知识讲解_正弦定理

1 正弦定理 【学习目标】 1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一 般的思维方法发现数学规律； 2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题； （1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】 要点一：学过的三角形知识 1. 中 （1）一般约定： 中角 所对的边分别为 、 、 ； （2） ； （3）大边对大角，大角对大边，即 ； 等边对等角，等角对等边，即 ； （4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即 ， . 2. 中， ， （1） ， （2） （3） ， ， ； ， ， 要点二：正弦定理及其证明 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 直角三角形中的正弦定理的推导 证明： ， ， ， 即： ， ， ， ∴ ． 斜三角形中的正弦定理的推导 证明： 法一：向量法 ABC∆ ABC∆ A B C、 、 a b c 0180A B C+ + = B C b c> ⇔ > B C b c= ⇔ = a c b+ > a c b− < Rt ABC∆ 090C∠ = 090B A+ = 2 2 2a b c+ = sin aA c = sin bB c = sin 1C = cos bA c = cos aB c = cos 0C = sin aA c = sin bB c = sin 1C = sin ac A = sin bc B = sin cc C = sin sin sin a b c A B C = = a b c= =A B Csin sin sin2 （1）当 为锐角三角形时 过 作单位向量 垂直于 ，则 + = 两边同乘以单位向量 ，得 ( + )= ， 即 ∴ ， ∵ ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 同理：若过 作 垂直于 得： ∴ ， （2）当 为钝角三角形时 设 ，过 作单位向量 垂直于向量 ， 同样可证得： ． 法二：构造直角三角形 （1）当 为锐角三角形时 如图，作 边上的高线 交 于 ，则: 在 中， ，即 ， 在 中， ，即 ， ∴ ，即 . 同理可证 ∴ （2）当 为钝角三角形时 如图，作 边上的高线 交 于 ，则: 在 中， ，即 ， 在 中， ，即 ， ∴ ，即 . ABC∆ A j AC AC CB AB j j ⋅ AC CB j ⋅ AB j AC j CB j AB⋅ + ⋅ = ⋅      0| | | | cos90 | | | | cos(90 ) | | | | cos(90 )j AC j CB C j AB A⋅ + ⋅ − = ⋅ −       0j AC⋅ =  | | 1j = | |CB a= | |AB c= cos(90 ) sinC C− = cos(90 ) sinA A− = sin sina C c A= sin sin a c A C = C j CB sin sin b c B C = sin sin sin a b c A B C = = ABC∆ 90A∠ >  A j AC sin sin sin a b c A B C = = ABC∆ AB CD AB D Rt CBD∆ sinCD Ba = sinCD a B= Rt ACD∆ sinCD Ab = sinCD b A= sin sina B b A= sin sin a b A B = sin sin b c B C = sin sin sin a b c A B C = = ABC∆ AB CD AB D Rt CBD∆ sinCD Ba = sinCD a B= Rt ACD∆ sin(180 )CD Ab = − sin(180 ) sinoCD b A b A= − = sin sina B b A= sin sin a b A B =3 同理可证 ∴ 法三：圆转化法 （1）当 为锐角三角形时 如图，圆 O 是 的外接圆，直径为 ，则 ， ∴ ， ∴ （ 为 的外接圆半径） 同理： ， 故： （2）当 为钝角三角形时 如图， . 法四：面积法 任意斜 中，如图作 ，则 同理： ， 故 ， 两边同除以 即得： 要点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明 （ 为 的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一； （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. 要点三：解三角形的概念 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三 sin sin b c B C = sin sin sin a b c A B C = = ABC∆ ABC∆ 2AD R= C D∠ = ∠ sin sin 2 cC D R = = 2 sin cR C = R ABC∆ 2 sin aR A = 2 sin bR B = 2sin sin sin a b c RA B C = = = ABC∆ sin sin sin 2 aA E F R = = = ABC∆ CH AB⊥ sinCH AC A= 1 1 1sin sin2 2 2ABCS AB CH AB AC A bc A∆ = ⋅ = ⋅ = 1 sin2ABCS ab C∆ = 1 sin2ABCS ac B∆ = 1 1 1sin sin sin2 2 2ABCS ab C ac B bc A∆ = = = 1 2 abc sin sin sin a b c A B C = = 2sin sin sin a b c RA B C = = = R ABC∆4 角形都有六个元素：三边、三角. 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形. 