人教A版高中数学必修4讲义：第二章 2.5 平面向量应用举例.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 平面向量应用举例 预习课本 P109～112，思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ (2)如何用向量方法解决物理问题？ (3)如何判断多边形的形状？ [新知初探] 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与位移 s 的数量积． [小试身手] 1．若向量  1OF ＝(2,2)，  2OF ＝(－2,3)分别表示两个力 F1，F2，则|F1＋F2|为( ) A．(0,5) B．(4，－1) C．2 2 D．5 答案：D 2．在四边形 ABCD 中，  AB ·  BC ＝0，  BC ＝  AD ，则四边形 ABCD 是( ) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 答案：C 3．力 F＝(－1，－2)作用于质点 P，使 P 产生的位移为 s＝(3,4)，则力 F 对质点 P 做的 功是________． 答案：－11 向量在几何中的应用 题点一：平面几何中的垂直问题 1.如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一：设  AD ＝a，  AB ＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又  DE ＝  DA ＋  AE ＝－a＋1 2b，  AF ＝  AB ＋  BF ＝b＋1 2a， 所以  AF ·  DE ＝ b＋1 2a · －a＋1 2b ＝－1 2a2－3 4a·b＋1 2b2＝－1 2|a|2＋1 2|b|2＝0.故  AF ⊥  DE ，即 AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)， F(2,1)，  AF ＝(2,1)，  DE ＝(1，－2)． 因为  AF ·  DE ＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以  AF ⊥  DE ，即 AF⊥DE. 题点二：平面几何中的平行(或共线)问题 2. 如图，点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，E，F 分别在边 CD，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝ 1 2. 求证：点 E，O，F 在同一直线上． 证明：设  AB ＝m，  AD ＝n， 由CE ED ＝AF FB ＝1 2 ，知 E，F 分别是 CD，AB 的三等分点， ∴  FO ＝  FA ＋  AO ＝1 3  BA ＋1 2  AC天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ＝－1 3m＋1 2(m＋n)＝1 6m＋1 2n，  OE ＝  OC ＋  CE ＝1 2  AC ＋1 3  CD ＝1 2(m＋n)－1 3m＝1 6m＋1 2n. ∴  FO ＝  OE . 又 O 为  FO 和  OE 的公共点，故点 E，O，F 在同一直线上． 题点三：平面几何中的长度问题 3.如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝2，求对角线 AC 的长． 解：设  AD ＝a，  AB ＝b，则  BD ＝a－b，  AC ＝a＋b， 而|  BD |＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝1 2 ，又|  AC |2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|  AC | ＝ 6，即 AC＝ 6. 用向量方法解决平面几何问题的步骤 向量在物理中的应用 [典例] (1)在长江南岸某渡口处，江水以 12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ (2)已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)，求 F1，F2 分别对质点所做的功． [解] (1) 如图，设  AB 表示水流的速度，  AD 表示渡船的速度，  AC 表示渡船实际垂 直过江的速度． 因为  AB ＋  AD ＝  AC ，所以四边形 ABCD 为平行四边形． 在 Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，|  DC |＝|  AB |＝12.5，|  AD |＝25，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西 30°. (2)设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W＝F·s. ∵  AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)． ∴W1＝F1·  AB ＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)， W2＝F2·  AB ＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)． [一题多变] 1．[变设问]本例(2)条件不变，求 F1，F2 的合力 F 为质点所做的功． 解：W＝F·  AB ＝(F1＋F2)·  AB ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－ 15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)． 