知识讲解_解三角形的应用举例_提高

1 解三角形的应用举例 【学习目标】 1. 能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题； 2. 提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法； 3. 掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法. 【要点梳理】 要点一：解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识. 实际 应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形 问题，即应用哪个定理来解决. 其解题的一般步骤是： (1) 准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关 系； (2) 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； (3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； (4) 将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题. 解题时应认真分析题意，做到算法简练，算式工整，计算正确. 要点二：解三角形应用题的基本思路 要点三：实际问题中的一些名词、术语 仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目 标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示： 坡角和坡度 坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字 母 i 表示.坡比是坡角的正切值. 方位角与方向角： 方位角：一般指正北方向线顺时针旋转到到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为 0°～ 360°.2 如图，点 的方位角是 . 方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成 的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度. 如图为南偏西 方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转 ）； 如图为北偏东 方向（指从正北开始向正东方向旋转 ）： 东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等； 要点四：解三角形应用中的常见题型 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有： 1. 测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中， 要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度. 2. 测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要 注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度. 3. 测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度 越高. 【典型例题】 类型一：距离问题 例 1.如图，某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D 为顶端，AC 长 35 米，CB 长 80 米，设点 A、B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 α 和 β． (1)设计中 CD 是铅垂方向，若要求 α≥2β，问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)？ B 0135α = 060 060 030 0303 (2)施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得 α＝38.12°，β＝18.45°，求 CD 的长(结果精确 到 0.01 米)． 【答案】(1) 28.28 米.(2) 26.93 米. 【思路点拨】 (1)这是一道关于求两点之间的距离问题。题目条件告诉了边 AC、CB 的长以及以 A、C 为顶点的两个 角，根据正切函数的定义及性质得到一个关于 x 的不等式，解之得到 CD 的长度。（2）根据三角形的内角 和定理和正弦定理，解得 CD 的长。 【解析】(1)设 CD 的长为 x 米，则 tanα＝ ，tanβ＝ ， ∵ ， ∴tanα≥tan2β， ∴ ， 即 ， 解得 0， 即 CD 的长至多为 28.28 米． (2)设 DB＝a，DA＝b，CD＝m， 则∠ADB＝180°－α－β＝123.43°， 由正弦定理得 ， 即 ， ∴ ， 答：CD 的长为 26.93 米． 【总结升华】 1. 