知识讲解_《数列》全章复习与巩固_提高

1 《数列》全章复习与巩固 【学习目标】 1．系统掌握数列的有关概念和公式； 2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前 项和公式，并运用这些知识解决问题； 3．了解数列的通项公式 与前 项和公式 的关系，能通过前 项和公式 求出数列的通项公式 ； 4．掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】 【要点梳理】 n na n nS n nS na 数列的通项 1 1 , 1 , 2n n n S na S S n− ==  − ≥ 当 时 当 时 通项公式 等差中项 前 n 项和公式 等差数列 性质 通项公式 等比中项 前 n 项和公式 等比数列 性质 数列 数列前 n 项和 数列的递推公式 应 用2 知识点一：等差数列 1.判定一个数列为等差数列的常用方法 ①定义法： （常数） 是等差数列； ②中项公式法： 是等差数列； ③通项公式法： （p，q 为常数） 是等差数列； ④前 项和公式法： （ 为常数） 是等差数列. 要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。 2.等差数列的通项公式及前 项和 通项公式： 要点诠释： ①该公式可改写为： 当 ＝0 时， 是关于 的常函数；当 d≠0 时， 是关于 的一次函数；点( )分布在以 为斜 率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． ②通项公式的推广： 前 n 项和公式： 要点诠释： ①该公式可改写为： 当 ＝0 时， 是关于 的正比例函数；当 d≠0 时， 是关于 的二次函数（无常数项）． ②在应用 时，注意相关性质的应用。 3.等差数列有关性质 （1）若 ，则 ； 特别地，若 ，则 ； （2）若 成等差数列，则 ； 1n na a d+ − = ⇔ { }na 1 22 ( *) { }n n n na a a n N a+ += + ∈ ⇔ na pn q= + ⇔ { }na n 2 nS An Bn= + ,A B ⇔ { }na n ( )1= + 1na a n d 1= +na d n a d⋅ d na n na n n na d ( )+n ma a n m d= － ( ) ( )1 1 1 += + =2 2 n n n n n a aS na d 2 1= +2 2n d dS n a n     d nS n nS n ( )1 += 2 n n n a aS *( )m n p q m n p q+ = + ∈N、 、 、 m n p qa a a a+ = + 2m n p+ = 2m n pa a a+ = a b c， ， + =2a c b3 （3）公差为 的等差数列中，连续 项和 ，… 组成新的等差数列； （4）等差数列 ，前 项和为 ： ①当 为奇数时， ； ； ； ②当 为偶数时， ； ； . （5）等差数列 ，前 项和为 ，则 （ ）； （6）等差数列 中，若 ，则 ； （7）等差数列 中，公差 ，依次每 项和： ， ， 成等差数列，新公差 . 3.等差数列前 项和 的最值问题： 等差数列 中 ① 若 ＞0， ＜0， 有最大值，可由不等式组 来确定 ； ② 若 ＜0， ＞0， 有最小值，可由不等式组 来确定 ，也可由前 项和公式 来确定 . 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 知识点二：等比数列 1.判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法： （ 是不为 0 的常数， ∈N*） 是等比数列； d k 2 3 2, ,k k k k kS S S S S− − { }na n nS n 1 2 n nS n a += ⋅ 1 2 nS S a +− =奇 偶 1 1 S n S n += − 奇 偶 n 12 2 2 n n n a a S n + +   = ⋅    1 2S S dn− =偶 奇 2 12 n n aS S a + =奇 偶 { }na n nS m n m nS S S m n m n +− =− + *m n m n∈ ≠N、 ，且 { }na *m n p q m n p q m n p q+ = + ∈ ≠ ≠N（ 、 、 、 ，且 ， ） p qm n S SS S m n p q −− =− − { }na d k kS 2k kS S− 3 2k kS S− 2'd k d= n nS { }na 1a d nS 1 0 0 n n a a + ≥  ≤ n 1a d nS 1 0 0 n n a a + ≤  ≥ n n 2 1( )2 2n d dS n a n= + − n 1n n a qa + = q n { }na⇔4 （2）通项公式法： （c、q 均是不为 0 的常数 ∈N*） 是等比数列； （3）中项公式法： （ ， ） 是等比数列. 2.等比数列的通项公式及前 项和 通项公式： 要点诠释： ① 该公式可改写为： 时，是关于 的指数型函数； 时，是常数函数； ② 推广： . 前 项和公式： 要点诠释： ①在求等比数列前 项和时，要注意区分 和 ②当 时，等比数列的两个求和公式，共涉及 、 、 、 、 五个量，已知其中任意三个 量，通过解方程组，便可求出其余两个量. 3.等比数列的主要性质： （1）若 ，则 ； 特别，若 ，则 ； （2）等比数列 中，若 成等差数列，则 成等比数列； （3）公比为 的等比数列中，连续 项和 ，… 组成新的等比数列； n na cq= n { }na⇔ 2 1 2n n na a a+ += ⋅ 1 2 0n n na a a+ +⋅ ⋅ ≠ *n N∈ { }na⇔ n 1 1 1( * 0)n na a q n a q−= ⋅ ∈ ⋅ ≠N ， 1 n n aa qq = ⋅ 0 1q q> ≠且 n 1q = n m n ma a q −= ⋅ n 1 11 ( 1) (1 ) ( 1)1 1 n n n na q S a a qa q qq q = = −− = ≠ − − n 1q = 1q ≠ 1q ≠ 1a n q na nS *( )m n p q m n p q+ = + ∈N、 、 、 m n p qa a a a⋅ = ⋅ 2m n p+ = 2 m n pa a a⋅ = { }na *m n p m n p N∈、 、（ 、 、 ） m n pa a a、 、 q k 2 3 2, ,k k k k kS S S S S− −5 （4）等比数列 ，前 项和为 ，当 为偶数时， ； （5）等比数列 中，公比为 ，依次每 项和： ， ， …成公比为 qk 的等比数 列； （6）若 为正项等比数列，则 （ ＞0 且 ≠1）为等差数列；反之，若 为等差数列， 则 （ ＞0 且 ≠1）为等比数列； （7）等比数列 前 项积为 ，则 . 