有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即 将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边 和角来推断未知的边和角. 要点四：正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角与任一边，求其他两边一角； （2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角. 要点诠释： 已知 和 ，用正弦定理求 时的各种情况； (1)若 A 为锐角时： 如图： (2)若 为直角或钝角时： 判断三角形形状 判断三角形形状的思路通常有以下两种： （1）化边为角； （2）化角为边.对条件实施转化时，通常需要考查边与边、角与角之间的关系： 考虑角之间的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无 直角、钝角. 考查边之间的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等. 要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路.但要注意方法的选择，同时 要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解.比如下面例 2 两种方法不同，因此从不同角度来 a b， A B sin sin ( ) sin ( ) ( ) a b A a b A b A a b a b < = < < ≥     无解 一解 直角 二解 一锐，一钝 一解 锐角 A ( ) a b a b ≤ >  无解 一解 锐角5 对解进行讨论.此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不 合理的解. 【典型例题】 类型一：正弦定理的简单应用： 【高清课堂：正弦定理 376682 例 1】 例 1．已知在 中， ， ， ，求 和 . 【思路点拨】本题考查“已知两角与一边，解三角形”的问题，一般先求出剩余的角， 再利用正弦定理求其他的边. 此类题型有唯一解. 【解析】由题意， . ， ∴ ， 又 ， ∴ ． 【总结升华】 1. 在解三角形中，经常用到特殊角的三角函数值，同学们应掌握： 2. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 举一反三： 【变式 1】 中， ，BC＝3，则 的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABC∆ 10c = 45A =  30C =  ,a b B 180 ( ) 105B A C= − + =  sin sin a c A C = sin 10 sin 45 10 2sin sin30 c Aa C ×= = =  sin sin b c B C = sin 10 sin105 6 220sin 75 20 5 6 5 2sin 4sin30 c Bb C × += = = = × = +   ABC∆ 3A π= ABC∆ 4 3sin 33B π + +   4 3sin 36B π + +   6sin 33B π + +   6sin 36B π + +  6 方法一：由正弦定理得： ，得 b＋c＝ [sinB＋sin( －B)]＝ ． 故三角形的周长为：3＋b＋c＝ ， 故选 D． 方法二：由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时，即 B＝ ，周长应为 3 ＋3，故排除 A、B、C．而选 D． 【变式 2】在 中，已知 ， ， ，求 、 . 【答案】 ， 根据正弦定理 ，∴ . 【变式 3】（2016 岳阳校级模拟改编）在 中，A:B:C=1:2:3,则 a:b:c 等于（ ） 【答案】在 中，若 ，又 所以 . 由正弦定理可知： 。 【高清课堂：正弦定理 376682 例 2】 例 2．在 ，求 和 ， ． 【思路点拨】本题是已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的问题，一般先选用正 弦定理求对应的角，再求剩余的边与角，注意讨论. 【解析】由正弦定理得： ， ∴ ， （方法一）∵ ， ∴ 或 ， 当 时， ，（舍去）； 当 时， ，∴ ． （方法二）∵ ， ， ∴ ， ∴ 即 为锐角， ∴ ， ∴ ． 【总结升华】 1. 正弦定理也可用于解决“已知两边与一边的对角，求其他边和角”的问题. 3 2sin sin sin sinsin sin sin( )3 3 b c b c b c B C B C B B π π + += = = =+ + − 2 3 2 3 π 6sin( )6B π+ 6sin 36B π + +   6 π 3 ABC∆ 075B = 060C = 5c = a A 0 0 0 0 0180 ( ) 180 (75 60 ) 45A B C= − + = − + = 5 sin 45 sin 60o o a = 5 6 3a = ABC∆ ABC∆ =1: 2:3A B C∠ ∠ ∠： ： =A B C π∠ + ∠ + ∠ 6 3 2A B C π π π∠ = ∠ = ∠ =， ， : : sin :sin B:sin C 1: 3 : 2a b c A= ∠ ∠ ∠ = 3, 60 , 1ABC b B c∆ = = =中， a A C sin sin b c B C = sin 1 sin 60 1sin 23 c BC b ×= = = 0 180C<   30C =  90A =  2 2 2a b c= + = b c> 60B =  C B< 60C <  C 30C =  90A =  2 2 2a b c= + =7 2. 在利用正弦定理求角 时，因为 ，所以要依据题意准确确定角 的范围，再求出角 . 