此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排 除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来. 2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况： （1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。 （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在 35 x 80 x 220 παβ ≤≤≤ β βα 2tan1 tan2tan − ≥ 22 6400 160 64001 802 35 x x x x x − = − × ≥ 28.282200 ≈≤< x ADBsin AB sin ∠= α a 06.8543.123sin 12.38sin115 ≈° °=a 93.2645.18cos16080 22 ≈°−+= aam4 其余的三角形中求出问题的解。 3. 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找 到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。 举一反三： 【变式 1】如图，设 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 的同侧，在所在的河 岸边选定一点 ，测出 的距离是 42 m， ， .求 两点的距离. 【答案】 根据正弦定理，得 ， ∴ 答: 两点间的距离为 . 【变式 2】为了开凿隧道，要测量隧道上 间的距离，为此在山的一侧选取适当点 ，如图，测得 ， 又 测 得 两 点 到 隧 道 口 的 距 离 ， 在一条直线上)，计算隧道 的长. 【答案】在△ 中， ，由余弦定理得 ∴ ∴ . 答：隧道长约为 409.2 m. 类型二：测量高度问题 A B、 A C AC 45BAC = 75ACB = ° A B、 180 45 75 60ABC∠ = ° − ° − ° = ° sin sin AB AC ACB ABC =∠ ∠ sin 42sin 42sin 75 21 2 7 6 (m)sin sin sin 60 AC ACB ACBAB ABC ABC ∠ ∠ °= = = = +∠ ∠ ° A B、 21 2 7 6 m+ D E、 C 400m 600m 60CA CB ACB， ，= = ∠ = ° A B、 80mAD = 40mBE = (A D E B、 、 、 DE ABC 400m 600m 60CA CB ACB， ，= = ∠ = 2 2 2 2 cos60AB AC BC AC BC= + − ⋅ ⋅ ° 2 2 1400 600 2 400 600 200 7 529.2(m)2AB = + − × × × = ≈ 409.2(m)DE AB AD BE= − − ≈5 【高清课堂：解三角形应用举例 377493 例 2】 例 2 某人在塔的正东沿着南偏西 的方向前进 40 米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰 角为 ，求塔高. 【思路点拨】找出“当看到塔的最大仰角时，某人的位置”是解决本题的关键. 先画出空间图形，再 将空间问题转化为平面问题，利用正、余弦定理求解.. 【解析】由右图所示，过 做 于点 ，由题意知在 点测得塔的最大仰角 ，在 在△ . 由正弦定理，得 ∴ 在 中， ， ∴ ， 在 中， ∴ （米）. 故所求塔高为 米. 【总结升华】 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，在依条件结合正弦定理和余弦定理 来解，解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要注意它们的区别与联系. 举一反三： 【变式】（2016 绵阳校级模拟）如图，无人机在离地面高 200 m 的 A 处，观测到山顶 M 处的仰角为 15 °、山脚 C 处的俯角为 45°，已知∠MCN=60°，则山的高度 MN 为________m。 【答案】在 Rt△ABC 中，∠ACB=∠DAC=45°，∠ABC=90°，AB=200， ∴ ， ∵∠MCN=60°，∴∠ACM=180°－∠MCN－∠ACN=75°， ∵∠MAC=15°+45°=60°，∴∠AMC=180°－∠MAC－∠ACM=45°。 在△MAC 中，由正弦定理得 ，即 解得 。 60° 30° B BE CD⊥ E E 030 0 040, 30 , 135BCD CD BCD DBC中， = ∠ = ∠ = sin sin CD BD DBC BCD =∠ ∠ 0 0 40sin30 20 2sin135BD = = Rt BED∆ 0 0 0 0180 135 30 15BDE∠ = − − = 0 6 2sin15 20 2 10( 3 1)4BE BD −= = × = − Rt ABE∆ 030 ,AEB∠ = 0 10tan30 (3 3)3AB BE= = − 10 (3 3)3 − 200 2AC = sin sin MC AC MAC AMC =∠ ∠ 200 2 3 2 2 2 MC = 200 3MC =6 ∵ ， ∴ 。 故答案为：300。 类型三：方位角问题 例 3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路南侧远处一山顶 在西偏北 的方向上，行驶 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，求此山的高度 . 