知识点三：常见的数列通项公式求法 1. 已知数列的前几项： 已知数列的前几项，通过观察法，归纳分析出数列的通项公式. 2. 已知等差数列或等比数列： 通过公式法求通项公式. 类型 通项公式 等差数列 等比数列 3. 已知数列的递推关系式： ①形如 ，该数列为等差数列，利用公式法求数列的通项公式； ②形如 ，该数列为等比数列，利用公式法求数列的通项公式. ③形如 ，构造公比为 的等比数列 ，利用公式法求解； ④形如 ，通过累加法（迭加法）求数列的通项； ⑤形如 ，通过累乘法（迭乘法）求数列的通项. { }na n nS n S S q=偶 奇 { }na q k kS 2k kS S− 3 2k kS S− { }na {log }a na a a { }na { }naa a a { }na n nV ( 1) 2 1 ( *) n n n nV a q n − = ∈N ( )1= -1na a + n d -1 1= n na a q⋅ ( )1 = + n na a d d+ ∈R ( )1 = 0n na q a q+ ≠ ( )1 = + 0 1n na q a d d q q+ ⋅ ∈ ≠ ≠R且 ， q + -1n da q       ( )1 = + n na a f n+ ( )1 =gn na n a+ ⋅6 ⑥形如 ，两边取倒数，构造公差为 的等差数列 ，利用公式法求通项. 4.已知 ，求 ： 利用 与 的关系，即 ，可求得数列的通项公式. 5.已知 ，求 ： 利用作商法，即 求数列的通项公式. 知识点四：常见的数列求和方法 1.公式法： 如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前 项和公式求和。 2.分组求和法： 将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如： . 3.裂项法： 把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分 母为非常数列的等差数列的两项积的形式. 若 ，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式, 则 ，如 an= 4.错位相减法： 通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式： , 其中 是公差 ≠0 等 差数列， 是公比 ≠1 等比数列，如 . ( )1 , 0n n n paa = p qpa +q+ ≠ q p 1 na       nS na na nS 1 1 ,( 1) ,( 2)n n n S na S S n− ==  − ≥ ， 1 2 n = ) a a a f(n na (1),( 1) ( ) ,( 2).( 1) n f n a f n nf n = =  ≥ − n =2 +3 4n na n 1 ( )( )na An B An C = + + 1 1 1 1( )( )( )na An B An C C B An B An C = = −+ + − + + 1 ( 1)n n + 1 1 1n n = − + n n na b c= ⋅ { }nb d { }nc q ( )= 2 1 3n na n ⋅7 一般步骤： ，则 所以有 要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 知识点五、通项 与前 项和 的关系： 任意数列 的前 项和 ； 要点诠释： 由前 项和 求数列通项时，要分三步进行： （1）求 ， （2）求出当 ≥2 时的 ， （3）如果令 ≥2 时得出的 中的 =1 时有 成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式， 否则就只能写成分段的形式。 知识点六：数列应用问题 数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模 型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 建立数学模型的基本步骤： ① 审题——认真阅读题目，准确理解题意，达到如下要求： 明确问题属于哪类应用问题； 弄清题目中的主要已知事项； 1 1 2 2 1 1n n n n nS b c b c b c b c− −= + +…+ + 1 2 1 1n n n n nqS b c b c b c− += +……+ + 1 1 2 3 1(1 ) ( )n n n nq S b c c c c d b c +− = + + +…… − na n nS { }na n 1 2n nS a a a= + + + 1 1 ( 1) ( 2)n n n S n a S S n− ==  − ≥ n nS 1 1a S= n na n na n 1 1a S=8 明确所求的结论是什么. ②建模——将已知关系翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清楚该数列 的结构和特征； ③求解——求出该问题的数学解； ④还原——将所求结果还原到实际问题中. 要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本 量. 【典型例题】 类型一：等差、等比数列概念及其性质 例 1.在 和 之间插入 个正数，使这 个数依次成等比数列，求所插入的 个数之积. 【思路点拨】本题中，将 看作已知量，运用基本量法或者等比数列的性质解决问题. 该题考查学 生的推理论证能力与运算求解能力，综合性较强，同学们应认真分析。 