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11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解三角形的高、中线、角平分线的概念;
2.会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线.
【过程与方法】
1.让学生经历画三角形的高、中线、角平分线过程,理解三角形的高、中线、角平分线的特点以及符号语言和图形语言的表达方法;
2.培养学生观察、分析、作图、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践操作、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
三角形的高线、中线、角平分线的概念及画法.
【教学难点】
探究三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线都交于一点的过程.
◇教学过程◇
一、情境导入
有一块三角形的地,小明的爸爸想种花草,妈妈想种菜.于是想平分三角形的面积,一半种花草,一半种菜,不知如何作,小明说,这还不好办,做一边的中线就行了,聪明的你,能帮他们家把这块地分成面积相等的两部分吗?知道小明这样做的原因吗?
二、合作探究
探究点1 三角形的高
典例1 如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,AD,BE相交于点F,连接CF.
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(1)在△ABC中,AC边上的高为 ,BC边上的高为 ;
(2)在△ABD中,AD边上的高为 ;
(3)在△BCE中,CE边上的高为 ;
(4)在△BCF中,BC边上的高为 ;
(5)在△ABF中,AF边上的高为 ,BF边上的高为 .
[解析] 三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边所在直线引垂线,顶点和垂足间的线段.
[答案] (1)BE;AD
(2)BD
(3)BE
(4)FD
(5)BD;AE
【归纳提升】锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点.
变式训练 下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高的是( )
[答案] D
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探究点2 中线的特性
典例2 三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形
C.直角三角形 D.周长相等的三角形
[解析] 根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义,知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形,所以它们的面积相等.
[答案] B
【技巧点拨】三角形的中线把三角形分为两个等底同高的三角形,这两个三角形的面积相等.
探究点3 三角形的角平分线
典例3 如图,CD,BE分别是△ABC的角平分线,它们相交于点I,则:
(1)∠ACD=∠ = ∠ACB,∠ABC= ∠ABE.
(2)BI是∠ 的平分线,CI是∠ 的平分线.
(3)若∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BIC= 度.
(4)你能画出△ABC的第三条角平分线吗?
[解析] (1)BCD;;2.
(2)ABC;ACB.
(3)110°.
(4)连接AI并延长,即为∠BAC的角平分线.
探究点4 三角形的中线与周长
典例4 如图,AD是△ABC的中线,且AB=10 cm,AC=6 cm,求△ABD与△ACD的周长之差.
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[解析] ∵AD为中线,
∴BD=CD,
∴△ABD与△ACD的周长之差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,
∵AB=10,AC=6,
∴△ABD与△ACD的周长之差=10-6=4 cm.
变式训练 在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34 cm,△ABD的周长为30 cm,求AD的长.
[解析] 由题意得AB+AC+BC=34,AB+AD+BD=30,
∵AB=AC,BD=BC,
∴
②×2得2AB+2AD+BC=60,③
③-①得2AD=26,
∴AD=13 cm.
三、板书设计
三角形的高、中线与角平分线
三角形的高、
中线与角平分线
◇教学反思◇
通过本课时的教学要让学生认识三角形的三条重要线段的概念、图形和它们的相关特性,如三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分,三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都相交于一点的性质,应逐步加强学生几何语言的表达能力.
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