第二十八章 锐角三角函数.doc

第二十八章　锐角三角函数 直角三角形是一种特殊的三角形，在应用中有较一般三角形优良的特点，例如面积比较 好计算等，且其他三角形通过增补、分割等可以转化为直角三角形，从而简化计算，所以对 直角三角形进行专门的研究很有必要．本章将学习直角三角形中边与角之间的关系，并运用 这些关系解决一些测量等方面的问题． 本章第一节学习锐角的三角函数，教材中首先从学生熟悉的问题情境——“汽车爬坡” 引出如何描述坡面的倾斜程度，引出了直角三角形中两直角边的比即坡比，还引出了正切、 坡角等概念．教材中通过学生熟悉的一副三角板引出．对于这一部分，由于学生已经学习了 在直角三角形中 30°的角所对的直角边等于斜边的一半，因此可让学生计算得到这些特殊 角的三角函数值，教材最后介绍了用计算器求三角函数值．第二节主要是应用直角三角形知 识解决一些简单的实际问题． 带领学生探索直角三角形中锐角三角函数值与三边的关系，同时经历观察、操作、归纳 等学习数学的过程，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学认真的学习态 度．让学生了解锐角三角函数的概念，能够正确应用三角函数．让学生掌握 30°，45°，60 °等特殊角的三角函数值，并学会用计算器求锐角的三角函数值，经历操作、归纳等学习数 学的过程，感受数学思考过程的合理性，养成科学、严谨的学习态度． 本章教学约需 5 课时，具体分配如下： 28．1　锐角三角函数 3 课时 28．2　解直角三角形及其应用 2 课时 28．1　锐角三角函数 第 1 课时　锐角三角函数 知识与技能 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用 sinA，cosA，tanA 表示直角三角形中两边的 比． 过程与方法 通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在 解决实际问题中的应用． 情感、态度与价值观 1．通过学习培养学生的合作意识． 2．通过探究提高学生学习数学的兴趣． 重点 锐角三角函数的概念． 难点 锐角三角函数概念的理解． 一、问题引入 问题：操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片) 小明站在离旗杆底部 10 米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为 34°，并已知目高为 1 米，然后他很快就算出旗杆的高度了． 你想知道小明是怎样算出的吗？ 师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实 际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高 度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下 面我们一起来学习锐角三角函数． 二、新课教授 问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修 建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°，为使 出水口的高度为 35 m，那么需要准备多长的水管？ 分析：问题转化为在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求 AB. 根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即 ∠A的对边 斜边 ＝ BC AB＝ 1 2， 可得 AB＝2BC＝70 m，即需要准备 70 m 长的水管． 思考 1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？ 学生按与上面相似的过程，自主解决． 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么不管三角形的大小如何， 这个角的对边与斜边的比值都等于 1 2. 思考 2：如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A 的对边与 斜边的比 BC AB，能得到什么结论？ 分析：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角 形，由勾股定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2， AB＝ 2BC， BC AB＝ BC 2BC＝ 1 2＝ 2 2 . 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2 2 . 从上面这两个问题的结论中可知，在一个 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠ A 的对边与斜边的比都等于 1 2，是一个固定值．当∠A＝45°时，∠A 的对边与斜边的比都 等于 2 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角 时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝ α，那么 BC AB与 B′C′ A′B′有什么关系？你能解释一下吗？ 分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α， 所以 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则 BC AB＝ B′C′ A′B′. 结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值． 正弦的概念： 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA＝ ∠A的对边 斜边 ＝ a c. 例如，当∠A＝30°时，sinA＝sin30°＝ 1 2； 当∠A＝45°时，sinA＝sin45°＝ 2 2 . 注意： 1．sinA 不是 sin 与 A 的乘积，而是一个整体． 2．正弦的三种表示方式：sinA，sin56°，sin∠DEF. 3．sinA 是线段之间的一个比值，sinA 没有单位． 提问：∠B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪 些边？ sinB＝ ∠B的对边 斜边 ＝ b c. 思考 3：一般地，当∠A 取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定 值？ 探究：如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝ α，那么 AC AB与 A′C′ A′B′有什么关系？教师用类比的方法引导学生思考、讨论． 结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A 的邻边与斜边的比是一个固定值． 余弦的概念： 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA＝ ∠A的邻边 斜边 ＝ b c. 思考 4：当∠A 取一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个固定值？ 学生自立探究，得出结论，教师给出新的概念． 正切的概念： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b 分别是∠A 的对边和邻边．我们把∠A 的对 边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA＝ ∠A的对边 ∠A的邻边＝ a b. 锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数． 三、举例应用，巩固新知 例 1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，求 sinA 和 sinB 的值． 解：如图(1)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB＝ AC 2＋BC2＝ 42＋32＝5. 因此 sinA＝ BC AB＝ 3 5， sinB＝ AC AB＝ 4 5. 如图(2)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC＝ AB2－BC 2＝ 132－52＝12. 因此 sinA＝ BC AB＝ 5 13， sinB＝ AC AB＝ 12 13. 例 2　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求 sinA，cosA，tanA 的值． 解：由勾股定理得 AC＝ AB2－BC 2＝ 102－62＝8， 因此　sinA＝ BC AB＝ 6 10＝ 3 5， cosA＝ AC AB＝ 8 10＝ 4 5， tanA＝ BC AC＝ 6 8＝ 3 4. 四、练习新知 为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得数据如图所示，则该坡道倾斜角α的正 切值是(　　) A. 1 17　　　B．4　　　C. 1 4　　　D. 4 17 答案　C 五、课堂小结 锐角三角函数概念及表示方法： sinA＝ ∠A的对边 斜边 ，cosA＝ ∠A的邻边 斜边 ， tanA＝ ∠A的对边 ∠A的邻边. 本节课采用问题引入法，从探究性问题入手，让学生主动参与学习活动，用特殊值探究 锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图、找边角、计算各个方面进行探究，学 生发现：特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后探究：三角函数与直角三角形的边、 角有什么关系？三角函数与三角形的形状有关系吗？整节课都在紧张而愉快的气氛中进 行．学生非常活跃，大部分人都能积极动脑、积极参与． 第 2 课时　30°，45°，60°角的三角函数值 知识与技能 熟记 30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数． 过程与方法 1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 2．培养学生观察、比较、分析、概括的能力． 情感、态度与价值观 经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度． 重点 30°，45°，60°角的三角函数值． 难点 与特殊角的三角函数值有关的计算． 一、复习巩固 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°. (1)a，b，c 三者之间的关系是________； (2)sinA＝________，cosA＝________，tanA＝________； sinB＝________，cosB＝________，tanB＝________． (3)若∠A＝30°，则 a c＝________． 二、共同探究，获取新知 (1)探索 30°，45°，60°角的三角函数值． 师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？ 生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是 30°，60°，45°，45°. 师：sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流． 生：sin30°＝ 1 2.sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三 角形的大小无关．我们不妨设 30°角所对的边长为 a(如图所示)，根据“直角三角形中 30° 角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于 2a.根据勾股定理，可知 30°角的邻边 长为 3a，所以 sin30°＝ a 2a＝ 1 2. 师：cos30°等于多少？tan30°呢？ 生：cos30°＝ 3a 2a ＝ 3 2 .tan30°＝ a 3a＝ 1 3＝ 3 3 . 师：我们求出了 30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°，60°，它们的 三角函数值分别是多少？你是如何得到的？ 生：求 60°角的三角函数值可以利用求 30°角的三角函数值的三角形．