【思路点拨】欲求出 ，只需在 中求出 或 ，而在 中先求 边比较适合；或设 ，列方程解答. 【解析】 方法一：在 中， ， ， ， 根据正弦定理： = ，有 ， ∴ . 方法二：设 CD=x，则 ， 根据正弦定理： = ，有 ， ∴ ，解得 ，即 . 答：此山的高度为 . 【总结升华】正确地画出其空间示意图、将空间问题转化为平面问题是解题的关键. 举一反三： 【变式 1】两灯塔 、 与海洋观察站 的距离都等于 ，灯塔 在观察站 的北偏西 30 ，灯塔 在观察站 南偏西 60 ，则 、 之间的距离为 . 【答案】 如图， ， ， . 3sin 2 MNMCN MC ∠ ⋅ = 3 3002MN MC= = A D 030 8 2km B 075 015 CD CD BCD∆ BD BC BCD∆ BC CD x= ABC∆ 030CAB∠ = 0 0 075 30 45ACB∠ = − = 8 2AB = sin BC A sin AB C 0 0 sin 8 2 sin30 8sin sin 45 AB CABBC ACB ∠= = = 0 0tan tan15 8tan15 16 8 3 (km)CD CB DBC CB= ∠ = = = − 0 (2 3)tan tan15 CD CDCB xDBC = = = +∠ sin BC A sin AB C 0 0 sin 8 2 sin30 8sin sin 45 AB CABBC ACB ∠= = = (2 3) 8x+ = 16 8 3 ( )x km= − 16 8 3 (km)CD = − 8 3 km A B C kma A C ° B C ° A B 2 kma AC BC a= = 0 0 0 0180 30 60 90ACB∠ = − − = 2 kmAB a=7 【变式 2】如图所示，已知两座灯塔 和 与海洋观察站 的距离都等于 ，灯塔 在观察站 的北偏东 20°，灯塔 在观察站 的南偏东 40°，则灯塔 与灯塔 的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】B 类型四：航海问题 【高清课堂：解三角形的应用举例 377493 例 3】 例 4. 如图所示，在海岸 处，发现北偏东 45°方向，距 为( )km 的 B 处有一艘走私船.在 处 北偏西 75°方向，距 为 2 km 的 处的缉私船奉命以 km/h 的速度追截走私船.此时走私船正以 10 km/h 的速度从 处向北偏东 30°方向逃窜,则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间. 【思路点拨】仔细审题，画出示意图，即可求出 的方位角及由 到 D 所需航行的时间. 这里必须弄清 楚三个概念： (1)方位角；(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；(3)最快追上，即应理解为按直线航行，且两船 所用时间相等. 【解析】设缉私船追上走私船需 ，则 ， . 由余弦定理，得 ， 由正弦定理，得 ， ∴ ，而 ， ∴ ∴ ， . A B C akm A C B C A B akm 3akm 2akm 2akm A A 3 1− A A C 10 3 B CD C ht 10 3CD t= 10BD t= 2 2 2 cosBC AB AC AB AC BAC= + − ⋅ ⋅ ∠ 8 2 3 2 2( 3 1)cos(45 75 ) = − − × − + 6(km)= sin120 2sin 2 ACABC BC ⋅∠ = = 45ABC ∠ = 120CBD ∠ = sin 10 sin120 1sin 210 3 BD CBD tBCD CD t ⋅ ∠ ⋅∠ = = = 30BCD ∠ = 30BDC ∠ =8 ∴ ，即 ， ∴ 答：缉私船向东偏北 方向，只需 便能追上走私船. 【总结升华】航海问题中关键是方向角的表示，最好要参照方向坐标，准确的画出图形. 举一反三： 【变式 1】如图 ， 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ )海里的两个观测点，现位于 点北偏东 45°， 点北偏西 60°的 点有一艘轮船发出求救信号，位于 点南偏西 60°且与 点相距 20 海里 的 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，求该救援船到达 点需要多长时间？ 【答案】　由题意知 海里， ， ∴ ， 在△ 中，由正弦定理得 ∴ ＝ ＝ ＝10 . 又∠ ， ， 在△ 中，由余弦定理得 ×20 × ＝900， ∴ (海里)，则需要的时间 (小时). 答：救援船到达 点需要 1 小时． 【变式 2】如图所示，海中小岛 的周围 海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在 处测得小岛 在船的南偏东 ，航行 海里后，在 C 处测得小岛 在船的南偏东 ，如果此船不改变航向，继续向 南航行，有无触礁危险？ 