人教版九年级下册数学知识点总结.doc

1 人教版九年级下册数学知识点总结 26 反比例函数 一、反比例函数的概念 　　1． （ ）可以写成 （）的形式，注意自变量 x 的指数为 ，在解决 有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件； 　　2． （ ）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析 式中的 k，从而得到反比例函数的解析式； 　　3．反比例函数 的自变量 ，故函数图像与 x 轴、y 轴无交点． 二、反比例函数的图像画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象 限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量 ， 函数值 ，所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐 标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切 忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 0x ≠ 0y ≠2 三、反比例函数及其图像的性质 　　1．函数解析式： （ ） 　　2．自变量的取值范围： 　　3．图像： （1）图像的形状：双曲线， 越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。 越小， 图像的 弯曲度越大。 （2）图像的位置和性质： 当 时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 （3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ） 在双曲线的另一支。图像关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则 （ ， ）和（ ， ）在双曲线的另一支上。． 　　4．k 的几何意义 　　如图 1，设点 P（a，b）是双曲线 上任意一点，作 PA⊥x 轴于 A 点，PB⊥y 轴 于 B 点，则矩形 PBOA 的面积是|k|（三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是 1/2|k|）。 　　如图 2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QC⊥PA 的延长线于 C，则有三角形 PQC 的面积为 2|k|。 3 　　5．说明： 　 （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别 讨论，不能一概而论。 　　 （2）直线 与双曲线 的关系： 　　当 时，两图像没有交点；当 时，两图像必有两个交点，且这两个交 点关于原点成中心对称． 四、实际问题与反比例函数 　　1．求函数解析式的方法： 　 （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式。 　　2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． 五、充分利用数形结合的思想解决问题 27 相似三角形 一、图形的相似 1．图形的相似：如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。 （相似的符号：∽）4 性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。 2．判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形 相似。 3．相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为 1 时，相似的两个图形 全等。 二、相似三角形 1．性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角 形与原三角形相似。 2．判定.①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。② 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角 形相似。③如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似。 (①三边对应成比例②两个三角形的两个角对应相等；③两边对应成比例,且夹角 相等；④相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆 半径、内切圆半径等）的比等于相似比。) 3．相似三角形应用 视点：眼睛的位置；仰角：视线与水平线的夹角；盲区：看不到的区域。 4．相似三角形的周长与面积：①相似三角形周长的比等于相似比。②相似多边形 周长的比等于相似比。③相似三角形面积的比等于相似比的平方。④相似多边形 面积的比等于相似比的平方。 三、位似 5 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点， 对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的 相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k， 那么位似图形的对应点的坐标的比等于 k 或-k。 注意 1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形， 而相似图形不一定是位似图形； 2、两个位似图形的位似中心只有一个； 3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； 5．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于 相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位 似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 6．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图 形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 28 锐角三角函数 一、锐角三角函数 1．正弦：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边a与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ∠A的对边/斜边=a/c； 2.余弦：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边b与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ∠A的邻边/斜边=b/c； 3.正切：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=6 ∠A的对边/∠A的邻边=a/b。 ①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示 “tan”乘以“A”；④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 4、余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA， 即cotA=∠A的邻边/∠A的对边=b/a； 5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 （通常我们称正弦、余弦互为余函 数 。 同 样 ， 也称正切、余切互为余函数，可以 概 括 为 ： 一 个锐角的三角函数等于它的余角的 余 函 数 ） 用 等式表达： 若∠A 为锐角，则①sinA = cos(90°− ∠A）等等。 6、记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。 7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或 减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。0≤sinα≤1，0≤ cosα≤1。 同角的三角函数间的关系：tanα·cotα=1，tanα=sinα/cosα， cotα=cosα/sinα，sin2α+cos2α=1 二、解直角三角形 1.解直角三角形: 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。7 2．在解直角三角形的过程中用到的关系:(在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所 对的边分别为a、b、c，) （1）三边之间的关系：a2+b2=c2；(勾股定理) （2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°； （3)边与角之间的关系： sinA =a/c；(a= c sinA) cosA =b/c；(b= c cosA) tanA=a/b。 sinA= cosB cosA =sinB sinA= cos(90°-A) sin2α+cos2α=1 29　 投影与视图 一、投影 1．投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做 物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。(光源特别远) 3．中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影 4．正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。物体正投影的形状、大小与 它相对于投影面的位置有关。 5．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。 当物体的某个面顶斜于投影面时，这个面的正投影变小。当物体的某个面垂直于投影 面时，这个面的正投影成为一条直线。　 二、三视图 1．三视图：是观测者从三个不同位置(正面、水平面、侧面)观察同一个空间几何体而8 画出的图形。三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。另外还有如剖面图、半剖 面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 2．主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图。 3．俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图。 4．左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图。 5．三个视图的位置关系：①主视图在上、俯视图在下、左视图在右； ②主视、俯视表示物体的长，主视、左视表示物体的高，左视、俯视表示物体的宽。③ 主视、俯视 长对正 ，主视、左视 高平齐，左视、俯视 宽相等 。 6．画法：看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其它部分遮档而看不见的部分的轮廓 线画成虚线。