【答案】 【解析】 方法一：设插入的 个数为 ，且公比为 ，则 ∴ ， （ ） 方法二：设插入的 个数为 ， ， ， ， 【总结升华】第一种解法利用等比数列的基本量 、 ，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、 1 n 1n + n 2n + n n 21( ) nn n + n 1 2, , , nx x x q 111 nn qn ++ = 1 ( 1)nq n n+ = + 1 k kx qn = 1,2, ,k n=  ( 1) 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1( ) n n n n n n n n n nT x x x q q q q qn n n nn n + + + + += ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = =  n 1 2, , , nx x x 0 1 1 , 1nx x nn += = + 0 1 1 2 1 1 n n n nx x x x x x n+ − +⋅ = ⋅ = ⋅ = = 1 2n nT x x x= ⋅ ⋅ ⋅ 2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nT x x x x x x n− += ⋅ ⋅ ⋅ = 21( ) n n nT n +∴ = 1a q9 等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性 质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到. 举一反三： 【高清课堂：数列综合 381084 例 1】 【变式 1】已知两个等比数列 ， ，满足 ， ， ， . （1）若 ，求数列 的通项公式； （2）若数列 唯一，求 的值. 【答案】（1） 或 （2） 【变式 2】已知等差数列 ，公差 ， 中部分项组成的数列 ， ， ，…， ，… 恰为等比数列，且知 , , . （1）求 ； （2）证明: . 【解析】依题意: ， ， . ∵ ， ， 为等比数列， ∴ ，解得 . ∴等比数列 的首项 ，公比 ， ∴ { }na { }nb 1 ( 0)a a a= > 1 1 1b a− = 2 2 2b a− = 3 3 3b a− = 1a = { }na { }na a 1(2 2)n na −= + 1(2 2)n na −= − 1 3a = { }na 0d ≠ { }na 1ka 2ka 3ka nka 1 1k = 2 5k = 3 17k = nk 1 2 ... 3 1n nk k k n+ + + = − − 1 1ka a= 2 5 1 4ka a a d= = + 3 17 1 16ka a a d= = + 1ka 2ka 3ka 2 1 1 1( 4 ) ( 16 )a d a a d+ = + 1 2a d= { }nka 1 1 2ka a d= = 5 1 1 1 4 3a a dq a a += = = 1 1 12 3n n n k ka a q d− −= ⋅ = ⋅10 又 在等差数列 中是第 项，∴ ∴ （ ）， 解得 . （2） 例 2. 已知等差数列 ， , , 则 （　） A.125　　 B.175　　C.225　　D.250 【思路点拨】本题是关于等差数列的求值问题，故用常用的基本量法或者等差数列的性质解决即可。 难点在于项数 不确定，在解题过程中不妨采用合适的方法加以回避。 【答案】C 【解析】 方法一：利用等差数列的性质 ∵ 为等差数列， ∴ , , 成等差数列，即 ∴ ， 解得 , ∴选 C. 方法二：特殊值法 令 ，由题意可得 , , nka { }na nk 1 ( 1) ( 1)nk n na a k d k d= + − = + 1( 1) 2 3n n k na k d d−= + = ⋅ 0d ≠ 12 3 1n nk −= ⋅ − 1 2 ... nk k k+ + + 1 1 2 1 1(2 3 1) (2 3 1) ... (2 3 1)n− − −= ⋅ − + ⋅ − + + ⋅ − 0 1 12(3 3 ... 3 ) 3 1 n n n n −= + + + − = − − { }na 25nS = 2 100nS = 3nS = n { }na nS 2n nS S− 3 2n nS S− 2 3 22( ) ( )n n n n nS S S S S− = + − 32(100 25) 25 ( 100)nS− = + − 3 225nS = 1n = 1 1 25nS S a= = = 2 2 1 2 100nS S a a= = + =11 ∴ ， ， ∴ , ∴选 C. 方法三：基本量法 , ， 两式相减可得 ， ∴ . ∴选 C. 【总结升华】三种解法各有各的特点，注意认真体会每一种解法，灵活应用.本题还有其他的方法 解析，在这里不再一一介绍，同学们有时间可仔细研究。 举一反三： 【变式】已知等比数列 ， , , 则 （　） A.75 　　B.2880　　 C. 　　D.63 【答案】D 例 3．如果一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32：27， 求公差. 【思路点拨】这是关于等差数列的求值问题，采用基本量法解决即可.注意奇数项的首项为 ，公 差为 22；偶数项首项为 ，公差为 . 【答案】 5 【解析】设等差数列首项为 ，公差为 d，则 2 75a = 2 1 50d a a= − = 3 3 1 3 (3 1)3 2252nS S a d × −= = + = 1 ( 1) 252n n nS na d −= + = 2 1 2 (2 1)2 1002n n nS na d −= + = 1 (3 1) 752 n nna d −+ = 3 1 3 (3 1)3 75 3 2252n n nS na d −= + = × = { }nb 48nS = 2 60nS = 3nS = 5 4 1a 2d 2a 2d 1a12 所以该数列的公差是 5. 【总结升华】 1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解.方程思想在数列中很重要. 2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键. 举一反三： 【变式】已知：三个数成等比数列，积为 216，若第二个数加上 4，则它们构成一个等差数列,求这 三个数. 【答案】这三个数为 2，6，18 或 18，6，2. 例 4．等差数列 中， , ，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____. 【思路点拨】等差数列的首项 >0，公差 必然是负数，这样前 项和有最大值.