人教A版高中数学必修4讲义：第一章 1.5 第二课时函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 第二课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 预习课本P54～55，思考并完成以下问题 ‎(1)在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？‎ ‎ 　‎ ‎ 　‎ ‎(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)有哪些性质？‎ ‎ 　‎ ‎ 　‎ ‎1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 ‎[点睛]　当A＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin的初相不是φ＝－.‎ ‎2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 ‎[－A，A]‎ 周期性 T＝ 对称性中心 (k∈Z)‎ 对称轴 x＝＋(k∈Z)‎ 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得 单调递增区间 由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)的值域为[－， ]．(　　)‎ ‎(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.(　　)‎ ‎(3)函数y＝3sin(2x－5)的初相为5.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×‎ ‎2．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)‎ A．3π，，　　　　　 B．6π，， C．3π，3，－ D．6π，3， 答案：B ‎3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝(　　)‎ A．5 B．－5‎ C．4 D．－4‎ 答案：C ‎4．函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程是________________________．‎ 答案：x＝kπ＋，k∈Z 函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数的物理意义 ‎[典例]　指出下列函数的振幅A、周期T、初相φ.‎ ‎(1)y＝2sin，x∈R；‎ ‎(2)y＝－6sin，x∈R.‎ ‎[解]　(1)A＝2，T＝＝4π，φ＝.‎ ‎(2)将原解析式变形，得y＝－6sin＝6sin，则有A＝6，T＝＝π，φ＝π.‎ 首先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的形式，再求振幅、周期、初相．应注意A＞0，ω＞0.‎ ‎[活学活用]‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎　已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)‎ A．T＝6，φ＝　　　　　 B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝ 解析：选A　T＝＝＝6，‎ ‎∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝.‎ ‎∵－＜φ＜，∴φ＝.‎ 由图象确定函数的解析式 ‎[典例]　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的一部分，求此函数的解析式．‎ ‎[解]　[法一　逐一定参法]‎ 由图象知A＝3，‎ T＝－＝π，‎ ‎∴ω＝＝2，‎ ‎∴y＝3sin(2x＋φ)．‎ ‎∵点在函数图象上，‎ ‎∴0＝3sin.‎ ‎∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．‎ ‎∵|φ|0，ω>0)‎ 的图象的一部分，试求该函数的解析式．‎ 解：由图可得：A＝，T＝‎ ‎2|MN|＝π.从而ω＝＝2，‎ 故y＝sin(2x＋φ)，‎ 将M代入得sin＝0，‎ 取φ＝－，得y＝sin.‎ 三角函数图象的对称性 ‎[典例]　在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．‎ ‎[解析]　设4x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)‎ ‎∴函数y＝2sin图象的对称中心坐标为(k∈Z)．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 取k＝1得满足条件．‎ ‎[答案]　 ‎[一题多变]‎ ‎1．[变条件，变设问]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程．‎ 解：由4x＋＝kπ＋，得x＝－，‎ 取k＝0时，x＝－满足题意．‎ ‎2．[变条件]将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？‎ 解：由4x＋＝kπ＋，得x＝kπ－，‎ 取k＝0时，x＝－.‎ 则所求对称中心为.‎ 三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝Asin(ωx＋φ)‎ 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)‎ 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Acos(ωx＋φ)‎ 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)‎ 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Atan(ωx＋φ)‎ 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标 层级一　学业水平达标 ‎1．简谐运动y＝4sin的相位与初相是(　　)‎ A．5x－，　　　　　　　 B．5x－，4‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ C．5x－，－ D．4， 解析：选C　相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.‎ ‎2．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是(　　)‎ A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析：选D　由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.‎ ‎3．函数y＝sin的图象的一条对称轴是(　　)‎ A．x＝－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝ 解析：选C　由x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－.‎ ‎4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　)‎ A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos 解析：选D　设y＝Asin(ωx＋φ)，显然A＝1，又图象过点，，所以解得ω＝2，φ＝.所以函数解析式为y＝sin＝cos.‎ ‎5．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)‎ A．关于直线x＝对称 B．