知识讲解_三角形中的几何计算_提高

1 三角形中的几何计算 【学习目标】 1.进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题； 2.学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识. 【要点梳理】 要点一：正弦定理和余弦定理的概念 ①正弦定理公式： ②余弦定理公式： 第一形式： 第二形式： 要点二：三角形的面积公式 要点三：利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知 三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论. 在 中，已知 和 A 时，解的情况主要有以下几类：ABC∆ ,a b 2sin sin sin a b c RA B C = = = （其中 R 表示三角形的外接圆半径） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 b c aA bc a c bB ac a b cC ab + −= + −= + −= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 b c aA bc a c bB ac a b cC ab + −= + −= + −= 1 1 1 2 2 2ABC a b cS a h b h c h∆ = ⋅ = ⋅ = ⋅ 1 1 1sin sin sin2 2 2ABCS bc A ab C ac B∆ = = =2 ①若 A 为锐角时： 一解 一解 两解 无解 ② 若 为直角或钝角时： 要点四：三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理： ， 互余关系： ， ， ； （2）等腰三角形： ， ； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角 的余弦值的符号） （1）在 中， ； （2）在 中， ； （3）在 中， . 要点五：解三角形时的常用结论 在 中， ， （1）在 中 ； （2）互补关系： （3）互余关系： sin sin ( ) sin ( ) ( ) a b A a b A b A a b a b < = < < ≥     无解 一解 直角 二解 一锐，一钝 一解 锐角 sina b A= a b≥ sinb A a b< < sina b A< A ( ) a b a b ≤ >  无解 一解 锐角 2 2 2a b c+ = 090A B+ = cos 0C = sin 1C = a b= A B= A ABC∆ 2 2 2 0 0 2 2 20 90 cos 02 b c aA A b c abc + −< < ⇔ = > ⇔ + > ABC∆ 2 2 2 0 2 2 290 cos 02 b c aA A b c abc + −= ⇔ = = ⇔ + = ABC∆ 2 2 2 0 2 2 290 cos 02 b c aA A b c abc + −< ⇔ = < ⇔ + < ABC∆ 0180A B C+ + = 0902 A B C+ + = ABC∆ sin sin cos cosA B a b A B A B> ⇔ > ⇔ > ⇔ < 0sin( ) sin(180 ) sinA B C C+ = − = 0cos( ) cos(180 ) cosA B C C+ = − = − 0tan( ) tan(180 ) tanA B C C+ = − = −3 【典型例题】 类型一：利用正、余弦定理解三角形 例 1. 中， ，求 . 【思路点拨】本题已知边边角，用正弦定理比较简单，但要注意结合三角形中大边对大角定理以及有 解、无解的图形来考虑. 【解析】 解法一 ：正弦定理 由 若 ，则 ， 若 ，则 ， 解法二：余弦定理 若 ，则 ，所以 . 若 ，则 ，所以 . 解法三：正余弦定理 ，解得 . 若 ，由 ，得 ∵ ，所以 ，所以 B=75°，C=60°； 若 ，由 ，得 . ∵ ，所以 ，所以 . 【总结升华】 ①解三角形时，对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路.但要注意方法的选择，同时要注意对 ABC∆ 6=c , 45 2A a= ° =， b B C和 ， sin .sin sin sin sin a c A C = °得 ，所以2 6 3= C=45 C 2 60C = ° 75B = ° 2sin sin 75 3 1,sin sin 45 ab BA = = ° = +° 120C = ° 15B = ° 2sin sin15 3 1.sin sin 45 ab BA = = ° = −° 2 2 2 22 cos 6 2 3 4 3 1,a b c bc A b b b= + − = + − = = ±，解得 3 1b = + 2 2 2 6 - 2cos 2 4 a c bB ac + −= = 75 60B C= ° = °， 3 1b = − 2 2 2 6 2cos 2 4 a c bB ac + − += = 15 120B C= ° = °， 2 2 2 22 cos 6 2 3 4a b c bc A b b= + − = + − = 3 1b = ± 3 1b = + sin sin sin a b c A B C = = 6 2 3sin ,sin ,4 2B C += = b c a> > B C A> > 75 60B C= ° = °， 3 1b = − sin sin sin a b c A B C = = 6 - 2 3sin ,sin4 2B C= = c a b> > C A B> > 15 120B C= ° = °， 0sin sin(90 - ) cos2 2 2 A B C C+ = = 0cos cos(90 ) sin2 2 2 A B C C+ = − = 0tan tan(90 ) cot2 2 2 A B C C+ = − =4 解的讨论. ②解三角形时，要留意三角形内角和为 180°、同一个三角形中大边对大角等性质的应用. 举一反三： 【变式 1】在 中，若 ， ， ，求角 和 ． 【答案】根据余弦定理： ， ∵ ， ∴ ， . 【变式 2】（2015 天津高考）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面 积为 ， 则 的值为 . 【答案】 因为 ，所以 ， 又 ，解方程组 得 ，由余弦定理得 ，所以 . 例 2．