八年级数学下册《勾股定理》教学设计

八年级数学下册《勾股定理》教学设计1.教学内容  本课是冀教版教材八年级数学上册第十六章第一节，其教学重点是勾股定理的发现和证明，这是一个数形结合的典范，能很好培养学生分析问题解决问题能力。2.教学目标（1）知识与技能目标：掌握勾股定理，并能初步应用勾股定理解决简单的问题。（2）过程与方法目标：经历探索勾股定理及验证过程，发展合情推理和逻辑推理能力，体会数形结合、化归的思想。领悟并掌握从具体到抽象、从特殊到一般的研究问题的方法。(3)情感、态度、价值观目标：通过动手操作、观察、猜想、思考，体验数学活动是充满探索性和创造性的过程；通过交流合作，体会与他人合作的重要性；通过对国内、国外对勾股定理验证历史的客观评述，引导学生“我们” 的不足，鼓励他们改善自我，奋起直追。3.教学过程   3.1认知检测（约3分钟）   前面我们学过三角形的有关概念，等腰三角形，今天我们来探讨直角三角形三边长之间有什么特殊关系？（大屏幕打出“直角三角形三边长之间有什么特殊关系？”）  我们先试着从具体的特殊的图形开始研究。如图1，在RtABC，∠C=90°，（1）当a=1，b=1时，三个正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？（2）当a=3，b=4时呢？并由此探究三边之间的关系。R      图 1                                图  2(设计理念：人具有发展和实现自我价值的需要，学生具有学习的天性和思维的本能)3.2小组内交流（约4分钟）   （课前将全班同学按实力均衡分配的原则，每四人一小组分好组；分配好任务：组长协调、评价小组交流，委派一人记录；培训好小组长，确保组长给所有组员展示表达的机会，给不同层次的组员以适当的任务。）组内相互交流研究成果，达成一致后，推举一人做发言代表，准备全班交流。（教师深入小组，了解学生研究和交流情况，并与落后小组及时讨论所遇到的问题。）（设计理念：小组内交流是最宽松、没有压力的，素质相近的学生之间的交流是最有针对性的，并且学生之间的交流，也是最易被接收的，因而是最有效率的。）3.3分小组全班交流（约13分钟）师：直角三角形的三边角之间存在哪些关系呢？请按小组到前面向大家汇报认知检测中的研究成果。可能出现的情况：（1）                 我们组发现∠A+∠B = 90°,边c大于a，边c大于b，正方形 R的面积 = 正方形P的面积 + 正方形Q的面积。师：你们是怎样发现的？   学生会用“直角三角形，两锐角互余”说明结论1；用“两点之间线段最短”说明结论2；用图1图2的具体数值说明结论3.如学生可指着图1说明：正方形P， Q的面积都是1，而R的面积 = 4 R tAOB的面积 = 2,因此有，正方形 R的面积 = 正方形P的面积 + 正方形Q的面积。在图2中，当a=3，b=4时，正方形P、Q的面积分别是a 2 = 9，b2 = 16，正方形 R的面积 = 25.因此有，正方形P的面积 + 正方形Q的面积。（2）                 学生可能会质疑：如何求出正方形 R的面积？学生如果不质疑，教师发问：如何求出正方形 R的面积？目的是：启发学生运用割补法（即赵爽弦图，如图3）或间接法（即将正方形 R放在更大的正方形中，用这个大正方形的面积 – 四个全等的直角三角形的面积来求正方形 R的面积 ，如图4。）解释正方形 R的面积 = 25                                图 3                                         图 4（课前将图1、2印在篇子上，尤其图2，多印几个。设计目的：，方便后进生有所发现，为人人创造成功的条件，落实课标提出的人人学有价值的数学，不同的人在数学上，有不同发展，尊重个体差异，面向全体学生。同时让学生感悟：因解决勾股定理的验证问题，产生了“数格子”计算面积的方法，其实这样的事在数学发展史上比比皆是，（因解决某一问题，而产生新的数学思想、分支、方向），也正是这样，西方数学家们在勾股定理上，产生了许多新的数学思想。