关于点对称 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ C．关于直线x＝对称 D．关于点对称 解析：选A　依题意得T＝＝π，ω＝2，故f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝1，f ＝sin＝sin＝，因此该函数的图象关于直线x＝对称，不关于点和点对称，也不关于直线x＝对称．故选A.‎ ‎6．y＝－2sin的振幅为________，周期为________，初相φ＝________.‎ 解析：∵y＝－2sin ‎＝2sin＝2sin，‎ ‎∴A＝2，ω＝3，φ＝，‎ ‎∴T＝＝.‎ 答案：2　　 ‎7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.‎ 解析：由题意设函数周期为T，‎ 则＝－＝，∴T＝.‎ ‎∴ω＝＝.‎ 答案： ‎8．函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)在一个周期内，当x＝时，函数f(x)取得最大值2，当x＝时，函数f(x)取得最小值－2，则函数解析式为______________________．‎ 解析：由题意可知A＝2.＝－＝，‎ ‎∴T＝π，∴＝π，即ω＝2.‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 答案：f(x)＝2sin ‎9．求函数y＝sin图象的对称轴、对称中心．‎ 解：令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．‎ 令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)．‎ 即对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．‎ ‎10．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个周期内的图象．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期、频率、振幅、初相．‎ 解：(1)由图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，‎ ‎∴ω＝＝＝，∴f(x)＝2sin.‎ 将点(－1,0)代入，得0＝2sin.‎ ‎∵|φ|＜，∴φ＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ ‎(2)由(1)，知f(x)的最小正周期为＝8，‎ 频率为，振幅为2，初相为.‎ 层级二　应试能力达标 ‎1．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的定义域为R，周期为，初相为，值域为[－1,3]，则函数f(x)的解析式为(　　)‎ A．y＝2sin＋1‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ B．y＝2sin－1‎ C．y＝－2sin－1‎ D．y＝2sin＋1‎ 解析：选A　∵－A＋B＝－1，A＋B＝3，‎ ‎∴A＝2，B＝1，‎ ‎∵T＝＝，‎ ‎∴ω＝3，又φ＝，‎ 故f(x)＝2sin＋1.‎ ‎2．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f(2 017)＝(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　 B．1‎ C． D．－ 解析：选B　由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝.由点(1,1)在函数图象上可得f(1)＝cos＝1，所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝.故f(x)＝cos，f(2 017)＝cos＝cos 506π＝cos(253×2π)＝1.‎ ‎3．已知函数f(x)＝2sin，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选B　∵f(x)≥1，即2sin≥1，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∴sin≥，‎ ‎∴＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z.‎ 解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.‎ ‎4．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则(　　)‎ A．f(x)的图象过点 B．f(x)在上是减函数 C．f(x)的一个对称中心是 D．f(x)的最大值是A 解析：选C　∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.‎ 又∵f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ＝.‎ ‎∴f(x)＝Asin.‎ ‎∴f(x)图象过点.‎ 又当x＝时，2x＋＝π，即f ＝0，‎ ‎∴是f(x)的一个对称中心．‎ ‎5．在函数y＝－2sin的图象与x轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．‎ 解析：当y＝0时，sin＝0，‎ ‎∴4x＋＝kπ，k∈Z，‎ ‎∴x＝π－，k∈Z，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 取k＝0，则x＝－，取k＝1，则x＝，‎ ‎∴离原点最近的交点坐标.‎ 答案： ‎6．若函数y＝sin(ω＞0)图象的对称轴中与y轴距离最小的对称轴方程为x＝，则实数ω的值为________．‎ 解析：令ωx＋＝＋kπ，k∈Z，得函数图象的对称轴方程为x＝π＋，k∈Z.‎ 根据题意得k＝0，所以＝，解得ω＝.‎ 答案： ‎7．已知函数f(x)＝2sin＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.‎ ‎(1)求f 的值；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．‎ 解：(1)∵f(x)为偶函数，‎ ‎∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝kπ＋(k∈Z)．‎ 又0＜φ＜π，∴φ＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin＋1＝2cos ωx＋1.‎ 又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为，‎ ‎∴T＝＝2×，‎ ‎∴ω＝2，∴f(x)＝2cos 2x＋1，‎ ‎∴f ＝2cos＋1＝＋1.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数f 的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f 的图象，‎ 所以g(x)＝f ＝2cos 2＋1‎ ‎＝2cos＋1.‎ 当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．‎ ‎∴函数g(x)的单调递减区间是 ‎(k∈Z)．‎ ‎8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？‎ 解：(1)A＝3，＝＝5π，ω＝.‎ 由f(x)＝3sin过，‎ 得sin＝0，又|φ|0)，‎ 知－＝kπ＋，即m＝kπ＋，k∈Z.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∵m>0，∴mmin＝.‎ 故把f(x)的图象向左至少平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