△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c． (Ⅰ)若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)； (Ⅱ)若 a，b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值． 【思路点拨】(1)因为 a，b，c 成等差数列，所以 a+c=2b,利用正弦定理用角表示边。（2）因为 a，b，c 成等比数列，所以 ac=b2,利用余弦定理用边表示角，然后利用基本不等式求解。 【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)∵a，b，c 成等差数列， ∴2b＝a＋c， 利用正弦定理化简得：2sinB＝sinA＋sinC， ∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sinA＋sinC＝2sinB＝2sin(A＋C)； (Ⅱ)∵a，b，c 成等比数列， ∴b2＝ac， ∴ ， ABC∆ 2a = 2 2b = 6 2c = − A sinC 2 2 2 8 8 4 3 4 3cos 2 22 2 2 ( 6 2) b c aA bc + − + − −= = = × × − 0 180A< A B C> > 3A B C Aπ = + + < 3A π> 2 2 2a b c< + 2 2 2 cos 02 b c aA bc + −= > 2A π< ( , )3 2A π π∈ 13 1 2 3 3 3 2 1 2 13 1 2 1 2 3 π sin sin 2 sin , 2A B C a b c+ = ∴ + = 2 1, 2 2 1,a b c c c+ + = + ∴ + = + 1c = 2.a b∴ + = 1 1 1sin sin , .2 6 3S ab C C ab= = ∴ = 2 2 2 2 2( ) 2 1cos 2 2 2 a b c a b ab cC ab ab + − + − −∴ = = = 3C π∴ = 6 π sin cos 2,B B+ = sin( ) 1,4B π+ = 4B π= sin 1sin 2 a BA b = =13 又∵ 11. 答案： 解析：由正弦定理得 a＋ b＝2c， ≥ ， 当且仅当 时，取等号， 故答案为： ． 12. 解析： ∵ 且 ，∴ ， ， ∵ ， ∴ ，即 ， 又∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， 故 . 13. 解析： (I)由已知，方程 x2＋ px－p＋1＝0 的判别式 △＝( p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0 所以 p≤－2 或 p≥ 由韦达定理，有 tanA＋tanB＝－ p，tanAtanB＝1－p 于是 1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0 3 3 2 3 3 , , 6a b A B A π< ∴ < ∴ = 4 26 − 2 4 2 2 2 1 4 3 2 )2(4 1 2cos 22222 222 − + = +−+ =−+= ab ba ab baba ab cbaC 4 26 4 2 2 2 2 2 32 −=− ×× ab ba ba 2 2 2 3 = 4 26 − 2B A C= + 0180A B C+ + = 060B = 0120A C+ = 2b ac= 2sin sin sinB A C= ⋅ 3sin sin 4A C⋅ = 0120A C+ = 1cos( ) cos cos sin sin 2A C A C A C+ = − = − 1cos cos 4A C = 1 3cos( ) cos cos sin sin 14 4A C A C A C− = + = + = 0 0180 180A C− < − < 0A C− = A C= a c=14 从而 tan(A＋B)＝ 所以 tanC＝－tan(A＋B)＝ 所以 C＝60° (II)由正弦定理，得 sinB＝ 解得 B＝45°或 B＝135°(舍去) 于是 A＝180°－B－C＝75° 则 tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝ 所以 p＝－ (t anA＋tanB)＝－ (2＋ ＋1)＝－1－ . 14. 解析：（1）在 中，由正弦定理， 得 即 又因为 解得 因为 为锐角三角形， 所以 （2）在 中，由余弦定理 得 即 解得 或 当 时，因为 所以角 B 为钝角，不符合题意，舍去； tan tan 3 31 tan tan A B p A B p + −= = −− 3 0sin 6 sin 60 2 3 2 AC C AB = = 0 0 0 0 31tan 45 tan30 3 2 31 tan 45 tan30 31 3 ++ = = +− − 1 3 1 3 3 3 ABC∆ 7 3 ,sin sinA B = 7 sin 3sin ,B A= 7 sin sin 2 3,B A+ = 3sin ,2A = ABC∆ .3A π= ABC∆ 2 2 2 cos ,2 b c aA bc + −= 21 9 7 ,2 6 c c + −= 2 2 0.c c− + = 1c = 2c = 1c = 2 2 2 7cos 02 14 a c bB ac + −= = − , .b c b a> > ABC∆ ABC∆ 1 1 3 3 3sin 3 22 2 2 2S bc A= = × × × = 2 sin sin 2 sin sin ( 2 )sin ,R A A R C C a b B⋅ − ⋅ = − 2 2 2sin sin ( 2 )sin , 2 ,a A c C a b B a c ab b− = − − = − 2 2 2 2 2 2 022 ,cos , 452 2 a b ca b c ab C Cab + −+ − = = = = 2 2 22 , 2 sin 2 , 2 2 ,sin c R c R C R a b R abC = = = + − = 2 2 2 2 22 2 2 , 2 2 RR ab a b ab ab+ = + ≥ ≤ − 21 2 2 2sin ,2 4 4 2 2 RS ab C ab= = ≤ ⋅ − 2 max 2 1 2S R += 1 2 2sin 2 sin 2 sin2 4 4S ab C ab R A R B= = = × × 22 2 sin 2 sin 2 sin sin4 R A R B R A B= × × = 2 12 [cos( ) cos( )]2R A B A B= × × − − + 2 2 1 22 [cos( ) ]2 2 2 2(1 )2 2 R A B R = × × − + ≤ × + 2 max 2 1 2S R +∴ = A B=