取得最大值时的 项为数列中最后一个正数（或 0），它处于正负相间的位置，满足 【答案】7，49 【解析】设公差为 , 由题意得 ，得 , ∴ 是首项为正数的递减数列， 有最大值. 又 ,   所以 为最大值，即 =7×13+ =49. ( ) 1 11 1 12 1112 3542 6 5 =2 =5.6 + + 2 322 = .6 5 276 + 22 a d a da d d a d × + × =  × ×  × × ， 解得 ， { }na 1 13a = 3 11S S= 1a d n +1 0 0. n n a a ≥  ≤ ， d na d = 2d { }na nS 1 2 1nS n = − ( )4 5 10 11 7 8 11 3+ + + + =4 + = =0a a a a a a S S− ， 7 80 0.a a，  7S 7S ( )7 6 22 × ×13 【总结升华】等差数列的前 n 项和公式是一个二次的函数，当 时，函数有最大值. 举一反三： 【变式】若数列 是等差数列，数列 满足 ， 的前 项和用 表示， 若 中满足 ，试问 多大时， 取得最大值，证明你的结论. 【解析】∵ ， ∴ ，解得 >0 ∴ ， 故 是首项为正的递减数列. 则有 ,即 解得：15 ≤ ≤16 ，∴ =16，即 >0， ( )5 53 8 7a a d= + 5 56 5a d= 1 760 5d a d< = −， { }na 1 1 1 ( 1) 0 0 n n a a n d a a nd+ = + − ≥  = + ≤ 76 ( 1) 05 76 05 d n d d nd − + − ≥ − + ≤ 1 5 n 1 5 n 16a 17a 1 2 16 17 180a a a a a> > … > > > > > … 1 2 14 17 180b b b b b> > … > > > > > …… 15 15 16 17· · 0b a a a= < 16 16 17 18· · 0b a a a= > 14 13 1 14 15 15 16S S S S S S S> > … > > =， 9 5 d 15 18 15 16 15 16 0a a b b b b< ∴ < + >， ，即 16 14S S> nS 16S14 例 5.设 分别为等差数列 ， 的前 项和，满足 ，求 . 【思路点拨】用好等差数列中 与 的一个关系： 是解好本题的一个关键. 【答案】 【解析】 方法一： 方法二：设 ， ∴ ∴ . 【总结升华】等差数列的中项在前 项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前 项和与通 项公式的联系. 举一反三： 【变式 1】等差数列 中， =50， ， ，求项数 . 【答案】10 【高清课堂：数列综合 381084 例 2】 【变式 2】在数列 中， ， （1）设 ，证明 是等比数列. (2) 求数列 的通项公式. (3) 若 是 与 的等差中项，求 的值；并证明：对任意的 ， 是 与 的等差中 x { }na { }nb n 7 1 4 27 n n S n T n += + 11 11 a b nS na ( )2 1 2 1n nS n a+ = + 11 11 4 3 a b = 1 21 11 11 1 21 21 11 11 1 21 21 1 21 21( )2 7 21 1 42 212 4 21 27 3( )2 a aa a a a S b b b b Tb b ++ × += = = = = =+ × ++ ( )(7 1) , (4 27) 0n nS k n n T k n n k= + = + ≠ ( ) ( )11 11 10 11 7 11 1 10 7 10 1 148a S S k k k= − = × + − × + = ( ) ( )11 11 10T T 11 4 11 27 10 4 10 27 111b k k k= − = × + − × + = 11 11 148 4 111 3 a k b k = = n n { }na nS 1 2 3 4 30a a a a+ + + = 3 2 1 10n n n na a a a− − −+ + + = n { }na 1 21, 2a a= = 1 1(1 )n n na q a qa+ −= + − ( 2, 0)n q≥ ≠ * 1 ( )n n nb a a n N+= − ∈ { }nb { }na 3a 6a 9a q *n N∈ na 3na + 6na +15 项. 【解析】（1）利用定义证明 （2） （3）证明 时， 不合题意 时， 由 是 与 的等差中项可求 又 即 是 与 的等差中项. 类型二： 与 的关系式的综合运用 例 6.在数列 中， 是其前 项和，若 ＝1， ，则 ＝________. 【思路点拨】已知 的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为 的递推关系式，可知数 列 为等比数列. 【答案】 【解析】　由题意， ，① 1n nb qb −= 1 , 1 11 , 11 n n n q a q qq − = = − + ≠ − 1q = na n= 1q ≠ 111 ,1 n n qa q −−= + − 3a 6a 9a 3 2q = − 2 5 2 1 3 6 1 1 2 2 21 1 2 21 1 1 1 n n n n n n q q q qa a q q q q + + + − + + − − + −+ = + + + = + = +− − − − 112(1 ) 21 n n q aq −−= + =− na 3na + 6na + na nS { }na nS n 1a ( )1 1 13n na S n ≥＋＝ na n nS a与 na { }na 2 1 , 1 1 4 , 23 3 n n n a n − = =   ⋅ ≥    ( )1 1 13n na S n ≥＋＝16 ＝ ，② ①–②得 ＝ ，即 ＝ ， 当 时， ，当 时， . ∴ 【总结升华】已知 求 要先分 和 两种情况进行计算，然后验证能否统一. 