知识讲解提高_等差数列

1 等差数列 【学习目标】 1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 项和公式，了解等差数列与 一次函数的关系； 2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前 n 项和公式与 二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题. 3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 【学习策略】 数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及 前 n 项和公式的性质特点. 注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前 项和公式中，共涉及 、 、 、 、 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量. 【要点梳理】 要点一：等差数列的定义 文字语言形式 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示. 要点诠释： ⑴公差 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数 （即公差）； 符号语言形式 对于数列 ，若 ( ， ， 为常数)或 ( ， 为 常数)，则此数列是等差数列，其中常数 叫做等差数列的公差. 要点诠释：定义中要求“同一个常数 ”，必须与 无关. 等差中项 如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项，即 . n n 1a n d na nS d d d { }na 1n na a d−− = n N +∈ 2n ≥ d 1n na a d+ − = n N +∈ d d d n a A b A a b 2 a bA +=2 要点诠释： ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数. 任意两实数 a，b 的等差中项存在且唯 一. ②三个数 ， ， 成等差数列的充要条件是 . 要点二：等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 首相为 ，公差为 的等差数列 的通项公式为： 推导过程： （1）归纳法： 根据等差数列定义 可得： ， ∴ ， ， ， …… 当 n=1 时，上式也成立 ∴归纳得出等差数列的通项公式为： （ ）. （2）叠加法： 根据等差数列定义 ，有： a A b 2 a bA += 1a d { }na 1n na a d−− = 1n na a d−= + 2 1 1 (2 1)a a d a d= + = + − 3 2 1 1 1( ) 2 (3 1)a a d a d d a d a d= + = + + = + = + − 4 3 1 1 1( 2 ) 3 (4 1)a a d a d d a d a d= + = + + = + = + − 1 ( 1)na a n d= + − 1 ( 1)na a n d= + − n N +∈ 1n na a d−− = ( )* 1 ( 1)na a n d n= + − ∈N3 ， ， ， … 把这 个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得 ， ∴ . (3)迭代法： ∴ . 要点诠释： ①通项公式由首项 和公差 完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差 数列就唯一确定了. ②通项公式中共涉及 、 、 、 四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可 求出第四个量. 等差数列通项公式的推广 已知等差数列 中，第 项为 ，公差为 ，则： 证明：∵ ， 2 1a a d− = 3 2a a d− = 4 3a a d− = 1n na a d−− = 1n − 1 ( 1)na a n d− = − 1 ( 1)na a n d= + − 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( 1)n n n n a a d a d d a d d d a n d− − − = + = + + = = + + + + = + −  1 ( 1)na a n d= + − 1a d 1a n d na { }na m ma d 1 ( 1)na a n d= + − 1 ( 1)ma a m d= + − ( )*( )n ma a n m d m n= + − ∈N，4 ∴ ∴ 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式 可以看成是 时的特殊情况. 要点三：等差数列的性质 等差数列 中，公差为 ，则 ①若 ，且 ，则 ， 特别地，当 时 . ②下标成公差为 的等差数列的项 ， ， ，…组成的新数列仍为等差数列， 公差为 . ③若数列 也为等差数列，则 ， ，（k，b 为非零常数）也是等差数 列. ④ 仍是等差数列. ⑤数列 （ 为非零常数）也是等差数列. 