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第一课时 等比数列的概念及通项公式
预习课本P48～50，思考并完成以下问题
(1)等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
(2)等比数列的通项公式是什么？
(3)等比中项的定义是什么？
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
[点睛] (1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；
(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；
(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝(n≥2)或q＝.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±.
[点睛] (1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．
(2)当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．
3．等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.
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1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列( )
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零( )
(3)常数列一定为等比数列( )
(4)任何两个数都有等比中项( )
解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．
(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．
(3)错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列．
(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列数列为等比数列的是( )
A．2,22,3×22，… B.，，，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，…
解析：选B A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合定义．
3．等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B ∵＝·n－1，
∴＝n－1，即3＝n－1，
∴n－1＝3，∴n＝4.
4．已知等比数列{an}为递增数列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝10an＋1，则公比q＝________.
解析：设公比为q，则3(an＋anq2)＝10anq，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝，又因为a1＝－2且数列{an}为等比递增数列，所以q＝.
答案：
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等比数列的通项公式
[典例] (1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
[解析] (1)因为an＝a1qn－1，所以×n－1＝，即n＝5，解得n＝5.
(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.
a＝a10⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
[答案] (1)C (2)2n
等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[活学活用]
在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解：(1)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
(2)法一：因为
由得q＝，从而a1＝32.
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又an＝1，所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
等比中项
[典例] (1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4 B．4
C．± D.
(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
[解析] (1)由an＝×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.
答案：A
(2)证明：因为b是a，c的等比中项，
所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，
即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
(1)由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．
[活学活用]
1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
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解析：选B 因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，
所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9.
2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝＝＝，
所以an＝4×n－1.
答案：4×n－1
等比数列的判定与证明
[典例] 在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．
证明：[法一 定义法]
∵an>0，∴an＋3>0.
又∵an＋1＝2an＋3，
∴＝＝＝2.
∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．
[法二 等比中项法]
∵an>0，∴an＋3>0.
又∵an＋1＝2an＋3，
∴an＋2＝4an＋9.
∴(an＋2＋3)(an＋3)
＝(4an＋12)(an＋3)
＝(2an＋6)2
＝(an＋1＋3)2.
即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列，
∴数列{an＋3}是等比数列．
证明数列是等比数列常用的方法
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(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．
(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．
[活学活用]
(1)已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列．
(2)已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
证明：(1)由已知，有2a2＝a1＋a3，①
a＝a2·a4，②
＝＋.③
由③得＝，所以a4＝.④
由①得a2＝.⑤
将④⑤代入②，得a＝·.
∴a3＝，即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)．
化简，得a＝a1·a5.又a1，a3，a5均不为0，所以a1，a3，a5成等比数列．
(2)依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是bn＝3－n.
而＝＝－1＝2.
∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.
层级一 学业水平达标
1．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1
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C．±1 D．2
解析：选C 设2＋和2－的等比中项为G，
则G2＝(2＋)(2－)＝1，
∴G＝±1.
2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D 因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B ∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，
∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，
解得k＝－2(舍去)或k＝4.
4．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选C ∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，
∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.
5．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
解析：选A 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.
6．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.
解析：∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
答案：(－2)n或－2n
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7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝________.
解析：由题设a1，a3,2a2成等差数列可得a1＋2a2＝a3，即q2－2q－1＝0，所以q＝＋1，＝＝q2＝3＋2.
答案：3＋2
8．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
解析：依题意设原来的三个数依次为，a，aq.
∵·a·aq＝512，∴a＝8.
又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，
∴＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，
∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4.
∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
∴原来的三个数的和等于28.
答案：28
9．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．
解：设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有
(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.
设后三个数分别为，b，bq，则有
·b·bq＝b3＝8 000，即b＝20，
∴这四个数分别为m,16,20，n，
∴m＝2×16－20＝12，n＝＝25.
即所求的四个数分别为12,16,20,25.
10．已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项，求an.
解：设等比数列{an}的公比为q.依题意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，
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∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，
∴a3＝8，a2＋a4＝20，
∴＋8q＝20，解得q＝2或q＝(舍去)．
又a1＝＝2，∴an＝2n.