举一反三： 【变式 1】已知数列 的前 项和如下，分别求它们的通项公式. （1） ；（2） 【解析】 (1)当 时, ； 当 时, , 又 时， ， ∴ （2） ，则 当 =1 时, = = ； 当 ≥2 时, = = , na 1 3 ( )1 2nS n ≥－ 1n na a＋ － 1 3 ( )2na n ≥ 1na ＋ 4 3 ( )2na n ≥ 2n ≥ 21 4( )3 3 n na −= ⋅ 1n＝ 1 1a＝ 2 1 , 1 1 4 , 23 3 n n n a n − = =   ⋅ ≥    nS na 1n＝ 2n ≥ { }na n 2 2 2nS n n= − + 3 2 2 n n n nS −= 1n = 1 1 1a S= = 2n ≥ ( ) ( ) ( )22 1 2 2 1 2 1 2 2 3n n na S S n n n n n−  = − = − + − − − − + = −  1n = 12 1 3 a× − ≠ 1 ( 1) 2 3( 2)n na n n ==  − ≥ 3 2 3= = 122 nn n n nS −      n 1a 1S 1 2 n 1=n n na S S −− -13 31 12 2 n n                      11 3 2 2 n ×  17 又 =1 时, ( )0= = , 满足上式. ∴ . 【变式 2】已知数列 的前 项和为 ， . （1）求 ； （2）求证：数列 是等比数列. 【解析】 （1）由 ，得 ， ∴ ， 又 ，即 ，得 . （2）证明：当 时，由题意， ， 得 ，又 ， 所以 为首项为 ，公比为 的等比数列. 例 7. 数列 的前 项和为 ，若对于 恒成立，求 . 【思路点拨】已知 的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为 的递推关系式. 【答案】 【解析】由题意 ①　 ② n 1 2 3 2 1 2 1a 11 3 2 2 n na − = ×   { }na n nS 1 ( 1) ( *)3n nS a n= − ∈N 1 2,a a { }na 1 1 1 ( 1)3S a= − 1 1 1 ( 1)3a a= − 1 1 2a = − 2 2 1 ( 1)3S a= − 1 2 2 1 ( 1)3a a a+ = − 2 1 4a = 2n ≥ 1n n na S S −= − 1 1 1( 1) ( 1)3 3n na a −= − − − 1 1 2 n n a a − = − 2 1 1 2 a a = − { }na 1 2 − 1 2 − { }na n nS , 1n nn S na∈ + =N nS n nS a与 na 1n nS n = + 1n nS na+ = 1 1( 1) 1n nS n a− −+ − =18 ①–②得 ，即 ， 在①中，当 时， ， . 【总结升华】本例利用了 与 的关系，注意对 的验证. 举一反三： 【变式 1】在数列 中，已知 ，前 项和 与通项 满足 ，求这 个数列的通项公式. 【解析】 因为 从而由已知得到： 即 ， 于是得到 ，就可以得到： . 【变式 2】若数列 的相邻两项 、 是方程 的两根，又 ，求数列 的前 项和 . 【解析】由韦达定理得 ， ， ∴ ，得 ， ∴数列 与 均成等比数列，且公比都为 ， 由 ， ，得 , 1( 1) 0n n na na n a −+ − − = 1 1 1 n n a n a n− −= + 1n = 1 1 1 11, 2a a a+ = ∴ = 3 12 4 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 2 1 1 1 1.... 2 3 4 5 1 ( 1) 1 n n n n n a a aa a n na a a a a a a n n n n n n − − − − −∴ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = −+ + + 1 1 1 1 1 1 1 1...(1 ) ( ) ( ) ( ) 12 2 3 3 4 1 1nS n n n ∴ = − + − + − + + − = −+ + 1n nS n ∴ = + nS na 1n = { }na 1 1a = n nS na 22 2 ( 2,3....)n n n nS a S a n= − = 1,n n na S S −= − 2 12 (2 1)( ).n n n nS S S S −= − − 1 1 1 2 n nS S − − = 1 2 1nS n = − 1 1 ( 2)2 1 2 3na nn n = − ≥− − { }na na 1na + 2 1( ) 03 n nx C x− + = 1 2a = { }nC n nS 1n n na a c++ = 1 1( )3 n n na a +⋅ = 1 1 2 1( )3 n n na a + + +⋅ = 2 1 3 n n a a + = 2{ }ka 2 1{ }ka − 1 3 1 2a = 1 2 1 3a a⋅ = 2 1 6a =19 ∴ , (I)当 为偶数时，令 （ ）, . (II)当 为奇数时，令 （ ）， . 类型三：特殊数列的求和 例 8.（2015 天津）已知数列 满足 （q 为实数，且 q≠1）， ， ， ，且 ， ， 成等差数列. { }na 2n na qa+ = *Nn∈ 1 1a = 2 2a = 2 3a a+ 3 4a a+ 4 5a a+ 1 1 2 2 1 1 1( ) ( )3 6 3 k k ka a − −= ⋅ = ⋅ 1 1 2 1 1 1 1( ) 2 ( )3 3 k k ka a − − − = ⋅ = ⋅ n 2n k= *k N∈ 1 2 3 2 1 2 2 3 3 4 2 1 2 2 2 1 ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) n k k k k k S C C C C a a a a a a a a a a− + = + + + + = + + + + + + + + + + 1 3 5 2 1 2 4 2 2 12( ... ) 2( ... )k k ka a a a a a a a− += + + + + + + + + + 1 3 2 1 1 1[1 ( ) ] [1 ( ) ] 13 32 2 2 2 ( )1 1 31 13 3 2 1 1 1[1 ( ) ] [1 ( ) ] 13 3 6 32 2 2 2 ( )2 2 3 3 3 k k k k k k a a− − − − = + ⋅ + ⋅ + ⋅ − − − − = + ⋅ + ⋅ + ⋅ 29 7 1 9 7 1( ) ( )2 2 3 2 2 3 n k= − = − n 2 1n k= − *k N∈ 1 2 3 2 1 1 2 2 3 3 4 2 2 2 1 2 1 2 ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) n