2．[变条件]本例(2)条件变为：两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质点 从点 A(20,15)移动到点 B(7,0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：F1， F2 分别对该质点做的功． 解：  AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， F1 做的功 W1＝F1·s＝F1·  AB ＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)． F2 做的功 W2＝F2·s＝F2·  AB ＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)． 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 层级一 学业水平达标 1．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点， 为使物体保持平衡，再加上一个力 f4，则 f4＝( ) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 解析：选 D 由物理知识知 f1＋f2＋f3＋f4＝0，故 f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)． 2．人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为( )天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D.|v1 v2| 解析：选 B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 v1＋v2.注意速度是有方向和大 小的，是一个向量． 3．已知四边形 ABCD 各顶点坐标是 A －1，－7 3 ，B 1，1 3 ，C －1 2 ，2 ，D －7 2 ，－2 ， 则四边形 ABCD 是( ) A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 解析：选 A ∵  AB ＝ 2，8 3 ，  DC ＝(3,4)， ∴  AB ＝2 3  DC ，∴  AB ∥  DC ，即 AB∥DC. 又|  AB |＝ 4＋64 9 ＝10 3 ，|  DC |＝ 9＋16＝5， ∴|  AB |≠|  DC |，∴四边形 ABCD 是梯形． 4．在△ABC 中，AB＝3，AC 边上的中线 BD＝ 5， AC ·  AB ＝5，则  AC 的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B ∵  BD ＝  AD －  AB ＝1 2  AC －  AB ， ∴BD2―→＝ 1 2  AC －  AB 2＝1 4 2AC －  AC ·  AB ＋ 2AB ， 即1 4 2AC ＝1.∴|  AC |＝2，即 AC＝2. 5．已知△ABC 满足 2AB ＝  AB ·  AC ＋  BA ·  BC ＋  CA·  CB ，则△ABC 是( ) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析：选 C 由题意得，  AB 2＝  AB ·  AC ＋  AB ·  CB ＋  CA·  CB ＝  AB ·(  AC ＋  CB ) ＋  CA·  CB ＝  AB 2＋  CA ·  CB ， ∴  CA·  CB ＝0，∴  CA⊥  CB ， ∴△ABC 是直角三角形．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 6．已知力 F＝(2,3)作用于一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(－2,3)，则力 F 对物体所 做的功是________． 解析：∵  AB ＝(－4,3)， ∴W＝F·s＝F·  AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1. 答案：1 7．用两条成 120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为 10 N，则每根绳子的 拉力大小为________ N. 解析： 如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|  OC |＝10， 则|  OA |＝|  OB |＝10，即每根绳子的拉力大小为 10 N. 答案：10 8．已知 A，B 是圆心为 C，半径为 5的圆上的两点，且|AB|＝ 5，则  AC ·  CB ＝________. 解析：由弦长|AB|＝ 5，可知∠ACB＝60°，  AC ·  CB ＝－  CA·  CB ＝－|  CA||  CB |cos∠ACB＝－5 2. 答案：－5 2 9．已知△ABC 是直角三角形，CA＝CB，D 是 CB 的中点，E 是 AB 上的一点，且 AE ＝2EB.求证：AD⊥CE. 证明：如图，以 C 为原点，CA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系． 设 AC＝a，则 A(a,0)，B(0，a)， D 0，a 2 ，C(0,0)，E 1 3a，2 3a . 所以  AD ＝ －a，a 2 ，  CE ＝ 1 3a，2 3a . 所以  AD ·  CE ＝－a·1 3a＋a 2·2 3a＝0， 所以  AD ⊥  CE ，即 AD⊥CE. 10．已知点 A(2，－1)．求过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程． 