因为 30°角的 对边和邻边分别是 60°角的邻边和对边，利用上图，很容易求得 sin60°＝ 3a 2a ＝ 3 2 ，cos60 °＝ a 2a＝ 1 2，tan60°＝ 3a a ＝ 3.师生共同分析：我们一起来求 45°角的三角函数值．含 45°角的直角三角形是等腰直 角三角形．如图，设其中一条直角边为 a，则另一条直角边也为 a，斜边为 2a.由此可求得 sin45°＝ a 2a＝ 1 2＝ 2 2 ，cos45°＝ a 2a＝ 1 2＝ 2 2 ， tan45°＝ a a＝1. 教师多媒体课件出示： 　　　三角函数 角度α　　 sinα cosα tanα 30° 1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2 3 　　师：这个表格中的 30°，45°，60°角的三角函数值需要熟记．另一方面，要能 够根据 30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小． 第一列，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大． 第二列，余弦值随角度的增大而减小． 师：第三列呢？ 生：第三列是 30°，45°，60°角的正切值，首先 45°角是等腰直角三角形中的一个 锐角，所以 tan45°＝1 比较特殊．随着角度的增大，正切值也在增大． (2)进一步探究锐角的三角函数值． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°. ∵sinA＝ a c，cosA＝ b c， sinB＝ b c，cosB＝ a c， ∴sinA＝cosB，cosA＝sinB. ∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠B＝90°－∠A， 即 sinA＝cosB＝cos(90°－∠A)，cosA＝sinB＝sin(90°－∠A)． 任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值． 三、例题讲解，巩固新知 例 1　计算： (1)sin30°＋cos45°；(2)sin260°＋cos260°－tan45°. 解：(1)sin30°＋cos45°＝ 1 2＋ 2 2 ＝ 1＋ 2 2 ； (2)sin260°＋cos260°－tan45° ＝( 3 2 )2＋( 1 2)2－1 ＝ 3 4＋ 1 4－1 ＝0. 例 2　(1)如图(1)，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝ 6，BC＝ 3，求∠A 的度数； (2)如图(2)，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO＝ 3OB，求α的度数． 解：(1)在图(1)中， ∵sinA＝ BC AB＝ 3 6＝ 2 2 ， ∴∠A＝45°. (2)在图(2)中， ∵tanα＝ AO OB＝ 3OB OB ＝ 3， ∴α＝60°. 四、随堂练习 1．计算 4sin60°－3tan30°的值为(　　) A. 3　　　B．2 3　　　C．3 3　　　D．0 答案　A 2．计算 sin245°＋cos245°的值为(　　) A．2 B．1 C．0 D．3 答案　B 五、课堂小结 1．探索 30°，45°，60°角的三角函数值． sin30°＝ 1 2 ，sin45°＝ 2 2 ，sin60°＝ 3 2 ； cos30°＝ 3 2 ，cos45°＝ 2 2 ，cos60°＝ 1 2； tan30°＝ 3 3 ，tan45°＝1，tan60°＝ 3.2．能进行含 30°，45°，60°角的三角函数值的计算． 3．能根据 30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小． 本节课的教学中，课堂环节设置齐全，能很好地贯彻执行教育理念，对理解教育的教育 模式把控较好；课堂中学生分组很好，能给学生构建一个宽松、和谐的学习环境和氛围；课 件制作很好，能很好地配合指导自学书的使用，提高了课堂的效率；学生积极参与，学习积 极性较高；课堂习题的设置有梯度，题目能面向全体学生． 第 3 课时　一般锐角的三角函数值 知识与技能 1．会使用计算器求锐角的三角函数值． 2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角． 过程与方法 在做题、计算的过程中，逐步熟悉计算器的使用方法． 情感、态度与价值观 经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序． 重点 利用计算器求锐角三角函数的值． 难点 计算器的按键顺序． 一、复习回顾 教师多媒体课件出示： 1. 　　三角函数 角度α　　 sinα cosα tanα 30° 45° 60° 　　2.已知 2sin(90°－α)－ 3＝0，求锐角α的度数． 二、讲解新知 师：上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值，但如果是任意的一个锐角，如何求它 的三角函数值呢？比如让你求 sin18°的值． 生：作一个有一个锐角为 18°的直角三角形，量出它的对边和斜边长，求它的比值． 学生作图、测量、计算． 生：约等于 0.309 016 994. 师：对！用这种方法确实可以求出任意一个锐角三角函数的近似值，古代的数学家、天 文学家也采用过这样的方法，只是误差较大．经过许多数学家不断的改进，不同角的三角函 数值被制成了常用表，三角函数表大大改进了三角函数值的应用．今天，三角函数表又被带 有sin、cos和tan功能键的计算器所取代． 教师拿出计算器． 师：我们学习这种计算器的使用方法．请同学们拿出自己的计算器．学生拿出自己的计算器． 师：先按ON键，再按有关三角函数的键． 教师板书： 1．求已知锐角的三角函数值． 例 1　求 sin40°的值．(精确到 0.000 1) 师：比如我们求 sin40°的值，依次按sin、4、0、° ′ ″、＝这几个键． 师：因为要求精确到万分位，我们将得到的数字四舍五入到万分位即可，你得到四舍五 入后的值是多少？ 生：0.642 8. 例 2　求 cos54°38′的值．(精确到 0.000 1) 师：我们依次按cos、5、4、° ′ ″、3、8、° ′ ″、＝这几个键． 学生操作后回答． 2．由锐角三角函数值求锐角． 例 3　已知 sinA＝0.508 6，求锐角 A. 师：你有没有注意到计算器上有个2ndf键？ 生：注意到了． 