k k k k k S C C C C a a a a a a a a a a − − − − = + + + + = + + + + + + + + + + 1 3 5 2 1 2 4 2 2 22( ... ) 2( ... )k k ka a a a a a a a− −= + + + + + + + + + 1 1 3 2 1 1 1[1 ( ) ] [1 ( ) ] 1 13 32 2 2 ( )1 1 6 31 13 3 k k k a a− − − − − = + ⋅ + ⋅ + − − 1 1 1 2 1 1 1[1 ( ) ] [1 ( ) ] 1 13 3 6 32 2 2 ( )2 2 6 3 3 3 k k k − − − − − = + ⋅ + ⋅ + 1 29 1 9 17 ( ) 7( )2 3 2 3 n k + = − ⋅ = −20 (Ⅰ)求 q 的值和 的通项公式； (Ⅱ)设 ，求数列 的前 n 项和. 【答案】(Ⅰ)2； （Ⅱ） 【解析】 （Ⅰ）解：由已知，有 ，即 ，所以 . 又因为 q≠1，所以 a3=a2=2， 由 a3=a1·q，得 q=2. 当 n=2k―1（k∈N*）时， ； 当 n=2k（k∈N*）时， . 所以，{an}的通项公式为 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 .设{bn}的前 n 项和为 Sn，则 上式两式相减，得 ， { }na *2 2 2 1 log ,n n n ab n Na − = ∈ nb｛ ｝ 1 2 2 2 , 2 , n n n na n − =   为奇数. 为偶数. 1 24 2n n nS − += − 3 4 2 3 4 5 3 4( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a a+ − + = + − + 4 2 5 3a a a a− = − 2 3( 1) ( 1)a q a q− = − 1 1 2 2 1 2 2 n k n ka a − − −= = = 2 2 2 2 n k n ka a= = = 1 2 2 2 , 2 , n n n na n − =   为奇数. 为偶数. 2 2 1 2 1 log 2 n n n n a nb a − − = = 0 1 2 2 1 1 1 1 1 11 2 3 ( 1)2 2 2 2 2n n nS n n− −= × + × + × + + − × + × 1 2 3 1 1 1 1 1 1 11 2 3 ( 1)2 2 2 2 2 2n n nS n n−= × + × + × + + − × + × 2 1 111 1 1 1 221 212 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n n n n n nS − − = + + + + − = − = − − −21 整理得， . 所以，数列{bn}的前 n 项和为 ，n∈N*。 【总结升华】数列求和是考试的热点，以等差、等比数列的基本运算为背景考查错位相减法、裂项 相消法、分组求和等求和方法。重点是错位相减法. 举一反三： 【变式 1】（2015 天津文）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且 a1=b1=1， b2+b3=2a3，a5－3b2=7. （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设 cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和. 【答案】 （Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，数列{bn}的公差为 d，由题意 q＞0.由已知，有 ，消 去 d，整理得 q4―2q2―8=0.又因为 q＞0，解得 q=2，所以 d=2. 所以数列{an}的通项公式为 an=2n-1，n∈N*；数列{bn}的通项公式为 bn=2n－1，n∈N*. （Ⅱ）由（Ⅰ）有 cn=(2n―1)·2n-1，设{cn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n－3)×2n-2+(2n―1)×2n-1， 2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n－3)×2n-1+(2n―1)×2n， 上式两式相减，得 ―Sn=1+22+23+…+2n―(2n―1)×2n=2n+1―3―(2n―1)×2n=―(2n―3)×2n―3， 所以，Sn=(2n―3)·2n+3，n∈N*. 【变式 2】（2016 长沙校级模拟）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且 a3+2 是 a2，a4 的等差中项。 （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 【答案】（1）设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q ∵a3+2 是 a2，a4 的等差中项 ∴2(a3+2)=a2+a4 1 24 2n n nS − += − 1 24 2n n − +− 2 4 2 3 2 3 10 q d q d  − = − = 1 2 logn n nb a a=22 代入 a2+a3+a4=28，得 a3=8 ∴a2+a4=20 ∴ ∴ 或 ∵数列{an}单调递增 ∴an=2n （2）∵an=2n ∴ ∴ ① ∴ ② ∴①―②得， Sn=2+22+23+…+2n―n·2n+1=2n+1―n·2n+1―2 类型四：求数列的通项公式 例 9．写出数列： ， ， ， ，……的一个通项公式. 【思路点拨】观察该数列，各项是由三部分构成：符号、分子和分母. 不妨把它看成三个数列，分 别求其通项. 【答案】通项公式为： . 【解析】从各项符号看，负正相间，可用符号 表示； 数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用 表示； 数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是 , , , ,…可用 表示； 所以该数列的通项公式可写为 . 