勾股定理是个“会下金蛋的母鸡”不愧为数学史上第一大定理。）3.4课堂生成、深化（约16分钟）教师指出公元前500多年前的毕达哥拉斯正是利用图1发现并进一步验证了勾股定理。（大屏幕展示：地板图形——抽象出图1——演化到一般——利用平移拼图——计算面积验证）       （课前准备好必要的三角形、正方形硬纸片，剪刀，用来课上拼图）     师：等腰直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，一般直角三角形，是否有同样的结论呢？我们可以将这个命题，抽象为这样的数学问题：如图5     在R tABC，∠C = 90°，两直角边分别为a、b，怎样来计算正方形R的面积呢？学生独立思考后，再让四人小组齐心协力、共同探讨。教师巡视了解并参与小组交流，在困难大的小组做适当提示：可以考虑把正方形R分割来计算。试试怎样分割好？还可以提示不知如何分割的小组：分割图形计算面积的原则是什么？可以怎样把正方形R分成面积容易计算的部分呢？刚才的面积计算法能给我们什么启示？（16分钟后）师：哪个小组有所发现？请到前面展示你们的发现。（学生贴上分割图，板书发现成果。由于有了前面的铺垫，学生会很快用“赵爽弦图”即图3或图4的方法计算面积，展示自己的发现。）（讲述发现及板书略）师：至此我们自己经历了直角三角形三边之间关系的探究，得到了结论，请同学们画图，用符号表示这一结论，（大家写在本上，找一人板书）请用简洁的语言表述这一结论。（学生叙述，教师板书，解释勾股定理名称由来，板书课题）师：这个结论有一段让中国人骄傲的历史，3000年前，我们的祖先就发现了勾三股四弦五，由于我国古代将手臂弯曲，短的叫勾，长的叫股，我国将其形象地命名为“勾股定理”。    “勾股定理”形成的神奇结论和丰富内涵以及千姿百态的验证方法让人类震惊。3000多年来，它激起了世界各地各阶层人的探究欲望，至今已有四五百种验证方法。画家达。芬奇、美国第20任总统加菲尔德都验证了该定理。早在2500年前古希腊的毕达哥拉斯就发现并证明了它，所以在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”。聪明的同学，你知道这是为什么吗？生：直角三角形太多了，勾三股四弦五仅是其中的一类，一个特例就作为一个普遍规律，是片面的。师：你讲得很好，确实很遗憾，我国直到汉代才由赵爽用我们刚才所发现的方法详细证明了该定理。如果3000年前发现勾三股四弦五这个特例后及时推广到一般并证明，那么现在全世界都将称其为勾股定理。这样的遗憾不只这一个，中国最早记载了哈雷彗星，却没有最早探究它的轨迹，中国创造了四大发明，却没有将其从技术的层面提升为科学的理论，虽然赵爽及后来的中国数学家也用不同方法验证了勾股定理，却没有任何实质性的进步，而西方数学家们却在勾股定理上产生了许多新的数学思想……这种差异源于文化与哲学，知耻而后勇，知不足就要奋起直追。这种差异提醒我们：在以后的学习中要善于发现并及时总结、归纳规律。（设计目的：片面夸大自己的优势，无视他国的发展，以大国自居，不肯虚心向先进学习，不自省，是中国近代屡遭侵略的主要原因。因而对历史的客观评述，才是培养学生爱国情操、文化修养、健全人格的自然兑现。）3.5巩固应用、内化（约10分钟）师：其他验证方法同学们可在课下继续探讨，现在我们完成一组练习，体会勾股定理的应用条件和作用。1.在R tABC，∠C = 90°，当a = 6， b = 8 ,求c 2.判断正误，说明理由在R tABC，两边为a = 3，b = 4，c=53．(1)求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.  （2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。 4. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少? 3.6小结评优  （1）评选并记录本节课的优胜小组：由小组展示、个人答问计总分。(2)组内评选本节课的数学之星，由小组得分、自由发言得分、及组内交流评分。3.7作业必做：81页习题1、3选做：81页习题2