师：这个键叫做第二功能键，我们用这个可以转换键盘上的功能键的作用．我们依次按 2ndf、sin－1、0、·、5、0、8、＝. 师：这样我们得到的是多少度，要化成度分秒的形式，我们按那个第二功能键2ndf和度 分秒键° ′ ″. 学生操作后回答结果． 三、巩固提高 1．sinα＝0.231 6，cosβ＝0.231 6，则锐角α与锐角β之间的关系是(　　) A．α＝β　　　　　B．α＋β＝180° C．α＋β＝90° D．α－β＝90° 答案　C 2．使用计算器计算：sin52°18′≈________．(精确到 0.001) 答案　0.791 3．已知 cosβ＝0.741 6，利用计算器求出β的值约为________．(精确到 1°) 答案　42° 四、课堂小结 1．用计算器求一个锐角的三角函数值． 2．学习了已知一个函数值，求它对应的锐角的大小． 如何让学生体会用计算器的好处，我设计一个正弦值难于直接得到的 sin18°的值让学 生计算．在没有提示的情况下，学生有的用笔算，通过作图测量用正弦的定义计算，我肯定 了学生的这种探索式作法，同时提出了使用计算器的简便性，在较短的时间内能正确计算， 也显示了其较强的计算能力． 28．2　解直角三角形及其应用 28．2.1　解直角三角形 知识与技能 在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、 直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．过程与方法 通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步 培养学生分析问题、解决问题的能力． 情感、态度与价值观 在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与 作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验 “从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣．让学生在学 习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学好数学的信心． 重点 直角三角形的解法． 难点 灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 一、复习回顾 师：你还记得勾股定理的内容吗？ 学生叙述勾股定理的内容． 师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？ 生：两锐角互余． 师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？ 生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半． 二、共同探究，获取新知 1．概念． 师：由 sinA＝ a c，你能得到哪些公式？ 生甲：a＝c·sinA. 生乙：c＝ a sinA. 师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我们知道，在直角 三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素求出未知的元素呢？ 教师板书： 在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形． 2．练习． 教师多媒体课件出示： (1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形． (1)　　　　　　　　(2)　 师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？ 生 1：根据 cos60°＝ AC AB，得到 AB＝ AC cos60°，然后把 AC 边的长和 60°角的余弦值代入，求出 AB 边的长，再用勾股定理求出 BC 边的长，∠B 的度数根据直角三角形两锐角互 余即可得到． 生 2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B 为 30°，然后根据 30°的角所对的直角边 等于斜边的一半，求出 AB 的值，再由 sin60°＝ BC AB得到 BC＝AB·sin60°，从而得到 BC 边的长． 师：同学们说出的这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角 形． 学生思考，计算． 三、例题讲解 例 1　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 2，BC＝ 6，解这个直角三角形． 解：∵tanA＝ BC AC＝ 6 2＝ 3， ∴∠A＝60°， ∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°， AB＝2AC＝2 2. 例 2　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形．(结 果保留小数点后一位) 解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°. ∵tanB＝ b a， ∴a＝ b tanB＝ 20 tan35°≈28.6. ∵sinB＝ b c， ∴c＝ b sinB＝ 20 sin35°≈34.9. 四、巩固练习 1．在△ABC 中，∠C＝90°，下列各式中不正确的是(　　) A．b＝a·tanB　　　　B．a＝b·cosA C．c＝ b sinB D．c＝ a cosB 答案　B 2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，c＝10，b＝5 3，则∠A＝________，S △ ABC ＝ ________．答案　30°　 25 2 3 五、课堂小结 师：本节课，我们学习了什么内容？ 学生回答． 师：你还有什么不懂的地方吗？ 学生提问，老师解答． 本节课在教学过程中，能灵活处理教材，敢于放手让学生通过自主学习、合作探究达到 理解并掌握知识的目的，并能运用知识解决问题．在本章开头，我带领学生复习了与解直角 三角形有关的知识点，使学生在解决问题时能想到并能熟练运用．在解有特殊角的三角形时 有不止一种解法，我鼓励学生勇于发言，给了他们展示自我的机会，锻炼他们表达自己想法 的能力，并且增强了他们的自信心． 