3 1 1 2 3 1 20 8 a q a q a a q  + = = = 1 2 2 q a =  = 1 1 2 32 q a  =  = 1 2 2 log 2 2n n n nb n= ⋅ = − ⋅ 21 2 2 2 2n nS n− = × + × + + × 2 3 12 1 2 2 2 ( 1) 2 2n n nS n n +− = × + × + + − × + 1 5 − 3 10 5 17 − 7 26 2 2 1( 1) ( 1) 1 n n na n −= − + + ( 1)n− 2 1n − 22 1+ 23 1+ 24 1+ 25 1+ 2( 1) 1n + + 2 2 1( 1) ( 1) 1 n n na n −= − + +23 【总结升华】 ①求数列的通项公式就是求数列中第 项与项数 之间的数学关系式.如果把数列的第 1，2，3，… 项分别记作 ， ， ，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数 (项数)为自变量的函数 的表达式； ②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可； ③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列 的通项公式，以此参照进行比较. 举一反三： 【变式 1】数列： ， ， ， ，……的一个通项公式是（） A. 　　　　 B. C. 　　　 D. 【解析】采用验证排除法，令 ,则 A、B、C 皆被排除，故选 D. 【变式 2】根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归纳猜想其通项公式： （1） ； (2) ； 【解析】 （1） ， 猜想得 ； (2)a1=a,a2= ,a3= ,a4= ， 猜想得 an= ； 例 10．已知数列 中， ， ，求 . n n (1)f (2)f (3)f n ( )f n 1− 8 5 15 7 − 24 9 2 ( 1) 2 1 n n n na n += − + ( 3)( 1) 2 1 n n n na n += − + 2( 1) 1( 1) 2 1 n n na n + −= − − ( 2)( 1) 2 1 n n n na n += − + 1n = 1 13, 2 1n na a a+= = + 1 1 1, 2n n a a a a+= = − 1 2 3 43, 7, 15, 31a a a a= = = = 12 1n na += − 1 2 a− 2 3 2 a a − − 3 2 4 3 a a − − ( 1) ( 2) ( 1) n n a n n a − − − − − { }na 1 1a = 1 2 13n na a+ = + na24 【解析】 法一：设 ，解得 即原式化为 设 ，则数列 为等比数列，且 ∴ 法二：∵ ① ② 由①－②得： 设 ，则数列 为等比数列 ∴ ∴ ∴ 法三： ， ， ，……， ， ∴ 【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外， 还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列. 举一反三： 【变式 1】数列 的首项为 ， 为等差数列且 ．若则 ，{ }na 3 { }nb 1 ( *)n n nb a a n N+= − ∈ 3 2b = − 1 2( ) ( )3n na A a A+ + = + 3A = − 1 2( 3) ( 3)3n na a+ − = − 3n nb a= − { }nb 1 1 3 2b a= − = − 12 23 ( 2) ( ) 3 3 ( )3 3 n n n n nb a a−= − = − × ⇒ = − × 1 2 13n na a+ − = 1 2 1( 2)3n na a n−− = ≥ 1 1 2 ( )3n n n na a a a+ −− = − 1n n nb a a+= − { }nb 1 1 2 2 2( ) ( )3 3 3 n n n n nb a a − += − = × = 2 21 ( )3 3 n n na a+ − = 23 3 ( )3 n na = − × 2 1 2 13a a= + 2 3 2 2 2 21 ( ) 13 3 3a a= + = + + 3 2 4 3 2 2 2 21 ( ) ( ) 13 3 3 3a a= + = + + + 1 1 2 2 21 ( ) 13 3 3 n n na a − −= + = = + + +  23 3 ( )3 n na = − ×25 ，则 A．0 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【变式 2】在数列 中， ， = ，求 . 【答案】 类型五：应用题 例 11．某地区现有耕地 10000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现在增加 ，人均粮食占有量比现 在提高 ，如果人口年增长率为 ，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到 1 公顷） （粮食单产=占有量/耕地面积，人均粮食占有量=占有量/总人口数） 【思路点拨】本题名词较多，不宜理解。为方便计，同学们可列一表格，如下： 设现在总人口为 人，人均粮食占有量为 吨，现在耕地共有 公顷. 总人口 人均粮食占有量 耕地面积 粮食单产 现在 10000 10 年后 【答案】4 【解析】 方法一：由题意，设现在总人口为 人，人均粮食占有量为 吨，现在耕地共有 公顷，于是现 在的粮食单产量 吨/公顷，10 年后总人口为 ，人均粮食占有量 吨，若设平均每年 允许减少 公顷，则 10 年耕地共有( )公顷，于是 10 年后粮食单产量为 吨/ 公顷. 由粮食单产 10 年后比现在增加 得不等式： 化简可得 10 12b = 8a = { }na 1 1a = 1na + 1 n n a na+ na 2 2 2na n n = − + 22% 10% 1% A b 410 A b 410 Ab 10(1 0.01)A + (1 0.1)b + 410 10x− 10 4 (1 0.01) (1 0.1) 10 10 A b x + ⋅ + − A b 410 410 Ab 10(1 0.01)A + (1 0.1)b + x 410 10x− 10 4 (1 0.01) (1 0.1) 10 10 A b x + ⋅ + − 22% 10 4 4 (1 0.01) (1 0.1) (1 0.22)10 10 10 A b Ab x + ⋅ + ≤ +− 4 10 410 (1 0.01) (1 0.1) 1.22(10 10 )x+ ⋅ + ≤ −26 即 ， ∴ (公顷) 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少 4 公顷. 