6( )BD BC km= = 10 6t = 6 (h).10t = 30 6 h10 A B 3 A B D B B 3 C D ( )5 3 3AB＝ ＋ 90 60 30 90 45 45DBA DAB＝ － ＝ ， ＝ － ＝∠ ∠ 180 (45 30 ) 105ADB＝ － ＋ ＝∠ DAB sin sin DB AB DAB ADB =∠ ∠ sin sin AB DABDB ADB ⋅ ∠= ∠ 0 0 53 3sin 45 sin105 + 0 0 0 0 0 53 3sin 45 sin 45 cos60 cos45 sin 60 + + 3 30 (90 60 ) 60DBC DBA ABC＝ ＋ ＝ ＋ － ＝∠ ∠ 20 3BC＝ BCD 2 2 2 2 cos 300 1200 2 10 3CD BD BC BD BC DBC＝ ＋ － ＝ －⋅ ⋅ ∠ + × 3 1 2 30CD＝ 30 130t＝ = D A 38 B A 30 30 A 0459 【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于 到直线 的距离与 海里的大小.于是，只要 先算出 (或 )，再算出 到 所在直线的距离，将它与 海里比较即得问题的解. 在 中， ， ， ， ∴ ， 由正弦定理知： ，∴ ， ∴ . 于是 到 所在直线的距离为 (海里). 它大于 38 海里，所以继续向南航行无触礁危险. A BC 38 AC AB A BC 38 ABC∆ 30BC = 030ABC∠ = 0 0 0180 45 135ACB∠ = − = 015A∠ = sin sin BC AC A B = 30 sin15 sin30 AC=° ° 30sin30 60cos15 15( 6 2)sin15AC °= = ° = +° A BC sin 45 15( 3 1) 40.98AC ⋅ ° = + ≈10 【巩固练习】 一、选择题 1．如图，设 ， 两点在河的两岸，一测量者在 的同侧，在 所在的河岸边选定一点 ，测出 的距离为 50 m， ＝45°， ＝105°后，就可以计算出 ， 两点的距离为(　　) A． m B． m C． m D. m 2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 ， 两点，从 ， 两点分别测得树尖的仰角为 30°，45°，且 ， 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为(　　) A．(15＋3 ) m B．(30＋15 ) m C．(30＋30 ) m D．(15＋30 ) m 3．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B、C 的俯角分别为 75°、30°，此时气球的高是 60m， 则河流的宽度 BC 等于(　　) A．240( －1)mB．180( －1)m C．120( －1)m D．30( ＋1)m 4．如右图，为了测量隧道口 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据(　　) A． B． C． D． 5. 有一长为 10 m 的斜坡，倾斜角为 ，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将 它的倾斜角改为 ，则坡底要延长（ ） A.5m B.10m C. m D. m 6.（2016 遂宁模拟改编）海轮“和谐号”从 A 处以每小时 21 海里的速度出发，海轮“奋斗号”在 A 处北偏东 45°的方向，且与 A 相距 10 海里的 C 处，沿北偏东 105°的方向以每小时 9 海里的速度行 驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为（ ）小时。 A. B. C. D.1 二、填空题 7. 一艘船以 的速度向正北方向航行，船在 处看见灯塔 在船的东北方向上， 后船在 处 A B A A C AC ACB∠ CAB∠ A B 50 2 50 3 25 2 25 2 2 A B A B A B 3 3 3 3 3 2 3 3 AB a bα， ， aα β， ， a b γ， ， bα β， ， 075 030 10 2 10 3 1 3 2 3 4 3 20 km/ h A B 1h C11 看见灯塔 在船的北偏东 的方向上，这时，船与灯塔的距离 . 8. (2015 湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山 顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30 °，则此山的高度 CD=_________m. 9. 如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的高是 46m，则河流的宽度 BC 约等于　 　m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92， cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， ≈1.73) 三、解答题 10．如图所示，已知 ， 两点的距离为 100 海里， 在 的北偏东 30°处，甲船自 以 50 海里/小 时的速度向 航行，同时乙船自 以 30 海里/小时的速度沿方位角 150°方向航行．问航行几小时，两船之 间的距离最短？ 11．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 千米处不能收到 手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约 1.732 千米有一条北偏东 60°方向的公路，在此处检查 员用手机接通电话，以每小时 12 千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号， 并至少持续多长时间该考点才算合格？ 