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2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
预习课本P106～107，思考并完成以下问题
(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？
(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
[点睛] 记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．
2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式
(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( )
A．23 B．7 C．－23 D．－7
答案：D
3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是( )
A．{2,3} B．{－1,6} C．{2} D．{6}
答案：C
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4．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
答案：2
平面向量数量积的坐标运算
[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析] (1)a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
(2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5.
[答案] (1)C (2)A
数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
[活学活用]
已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
解：(1)因为a与b同向，又b＝(1,2)，
所以a＝λb＝(λ，2λ)．
又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.
因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2,4)．
(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，
所以(b·c)·a＝0·a＝0.
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向量的模的问题
[典例] (1)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
(2)已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，||＝2，则点B的坐标是________．
[解析] (1)由⇒⇒
∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．
∴|a＋b|＝.
(2)由题意可设＝λa(λ＞0)，
∴＝(2λ，3λ)．又||＝2，
∴(2λ)2＋(3λ)2＝(2)2，解得λ＝2或－2(舍去)．
∴＝(4,6)．又A(1，－2)，∴B(5,4)．
[答案] (1)B (2)(5,4)
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
[活学活用]
1．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．
解析：2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，
|2a－b|＝
＝
＝，
当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.
答案：2＋
2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
解析：∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－(a·b)b
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＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8.
答案：8
向量的夹角和垂直问题
[典例] (1)已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，则实数λ＝________.
(2)已知a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c与d的夹角为，则实数k的值为________．
[解析] (1)∵a＝(3,2)，b＝(－1,2)，
∴a＋λb＝(3－λ，2＋2λ)．
又∵(a＋λb)⊥b，
∴(a＋λb)·b＝0，
即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0，
解得λ＝－.
(2)c＝a＋kb＝(2－k,1－k)，d＝a＋b＝(1,0)，
由cos ＝得＝，
∴(2－k)2＝(k－1)2，∴k＝.
[答案] (1)－ (2)
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
[活学活用]
已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
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(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，
∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m，n的夹角为θ，
则cos θ＝＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，
即m，n的夹角为.
求解平面向量的数量积
[典例] 已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．
[解] [法一 定义法]
如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝，
∴·＋·＋·
＝·＋·
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)
＝－20cos C－15cos A
＝－20×－15×
＝－25.
[法二 坐标法]
如图，建立平面直角坐标系，
则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．
∴＝(－3,0)，＝(0,4)，＝(3，－4)．
∴·＝－3×0＋0×4＝0，
·＝0×3＋4×(－4)＝－16，
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·＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.
∴·＋·＋·＝0－16－9＝－25.
[法三 转化法]
∵||＝3，||＝4，||＝5，
∴AB⊥BC，∴·＝0，
∴·＋·＋·＝·(＋)
＝·
＝－||2＝－25.
求平面向量数量积常用的三个方法
(1)定义法：利用定义式a·b＝|a||b|cos θ求解；
(2)坐标法：利用坐标式a·b＝x1x2＋y1y2解题；
(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．
[活学活用]
如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
解析：法一：
以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得＝，＝.
故cos∠DOE＝＝＝.
法二：∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴||＝，| |＝，
·＝2＋2＝1，
∴cos∠DOE＝＝.
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答案：
层级一 学业水平达标
1．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A. B．3
C．－ D．－3
解析：选D 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
解析：选B 由a⊥b得a·b＝0，
∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2，
∴a＋b＝(3，－1)，
∴|a＋b|＝＝.
3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
解析：选D 2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
4．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A． B．－
C． D．－
解析：选C 设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝＝.
5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：选A 由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，∴·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.
∴∠BAC＝90°，
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故△ABC是直角三角形．
6．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
解析：a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，可得(a＋c)·b＝0，即3(m＋1)＋3m＝0，解得m＝－，则a＝(1，－1)，故|a|＝.
答案：
7．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.
解析：∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，
∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，
∴cos θ＝＝，∴θ＝.
答案：
8．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则向量b的坐标为________．
解析：设b＝(x，y)(y≠0)，则依题意有解得故b＝.
答案：
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
综上，|a－b|＝2或2.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．
(1)求·及|＋|；
(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．
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解：(1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，
∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.
∵＋＝(－2，－6)，
∴|＋|＝＝2.
(2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，
∴(－t)·＝0，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.
层级二 应试能力达标
1．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析：选C 由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．
2．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
解析：选C 设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为(3,0)．
3．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C x应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a，b不共线，解得x＞，且x≠－，∴x＞.
4．已知＝(－3,1)，＝(0,5)，且∥，⊥ (O为坐标原点)，则点C的坐标是( )
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A. B.
C. D.
解析：选B 设C(x，y)，则＝(x，y)．
又＝(－3,1)，
∴＝－＝(x＋3，y－1)．
∵∥，
∴5(x＋3)－0·(y－1)＝0，∴x＝－3.
∵＝(0,5)，
∴＝－＝(x，y－5)，＝－＝(3,4)．
∵⊥，∴3x＋4(y－5)＝0，∴y＝，
∴C点的坐标是.
5．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
解析：因为向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，所以a·c＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8，b·c＝4(m＋4)＋2(2m＋2)＝8m＋20.
因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以＝，即＝，所以＝，
解得m＝2.
答案：2
6．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为______；·的最大值为______．
解析：
以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．
则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，
设E(1，a)(0≤a≤1)．
所以·＝(1，a)·(1,0)＝1，
·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，
故·的最大值为1.
答案：1 1
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7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，
可得解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos θ＝＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
8．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ (λ2≠λ)．
(1)求·及在上的投影；
(2)证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值；
(3)求||的最小值．
解：(1)·＝8，设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
∴在上的投影为||cos θ＝4×＝2.
(2)＝－＝(－2,2)，＝－＝(1－λ)·－(1－λ)＝(λ－1)，所以A，B，C三点共线．
当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2.
(3)||2＝(1－λ)2＋2λ(1－λ)·＋λ2
＝16λ2－16λ＋16＝162＋12，
∴当λ＝时，||取到最小值，为2.
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