平方差公式
项目
内容
课标要求
能推导乘法公式：，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。
核心素养
本节课需要达成的素养有：数学抽象、数学运算。具体表现在：观察由多项式乘法得到的结果，前面两个因式和结果分别具有什么特点，抽象为一般形式，得到平方差公式，把握公式的结构特征。会用公式计算，并能倒用公式简化计算。
整合理念
将代数与几何相结合，从两方面推导平方差公式，为后面的因式分解做好铺垫。
教材分析
《平方差公式》是青岛版七年级下册第12章《乘法公式与因式分解》第1节的内容。平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。
本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。
学情分析
学生的知识技能基础：在七年级上册，学生已经学过有理数的运算、用字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算的知识基础和基本方法。第11章学过幂的运算、整式乘法 等知识，为本节课的学生的活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，养成了一定的符号感和推理能力。同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力。学习奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法。
学习目标
【预习目标】
借助几何图形和多项式乘法，推导得出平方差公式，会简单应用。
【探究目标】
借助几何图形和多项式乘法法则，探索平方差公式，说出公式的结构特征，会识别a和b，并能用公式简化计算过程。
【训练目标】
会用平方差公式计算多项式的乘法。
重点难点
平方差公式的推导和应用。
突破措施
通过几何图形的拼接探索出平方差公式，同时用多项式乘法法则进行证明，了解它的几何和代数意义。引领学生明确：要用平方差公式，关键是找出公式中的a和b，在套用公式的时候注意整体思想的应用，不要漏掉某一个数字或字母。
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学习方法
自主--合作—探究--生成
三次培训
预习培训：
①认真阅读课本P110—P112，用红笔勾画关键词；②结合自己拼接的图形，探究平方差公式。③针对预习案再二次阅读教材，解答预习案中的相关问题，能用自己的话描述平方差公式的几何和代数意义。④合上课本，思考预习案中的问题，根据自己的理解按要求完成相关的问题。⑤把你自己的疑惑与大家一起分享，写在【我的疑惑】栏中.
课前培训：
学科组长培训：充分发挥好学科小组长的指挥作用，具体事项如下：
①关注组员的自主探究进度，做好调控，如果组员全员完成，可组织组员展开静悄悄的讨论，初步解疑。 ②然后根据组内讨论情况，变学习小组为问题小组，各取所需。③ 各取所需回到小组内，巩固整理学案。
学科班长培训：充分发挥好自身的作用，做好本节课的评价总结。
课中培训 ：
①深入各小组了解探究进度，对组内问题引导深入思考，搜集讨论中学生的错点、新想法，二次备课。强调新生成问题充分讨论，边讨论边整理。②对展示同学的展示速度和展示的规范度做即时性培训。
课前准备：激情、状态、动作干净利落，做好课前准备（课本、学案、双色笔、练习本）。
学习过程
学习活动设计
学生活动
设计意图
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创设情景
(x+5)(x-5)
用庄园主租地的实际问题，王大爷到底是吃亏了没有，引入本节课要研究的内容——平方差公式。
1. 学生做好充分的课前准备。
x2
2. 学生认真分析实际问题，跟着老师抛出的问题积极思考。
1.利用身边的、学生所熟悉的探究背景，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
2.观察多媒体演示的土地的变化过程，判断庄园主的作法。
解读目标
本节课主要是借助几何图形和多项式乘法法则，探索平方差公式，说出公式的结构特征，会识别a和b，并能用公式简化计算过程。
学生认真倾听，对本节课的内容的重点、核心问题做好心中有数，结合学习目标展开探究学习。
通过解读学习目标首先使学生对本节的核心内容有系统的认识，在课堂上有的放矢，对与核心内容有关的核心素养有基本的了解。
素养形成
a
带着我们的目标，以及预习所得的收获，自主完成导学案的例题。有展示任务的小组到相应的地点进行展示，没有展示任务的同学在下面独立完成学案。老师在此期间做好巡视工作，抓住学生的易错点，为后面的深度学习做准备。同时对展示的内容进行详细的浏览，注重生成性问题的收集。
学生先根据学案和课本的内容，结合情境大胆的进行题目的探究。
在自主探究的过程中让学生经历将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，然后利用数学知识加以解决的过程，积累活动经验，增强学生的应用意识。
素养提升
1.这个环节充分发挥小组长的作用。①小组长关注组员的自主探究进度，做好调控，如果组员全员完成，可组织组员展开静悄悄的讨论，初步解疑。
②
1.先组内讨论，找出自己的问题所在。
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然后根据组内讨论情况，变学习小组为问题小组，指导组员展开分散学习，各取所需。
③各取所需回到小组内，整理巩固自己的学案。
2.老师自始至终深入小组，随时了解学情，帮助他们解决个别疑问，同时预设好质疑点。
3.“疑问区”的问题探究学习时，引导学生们积极交流，解决疑问。
2.根据自己的问题，合理选择组间讨论的对象，并积极质疑，进行智慧的碰撞。
3.将自己的疑问写到疑问区。回到自己的位置，进行巩固落实。
由于学生之间的思维层次和思维模式比老师与学生之间接近，所以针对探究过程中学生出现的自己不能独立解决的问题，学生之间相互讨论，让他们进行碰撞，如果组内不能解决的问题，根据自己的情况到相应的地点进行知识的选购。