解：设所求直线上任意一点 P(x，y)， 则  AP ＝(x－2，y＋1)．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由题意知  AP ∥a，故 5(y＋1)－(x－2)＝0， 即 x－5y－7＝0. 故过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程为 x－5y－7＝0. 层级二 应试能力达标 1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A．10 m/s B．2 26 m/s C．4 6 m/s D．12 m/s 解析：选 B 设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v，则|v1| ＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0， ∴|v2|＝ v2－2v·v1＋v21＝2 26(m/s)． 2．在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，  BD ＝1 2  BC ，则  AD ·  BD 的值为( ) A．－5 2 B.5 2 C．－5 4 D.5 4 解析：选 C 因为  BD ＝1 2  BC ，所以点 D 是 BC 的中点，则  AD ＝1 2(  AB ＋  AC )，  BD ＝1 2  BC ＝1 2(  AC －  AB )，所以  AD ·  BD ＝1 2(  AB ＋  AC )·1 2(  AC －  AB )＝1 4( 2AC － 2AB )＝1 4(22－32)＝－5 4 ，选 C. 3.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若  AB ·  AF ＝ 2，则  AE ·  BF 的值是( ) A. 2 B．2 C．0 D．1 解析：选 A ∵  AF ＝  AD ＋  DF ，  AB ·  AF ＝  AB ·(  AD ＋  DF )＝  AB ·  AD ＋  AB ·  DF ＝  AB ·  DF ＝ 2|  DF |＝ 2，∴|  DF |＝1，|  CF |＝ 2－1，∴  AE ·  BF ＝(  AB ＋  BE )·(  BC ＋  CF )＝  AB ·  CF ＋  BE ·  BC ＝－ 2( 2－1)＋1×2＝－2＋ 2＋2＝ 2，故 选 A.天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 4.如图，设 P 为△ABC 内一点，且 2  PA＋2  PB ＋  PC ＝0，则 S△ABP∶S△ABC＝( ) A.1 5 B.2 5 C.1 4 D.1 3 解析：选 A 设 AB 的中点是 D. ∵  PA＋  PB ＝2  PD ＝－1 2  PC ， ∴  PD ＝－1 4  PC ， ∴P 为 CD 的五等分点， ∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的1 5. 5．若 O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(  OB －  OC )·(  OB ＋  OC －2  OA )＝0，则 △ABC 的形状为________． 解析：(  OB －  OC )·(  OB ＋  OC －2  OA ) ＝(  AB －  AC )·(  OB －  OA ＋  OC －  OA ) ＝(  AB －  AC )·(  AB ＋  AC ) ＝|  AB |2－|  AC |2＝0， ∴|  AB |＝|  AC |. 答案：等腰三角形 6.如图所示，在倾斜角为 37°(sin 37°＝0.6)，高为 2 m 的斜面上，质量为 5 kg 的物体 m 沿斜面下滑，物体 m 受到的摩擦力是它对斜面压力的 0.5 倍，则 斜 面对物体 m 的支持力所做的功为________J，重力所做的功为 ________J(g＝9.8 m/s2)． 解析：物体 m 的位移大小为|s|＝ 2 sin 37° ＝10 3 (m)， 则支持力对物体 m 所做的功为 W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)； 重力对物体 m 所做的功为 W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8×10 3 ×0.6＝98(J)． 答案：0 98 7.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力 F1，F2，F3 的作用，沿北偏东 45°的方 向移动了 8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东 30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东 60°；|F3| ＝6 N，方向为北偏西 30°，求合力 F 所做的功．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解：以 O 为原点，正东方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则 F1＝ (1， 3)，F2＝(2 3，2)，F3＝(－3,3 3)，所以 F＝F1＋F2＋F3 ＝ (2 3－2,2＋4 3)．又位移 s＝(4 2，4 2)，故合力 F 所做的功 为 W＝F·s ＝(2 3－2)×4 2＋(2＋4 3)×4 2 ＝4 2×6 3 ＝24 6(J)． 即合力 F 所做的功为 24 6 J. 8.如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，AB 的中点，G 为 BE 与 DF 的交点．若  AB ＝a，  AD ＝b. (1)试以 a，b 为基底表示  BE ，  DF ； (2)求证：A，G，C 三点共线． 