12．一辑私艇发现在北偏东 45°方向，距离 12 海里的海里上有一走私船正以 10 海里/小时的速度沿南 偏东 75°方向逃窜，若辑私艇的速度为 14 海里，辑私艇沿北偏东 的方向追去，若要在最短的时间 内追上该走私船，求追及所需的时间和 角的正弦值． B 75 BC = 3 A B B A A B B 45 α° + α12 13. 如图， ， 是水平面上的两个点，相距 800m，在 点测得山顶 的仰角为 25°， =110°， 又在 点测得 =40°，其中 是点 在水平面上的垂足，求山高 (精确到 1m). 14. 如图，一艘海轮从 出发，沿北偏东 的方向航行 后到达海岛 ，然后从 出发，沿 北偏东 的方向航行 后达到海岛 . 如果下次航行直接从 出发到达 ，此船应该沿怎样的 方向航行，需要航行多少距离? 15. 如图所示，已知半圆的直径 ，点 在 的延长线上， ，点 P 为半圆上的一个动点， 以 为边作等边△ ，且点 与圆心 分别在 的两侧，求四边形 面积的最大值. 16. （2016 南通模拟）如图，景点 A 在景点 B 的正北方向 2 千米处，景点 C 在景点 D 的正东方向 千米处。 （1）游客甲沿 CA 从景点 C 出发行至景点 B 相距 千米的点 P 处，记∠PBC=α，求 sinα的值； （2）甲沿 CA 从景点 C 出发前往景点 A，乙沿 AB 从景点 A 出发前往景 B，甲乙同时出发，甲的速度为 1 千米／小时，乙的速度为 2 千米／小时。若甲乙两人这间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话 距离为 3 千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到 0.1 小时，参考数据： ） A B A C BAD∠ B ABD∠ D C CD A 0105 60 n mile B B 030 60 2 n mile C A C 2AB = C AB 1BC = PC PCD D O PC OPDC 2 3 7 5 2.2, 15 3.9≈ ≈13 【答案与解析】 1．答案：　A 解析：在△ABC 中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105° ∴∠ABC＝30°，由正弦定理： ∴AB＝ ＝ m．故选 A. 2. 答案：　C 解析：　由正弦定理可得 ， ，h＝PBsin 45°＝(30＋30 ) m. 故选 C. 3. 答案：C 解析：如图， 由图可知，∠DAB＝15°， ∵ 在 Rt△ADB 中，又 AD＝60， ∴DB＝AD•tan15°＝60×(2－ )＝120－60 ． sin sin AB AC BCA ABC =∠ ∠ 0 0 sin 50 sin 45 sin sin30 AC BCA ABC ∠ ×=∠ 50 2 0 0 0 60 sin(45 30 ) sin30 PB=− 0 0 160 302 sin15 sin15PB × = = 3 ( ) .32 3 311 3 31 30tan45tan1 30tan45tan3045tan15tan −= ×+ − =°°+ °−°=°−°=° 3 314 在 Rt△ADB 中，∠DAC＝60°，AD＝60， ∴DC＝AD•tan60°＝60 ． ∴BC＝DC－DB＝60 －(120－60 )＝120( )(m)． ∴河流的宽度 BC 等于 120( )m． 故选：C． 4. 答案：　C 解析：　由 A 与 B 不可到达，故不易测量 α，β，故选 C. 5. 答案：　C 解析：在△ABB’中由正弦定理，得 6. 答案：　B 解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 x 小时， 如图，则由已知得△ABC 中，AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°， 由余弦定理得：(21x)2=100+(9x)2－2×10×9x×cos120°， 整理，得 36x2―9x―10=0， 解得 或 （舍）。 ∴海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小时。 故选：B. 7. 答案： ； 如图所示： 3 3 3 13 − 13 − 0 ' 0 210sin 45 2 10 21sin30 2 ABBB × = = = 2 3x = 5 12x = − 2 3 20 2 ( )km A B’ B15 ， ， ， 在 中，根据正弦定理 . 8. 答案： . 解析： 在△ABC 中，∠CAB=30°，∠ACB=75°－30°=45°， 根据正弦定理知， ， 即 ， 所以 ，故应填 . 9. 答案： ； 解析 过 A 点作 AD 垂直于 CB 的延长线，垂足为 D， 则 Rt△ACD 中，∠C＝30°，AD＝46m ∴ ． 又∵Rt△ABD 中，∠ABD＝67°，可得 ∴BC＝CD－BD＝79.58－19.5＝60.08≈60m 故答案为：60m 10. 解析：设航行 x 小时后甲船到达 C 点，乙船到达 D 点，在△BCD 中，BC=(100-50x)海里，BD=30x 海里( )， ∠CBD=60°，由余弦定理得： ∴当 (小时)时，CD2 最小，从而得 CD 最小 ∴航行 小时，两船之间距离最近． 