综合与实践 多边形的密铺
【目标确定的依据】
1. 相关课程标准的陈述
（1）结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题.
（2）会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进行交流，进一步获得数学活动经验.
（3）通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力.
2.教材分析
《多边形的密铺》是在前面已经学习了三角形和多边形的内角和等相关知识的基础上进行的，是对三角形及多边形的相关知识的一种应用、延续和升华.教材中通过让学生经历图形的观察、思考、归纳作出推断的全过程，掌握多边形密铺的条件，发展学生的应用意识.
3.学情分析
七年级下学期的学生思维活跃、求知欲强，对事情有自己的看法，他们的学习在很大的程度上受着兴趣、情感的支配.因此动手实践活动能激发他们学习的兴趣，同时为理性思考奠定基础.
【教学目标】
1. 通过动手进行简单的密铺，知道哪一种多边形或两种正多边形的组合可以密铺.
2. 通过探索多边形的密铺条件，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
3.体会多边形的密铺在现实生活中的广泛应用，提高学生的审美情趣，增强创造意识.
【教学重难点】
重点：多边形密铺条件的探索
难点：多边形密铺条件的理解
【课前准备】
学生用硬纸片制作6个边长为5厘米的正三角形、正方形、正五边形、正六边形以及任意三角形、四边形各6个.
【教学过程】
一、情境设置，引入课题
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过渡语：我们的城市在飞速发展，新建了许多高楼大厦，在地面、房间装修中少不了要铺地砖、贴壁纸。工人师傅用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖不留空隙，把地面或墙面全部覆盖，这就用到多边形的密铺。本节课的课题就是研究——《多边形的密铺》（板书课题），探究密铺里面的数学知识。那么从数学的角度来讲，什么是多边形的密铺呢？
设计意图：多边形的密铺在日常生活中的一些常见的和不常见的应用,目的是用以丰富学生的感知,领会多边形的密铺在实际生活中的广泛应用并引出课题，激发了学生学习的积极性.
二、自主研究，明晰定义
过渡语：请同学们欣赏课件上的图案。观察这些多边形的密铺图案，思考下列问题：
（1）这些图案分别是由哪种多边形拼接而成的？
（2）组成这些图案的相邻多边形之间有无空隙？有无重叠？
（课件呈现）：像这样，由若干个多边形既无空隙、又不重叠地拼接，将平面完全覆盖，称为多边形的密铺。
（3）说出多边形的密铺的定义中的要点有哪些？（1．它是拼接的平面图案；2．拼接时要像图中那样做到无空隙无重叠）
设计意图：对于七年级的学生，用规范严密的的语言概括定义有很大的难度也不符合课标要求，通过让学生结合图形和问题引导说出定义的要点并对此进行辨析，使学生能够很好地对定义进行体验，也培养了学生对数学定义的概括和表达能力.
三、实验操作，合作探究
过渡语：利用多边形的密铺我们可以得到一些漂亮的图案，下面我们就来利用简单的多边形动手拼接图案，看其中有什么奥妙吧！我们先来研究一种平面图形的密铺。
实验一：一种平面图形的密铺
请同学们拿出准备好的多边形纸片，每人选择一种图形铺一铺，看用同一种多边形能否密铺成平面图案？完成后六人一起观察拼出的图案，思考下列问题，思考后在小组内互相交流，再汇报。
（1）用手中的三角形、四边形、正三角形、正方形、正五边形、正六边形分别拼接一个平面图案，在上述几种正多边形中，哪些能拼接成平面图案？哪些不能？
（2）相邻多边形的顶点、边、内角满足什么条件才能实现多边形密铺？
（3） 计算拼接的公共点处各内角的度数，探究解释：正三角形、正方形、正六边形能够密铺的原因是什么？正五边形不能密铺的原因是什么？
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（4）用若干个形状相同、大小相等的三角形、四边形能否进行密铺？密铺时，除考虑公共顶点处要拼成一个周角处，还应当注意什么？
学法指导：学生运用手中的模型进行操作实验，小组合作交流解答问题，在此过程中教师要同步引导学生注意探究过程的严谨性：要规范密铺，以培养学生良好的探究习惯；完成后组织课堂展示形成共识：正三角形、正四边形、正六边形能够单独进行密铺，正五边形不能单独进行密铺.能够拼接的原因是同一顶点处的内角组成了一个周角，即360°是一个内角的整数倍；不能拼接的原因则是同一顶点处的内角不能组成周角，也就是说，360°不是一个内角的整数倍.任意三角形、四边形的密铺，让学生通过操作中体验到除考虑公共顶点处要拼成一个周角处，还应当等边拼一起。
学习方法：通过课件图片，在请学生欣赏的同时教师作以引导：“从图中我们可以看出，用相同的任意三角形、四边形和正六边形都能够拼出非常美丽的图案，而几种正多边形组合后拼接的图案会更加丰富多彩，有的还能拼出神奇的效果”。我们再来研究几种正多边形组合的密铺。
实验二：两种平面图形的密铺
过渡语：为了让密铺的图形更有变化，更加美观，我们还可以用几种图形组合密铺，为了研究方便，我们来探究一下哪些正多边形的的组合可以密铺。本节课重点研究哪两种正多边形的的组合可以密铺。
请同学们拿出准备好的多边形纸片，小组成员一起试一试看用哪两种正多边形组合能否密铺？完成后六人一起观察拼出的图案，思考下列问题，思考后在小组内互相交流，再汇报。
（1）通过实验或阅读课本，你知道用哪两种正多边形组合能否密铺？
（2）用两种正多边形实现密铺时在一个拼接点处有什么特点?
（3）用正五边形和正十边形能否密铺？为什么？
学法指导：学生运用手中的模型进行操作实验，小组合作交流解答问题，在此过程中教师要同步引导学生组织课堂展示形成共识：两种正多边形组合能密铺的组合有正三角形和正方形、正三角形和正十二边形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形。用两种正多边形实现密铺时在一个拼接点处各个角的和是360°才可能实现密铺。借助演示认识到正五边形和正十边形虽然满足密铺条件，但不能铺满整个平面，说明密铺还应满足延续性。
过渡语：在一个拼接点处各个角的和是360°才可能实现密铺，用三种或三种以上正多边形实现密铺时这个条件也是关键条件。现在请大家欣赏两种以上的图形组合进行的密铺。(多媒体出示图片)
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四、课堂总结，作业布置
同学们，今天我们一起研究了多边形的密铺。你有哪些收获？说一说让大家分享一下。在我们的生活中也有很多美丽的密铺图案，希望大家学了今天的知识，能用数学的角度理性观察与思考。课下请同学们以“装修中的数学”为题写一篇数学小论文，要用到本节课所学的多边形的密铺知识。
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