解：(1)  BE ＝  AE －  AB ＝1 2b－a，  DF ＝  AF －  AD ＝1 2a－b. (2)证明：因为 D，G，F 三点共线，则 DG―→＝λ  DF ， 即  AG ＝  AD ＋λ  DF ＝1 2λa＋(1－λ)b. 因为 B，G，E 三点共线，则 BG―→＝μ  BE ， 即  AG ＝  AB ＋μ  BE ＝(1－μ)a＋1 2μb， 由平面向量基本定理知 1 2λ＝1－μ， 1－λ＝1 2μ， 解得λ＝μ＝2 3 ， ∴  AG ＝1 3(a＋b)＝1 3  AC ， 所以 A，G，C 三点共线． (时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 1.在五边形 ABCDE 中(如图)，  AB ＋  BC －  DC ＝( ) A．  AC B．  AD C．  BD D．  BE 解析：选 B ∵  AB ＋  BC －  DC ＝  AC ＋  CD ＝  AD . 2．已知平面向量 a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于( ) A．5 B. 13 C. 17 D．13 解析：选 B 因为 a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝ 32＋22＝ 13，故选 B. 3．设向量 a，b 均为单位向量，且|a＋b|＝1，则 a 与 b 的夹角为( ) A.π 3 B.π 2 C.2π 3 D.3π 4 解析：选 C ∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1， ∴cos〈a，b〉＝－1 2.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝2π 3 . 4．已知向量 m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析：选 B 因为 m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m ＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 5．如图，M，N 分别是 AB，AC 的一个三等分点，且  MN ＝λ(  AC －  AB )成立，则λ ＝( ) A.1 2 B.1 3 C.2 3 D．±1 3 解析：选 B 由  MN ＝1 3  BC ，且  BC ＝  AC －  AB ，得λ＝1 3. 6．设点 A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且  AD ＝2  AB －3  BC ，则点 D 的坐标为( ) A．(2,16) B．(－2，－16)天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ C．(4,16) D．(2,0) 解析：选 A 设 D(x，y)，由题意可知  AD ＝(x＋1，y－2)，  AB ＝(3,1)，  BC ＝ (1，－4)， ∴2  AB －3  BC ＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)． ∴ x＋1＝3， y－2＝14， ∴ x＝2， y＝16. 故选 A. 7．某人在静水中游泳，速度为 4 3 km/h，水流的速度为 4 km/h.他沿着垂直于对岸的 方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( ) A．90 ° B．30° C．45° D．60° 解析： 选 D 如图，用  OA 表示水速，  OB 表示某人垂直游向对岸的速度， 则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC. 于是 tan∠AOC＝ |  AC | |  OA | ＝ |  OB | |  OA | ＝|v 静| |v 水| ＝ 3， ∴∠AOC＝60°，故选 D. 8．设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且  DC ＝2  BD ，  CE ＝ 2  EA，  AF ＝2  FB ，则  AD ＋  BE ＋  CF 与  BC ( ) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：选 A ∵  AD ＋  BE ＋  CF ＝(  AB ＋  BD )＋(  BA ＋  AE )＋(  CB ＋  BF ) ＝1 3  BC ＋1 3  AC ＋  CB ＋1 3  BA ＝1 3  BA ＋1 3  BC ＋1 3  AC ＋  CB ＝－1 3  BC ， ∴(  AD ＋  BE ＋  CF )与  BC 平行且方向相反． 9．设 a，b 是两个非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则 a⊥b B．若 a⊥b，则 a＋b＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得 b＝λa D．若存在实数λ，使得 b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b| 解析：选 C 若|a＋b|＝|a|－|b|，则 a，b 共线，即存在实数λ，使得 a＝λb，故 C 正确；天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 选项 A：当|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b 可为异向的共线向量；选项 B：若 a⊥b，由矩形得|a＋ b|＝|a|－|b|不成立；选项 D：若存在实数λ，使得 b＝λa，a，b 可为同向的共线向量，此时 显然 |a＋b|＝|a|－|b|不成立． 