方法二：由题意，设现在总人口为 人，粮食单产为 吨/公顷，现在共有耕地 公顷，于是现 在人均粮食占有量 吨/人，10 年后总人口为 ，粮食单产 吨/公顷，若设平均每年 允许减少 公顷，则 10 年后耕地将有( )公顷，于是 10 年后粮食总产量为 ，人 均粮食占有量为 ，由人均粮食占有量 10 年后比现在增加 得不等式： ，（余与上同）. 【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式. 举一反三： 【变式】某地区原有森林木材存量为 ，且每年增长率为 ，因生产建设的需要每年年底要砍伐 的木材量为 ，设 为 年后该地区森林木材存量. （1）写出 的表达式. （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于 ,如果 ，那 么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取 ）. 【解析】 （1）依题意，第一年森林木材存量为 ， 1 年后该地区森林木材存量为： ， 2 年后该地区森林木材存量为： ， 3 年后该地区森林木材存量为： ， 4 4 1010 1.22 10 (1 0.01) (1 0.1) 10 1.22x × − + +≤ × 4x ≤ A M 410 410 M A 10(1 0.01)A + 1.22M x 410 10x− 41.22 (10 10 )M x− 4 10 (1 0.22)(10 10 ) (1 0.01) M x A + − + 10% 4 4 10 (1 0.22)(10 10 ) 10 1.1(1 0.01) M x M AA + − ×≥ ×+ a 25% b na n na 7 9 a 19 72b a= lg 2 0.30= a 1 5 4a a b= − 2 2 1 5 5 5( ) ( 1)4 4 4a a b a b= − = − + 3 2 3 2 5 5 5 5( ) [( ) 1]4 4 4 4a a b a b= − = − + +27 4 年后该地区森林木材存量为： ， … … 年后该地区森林木材存量为： （2）若 时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于 ， 即 ， 解得 ，即 ， ∴ ， ∴ . 答：经过 8 年该地区就开始水土流失. 【巩固练习】 一、选择题 1．已知数列 的通项公式为 ，则该数列的首项 和第四项 分别为 A. 0，0 B. 0，1 C. -1，0 D. –1，1 2．一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍)： 第 1 行 1 第 2 行 2　3 第 3 行 4　5　6　7 … … 则第 9 行中的第 4 个数是(　　) A．132 　　　　 B．255 C．259 D．260 3．已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和为 15，偶数项之和啊为 30，则其公差是(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2016 衡水模拟）等差数列{an}中的两项 a2、a2016 恰好是关于 x 的函数 f（x）=2x2+8x+a（a∈ 4 3 2 4 3 5 5 5 5 5( ) [( ) ( ) 1]4 4 4 4 4a a b a b= − = − + + + n 1 25 5 5 5( ) [( ) ( ) ... 1]4 4 4 4 n n n na a b− −= − + + + + 19 72b a= 7 9 a 5 5 19 7( ) 4[( ) 1]4 4 72 9 n na a a− − × < 5 54 n >（ ） 5lg lg54n > lg5 1 lg 2 7lg5 2lg 2 1 3lg 2n −> = =− − 8n = { }na cos 2n na π= 1a 4a28 R）的两个零点，且 a1009+a1010＞0，则使{an}的前 n 项和 Sn 取得最小值的 n 为（ ） A．1009 B．1010 C．1009，1010 D．2016 5．设等差数列 的公差 不为 0， ．若 是 与 的等比中项，则 （　　） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 6．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A．63 B．45 C．36 D．27 二、填空题 7．设 表示等差数列 与 的前 n 项的和，且 ， ，若 ，则 ＝ ________. 8．我市民间刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为我市民间刺绣最简单的四个图案， 这 些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律 相同)，设第 个图形包含 个小正方形，则 的表达式为 ＝________ ． 9．在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a2＝1，a8＝a6＋2a4，则 a6 的值是　　． 10．设数列 的通项为 ，则 ________. 三、解答题 11．已知函数 ，且 构成数列 ，又 ． （1）求数列 的通项公式； （2）求证： ． { }na d 1 9a d= ka 1a 2ka k = { }na n nS 3 9S = 6 36S = 7 8 9a a a+ + = nS { }na nS 9 18S ＝ 240nS ＝ ( )4 30 9na n >－ ＝ n n ( )f n ( )f n ( )f n *( )n∈N { }na 2 7na n＝ － 1 2 15a a a…＋ ＋ ＋ ＝ ( ) 2 * 1 2 ( )n nf x a x a x a x n= + +…+ ∈N 1 2 3 na a a a， ， ， ， { }na ( ) 21f n= { }na 1( ) 13f