3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 举一反三： 【变式 1】在 中， ， ， ，求 和 ． 【答案】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 或 ∴当 时， ， ； ∴当 时， ， ； 所以， 或 ． 【变式 2】在 中， ， ， ， 求 . 【答案】由正弦定理，得 . ∵ ， ∴ ，即 ∴ 类型二：正弦定理的综合运用 例 3. （2015 湖南高考）设 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ， 且 B 为钝角。 (1)证明： （2）求 的取 值范围。 【答案】（1）详见解析；（2）（ ， ]. 【思路点拨】 （1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为 sinB=sin（ +A），从而得证；（2）利用 （1）中的结论，以及三角恒等变形，将 转化为只与 有关的表达式，再利用 三角函数的性质即可求解. 【解析】 （1）由 a=btanA 及正弦定理，得 ,所以 sinB=cosA，即 sinB=sin（ +A）. ABC∆ tana b A= 2B A π− = sin sinA C+ 2 2 9 8 2 π CA sinsin + A 2 π C 0sin sin(180 )C C= − C C ABC∆ 6c = 45A =  2a = b ,B C sin sin a c A C = sin 6 sin 45 3sin 2 2 c AC a ×= = = 0 180C< <  60C =  120C =  60C =  75B =  sin 6 sin 75 3 1sin sin 60 c Bb C = = = +  120C =  15B =  sin 6 sin15 3 1sin sin 60 c Bb C = = = −  3 1, 75 , 60b B C= + = =  3 1, 15 , 120b B C= − = =  ABC∆ 60B =  14a = 7 6b = A∠ 0sin 14 sin 60 2sin 27 6 a BA b ×= = = a b< A B< 0 60A< <  45A =  sin sin cos sin A a A A b B = =8 又 B 为钝角，因此 +A （ ，A），故 B= +A，即 B-A= ； （ 2 ） 由 （ I ） 知 ， C= - （ A+B ） = -(2A+ )= -2A>0 ， 所 以 A ， 于 是 sinA+sinC=sinA+sin（ -2A）= sinA+cos2A=-2 A+sinA+ 1 =-2（sinA- ） + ，因为 0 A B> A B> sinA > sinB ABC sin sin sin a b c A B C += + sin cos cosA B C a b c = = ABC 30° 30° ABC∆ 2sin sin a b cB A + = ABC∆ 7 14 30a b A °＝ ， ＝ ， ＝ 30 25 150a b A °＝ ， ＝ ， ＝ 6 9 45a b A °＝ ， ＝ ， ＝ 9 10 60b c B °＝ ， ＝ ， ＝ ABC 3ABCS =△ sin sin sin a b c A B C + + + + ABC 3a = 2b = A C、 c13 11．在 中，若 ， ， ，求 . 12. 在 中， 求 . 13. （2016 长沙二模）在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 ， ． (1)求角 C 的大小； （2）求 的最大值。 14．如图, 是直角△ 斜边 上一点, ,记∠ ,∠ . （1）证明 ; （2）若 ,求 的值. 15. （2015 浙江高考文）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 . （1）求 的值； （2）若 ，求△ABC 的面积. 【答案与解析】 1. 答案: B 解析：　由正弦定理得 sinB＝ ，又 a>b，所以 A>B，故 B＝30°，所以 C＝90°，故 c＝ 2，选 B 2. 答案：　C 解析：　由于 sin B＝ ，故 B＝60°或 120°. 当 B＝60°时，C＝90°时，c＝30°.c＝ = ； 当 B＝120°时，C＝30°，c＝a＝ . tan( A) 24 π + = 2 sin 2 sin 2 cos A A A+ B , 34 a π= = ABC∆ 045B = 2 2c = 4 33b = A ABC∆ 2 3 6 30 ,oa b A= = =， ， B C及 a b≥ sin 3 cos 2sin .A A B+ = a b c + D ABC BC AB AD= CAD = α ABC = β sin cos2 0+ =α β 3AC DC= β 1 2 sin 3 2 b A a = 2 2a b+ 2 5 5 B D C α β A14 3. 答案：　B 解析：　由正弦定理知 A、C、D 正确， 而 sin 2A＝sin 2B，可得 A＝B 或 2A＋2B＝π， ∴a＝b 或 a2＋b2＝c2，故 B 错误． 4. 答案：　C 解析：　在△ABC 中，由正弦定理： a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 代入 得： ， ∴ ＝1. ∴tan B＝tan C＝1，∴B＝C＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 5. 答案：　C 解析： ， 由 正 弦 定 理 可 得 ： ， 而 ， 当 且 仅 当 时取等号。 ，即 ，又 ，故可得： 。 又 可得 ， 故三角形为等腰三角形，故选：C 6. 答案：　B 解析：　A 中，由正弦定理得 sin B＝ ，所以 B＝90°，故只有一解， A 错误；B 中，由正弦定理得 sin B＝ ，又 A 为钝角，故只有一解，B 正确； C 中，由正弦定理得 sin B＝ ，所以 B 不存在，故无解，C 错误；D 中，由 正弦定理得 sinC＝ ＝