通过分散学习，进一步理清。
善于发现和解决生成性问题。
深度学习
1. 平方差公式的结构特征。
2. 怎样判断公式中的a和b。
3. a和b分别可以代表什么样的式子。
4. 学习了平方差公式有什么好处。
注意：核心问题及学生生成性问题研究
学生谈谈本节课的收获，不断的补充，将本节课的所有内容进行梳理。
让学生把自己的想法说出来，在学生表述的基础之上进行点拨和拔高，从而让学生内化、应用。
整理落实
学生自主整理学案。
学生针对自己的情况，巩固基础。
留出时间让学生整理，学会归纳反思。
课堂总结
由学科班长总结本节课所学内容，表彰优秀的小组和个人。
学科班长总结表彰，下面的同学激情互动。
通过评价激发学生的学习热情，可以让学生在课堂上更有激情的参与。
课堂评价
1.坐姿端正、全员参与，高效利用，学生们的学习状态、参与程度是我们上课评价的重要方面。
2.学生们积极回答问题每人加3分，质疑者双倍加分。
3.课堂上的优秀个人，每人加10分，优秀小组每人加5分。
4.展示点评优秀的小组加3--5分不等。
5.活动环节优秀的小组加5分。
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教学反思
在本节课的教学设计中从狡猾庄园主的租地事例引出课题， 借助前面的经验让学生自主探索平方差公式，利用多项式乘以多项式法则从代数的角度验证了平方差公式，同时利用割补法求图形的面积再次从几何的角度验证了平方差公式的正确性。这样的设计充分利用了学生原有的知识和经验基础，有利于学生知识体系的形成，让学生深刻体会了解决不同的问题时蕴涵的相同数学思想方法。
对学生的评价也作出了相应的改进：不仅关注习题的正确率，而且更加注重对学生以下两方面的评价：一是学生在活动中的投入程度，如是否能积极主动地投入活动，向同伴解释自己的想法，听取别人的意见和建议等；二是学生在活动中的水平，如是否能通过独立思考探索出运算法则，是否能有条理的表达自己的思考过程，是否有独特的解决问题的方法，是否能进行反思并提出一些新的问题等.采用这样的教学和评价方式可以更好地提高学生解决问题的能力，丰富他们解决问题的策略，从而实现对数学思维的培养。
主题：数与式——乘法公式与因式分解 课题：平方差公式 预习案
班级：______ 小组：______ 姓名：_______ 评价： ______
【预习目标】
借助几何图形和多项式乘法，推导得出平方差公式，会简单应用。
【学法指导】
1.认真阅读课本P110—P111，了解平方差公式的推导过程，用红笔勾画关键词；
2.阅读例1和例2，判断什么样的式子能用平方差公式计算，然后完成预习案；
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，准备课上讨论质疑。
【课前准备】每人准备一张正方形的纸片，借助纸片，了解公式的几何背景。
【情境导航】
一、几何意义。
观察下图，有一个边长为a的正方形（图1），在其右下角剪去一个边长为b的小正方形，把①和②拼成图2，求剩下的图形的面积.
a
a-b
a+b
=
－—
b
a-b
b
b
① ② ①
②
图2 图1
问题1.图1和图2中阴影部分的面积各是多少？
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问题2.通过上面的操作，你发现图1和图2中阴影部分的面积有什么关系？
问题3.用式子表示出上面图形的关系。
二、代数意义。
问题4.用多项式的乘法法则，计算下面各题。
问题5.观察上面式子的特点，以及最后的结果，你有什么发现？
【问题总结】
通过前面的探究，试用符号语言和文字语言描述平方差公式。
符号语言：
文字语言：
【素养初探】
判断下列式子能否用平方差公式计算，如果可以，请写出答案；如果不可以，请说明理由。
① ②
③ ④
【我的疑惑】
请将你在预习过程中遇到的疑问写在下面，以便课上与同学交流和质疑！
自评：
理由：
【情境链接】 任何整数都能写成两个整数的平方差吗
我们知道
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因此，2015能写成两个整数的平方差。
是不是任意整数都能写成两个整数的平方差呢？
一般地，任意奇数都可以写成两个整数（并且是相邻的）的平方差。
事实上，
任意偶数也能写成两个整数的平方差吗？不妨看2012.由于
因而，2012能写成两个整数的平方差。
一般地，形如4n（n为正整数）的偶数可以写成两个整数的平方差。
事实上，
主题：数与式—乘法公式与因式分解 课题：平方差公式 探究案
班级：__________ 小组：_______ 姓名：__________
【课标要求】
能推导乘法公式：，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。
【学科素养】
本节课需要达成的素养有：数学抽象、数学运算。具体表现在：观察由多项式乘法得到的结果，前面两个因式和结果分别具有什么特点，抽象为一般形式，得到平方差公式，把握公式的结构特征。会用公式计算，并能倒用公式简化计算。
【整合理念】
将代数与几何相结合，从两方面推导平方差公式，为后面的因式分解做好铺垫。
【学习目标】
借助几何图形和多项式乘法法则，探索平方差公式，说出公式的结构特征，会识别a和b，并能用公式简化计算过程。
【重点难点】
平方差公式的推导和应用。
【学法指导】
认真回扣课本和预习案内容，明确平方差公式的结构特征，在此基础上完成探究案；有能力的同学挑战“素养提升”。
探究问题：平方差公式的应用
【基础探索】
例1.利用平方差公式计算。
(1). (2).
(3). (4).
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【能力养成】
例2.平方差公式的妙用。
（1） 103×97 （2） 20172-20162
★【素养提升】（有能力的同学选作）
计算：
【构建反思】
基础知识自我构建：
数学思想方法总结：
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