要点四：等差数列的前 项和公式 等差数列的前 项和公式 证明：倒序相加法 ① 1 1[ ( 1) ] [ ( 1) ] ( )n ma a a n d a m d n m d− = + − − + − = − ( )n ma a n m d= + − 1 ( 1)na a n d= + − 1m = { }na d , , ,m n p q N +∈ m n p q+ = + m n p qa a a a+ = + 2m n p+ = 2m n pa a a+ = m ka k ma + 2k ma + md { }nb { }n na b± { }nka b± 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , ,a a a a a a a a a+ + + + + + … … { }+na bλ λ，b n n 1 2 3 1n n nS a a a a a−= + + + + + 公式一： 1( ) 2 n n n a aS +=5 ② ①+②： ∵ ∴ 由此得： 证明：将 代入 可得： 要点诠释： ①倒序相加是数列求和的重要方法之一. ②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及 、 、 、 、 五个量，已知 其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量. 要点五：等差数列的前 项和的有关性质 等差数列 中，公差为 ，则 ①连续 项的和依然成等差数列，即 ， ， ，…成等差数列，且公差 为 . ②若项数为 2n，则 ， ， ③若项数为 2n-1，则 ， ， ， ， 1 2 2 1n n n nS a a a a a− −= + + + + + 1 2 1 3 2 12 ( ) ( ) ( ) ( )n n n n nS a a a a a a a a− −= + + + + + + + + 1 2 1 3 2 1n n n na a a a a a a a− −+ = + = + = = + 12 ( )n nS n a a= + 1( ) 2 n n n a aS += 1 ( 1)na a n d= + − 1( ) 2 n n n a aS += 1 ( 1) 2n n n dS na −= + 1a n d na nS n { }na d k kS 2k kS S− 3 2k kS S− 2k d 2 1( )n n nS n a a += + S S nd− =偶 奇 1 n n S a S a + =奇 偶 2 1 (2 1)n nS n a− = − nS na=奇 ( 1) nS n a= −偶 nS S a− =奇 偶 公式二： 1 ( 1) 2n n n dS na −= +6 要点六：等差数列中的函数关系 等差数列 的通项公式是关于 的一次函数(或常数函数) 等差数列 中， ，令 ，则： （ ， 是常数且 为公差） （1）当 时， 为常数函数， 为常数列；它的图象是在直线 上均匀 排列的一群孤立的点. （2）当 时， 是 的一次函数；它的图象是在直线 上均匀排列 的一群孤立的点. ①当 时，一次函数单调增， 为递增数列； ②当 ＜0 时，一次函数单调减， 为递减数列. 等差数列 的前 项和公式是关于 的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由 ，令 ， ，则： （ ， 为常数） （1）当 即 时， ， 是关于 的一个一次函数；它的图象是在 直线 上的一群孤立的点. （2）当 即 时， 是关于 的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛 物线 上的一群孤立的点. ①当 时 有最小值 1 S n S n = − 奇 偶 na{ } n { }na 1 1( 1) ( )na a n d dn a d= + − = + − 1a d b− = na dn b= + d b d 0d = na b= { }na y b= 0d ≠ na dn b= + n y dx b= + 0d > { }na d { }na na{ } n n 2 1 1 ( 1) ( )2 2 2n n n d dS na d n a n −= + = + − 2 dA = 1 2 dB a= − 2 nS An Bn= + A B 0d = 0A = 1nS Bn na= = nS n 1y a x= 0d ≠ 0A ≠ nS n 2y Ax Bx= + 0d > nS7 ②当 时， 有最大值 要点诠释： 1.公差不为 0 的等差数列 的通项公式是关于 n 的一次函数. 2. （ ， 是常数）是数列 成等差数列的充要条件. 3.公差不为 0 的等差数列 的前 项和公式是关于 n 的一个常数项为零的二次函数. 4. (其中 ， 为常数)是数列 成等差数列的充要条件. 【典型例题】 类型一：等差数列的定义 例 1.-401 是不是等差数列 ……的项？如果是，是第几项？ 【思路点拨】要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数 值，使得 等于这一数. 【解析】由 得 由题意知，本题是要回答是否存在正整数 n，使得： 成立 解得： 即 是这个数列的第 100 项. 【总结升华】 1.根据所给数列求得首项 和公差 ，写出通项公式 . 2.要注意解题步骤的规范性与准确性. 举一反三： 【变式 1】－20 是不是等差数列 0， ，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不 是，说明理由. 0d < nS { }na na pn q= + p q { }na { }na n 2 nS An Bn= + A B { }na 5 9 13− − −、 、 … n na 1 5 9 ( 5) 4a d= − = − − − = − 5 4( 1) 4 1na n n= − − − = − − 401 4 1n− = − − 100n = 401− 1a d na 7 2 −8 【答案】由题意可知： ， ，∴此数列的通项公式为： ， 令 ，解得 ，所以－20 不是这个数列的项. 【变式 2】求集合 的元素的个数，并求这些元素的和. 【答案】∵ ，∴ ，∵ ，∴ 中有 14 个元素符合条件， 又∵满足条件的数 7，14，21，…，98 成等差数列，即 ， ， ， ∴ . 例 2．