层级二 应试能力达标
1．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选A 原式＝＝＝.
2．在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝3，则a3＝( )
A．1 B．3
C．±1 D．±3
解析：选A 由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1.
3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于( )
A．607.5 B．608
C．607 D．159
解析：选C ∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，
∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.
4．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
，
，，
…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为( )
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A. B.
C. D.
解析：选C 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
5．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.
答案：an＝3·(－1)n－1
6．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，所求的数为m，则∴d＝2，∴a4＝8，a5＝10，∵a1＋m，a4＋m，a5＋m成等比数列，∴(a4＋m)2＝(a1＋m)(a5＋m)，即(8＋m)2＝(2＋m)(10＋m)，解得m＝－11.
答案：－11
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，
∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝.
∴数列{an}是等比数列．
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8．已知数列{an}是各项为正数的等比数列，且a2＝9，a4＝81.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若bn＝log3an，求证：数列{bn}是等差数列．
解：(1)求数列{an}的公比为q，
∵a2＝9，a4＝81.则q2＝＝＝9，
又∵an>0，∴q>0，∴q＝3，
故通项公式an＝a2qn－2＝9×3n－2＝3n，n∈N*.
(2)证明：由(1) 知an＝3n，∴bn＝log3an＝log33n＝n，
∴bn＋1－bn＝(n＋1)－n＝1(常数)，n∈N*，故数列{bn}是一个公差等于1的等差数列．
第二课时 等比数列的性质
预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题
等比数列项的运算性质是什么？
等比数列的性质
(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.
(3)数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．
(4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.
(5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( )
(2)当q>1时，{an}为递增数列( )
(3)当q＝1时，{an}为常数列( )
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解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确．
(2)错误，当q>1，a1>0时，{an}才为递增数列．
(3)正确，当q＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是( )
A．等差数列
B．以q为公比的等比数列
C．以q2为公比的等比数列
D．以2q为公比的等比数列
解析：选C 因为＝＝q2为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列．
3．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为( )
A．35 B．63
C．21 D．±21
解析：选B ∵{an}成等比数列．
∴a4，a6，a8成等比数列
∴a＝a4·a8，即a8＝＝63.
4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析：∵a6a10＝a，a3a5＝a，
∴a＋a＝41，
又a4a8＝4，
∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49，
∵数列各项都是正数，
∴a4＋a8＝7.
答案：7
等比数列的性质
[典例] (1)在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n
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个数的积为( )
A．10n B．n10
C．100n D．n100
(2)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．
[解析] (1)设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，
则a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2)＝(100)＝10n.
(2)因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，
又因为a3＝16＝24，所以a8＝29.
因为a8＝a3·q5，所以q＝2.
所以a7＝＝256.
[答案] (1)A (2)256
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．
[活学活用]
1．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
解析：选D 因为数列{an}为等比数列，
所以a5a6＝a4a7＝－8，联立
解得或
所以q3＝－或q3＝－2，
故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7.
2．已知等比数列{an}的公比为正数，且4a2a8＝a，a2＝1，则a6＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由4a2a8＝a，得4a＝a，∴q＝，∴a6＝a2q4＝.
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灵活设元求解等比数列问题
[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．
[解析] (1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．即
整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
[答案] 45
(2)解：法一：设前三个数为，a，aq，
则·a·aq＝216，
所以a3＝216.所以a＝6.
因此前三个数为，6,6q.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.
故所求的四个数为9,6,4,2.
法二：设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为(4－d)2，由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.
几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为：
…，，a，aq，aq2…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为：
，，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：
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…，，，aq，aq3，aq5…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.
[活学活用]
在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )
A．－4或 B．4或
C．4 D．17
解析：选B 设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.
由a，，20成等差数列得2×＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4.
当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝.
等比数列的实际应用问题
[典例] 某工厂2016年1月的生产总值为a万元，计划从2016年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？
[解] 设从2016年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．∴an＝a(1＋m%)n－1.
∴2017年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)．
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
[活学活用]
如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A
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2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________.
解析：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝.
答案：
层级一 学业水平达标
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
解析：选A 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
解析：选D 设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，
即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.
3．在正项等比数列{an}中，an＋1
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