100 6 20AC = km 030CAB∠ = 0 0 075 45 30ABC∠ = − = ABC∆ 0 0 sin 20sin 45 20 2 ( )sin sin30 AC BACBC ABC ⋅ ∠= = =∠ km sin sin BC AB BAC ACB =∠ ∠ 600 1sin 300 2sin 22 2 ABBC BACACB = × ∠ = × =∠ 3tan 300 2 100 63CD BC DBC= × ∠ = × = 100 6 60(m) m58.7934630tan ADCD ≈=°= m5.1992.0 39.046 67tan ADBD ≈×=°= 0 2x≤ ≤ 2 2 2 2 (100 50 ) (30 ) 2 (100 50 ) 30 cos60 4900 13000 10000 CD x x x x x x = − + − ⋅ − ⋅ ⋅ ° = − + 13000 65 1612 4900 49 49x = = =× 1614916 11．解析：　如图所示，考点为 A，检查开始处为 B，设公路上 C、D 两点到考点的距离为 1 千米． 在△ABC 中，AB＝ ≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°， 由正弦定理 sin∠ACB＝ ·AB＝ ， ∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)， ∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1， 在△ACD 中，AC＝AD，∠ACD＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD＝1. ∵ ×60＝5，∴在 BC 上需 5 分钟，CD 上需 5 分钟． 答：最长需要 5 分钟检查员开始收不到信号，并持续至少 5 分钟才算合格． 12. 解析：如图所示，A、C 分别表示辑私艇，走私船的位置，设经 x 小时后在 B 处追上． 则 AB=14x，BC=10x，∠ACB=120° 由 得 x=2. 故 AB=28，BC=20 即所需时间 2 小时， 为 . 13. 解析：在△ABD 中，∠ADB=180°-110°-40°=30°， 由正弦定理得 . 在 Rt△ACD 中，CD=ADtan25°≈480(m). 答：山高约为 480m. 14、解析：在 中， ， 根据余弦定理， 根据正弦定理， ， 有 ， ∵ ∴ 3 0sin30 AC 3 2 12 BC 2 2 2(14 ) 12 (10 ) 240 cos120x x x= + − ⋅ ⋅ ° 20sin120 5 3sin 28 14 α °= = sinα 5 3 14 sin 800 sin 40 1028.5( )sin sin30 AB BAD mADB ×= = ≈∠   ABC∆ 0 0 0 0180 105 30 105ABC∠ = − + = 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC= + − × × ∠ 2 260 (60 2 ) 2 60 60 2 cos105°= + − × × × 60 2 3 30( 2 6)= + = + sin sin BC AC CAB ABC =∠ ∠ 060 2 sin105sin 2sin 230( 2 6) BC ABCCAB AC ∠∠ = = = + BC AC< 0105CAB ABC∠ < ∠ =17 所以 ， 答:此船应该沿北偏东 的方向航行，需要航行 15. 解析：设∠POB= ，四边形面积为ｙ，则在△POC 中，由余弦定理得： PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos =5-4cos  ∴ｙ=Ｓ△OPC+Ｓ△PCD= + (5-4cos ) =2sin( - )+ ∴当 - = 即 = 时，ｙmax=2+ . 16. 解析：（1）在 Rt△ABC 中，AB=2， ，∴∠C=30° 在 △ PBC 中 ， 由 余 弦 定 理 得 BC2+PC2 － 2BC · PC · cos30 ° =BP2 ， 即 化简，得 PC2－6PC+5=0，解得 PC=1 或 PC=5（舍去） 在△PBC 中，由正弦定理得 ，即 ∴ 。 （2）Rt△ABC 中，BA=2， ， 设甲出发后的时间为 t 小时，则由题意可知 0≤t≤4，设甲在线段 CA 上的位置为点 M，AM=4－t 在△PBC 中，由余弦定理得 BC2+PC2－2BC·PC·cos30°=BP2， 即 ，化简得 PC2－6PC+5=0 解得 PC=1 或 PC=5（舍去） ①当 1≤t≤4 时，乙在景点 B 处，甲在线段 PA 上，甲乙间的距离 d≤BP＜3，此时不合题意； ②当 0≤t＜1 时，设乙在线段 AB 上的位置为点 Q，则 AQ=2t 在△AMQ 中，由余弦定理得，MQ2=(4―t)2+(2t)2―2×2t(4－t)×cos60°=7t2－16t+16 令 MQ＞3 即 MQ2＞9，得 7t2－16t+7＞0，解得 或 ∴ 045CAB∠ = 0 0105 60CAB− ∠ = 060 30( 2 6)+ n mile θ θ θ 1 1 2sin2 θ× × 3 4 θ θ 3 π 5 3 4 θ 3 π 2 π θ 5 6 π 5 3 4 2 3BC = 312 2 2 2 3 72PC PC+ − × × × = sin sin30 PC PB α = ° 1 7 1sin 2 α = 7sin 14 α = 2 3BC = 2 2 4AC BA BC= + = 2 312 2 2 3 72PC PC+ − × × × = 8 15 7t −< 8 15 7t +> 8 150 7t −≤