10．已知点 O，N，P 在△ABC 所在的平面内，且|  OA |＝|  OB |＝|  OC |， NA ＋  NB ＋  NC ＝0，  PA·  PB ＝  PB ·  PC ＝  PC ·  PA，则点 O，N，P 依次是△ABC 的( ) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 解析：选 C 因为|  OA |＝|  OB |＝|  OC |，所以点 O 到三角形的三个顶点的距离相等， 所以 O 为△ABC 的外心；由  NA ＋  NB ＋  NC ＝0，得  NA ＋  NB ＝－  NC ＝  CN ，由中 线的性质可知点 N 在 AB 边的中线上，同理可得点 N 在其他边的中线上，所以点 N 为△ABC 的重心；由  PA·  PB ＝  PB ·  PC ＝  PC ·  PA得  PA·  PB －  PB ·  PC ＝  PB ·  CA ＝0，则点 P 在 AC 边的垂线上，同理可得点 P 在其他边的垂线上，所以点 P 为△ABC 的垂心． 11．已知平面上直线 l 与 e 所在直线平行且 e＝ －4 5 ，3 5 ，点 O(0,0)和 A(1，－2)在 l 上 的射影分别是 O′和 A′，则   O A ＝λe，其中λ等于( ) A.11 5 B．－11 5 C．2 D．－2 解析：选 D 由题意可知|   O A |＝|  OA |cos(π－θ)(θ为  OA 与 e 的夹角)． ∵O(0,0)，A(1，－2)，∴  OA ＝(1，－2)． ∵e＝ －4 5 ，3 5 ，∴  OA ·e＝1× －4 5 ＋(－2)×3 5 ＝－2＝|  OA |·|e|·cos θ，∴|  OA |·cos θ＝－2. 又∵|   O A |＝|λ|·|e|，∴λ＝±2. 又由已知可得λ0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的命题有( ) A．①② B．①④ C．②③ D．②③④天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解析：选 C ∵  AB －  AC ＝  CB ＝－  BC ≠  BC ，∴①错误．  AB ＋  BC ＋  CA＝  AC ＋  CA ＝  AC －  AC ＝0，∴②正确．由(  AB ＋  AC )·(  AB －  AC )＝ 2AB － 2AC ＝0， 得|  AB |＝|  AC |，∴△ABC 为等腰三角形，③正确．  AC ·  AB >0⇒cos〈  AC ，  AB 〉>0， 即 cos A>0，∴A 为锐角，但不能确定 B，C 的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形， ∴④错误，故选 C. 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上) 13．平面向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量 a，b 的夹角为 ________． 解析：(a＋b)(a－2b)＝|a2|－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故 a，b 的 夹角为π 2. 答案：π 2 14．已知向量 a，b 的夹角为 120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________. 解析：|5a－b|＝ |5a－b|2＝ 5a－b2 ＝ 25a2＋b2－10a·b ＝ 25＋9－10×1×3× －1 2 ＝7. 答案：7 15．已知向量  AB 与  AC 的夹角为 120 °，且|  AB |＝3，|  AC |＝2.若  AP ＝λ  AB ＋  AC ，且  AP ⊥  BC ，则实数λ的值为________． 解析： BC ＝  AC －  AB ，由于  AP ⊥  BC ，所以  AP ·  BC ＝0，即(λ  AB ＋  AC )·(  AC －  AB )＝－λ  AB 2＋  AC 2＋(λ－1)·  AB ·  AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2× －1 2 ＝0，解得λ ＝ 7 12. 答案： 7 12 16.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1， P 是线段 BC 上一动点，Q 是线段 DC 上一动点， DQ ＝λ  DC ， CP ＝(1－λ)  CB ，则  AP ·  AQ 的取值范围是________． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则 D(0,1)，C(1,1)．设 Q(m， n)，由  DQ ＝λ  DC 得，(m，n－1)＝λ(1,0)，即 m＝λ，n＝1.又 B(2,0)，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 设 P(s，t)，由  CP ＝(1－λ)  CB 得，(s－1，t－1)＝(1－λ)(1，－1)，即 s＝2－λ，t＝λ，所以  AP ·  AQ ＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．故  AP ·  AQ ∈[0,2]． 答案：[0,2] 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17．(本小题满分 10 分)不共线向量 a，b 的夹角为小于 120°的角，且|a|＝1，|b|＝2， 已知向量 c＝a＋2b，求|c|的取值范围． 解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为 a 与 b 的夹角)． ∵0°