28．2.2　应用举例 知识与技能 使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些 实际问题． 过程与方法 让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途． 情感、态度与价值观 使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义． 重点 将实际问题转化为解直角三角形问题． 难点 将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解． 一、新知讲授 1．讲解． 师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、 铅垂线就构成了直角三角形． 教师在黑板上作图． 师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在 水平线下方的角叫做俯角． 注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角． 师：测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪． 2．练习新知． 教师多媒体课件出示： 如图，∠C＝∠DEB＝90°，FB∥AC，从 A 看 D 的仰角是________；从 B 看 D 的俯 角是________；从 A 看 B 的________角是________；从 D 看 B 的________角是________； 从 B 看 A 的________角是________． 答案：从 A 看 D 的仰角是∠2，从 B 看 D 的俯角是∠FBD，从 A 看 B 的仰角是∠ BAC，从 D 看 B 的仰角是∠3，从 B 看 A 的俯角是∠1. 二、例题讲解 例 1　2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实 现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行， 如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在 什么位置？最远点与 P 点的距离是多少？(地球半径约为 6 400 km，π取 3.142，结果取整数) 分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点． 如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O 的有关问题：其中点 F 是组合体的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点 Q 是从组合体中观测地球时的最远点，PQ︵ 的长 就是地球表面上 P，Q 两点间的距离．为计算PQ︵ 的长需先求出∠POQ(即α)的度数． 解：设∠POQ＝α，在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形． ∵cosα＝ OQ OF＝ 6 400 6 400＋343≈0.9491. ∴α≈18.36°， ∴PQ︵ 的长为 18.36π 180 ×6 400≈ 18.36 × 3.142 180 ×6 400≈2 051(km)． 由此可知，当组合体在 P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2051 km. 例 2　热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯 角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高？(结果取整数) 解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.∵tanα＝ BD AD，tanβ＝ CD AD， ∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120× 3 3 ＝40 3， CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120× 3＝120 3. ∴BC＝BD＋CD＝40 3＋120 3＝160 3≈277(m)． 因此，这栋楼高约为 277 m. 例 3　如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处．这时，B 处距 离灯塔 P 有多远？(结果取整数) 解：如图，在 Rt△APC 中， PC＝PA·cos(90°－65°) ＝80×cos25° ≈72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B＝34°， ∵sinB＝ PC PB， ∴PB＝ PC sinB＝ 72.505 sin34°≈130(n mile)． 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向时，它距离灯塔 P 大约 130 n mile. 三、巩固提高 1．如图，小雅家(图中点 O 处)门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔(图中点 A 处)在她家北偏东 60°方向 500 m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离 AB 长是(　　)A．250 m　　　　　　B．250 3 m C. 500 3 3 m D．250 2 m 答案　A 2．王师傅在楼顶上的点 A 处测得楼前一棵树 CD 的顶端 C 的俯角为 60°，已知水平距 离 BD＝10 m，楼高 AB＝24 m，则树 CD 的高度为(　　) A．(24－ 10 3 3 )m B．(24－10 3) m C．(24－5 3) m D．9 m 答案　B 四、课堂小结 师：本节课，我们学习了什么内容？ 学生回答． 师：你还有什么不懂的地方吗？ 学生提问，教师解答． 解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一，使学生对所学知识有了更好的巩固， 同时让学生体会到数学与实际生活的联系，例题设置具有一定坡度，由浅入深，步步深 入．