(2014 河南)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an≠0，anan+1＝λSn－1，其中 λ 为 常数． (Ⅰ)证明：an+2－an＝λ (Ⅱ)是否存在 λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【答案】(Ⅰ)见解析。(Ⅱ)存在. 【解析】(Ⅰ)证明：∵anan+1＝λSn－1，an+1an+2＝λSn+1－1， ∴an+1(an+2－an)＝λan+1 ∵an+1≠0， ∴an+2－an＝λ． (Ⅱ)解：①当 λ＝0 时，anan+1＝－1，假设{an}为等差数列，设公差为 d． 则 an+2－an＝0，∴2d＝0，解得 d＝0， ∴an＝an+1＝1， ∴12＝－1，矛盾，因此 λ＝0 时{an}不为等差数列． ②当 λ≠0 时，假设存在 λ，使得{an}为等差数列，设公差为 d． 则 λ＝an+2－an＝(an+2－an+1)+(an+1－an)＝2d， ∴ ． 2d λ＝ 1 0a = 7 2d = − 7 7 2 2na n= − + 7 720 2 2n− = − + 47 7n N= ∉ *{ | 7 , , 100}M m m n n m= = ∈ 9 17S S= n n n nS n 9 17S S= 1 19 36 17 136a d a d+ = + 18 100a d= − 1 0a > 1 2 025d a= − < 2 21 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 2 169( ) ( 26 ) ( 13)2 2 25 25 25 25n a an n n nS na d na a n n n a − −= + = + − = − − = − − +18 ∵ ，∴当 ， 有最大值为 . 方法二：要使 最大， 必须使 且 ， 即 解得 ，∵ ， ∴ 时， 最大为 . 【总结升华】 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 1. 利用 : 当 ， 时，前 项和有最大值. 可由 ，且 ，求得 的值； 当 ， 时，前 项和有最小值. 可由 ，且 ，求得 的值. 2. 利用 ：由 利用二次函数配方法求得最值时 的值 举一反三： 【变式 1】设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ， . （1）求公差 的取值范围； （2）指出 ， ，…， 中哪一个值最大，并说明理由. 【答案】 1 0a > 13n = nS 1 169 25 a nS n 0na ≥ 1 0na + ≤ 1 1 1 1 1 1 1 2 27( 1) 025 25 2 27( 1) 025 25 0 n n a a n d a n a a a n a a +  = + − = − + ≥  = − + + ≤   >  25 27 2 2n≤ ≤ n N +∈ 13n = nS 13 1 1 13 12 16913 2 25S a d a ×= + = na 0na > 0d < n 0na ≥ 1 0na + ≤ n 0na < 0d > n 0na ≤ 1 0na + ≥ n nS 2 1( )2 2n d dS n a n= + − n { }na n nS 3 12a = 12 0S > 13 0S < d 1S 2S 12S19 （1）依题意，有 ，即 ， 解得 . （2）法一:由 ，可知 . 设存在自然数 ，使得 就是 ， ，…， 中的最大值，只需 ， ， 由 ， 故 是 ， ，…， 中的最大值. 法二: ∵ ，∴ 最小时， 最大， ∵ ，∴ ， ∴ 时， 最小， 故 是 ， ，…， 中的最大值. 【变式 2】在等差数列{an}中，a1＝7，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n＝8 时 Sn 取得最大值，则 d 的取值范围为　　　　　． 【答案】∵ ，当且仅当 n＝8 时 Sn 取得最大值， ∴ ，即 ，解得： ( ) dnnnn 2 17S −+=    < < 89 87 SS SS    +  × − = +   + > > > > n nS 1S 2S 12S 0na ≥ 1 0na + ≤ 1 12 12 6 7 6 7 6 1 13 7 7 13 7 12( ) 6( ) 0 0 02 13( ) 0 013 02 a aS a a a a a a a a aS a + = = + > + > >  ⇒ ⇒  + < (50 4 ) 0;n n− > 250 ,2n∴ < < *,n N∈ ∴ n 17 2 a−21 3. 已知{an}是等差数列，a3＋a11＝40，则 a6－a7＋a8 等于(　　) A．20　　　　　　　　　　 B．48 C．60 D．72 4. 等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列， 那么新的等差数列的公差是(　　) A. B． C． D．－1 5.(2015 新课标Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若 S8=4S4， 则 a10=（ ） A． B． C． D． 6. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且 ，则使得 为整数的正整数 n 的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则 a6＝________. 8．若 x≠y，数列 x，a 1，a2，y 和 x，b 1，b2，b3，y 各自成等差数列，则 ＝ ________. 9. 把 20 分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为 2∶3，则这四个数从小到大依次为____________. 10. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－9n，第 k 项满足 5