去分母”是关键．去分母的通法是将方程两边同乘最简公分母，由于去分母后得到的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验，检验的方法有两种：一是将整式方程的解代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等；另一种是将整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母的值是否为0．其中第二种方法更简捷． 【设计意图】让学生在解具体的分式方程后，反思解题思路和步骤，体会化归思想和程序化思想，积累解题经验． 4．巩固分式方程的解法 例4 解下列方程： （1）；     （2）． 师生活动：师生共同分析解答（1），教师板书．学生独立完成（2）然后分组交流．并对错解进行展示，共同分析错误原因． 【设计意图】规范解分式方程的步骤和格式，加深对分式方程解法的认识． 5．小结 师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了什么内容？ （2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？ 师生活动：学生思考并回答． 【设计意图】通过小结，帮学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心──探索分式方程的解法． 6．布置作业 教科书习题15．3第1题． 五、目标检测设计 1．下列方程中，是分式方程的是(     ) ．　　　A．      B．      C．        D． 【设计意图】考查学生对分式方程的掌握情况． 2．将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘（    ）． A．      B．      C．       D． 【设计意图】考查学生对解分式方程的关键步骤“去分母”的掌握情况． 3．解方程： （1）；（2）；（3）． 【设计意图】考查学生对分式方程的解法的掌握情况．